专题五 相似三角形中的六大基本模型专项练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

相似三角形中的六大基本模型 【知识解析】 知识点01 （双）A字型相似模型 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 知识点02 （双）8字型相似模型 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 知识点03 母子型相似模型 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 知识点04 手拉手型相似模型 ①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com] ②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似． ③如图所示，，则，，且． 知识点05 K字型相似模型 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 知识点06 三角形内接矩形模型 由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。 结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC， 【专题练习】 【题型1 （双）A字型相似】 【例1】如图，在中，点、分别在边、上，且，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线分线段成比例及相似三角形性质得出线段比，通过中间量建立与的面积关系，从而得出面积之比． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【对应练习】 1．如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点D、E分别在边、上，，如果，，，那么长为________． 3．如图，已知在中，，点、、分别为边、、上一点，连接和，且． (1)求证：； (2)连接，如果点是中点，，，求的长． 【题型2 （双）8字型相似】 【例2】如图，，、相交于点，，且，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线性质证三角形相似，利用相似比计算线段长． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【对应练习】 1．如图，在梯形中，，对角线和相交于点E，延长至点F，满足，则以下说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是正方形，延长到点E，使得，连接，，交于点F．若，则的长为_______． 3．如图，四边形中，为边上一点，连接，交于点，且，． (1)求证：； (2)若,,，求的长． 【题型3 母子型相似】 【例3】如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件说明，利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， ， ． 【对应练习】 1．如图，已知，长为，长，则长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在中，，，垂足为点D，如果，，那么______． 3．如图，在中，点在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型4 手拉手型相似】 【例4】如图，分别是的边上的点，且，交于点F．若，则的值为（    ） A． B． C． D．以上选项都不对 【答案】B 【分析】先证明得到，再证明，最后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【对应练习】 1．如图，菱形和菱形的边长分别为4和6，、、三点在同一条直线上，且，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点D、E分别在边、上，连接、，且．若，，当点D在上运动时（点D不与B、C重合），且是等腰三角形，则的长________． 3．如图，已知和都为等腰三角形，，， (1)当时． ①如图1，当点D在上时，与的数量关系是_______． ②如图2，当点D不在上时，与的数量关系是_______． (2)如图3，当时． ①探究线段与的数量关系_______． ②当，，时，请直接写出的长为_______． 【题型5 K字型相似】 【例5】如图，，为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，且，，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作交的延长线于点，证明，列出比例式，即可得到答案． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图所示： ∵， ∴ ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【对应练习】 1．如图，在中，D、F，E、G分别为，边的三等分点，连接，，交于点H．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，点在的边上，作交于点，交于点．若点是重心，且在线段上，连接并延长交线段于点，交线段于点，则的值是__________． 3．如图1，已知矩形中，点是边上一动点，在右侧作，使得．已知，． (1)当点与点重合时，求四边形的面积； (2)点由点向点移动的过程中（点不与点重合），的长度______，的长度______（填“增大”、“减小”或“不变”），并说明长度变化的理由． (3)当四边形的对角线和互相垂直时，求的长． 【题型6 三角形内接矩形】 【例6】如图，在中，点D、E分别在边上，四边形是正方形，点F、G在边上，交于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 【答案】A 【分析】利用正方形的性质，三角形相似的判定和性质，解答即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵不一定相等， 不一定成立，故②错误． 【对应练习】 1．如图所示，木工师傅要在一块直角三角形木板上裁出一块正方形木板、已知直角三角形木板的面积为，直角边，则这个正方形木板的边长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，高，正方形的边在上，点分别在上，交于点，则的长为______． 3．如图，矩形的边在的边上，顶点、分别在边、上，已知，高，矩形的长和宽，试求矩形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $相似三角形中的六大基本模型 【知识解析】 知识点01（双)A字型相似模型 ①如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC,则 AD AE DE △ADE一△ABC,AB AC BC. D D C反A字型（不平行） ②模型拓展1：斜交A字型条件：∠C=∠ADE,图2结论：△ADE~△ACB; AD_AC_CD ③模型拓展2：如图，∠ACD=∠BPe△ADC∽△ACB=AC AB BC. 知识点02（双）8字型相似模型 AB OA OB ①如图1，AB∥CD△AOB∽△C0D=CD OC OD: AB OA OB ②如图2，∠A=∠D△AOB∽△D0 CD OD OC. 反8字型（不平行） 图1 图2 2 AB JA JB ③模型拓展：如图，∠A=∠C△AIB∽△CI CD JC JD. 知识点03母子型相似模型 如图为斜“A”字型基本图形.当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED,则有 AE AD DE AB AC BC,AE·AC=AD·AB, 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型 AC AD CD 当∠ACD=∠B时，△ABC∽△ACD,则有AB AC BC. 知识点04手拉手型相似模型 ①如图，若△ABC∽△ADE,则△ABD∽△ACE.[来源：Zxxh.Co B D E ②如图所示，△BDE和△ABC都是等腰直角三角形，CE的延长线与AD相交于 点R则△MBD△CBE,且相似比为：V5,AD与CE的夹角为45°. 2 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形 与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似. ③如图所示，Rt△AOB∽Rt△COD,则△AOCP△BOD,AC⊥BD,且 AD2+BC2=CD2+AB2 知识点05K字型相似模型 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B=∠D=∠ACE=90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B=∠ACE=∠D,则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE,若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 图1 图2 补充：其他常见的一线三等角图形 3 D C y F 60 B E 知识点06三角形内接矩形模型 由之前的基本模型(A型或Ar型)推导出来的。 G D GF AH 结论：AH⊥GR,△AGF∽△ABC, BC AM 【专题练习】 【题型1（双）A字型相似】 【例1】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DEIIBC,若 E:4C=3, SpES.Dc等于（ ) B A.13 B.14 C.15 D.1:6 【答案】D 4 【分析】利用平行线分线段成比例及相似三角形性质得出线段比，通过中间量 SaDEC 建 SDEA与 的面积关系，从而得出面积之比. 【详解】解：设SDM=a, DEllBC, .△ADEP△ABC, S,4= .DE:BC=AE:AC=1:3, -, Samc =9a. .AE:AC=13, .AE:EC=1:2, S= S. :S.oec =2a, ∴.Spac=9a-a-2a=6a, S.DE:S.mc=a:6a=1:6 【对应练习】 1.如图，已知△ABC,直线与边AB、AC分别相交于点D、B,直线2与边AB AC分别相交于点RG,(∥∥BC,那么下列比例式一定正确的是 G B AD DE AD AE A.DF GF B.BF GC c. D. DF GC BF EG 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理及其推论，结合相似三角形的性质，逐 项判断比例式是否成立： 【详解】解：对于A,, ∴.△ADESAAFG DE AD AD DE, 故A不符合题意； 对于B,4IBC, AD AE DF EG DF EG,BF GC, AD DF AE EG GC EG AD BF AE GC AD AE BF GC 故B符合题意； 6 对于C,, AE AD AG-AF, 又：AF≠AB, AD,D AF AB AE4D AGAB,故C不符合题意； 对于D,4IIBC, DF EG GC BF GC EG, 故D不符合题意. 2.如图，在△ABC中，点DE分别在边AB、AC上，∠AED=∠B,如果AD=3 ,AE=4,CE=2,那么BD长为 D 【答案】5 AE AD 【分析】证明ADE64CB,可得ABAC,再由AC=AE+CE=6,即可求解. 【详解】解：，∠DAE=∠CAB,∠AED=∠B, ∴.△ADE△ACB, AE AD :.AB AC' .AE=4,CE=2, 7 .'AC=AE+CE=6, 43 .AB6' .AB=4x6 =8 3 .BD=AB-AD=8-3=5 3.如图，已知在△ABC中，AB=AC,点D、E、F分别为边AB、AC、BC上 点，连接DF和EF,且∠B=∠DFE. B (I)求证：△BDF∽△CFE; (2)连接DE,如果点F是BC中点，CE=3,EF=4,求DE的长. 【答案】(1)解：AB=AC, .∠B=∠C :∠B+∠BDF+∠DFB=18O°∠CFE+∠DFE+∠DFB=I8O°∠B=∠DFE∠B=∠C ∴.∠BDF=∠CFE .LBDF=∠CFE∠B=∠C 8 ∴.△BDF∽ACFE 16 (2)3 【详解】(1)略； (2)解：△BDF∽△CFE, EF CE CF ,FD BF BD· :F是BC中点， BC …设 F=CF=x .CE=3 EF=4 43x .FD x BD' m BD= x2 3, EF 3 CE 3 FDx’CFx, EF_CE _3 .FD CF x· ·∠B=∠DFE∠B=∠C .∠DFE=LC ∴.△DFE∽aFCE DE EF DE 4 :FBEC,即4=3， DE= 3· 9 【题型2（双）8字型相似】 AE 1 【例2】如图，AB∥CD,ADBC相交于点E,DE2,且AB=5,则CD的 长是( A B A.2.5 B.10 C.15 D.20 【答案】B 【分析】由平行线性质证三角形相似，利用相似比计算线段长 【详解】解：AB∥CD, .△ABE∽△DCE AB AE CD DE :E、1 DE=2' AB=5 51 CD 2' ∴.CD=10 【对应练习】 1.如图，在梯形ABCD中，ADI‖BC,对角线AC和BD相交于点E,延长BE至 点R,满足BE2=DE·EF,则以下说法一定正确的是( 10 o E A.AB=CD B.AE·EC=ED·BE C.CF∥AB D.AC=CF 【答案】c AE DE 【分析】证明△4ED∽△CEB,得出CE=BE，即可判断B选项错误；证明 AEBACEF 得出 BMB=∠BCT,即可判断C选项正确；只有等腰梯形才能得 出AB=CD,即可判断A选项错误；根据已知条件不能得出AC=CF,即可判断D 选项错误. 【详解】解：.AD‖BC, ∴.△AED∽△CEB, AE DE :CE BE' .AE·BE=ED·EC,故B选项错误： BE2=DE.EF, BE DE .EF BE' BE AE ∴.EFCE 11 ,∠AEB=∠CEF, ∴.△AEBACEF, ∴.∠EAB=∠ECF, ∴.CF∥AB,故C选项正确； 只有等腰梯形才能得出AB=CD,故A选项错误： 根据已知条件不能得出AC=CF,故D选项错误。 2.如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E,使得CE=CD,连接AE, DE,ME交DC于点R若4B=2,则1F的长为 【答案】V5 【分析】首先证明ECFPAEBA,再利用勾股定理，解答即可. 【详解】解：，四边形ABCD是正方形，AB=2,CE=CD, ABIICD,AB=BC=CD=CE=2,∠ABC=90°， .△ECF∽aEBA,EB=EC+CB=2+2=4, EF ECEC 2 1 EA EB EC+CB 2+22 1 2EF-24B 12 .∠ABC=90°，EB=EC+CB=2+2=4, AE-AB+B=2J5 EF=T4E-5 2 :F=)AB=5 2 3.如图，四边形ABCD中，E为边CD上一点，连接BD,AE交于点F,且 DE2=EF.AE∠ABD=∠EAD E (1)求证：ABICD: (2)若DE=4,EF=2,BF=9,求AD的长. 【答案】(1)证明：DE2=EF·AE, DE EF AE DE :'∠DEF=∠AED ∴△DEFAAED ∴.∠EDF=∠EAD '∠ABD=∠EAD .∠ABD=∠EDF 13 AB∥CD (2)6 DE EF 【分析】(1)由DE=EF·AE,得AE=DE,而∠DEF=∠AED,则 △DEF∽△AE ,所以∠BDF=∠EMD,因为ABD=∠EMD,所以∠MBD=∠EDF,则 ABIICD DF EF 1 (2)由DE=4'EF=2:根据相似三角形的性质得DDE2,则Dr=号D, 由LABD=∠EAD,∠ADB=∠FDA,证明△ADB∽△FDA,而BF=9,则 AD DB DF+9 是得0-号4010+9 DF AD AD,于是得 2 解得AD=6. 【详解】(1)略 (2)解：ADEFSAAED,DE=4,EF=2, DF EF21 AD DE 4 2' 5DFD :∠ABD=∠EAD∠ADB=∠FDA ∴△ADBP△FDA AD DB DF+BF DF+9 DF AD AD AD ∴.AD=DF(DF+9) 14 解得AD=6或AD=0(舍去) .AD=6 【题型3母子型相似】 【例3】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED=∠B.若 4D=2,D=4,B=3,则C的长为( A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【分析】根据条件说明△ADEAACB,利用对应边成比例即可求解. 【详解】解：AD=2,BD=4, .AB=AD+BD=6 :∠AED=∠B∠A=∠A ∴.△ADE∽AACB AD AE AC AB' 15 23 AC 6, .AC=4 ∴.CE=AC-AE=1 【对应练习】 1.如图，已知△CAD∽△CBA,AC长为6，BC长9，则CD长是( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式求解。 【详解】解：ACADACBA, CD CA CA CB' .AC=6 BC=9 CD6 69, ∴.CD=4 2.如图，在R1△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为点D,如果AD=3, BC BD=I'那么AC 16 【答案】 3 3 【分析】利用同角的余角相等证明∠A=∠BCD,结合直角证明△ACD∽aCBD,利 用相似比及射影定理推论求解. 【详解】解：，CD⊥AB, ∴.∠ADC=∠CDB=90°， .∠ACB=90°， .∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90° ∴∠A=∠BCD, ∴.△ACDACBD、 BC BD CD .AC CD AD' ∴.CD2=ADBD, .AD=3,BD=1, ∴.CD2=3×1=3 .'CD=3 17 BC BD 13 :AC CD33. 3.如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD=∠C. B 2D (1)求证：△ABD∽aCBA; (2)若AB=4,BD=2,求BC的长. 【答案】(1)证明：.∠BAD=∠C,∠B=∠B, ∴.△ABDACBA. (2)8 【分析】（1)直接利用两角对应相等的三角形相似即可证明结论： (2)根据相似三角形的性质列比例式并代入已知数据求解即可. 【详解】(1)证明：略. (2)解：由(I)可得△ABD∽aCBA AB BD 42 ∴.CB=BA,即BC=4,解得：BC=8 【题型4手拉手型相似】 【例4】如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，且DE∥BC,BE交DC于 18 SADE 点F.若EF:FB=1:3,则Sc的值为( ) B A. 1-3 B.9 C.3 D.以上 选项都不对 【答案】B DE 1 【分析】先证明△DEF∽△CBF得到BC3,再证明△ADE∽△ABC,最后根据 相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得答案。 【详解】解：DE∥BC, ∴.△DEF∽△CBF, DE EF 1 BCBF3 DE∥BC, ∴.△ADE∽△ABC, 【对应练习】 19 1.如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为4和6，B、C、G三点在同一 条直线上，且∠A=120°，则图中阴影部分的面积是( ) D A.8V5 B.9V5 C.45 D.6V5 【答案】C 【分析】设BF交CE于点H,根据菱形的对边平行，利用相似三角形对应边成 比例列式求出CH,然后求出DH,根据菱形邻角互补求出∠ABC=6O°，再求出 点B到CD的距离以及点G到CE的距离；然后根据阴影部分的面积=SDm+Samm 根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解. 【详解】解：如图，设BF交CE于点H,过B点作BM⊥DC交DC的延长线于M 点，过F点作FN⊥CD交CD的延长线于N点. D B G 20 .菱形ECGF, ∴.CE∥GF, .△BCH∽aBGF, CH BC FG BG' ,菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为4和6， CH 4 .64+6 解得CH=I2 5 则DH=CD-CH=4-12_8 55 ,四边形ABCD和四边形ECGF是菱形，∠A=120°， .AD BC,ABII CD,EFIICG, .∠NEF=∠ECG=∠BCM=∠ABC=180°-120°=60°， B BCx sin c0 FN-Exsin cx 2 ∴阴影部分的面积=SDH+SDm, =2×号×23+号x8×33=45 18 18 25 2.如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE,且 B=∠ADE=∠C.若B=45°，BC=6,当点D在BC上运动时（点D不与R、C BC 重合)，且△ADE是等腰三角形，则BD的长 21 B D 【答案】3或6-32 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定 理、相似三角形的判定与性质，分三种情况：当AD=AE时；当EA=ED时；当 DA=DE时：分别求解即可得解。 【详解】解：，△ADE是等腰三角形， ∴.当AD=AE时，∠ADE=∠AED, .∠B=∠ADE=∠C,∠B=45°， ∴.∠ADE=45°，∠C=45°，∠BAC=90°， ∴.∠AED=45°， ∴.∠DAE=∠BAC=90°， ∴点D与点B重合，不符合题意，舍去； .∠B=∠C=45°， .∴.∠BAC=90°， 当EA=ED时，如图， 22 B D ∴.∠EAD=1=45°， .∠BAC=90°， ∴.∠BAD=∠EAD=45°， ∴.AD平分∠BAC, ∴.AD垂直平分BC, '.BD=BC=3 2 当DA=DE时，如图， B D .LC=∠I,∠DAE=∠CAD, ∴.△ADE∽△ACD, .AD:AC=DE:CD, .'AC=CD, .∠B=∠C=45°， 23 ∴.∠BAC=90°， .'AB=AC, :BC=6, ∴由勾股定理可得AC=32, .CD=32, ∴.BD=BC-CD=6-3V2: 综上所述，BD的长为3或6-32， 故答案为：3或6-3v2 3.如图，已知△ABC和△DEB都为等腰三角形，AB=AC,DE=DB, ∠BAC=∠BDE=n° 图1 图2 图3 (1)当n=60时. ①如图1，当点D在AB上时，AD与EC的数量关系是 ②如图2，当点D不在AB上时，AD与EC的数量关系是 (2)如图3，当n=90时. ①探究线段AD与EC的数量关系 24 ②当CE∥AB,BD=VI0,AD=2时，请直接写出AB的长为 【答案】(I)①CE=AD;②CE=AD (2)①CE=V2AD;②2W2或3W2. 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形的判定及性质、相似三 角形的判定及性质、勾股定理的应用等知识点，熟练掌握三角形的相关判定及 性质以及运用分类讨论思想是解题的关键. (1)①根据题意当n=60时，即△ABC和△DEB都为等边三角形，根据等腰三角 形的性质以及线段间的等量关系即可解答；②利用SAS证明△ABD≌aCBE，由三 角形全等的性质即可解答， (2)①根据已知，利用两边对应成比例且夹角相等可证△ABD∽aCBE,再利用 三角形相似的性质求解即可；②分点D在△ABC的外部和外部，分别运用相似三 角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理求解即可. 【详解】(I)解：①.△ABC和△DEB都为等腰三角形，AB=AC,DE=DB, ∠BAC=∠BDE=n°n=60 ∴.△ABC和△DEB都为等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=∠CDE=∠DEC=6O°AB=AC=BCDE=BD=EB 25 .CE=BC-BE AD=AC-BD=BC-BE ∴.CE=AD 故答案为：CE=AD. ②CE=AD,理由如下， :∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°∠DBE=∠CBD+∠CBE=60° ∴.∠ABD=∠CBE 在△ACD和△BCE中， AB=BC ∠ABD=∠CBE BD=BE △ABD≌ACBE(SAS) ∴.CE=AD 故答案为：CE=AD. (2)解：①CE=V2AD,理由如下： 当n=90时，∠BAC=∠EDB=90°， AB=AC,DE=DB ∴.△ABC和△DEB为等腰直角三角形， ∴·∠ACB=∠ABC=∠DBE=∠DEB=45° BD AB2 EB BC 2, 26 BD EB .AB BC .∠DBE=∠CBD+∠CBE=45°，∠ABC=∠CBD+∠ABD=45°， ∴.∠ABD=∠CBE ∴.△ABDACBE, AD BD CE EB 2, :CE =2AD 故答案为：CE=V2AD ②当点D在△ABC的外部时，如图所示， D .DE=BD=10,CE=2AD=22 BE-BD+D=25 又，CE∥AB, ∴.∠CAB=∠ECF=90°，∠EBA=∠CEF ∴AEFC∽ABFA EF FC CE BF AF AB 27 设AB=AC=x,CF=y,EF=z,则AF=x-yBF=2V5-z, 25-z x-y x = 25-z x-y y=22 x-y x 解得： 2√2 2W5-z x=2√2 .AB=2V2: 当点D在△ABC内部时， 又.CE∥AB, ∴.∠CAB=∠ACE=90° .∴.∠ECB=∠ECA-∠ACB=45°， ,△ABDPACBE, ∴.∠DAB=∠ECB=45 如图：过点D作DH⊥AC于H, 4 H E ∴.△ADH是等腰直角三角形， 28 DH=AH-AD- 2 BH=BD+DH-(o)-(=2 ∴.AB=AH+BH=√2+2√2=3V2 综上所述，满足条件的AB的值为22或32 故答案为：2√2或3W2」 【题型5X字型相似】 【例5】如图，∠A=∠B=90°，E为AB上一点，连接DE,过点C作DE的垂线 交ED的延长线于点G,交AD的延长线于点F,且AD=4,DE=5,CF=6,则 AB 的长为( D B 24 2 8 A.5 B.5 C.5 D.5 【答案】A 【分析】过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H,证明△DEA∽aCFH,列出比 例式，即可得到答案. 29 【详解】解：过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H,如图所示： G D B .CG LEG, ∴.∠G=∠H=90° .∠H=∠A=∠B=90°， ∴.四边形ABCH为矩形， ∴.AB=CH,∠FCH+∠CFH=∠DFG+∠FDG=90°， .∠FCH=∠PFDG=∠ADE, .∠A=∠H=90°， ∴.△DEAPACFH, DE AD .CF CH' DE AD .CF AB' 54 即6AB, AB=24 5· 【对应练习】 30 1.如图，在△ABC中，D、F,B、G分别为AB,AC边的三等分点，连接DE, FG,BE交FG于点瓜若HG=2,则FH的长为( ) D G H A.3 B.3 c.6 【答案】C AD AE I 【分析】由三等分点得到线段比例AF=4G2,利用两边成比例且夹角相等证 FH 1 明AADEPAAFG, 推出DE∥FG:再证BFHBDE,得到DE2,设FH=x' 根据F心=2DE列方程求解. 【详解】解：~DFRG分别为AB,AC的三等分点， :.AD=DF-FB-1AB,AE-EG-GC-1AC 3 ADAD 1 AEAE 1 AFAD+DF-2’AGAE+EG2, AD=AE I 又∠DAE=∠FAG, ,∴.△ADEn△AFG ∴∠ADE=∠AFG, DE 1 FG2 31 ∴.DEFG ∴.ABFH∽ABDE FH BF 1 DE BD 2 设FH=x,则DE=2x, FG=FH+HG=x+5 , DE 1 由FG=2,得FG=2DE, 5 x+2=2×2x 2 35 2 .FH=5 6. 2.如图，点D在△ABC的边AB上，作DE∥BC交AC于点E,EF∥AB交BC于点 F.若点是△MC重心，且在线段F上，连接CG并延长交线段DF于点M, GM 交线段DB于点N,则MN的值是 D G 【答案】 【分析】利用重心的性质得出N为AB中点及CG:CW的比值，结合平行线分线 32 段成比例定理求出EF、FG与AB的数量关系，进而求出DN与AB的关系，最后 利用相似三角形性质求解. 【详解】解：点G是△ABC重心，且C、G、N共线， CG 2 :N为AB中点，CN=3, EF AB ,.∴ACFG∽ACBN ACEF∽ACAB FG CF CG 2 EF CF 2 BN CB CN 3AB CB 3 FG=2BN EF=4B 3 :N为B中点， :.BN-14B 2 :DE BC EFI∥AB 四边形 DEF 为平行四边形， :.BD-EF-2AB :DN-BD-BN-24B-14B=14B 3 2 6) EF AB FGIDN 即 .△MGADMN 33 1 GM FG AB -=2 MN DN 1 AB 6 3.如图1，已知矩形ABCD中，点E是边AB上一动点，在aDEC右侧作△DCF, 使得ADCF△DEC,已知AB=2V3,BC=2. D B C 图1 备用图 (1)当点E与点B重合时，求四边形DECF的面积： (2)点E由点A向点B移动的过程中（点E不与点B重合），DE的长度， DF 的长度 (填“增大”、“减小”或“不变”)，并说明DF长度变化 的理由. (3)当四边形DECF的对角线CD和EF互相垂直时，求AE的长. 75 【答案】(1)2 (2)增大；减小 理由：在RtADAE中，∠A=90°，AD=2, .DE2 AD2+AE2=4+AE2 当点E由点A向点B移动时，AE逐渐增大， 34 :DE 逐渐增大。 DF DC 由DCFADEC得DC=DE, 即DF=DC2、12 DE DE' 随着DE的增大， DE 逐渐减小. (3)22 【分析】(1)当点E与点B重合时，DE=DB,由勾股定理求出DE,再由 DC ADCF∽aDEC求出相似比DE,从而求出ADCF的面积，四边形DECF的面积等 于aDEC与△DCF的面积之和： (2)在RtADAE中，DE2=AD+AE2,随AE的增大而增大：再由相似得 DF=DC2 DE，据此判断DF的变化： (3)由△DCF∽aDEC得LCDF=∠CDE,即DC平分LEDF;；当EF⊥CD时，可证 DE=DF,代入DF-DE=DC求出DE,最后在aDM 中用勾股定理求征 【详解】(1)解：当点E与点B重合时，DE=DB, 四边形4BCD AB=23 BC=2 矩形， 35 .AD=BC=2DC=AB=2N3∠A=∠BCD=90° ∴.DE2=DB2=AD2+AB2=22+12=16 .DE=4 :△DCFADEC DC CF DF DE EC DC .DF-DC=12=3 DC 3 DE4=3,且相似比为DE一2. EC=BC=2DC⊥BC 此时 1 Smc=)DCEC=)×2V3×2=2V3 2 3 :S.DCF= 5)2 2 2. DC 点、分别在直线的两侧， Sn=8c+S=2W5+3V5_73 22. D B(E) C (2)略 (3)解：ADCFADEC, 36 ∠CDF=∠CDE,即DC平分∠EDF DC 当EF⊥CD时，设EF与CD交于点H,则∠DHE=∠DHF=9O°， 在△DHE和△DHF中， ∠HDE=∠HIDF DH=DH∠DHE=∠DHF ∴ADHE≌ADHF(ASA) ∴.DE=DF DF DC 又由DCFADEC得DC=DE,即DF.DE=DC2, DE2=DC2=(25=12, ∴DE=2V3 在RL△DAE中，∠A=90°，AD=2, ∴AE2=DE2-AD2=12-4=8 :.AE=2V2 刀 H 【题型6三角形内接矩形】 【例6】如图，在△ABC中，点DE分别在边AB、AC上，四边形DEGF是正方 37 形，点RG在边BC上，AN∥DF交BC于点N甲、乙两位同学在研究这个图 BF CG DE DF 形时，分别产生了以下两个结论：①BNCN;②BC=AN.那么下列说法 中，正确的是() NG A.①正确，②错误 B.①错误，②正确 C.①、②皆正确 D.①、②皆错误 【答案】A 【分析】利用正方形的性质，三角形相似的判定和性质，解答即可. 【详解】解：：正方形DEGF, ∴.DE=EG=GF=FD,DF∥EG,DE∥BC, AN∥DF, .AN∥EG, ∴.△BDF∽△BAN,△CEG∽△CAN BF DF CG EG .BN AN CN AN' ..EG=FD, 38 CG DF .CNAN’ BF CG BN CN 故①正确： :DE∥BC, .△ADE∽△ABC, DE AD .BCAB· :AN∥DF, ∴.△BDF△BAN, DF BD .ANAB· .AD,BD不一定相等， DEDF BCAW不一定成立， 故②错误. 【对应练习】 1.如图所示，木工师傅要在一块直角三角形木板上裁出一块正方形木板、已知 直角三角形木板的面积为1.5m,直角边AB=1.5m,则这个正方形木板的边长为 7 A.7m B.6m 39 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似 是解题的关键，设正方形的边长为x,证明△AEF∽aABC,列出比例式进行求解 即可. 【详解】解：，直角三角形木板的面积为1.5m,直角边AB=1.5m, 54B-ac-15c=15, 1 2 .'BC=2m, ,正方形ABCD, .EF=BE,EF∥BD、 设正方形的边长为x,则：EF=BE=x,AE=AB-BE=1.5-x, ..EF l BD. ∴.△AEF∽AABC, AE EF m1.5-x= ABBC,即15=2， 6 解得x=7: 6 故这个正方形木板的边长为m: 故选A. 2.如图，在△ABC中，BC=12,高AD=6,正方形EFGH的边HG在BC上，点 40 E,F 分别在松4C上，4D交F于点N,则W的长为 AN E B H DG 【答案】2 【分析】由正方形的性质可得EF I HG,EF=EH,∠FEH=∠EHG=90°，即得 EFABC,4N1EF,由四边形D是矩形得 H=DN,即得 EF=DN,设 F=DN=a,则W=6-·,再利用相似三角形的性质求出“的值即可求解， 【详解】解：，四边形EFGH是正方形， .EFI‖HG,EF=EH,∠FEH=∠EHG=9O°， .EFl BC, ,AD是△ABC的高， .AD⊥BC, .AN⊥EF,∠HDN=90°， .四边形EHDN是矩形， .'EH =DN, ∴.EF=DN, 41 设EF=DN=a, ,AD=6, .AN=6-a, ..EF l BC, ∴.△AEFP△ABC, AN EF ∴.ADBC, .BC=12, 6-a_a .612, 解得a=4, .AW=6-4=2 3.如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC 上，已知BC=40cm,高AH=20cm,矩形的长和宽EF:DE=2:l,试求矩形 DEFG 的面积. 【答案】200cm2. 【分析】根据长宽比例设矩形的宽为xcm,长为2xcm,由矩形得到DGBC,证 42 明△ADG∽aABC,结合AH⊥BC推导出AP⊥DG、PH=DE,利用相似三角形对 应高的比等于相似比列方程求出x,最后计算矩形面积. 【详解】解：EF:DE=2:l, DE =xcm EF=2xcm. DEFG 四边形 是矩形， .DG=EF=2 xcm DGI‖BC∠DEH=90. .AH是△ABC的高， .AH⊥BC ∴.∠AHC=90° :DGIBC AH⊥BC .∠APG=∠AHC=90°， ,AP⊥DG :AP⊥DGAH⊥BC∠DEH=90 ·四边形 EHP 是矩形. .'PH DE=xcm ∴.AP=AH-PH=(20-x)cm DGl BC, 43 ,.∴△ADGAABC AP DG AHBC· .BC=40cm,AH =20cm 20-_2x 20 40 ∴40(20-x=40x .800-40x=40x .80x=800 x=10 ∴.DE=10cmEF=20cm. ∴S矩形DErc=DE·EF=10×20=200(cm2） 44