考点培优练02 平面向量中最值（范围）：坐标法、基底法、极化恒等式、投影向量法等应用8大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦平面向量最值问题，以坐标法、基底法等7大方法为核心，构建“原理-典例-训练”系统体系，强化数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |坐标法（数量积/夹角）|2典例+11训练|坐标运算转化几何问题|从坐标表示到模与夹角公式推导| |基底法|1典例+6训练|基底转化与运算律化简|平面向量基本定理应用拓展| |极化恒等式|1典例+6训练|平行四边形/三角形模型|向量数量积与几何长度关系构建| |三角向量不等式|1典例+6训练|模不等式求最值|向量模的不等关系推导应用| |参数范围|1典例+6训练|几何化与代数化双思路|向量参数问题的转化策略| |投影向量法|1典例+5训练|投影向量与数量投影辨析|投影定义到综合应用的逻辑链|

考点培优练02 平面向量中最值（范围）：坐标法、基底法、极化恒等式、投影向量法等应用7大考点 考点预览 目录 考点01 坐标法解决向量的数量积问题 1 考点02 坐标法求向量的夹角 11 考点03 基底法解决平面向量问题 19 考点04 利用极化恒等式解决平面向量最值问题 25 考点06 平面向量中参数的最值范围 34 考点07 投影向量解决向量数量积综合应用 40 考点通关 考点01 坐标法解决向量的数量积问题 坐标法是解决平面向量问题的重要方法，坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的. 1. 平面向量数量积的坐标运算 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 【典例1】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）如图，在直角梯形中，．若、分别是、上的动点，满足，其中，则的最大值为____________． 【答案】 【分析】建立直角坐标系，由题意可得：，由题意可得，，结合平面向量数量积的坐标运算得到关于的二次函数，即可求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，由题意可得：， 设，即，据此可得：， 故，同理可得， 据此可得：， 则 ， 由于，所以当时，取得最大值，为． 故答案为： 【跟踪训练】1．（2026·甘肃兰州·一模）在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系确定、的向量坐标，利用向量的数量积公式计算即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 因为，，所以，，， 因为为中点，所以，，则. 所以，. 所以 .    2．（25-26高三上·湖南·开学考试）如图， 为等边三角形的中线上任一点，，，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量加减法运算法则，将要求的式子拆分成已知向量求解；或者直接建立平面直角坐标系，用向量的坐标表示，根据已知条件列方程求解 【详解】方法一： 因为为等边三角形，是边的中点.所以.故. 所以. 因为是边上的中点，所以有. 因此. 故选：D 方法二：    以为原点，，为轴，轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 设，，，. 则，，，. 所以. 又因为，，所以有 两式作差得.故. 故选：D 3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，先利用坐标表示相关向量，再结合数量积的坐标表示和二次函数的性质计算可得. 【详解】以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系（如图所示）， 则， 因为， 则点D在线段（不含端点）上， 设，则， 所以， 所以当时，取得最小值， 当时，， 故的取值范围为. 故选：A． 4．（2025·山东济南·二模）(多选)如图，在直角三角形中，，，点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则（    ）    A． B． C．最大值为 D．，，三点共线时 【答案】ACD 【分析】依题意可得为的中点，根据平面向量加法的平行四边形法则判断A，建立平面直角坐标系，求出圆的方程，设，，利用坐标法判断B、C，由三点共线得到，即可求出，从而求出，，即可判断D. 【详解】因为，即为的中点，所以，故A正确； 如图建立平面直角坐标，则，，，， 所以，，则，故B错误； 又， 所以圆的方程为， 设，， 则，又， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，故最大值为，故C正确； 因为，，三点共线，所以， 又，， 所以，即， 所以， 所以，又，， 且，即， 所以，所以，所以，故D正确. 故选：ACD    5．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 6．（2025·天津和平·一模）已知平面四边形满足，且，为的中点，则__________，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】推导出，，然后以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的模长公式可求得的值；设点、，其中，，利用平面向量数量积的坐标运算得出，再结合基本不等式求得的最小值. 【详解】因为，可得， 因为，则， 因为，则，且，如下图所示： 以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如上图所示的平面直角坐标系， 则、、、、， ； 设点、，其中，， ，， 所以，，可得， 因为，则，则，， 所以，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：；. 7．（24-25高三下·北京·阶段检测）如下图，在梯形中，，，，，，则______，若是线段上的动点，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的计算公式和坐标表示求解即可. 【详解】因为梯形中，，，所以， 所以，解得. 以所在直线为轴，垂直于所在直线为轴建立如图所示坐标系， 由对称性不妨设点在点左侧，设，，， 则，，， 所以， 所以当时，取得最小值， 最小值为， 故答案为：； 考点02 坐标法求向量的夹角 1、向量加、减、数乘的坐标运算 已知向量，，则，①．②． 2、数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． ； 3、设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 【典例2】（25-26高三上·浙江金华·期末）如图，在中，点是中点，点、分别在边、上，，.设，. (1)用向量、表示； (2)若，，，求向量、夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量的减法可得出关于、的表达式； （2）解法一：利用平面向量数量积的运算性质可求得向量、夹角的余弦值； 解法二：推导出为等腰直角三角形，然后以为原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示可求得结果； 解法三：推导出为等腰直角三角形，然后以为原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】（1）由题意可得. （2）解法一：由（1）得 ， 因为为的中点，所以， 从而， ， 所以， 故向量、夹角的余弦值为； 解法二：因为， 又因为，所以， 所以为等腰直角三角形， 如图，以为原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 可得、、、、， 则，， 所以， 故向量、夹角的余弦值为； 解法三：因为， 又因为，所以， 所以为等腰直角三角形， 如图，以为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 可得、、、、、 ， 从而，， 所以， 故向量、夹角的余弦值为. 【跟踪训练】1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的特点建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，求出和的直线方程，从而求出点的坐标，进而利用向量夹角的余弦公式进行求解即可． 【详解】由ABCD是正方形，则以为原点，分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系， 如下图， 又正方形ABCD的边长为a， 则，，，，，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得，即， 则，， 所以． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解． 【详解】以的中点为原点，如图所示建立平面直角坐标系，则 ，， 设，则，， ， 令，则， ，可得. 故选：D． 3．（2026·广东江门·一模）在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________. 【答案】 【详解】 如图，以为原点，分别以为轴建系， ，，，， ，， 所以. 4．（24-25高三上·天津和平·阶段检测）在梯形中，，，点满足，则______；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最大值为______． 【答案】 【分析】利用向量的加减运算和数量积的定义化简计算即可求得；根据条件建立平面直角坐标系，设，运用向量数量积的坐标运算式，将化成关于的二次函数，利用其图象特征即得的最小值. 【详解】， 解得，因为，所以； 因为，，所以， 因为，所以为正三角形． 如图建立平面直角坐标系， 则， 所以直线的方程为：，即， 直线的方程为：，即， 两直线联立得，解得，即， 因为为线段延长线上的动点，故可设，则， 所以 ， 因为，所以当时，取得最大值． 故答案为：；． 5．（2024·黑龙江大庆·三模）在中，，若边上的两条中线相交于点，则__________；__________. 【答案】 【分析】法一：由余弦定理得，从而得到，，以点为原点，建立空间直角坐标系，写出向量、的坐标即可求得数量积，由，由即可得到； 法二：选一组基向量，可得，分别表示出、、，利用数量积的运算法则求得、、、，由及公式求得. 【详解】法一：在中，由余弦定理得，所以. 因为，所以， 以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，，， 所以， 所以. 法二： ，. 因为， ， ， ， 所以， 故答案为：，. 三、解答题 6．（2025·宁夏银川·一模）在中，角的对边分别为，若. (1)求； (2)若边上的两条中线相交于点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到，即可求解； （2）以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求出，再利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又，得到，所以，又，所以， （2）如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为，，则， 又是边上的两条中线，所以是的重心， 则，所以， 则. 考点03 基底法解决平面向量问题 ①利用基底转化向量；②根据向量运算律化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想，三角函数思想等得出结论； 对平面向量基本定理的理解 ①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． ②基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． ③是同一平面内所有向量的一组基底， 则当与共线时，；当与共线时，；当时，． ④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 【典例3】（2026·天津滨海新区·三模）已知平行四边形的两条对角线相交于，，，，点在线段上且满足，则_____________；若点是线段上的动点，的范围为_____________． 【答案】 / 【分析】取定平面向量的一个基底，利用向量数量积的定义及运算律求解即得. 【详解】在中，由， 得， 设，则， 得到， ， 整理得，而，解得，又， 则，所以； 则，如图，作出符合题意的图形， 设，， 且得到， ， 当且仅当时取等号，所以的取值范围为. 【跟踪训练】1．（2026·天津南开·一模）在中，，点在线段上，点在线段上，且满足，.记，，用和表示______；若，，则______. 【答案】 【分析】根据向量的线性运算，以及数量积的运算律，即可求解. 【详解】由题设，， 所以. , , 2．（2026·天津·一模）在平行四边形中，分别是线段的中点.记，，用和表示__________.；若延长交于点，则平行四边形面积的最大值为__________. 【答案】 【分析】先利用中点与共线条件，将点 的位置用参数 表示，并通过向量共线建立方程解出 与 ，从而确定 与 的表达式；再将已知的 的值代入，结合与的夹角关系转化为关于 x, y的方程；最后使用基本不等式求出 xy的最大值，进而得到平行四边形面积的最大值. 【详解】如图，因为 是 中点，所以 ，. 又 是 AE 中点，故 ，. 设 ，则 . 由 共线，，即 ， 得 ，，，故 . 又 ，. 设 ，，则， 代入得 . 由基本不等式 ，得 ，当且仅当时等号成立. 平行四边形面积 ，故 . 3．（24-25高三上·江苏常州·阶段检测）已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为____________． 【答案】 【分析】利用基底，结合向量的线性运算表示，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】设，其中， 已知边长为2的菱形中，， 则为等边三角形，又， 则 又，故 故． 故答案为：    4．（2026·江苏南京·模拟预测）在平行四边形中，，分别是线段，的中点．记，，则______（用和表示）；若，则平行四边形面积的最大值为______． 【答案】 【分析】根据平面向量基本定理，利用基底法表示向量并进行运算求解；先利用向量数量积建立等式，再用基本不等式求最值，最后关联平行四边形面积公式求解． 【详解】 是中点， ，， 又是中点， ，， ， ， 设 ， ，则 ， 由均值不等式得 ， ， ，当且仅当，时等号成立， 又平行四边形面积 ， ． 5．（2026·湖南常德·一模）在等边三角形 中， ，点 在边 上，且满足 ，点 是边 （包括端点）上的一个动点，则 的最小值为_____. 【答案】2 【分析】先通过向量加法法则用、和参数表示与，再根据向量数量积分配律展开并结合已知条件得到关于的二次函数，最后利用二次函数性质求出最小值. 【详解】为上一点，设，， ，， ， 根据二次函数性质，当时，. 6．（2026·山东济南·模拟预测）的内角，，所对的边分别为，，，其面积为．已知． (1)求； (2)点满足，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由面积公式与向量点积公式，代入已知条件化简，解得，结合得的大小； （2）用已知向量分解表示、，平方后利用得；再由余弦定理求出，代入即得结果. 【详解】（1）根据三角形面积公式，向量点积公式， 代入已知条件得， 约去得. 因为，故. （2）由于， 分别对和平方展开，代入得 ​； ​​. 由，得，代入化简得. 由余弦定理，，代入，得 . 因此. 考点04 利用极化恒等式解决平面向量最值问题 是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. 【典例4】（2026·广西贵港·三模）已知，点是直线上的任意一点，点在曲线上，点是线段的中点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由极化恒等式可得，原题转化为求的最小值。先对给定N，研究P点满足方程，求出此时的最小值，再对任意点N，通过导数分析，可进一步求出取得的最小值． 【详解】设C是线段AB的中点，则， 并对任意点，有， 由题易得直线AB的方程为，对于给定上的， 设在直线AB上，则， 消去参数，得，整理后得， 所以对于给定，的最小值为C点到P点所在直线的距离，即， 设（），则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以在处取得最大值， 所以，当且仅当时取等号，即， 故． 【跟踪训练】1．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）如图，四边形ABCD为矩形，其中AB=4，AD=3，其上方是一个以CD为直径的半圆，P为半圆弧上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取 中点 ，利用向量中点分解与平方差公式将转化为，再结合的取值范围求得最终结果. 【详解】如图，取AB的中点O，则， 又因为|，所以，所以，则的取值范围为. 2．（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及极化恒等式，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】取的中点，连接，如图所示，    所以的取值范围是，即， 又由， 所以. 故选：B. 3．（24-25高三下·四川雅安·阶段检测）如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【分析】利用极化恒等式，取中点化数量积为，从而转化为动点到定点的最大值问题，然后借助图形分两类来求最大值，通过比较可产生最大值. 【详解】 取中点为，由， 因为，所以， 若在围成的区域内一动点（含边界），当与重合时取到最大值，, 若在以为直径的半圆区域内一动点（含边界）， 此时，当P为直线OM与半圆的交点时等号成立， 因为， 所以， 故的最大值为， 故选：C. 4．（2026·北京·三模）如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量加法的几何意义得，从而化为求的范围，根据已知及向量数量积的运算律、二次函数的性质求范围. 【详解】因为点是线段的中点，所以向量， 所以，又向量方向相反，且， 所以． 5．（2026·云南曲靖·二模）已知正方形的边长为2，为该正方形内切圆的直径，点P在正方形的边上运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】取正方形内切圆圆心，再利用向量数量积的运算律列式求解. 【详解】依题意，正方形的内切圆的半径为1，设圆心为O， 则， 当点P为正方形的顶点时，有最大值，所以的最大值为1． 6．（22-23高三下·福建福州·期中）已知边长为2的正方形ABCD内接于圆O，点P是正方形ABCD四条边上的动点，MN是圆O的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可求得，进而根据图象可推得，求出的范围，即可得出答案. 【详解】设圆的半径为，则，所以. 如图，根据向量加法的三角形法则可知 ，，且， 所以. 由已知可得，正方形上的点到点的距离， 所以，所以. 故选：D. 考点05 利用三角向量不等式求最值范围 三角向量不等式 ，当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立． 特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． 【典例5】（2025·辽宁大连·一模）设单位向量，已知，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】设，求出，再利用不等式即可求解. 【详解】设， 因为单位向量，， 则， 则，等号成立时方向相反， 故的最小值为. 故选：C 【跟踪训练】1．（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（    ） A．8 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】取线段的中点，连接、、，可得出，结合向量模的三角不等式可求得的最小值. 【详解】取线段的中点，连接、、，如下图所示：    因为，所以， 因为四边形为矩形，则， 因为， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为. 2．（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）已知向量与的夹角为，，与同向，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件判断出当何时取得最小值，并解直角三角形求得这个最小值. 【详解】设，由于，所以以为邻边的平行四边形是菱形，对角线相互垂直平分，设对角线相交与，则，画出图像如下图所示.，而与同向，所以与同向，所以的最小值为，在中，，所以. 故选：B 【点睛】 本小题主要考查平面向量的线性运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 3．（23-24高三下·浙江·期中）已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（    ）    A．7 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】合理利用平面向量的线性运算对目标式进行转化，再利用圆的性质求出，，求解即可. 【详解】    如图，连接，作，， 易知是的中点，是的中点，由勾股定理得，， 故， 故，当反向时等号成立，故C正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查圆，解题关键是找到对目标式进行合理转化，然后求出，，最后得到所要求的最值即可． 4．（2026·辽宁抚顺·一模）已知向量，满足，，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】对任意向量，满足三角不等式： ， 当且仅当与共线反向时，左侧等号成立， 将，代入可得 ， 即 的最小值为. 5．（24-25高三上·全国·阶段检测）已知，向量满足，则的最大值为（    ）． A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据向量的几何关系有，由已知结合基本不等式有，即可求最大值，注意等号成立的条件. 【详解】由题设知：，且， ∴，当且仅当时等号成立， ∴的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：由向量加减运算的三角形法则有，结合基本不等式求模的最大值，注意等号成立条件. 6．（24-25高三下·海南·阶段检测）设是非零向量，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，结合向量三角不等式即可求得答案. 【详解】由题意得， 当和方向相反时等号成立， 若不共线，则设，则，无解； 故此时共线，设， 则由可得， 则，两边平方解得或， 当时，和方向相同，舍去，故， 即得，，此时的最大值为， 故选：C 考点06 平面向量中参数的最值范围 平面向量中的范围与最值问题是兼具热度与难度的考点，这类题目融合多个知识点，展现了知识间的交叉关联。常见形式为依据给定条件，求解向量的模、数量积、夹角或相关系数等变量的范围或最值。解决这类问题通常有两种思路： 一种是 “几何化”，即借助平面向量的几何意义，先把问题转化为平面几何里的最值或取值范围问题，再结合平面图形的特点直接判断结果； 一种是 “代数化”，即通过平面向量的坐标运算，先将问题转化为代数领域中函数的最值与值域、不等式的解、方程的可解性等问题，进而运用函数、不等式、方程的相关知识来求解。 【典例6】（2025·江苏·模拟预测）在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设则，， 所以， 设，则， 所以，所以， 因为，所以， 即的取值范围是， 故选：C. 【跟踪训练】1．（25-26高三·全国·三轮复习）在直角梯形中，，，且，，对角线与交于点，点满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法1：建立平面直角坐标系，求得，结合，即可求解； 法2：根据，得到的长，由向量的线性运算得到，求得，结合，即可求解． 【详解】法1：以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，可得， 所以，， 因为，且，，所以， 又因为， 可得， 所以，因为，可得， 所以的取值范围是． 法2：因为，可得， 又因为，可得， 所以，所以， 由，且相似比为，可得， 所以， 因为， 所以 ， 由，可得，所以的取值范围是． 2．（25-26高三上·山东·期中）已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，表示出，再求取值范围即可. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，设， 则，， 可得， 因为，所以， 所以，当时，取得最小值； 当时，取得最大值，即. 故选：A. 3．（25-26高三上·北京通州·期末）已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件可得，再建立平面直角坐标系得，再进一步判断点A在优弧上，落在角的终边上，再用三角函数来解决取值范围问题. 【详解】由，所以点为的外心，又因为，所以. 设，再以点为原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 则，所以， 又因为，所以，即. 又因为，所以点A在优弧上，所以落在角的终边上， 由三角函数的定义有，即， 所以，又因为，所以， ，，所以. 故选：C 4．（22-23高一下·山西·期末）已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，过作的垂线，由在上的投影向量为，求得，又由，得到，结合，即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为O为的外心，所以为直角三角形且，O为斜边BC的中点， 过作的垂线，垂足为， 因为在上的投影向量为， 所以在上的投影向量为， 又因为，所以， 因为，所以，即的取值范围为． 故选：D.    5．（23-24高一下·贵州遵义·阶段检测）的三个内角对应的三条边分别为，且为的中点，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求出，再利用数量积的运算律，结合基本不等式求出范围. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 而，则，即， 由，得，因此，，则， 由是的中点，得，两边平方得， 而，则，当且仅当时取等号， 因此，，，解得， 所以的取值范围为. 故选：D 6．（25-26高三上·辽宁·期中）在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把用得到，， ，再根据的范围即可求解. 【详解】以为基底， ， 又，所以由平面向量基本定理可知，， 则，又，所以． 故选：C 考点07 投影向量解决向量数量积综合应用 投影向量法：求投影向量时，根据定义由投影向量与投影所在的向量共线，问题转化为利用该向量的数量投影与投影所在向量方向上单位向量的积；特别注意：投影向量与数量投影的本质区别与联系； 1、数量投影的定义与求法 据图：如果令为向量的单位向量，那么 向量在向量方向上的向量投影为：； 其中，实数（*）称为向量在向量方向上的数量投影； 【典例7】（2025·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（    ） A． B． C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】对于A：根据正六边形的性质结合向量的线性运算求解；对于C：根据结合投影向量的定义分析判断；对于BD：建系，根据向量的坐标运算求解. 【详解】对于选项A：因为，故A正确； 对于选项C：由题意可知：， 若P为EF的中点，所以在上的投影向量为，故C错误； 对于选项BD：如图，建立平面直角坐标系， 则， 可得，所以，故B错误； 设，可知， 则，可得， 则， 可知当，即点与点重合时，的最大值为，故D正确； 故选：AD. 【跟踪训练】1．（24-25高三下·宁夏吴忠·期末）如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为，、为正八边形内的点（含边界），在上的投影向量为，则下列结论正确的是（      ）    A． B． C．的最大值为 D． 【答案】ABD 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断AB选项；利用平面向量数量积的几何意义可判断CD选项. 【详解】对于A选项，正八边形的内角为，易知， ，A对； 对于B选项，连接、，则为正八边形外接圆的一条直径，则，    所以，，B对； 对于C选项，如下图所示：    设在方向上的投影向量为，由图形可知， 当、分别在线段、上时，取最大值， 且的最大值为，C错； 对于D选项，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、，如下图所示：    当点在线段上时，取最小值， 此时，， 当点在线段上时，取最大值， 此时，， 综上所述，，D对. 故选：ABD. 2．（24-25高三下·浙江衢州·期末）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A．若函数，则函数的最小值为 B．的最大值为 C．在方向上的投影向量为 D． 【答案】AB 【分析】以为轴，为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算向量坐标，求出函数解析式，利用二次函数求出最值，A正确；取的中点，得到，求出的最大值，从而得到的最大值，B正确；利用数量积的几何意义求解投影向量，C错误；计算向量坐标即可判断D错误，得到答案. 【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系， 设， 在中，根据余弦定理可得，，整理得到， ， ，，设， 对选项A：，， 所以， 所以 ， 所以当时，函数有最小值为，A正确； 对选项B：取的中点，则，， 则，， 两式相减得：， 由正八边形的对称性知，当点与点或重合时，最大， 又，所以， 所以， 所以的最大值为，B正确； 对选项C：，， 所以，即投影向量为，C错误； 对选项D：因为，，所以， 又 ，所以，D错误. 故选：AB 3．（25-26高三上·河南三门峡·期中）已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求出，再利用数量积的运算律求解. 【详解】依题意，向量在向量方向上的投影向量为， 因此，又，所以. 故答案为： 4．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知⊙C的半径为1，是⊙C的一条弦，且，点是上一动点，则的最大值为 . 【答案】/1.5 【分析】设在直线上的投影为点，则，确定取得最大值时情况，求出BQ即可求解. 【详解】设在直线上的投影为点，则， 所以当且在射线上时，最大， 又的半径为1，是的一条弦，且， 此时四边形为菱形且， 所以，则. 故答案为： 5．（2025·上海·模拟预测）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值 ． 【答案】 【分析】设，根据题意，求得所在圆的圆心和半径；再根据数量投影的意义，数形结合即可求得结果. 【详解】根据题意不妨设，，，， 则， 由可得，由可得； 设，故在以为圆心，为半径的圆上； 在以为圆心，1为半径的圆上； 过作于，则即为在上的数量投影，如下所示： 因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长， 设，即，故， 因为此时为定长，且， 故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示： 在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故； 在△中，，， 故，因为, 故在直角三角形中，，则，即； 在四边形中，因为，故， 当且仅当时等号成立，从而. 综上所述：在方向上的数量投影的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是熟悉数量投影的几何意义；二是对两个运动的点，采用一定一动的处理策略，从而求解最大值. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练02 平面向量中最值（范围）：坐标法、基底法、极化恒等式、投影向量法等应用7大考点 考点预览 目录 考点01 坐标法解决向量的数量积问题 1 考点02 坐标法求向量的夹角 3 考点03 基底法解决平面向量问题 5 考点04 利用极化恒等式解决平面向量最值问题 6 考点06 平面向量中参数的最值范围 9 考点07 投影向量解决向量数量积综合应用 10 考点通关 考点01 坐标法解决向量的数量积问题 坐标法是解决平面向量问题的重要方法，坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的. 1. 平面向量数量积的坐标运算 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 【典例1】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）如图，在直角梯形中，．若、分别是、上的动点，满足，其中，则的最大值为____________． 【跟踪训练】1．（2026·甘肃兰州·一模）在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖南·开学考试）如图， 为等边三角形的中线上任一点，，，则（　　）    A． B． C． D． 3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东济南·二模）(多选)如图，在直角三角形中，，，点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则（    ）    A． B． C．最大值为 D．，，三点共线时 5．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 6．（2025·天津和平·一模）已知平面四边形满足，且，为的中点，则__________，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为__________. 7．（24-25高三下·北京·阶段检测）如下图，在梯形中，，，，，，则______，若是线段上的动点，且，则的最小值为______. 考点02 坐标法求向量的夹角 1、向量加、减、数乘的坐标运算 已知向量，，则，①．②． 2、数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． ； 3、设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 【典例2】（25-26高三上·浙江金华·期末）如图，在中，点是中点，点、分别在边、上，，.设，. (1)用向量、表示； (2)若，，，求向量、夹角的余弦值. 【跟踪训练】1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东江门·一模）在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________. 4．（24-25高三上·天津和平·阶段检测）在梯形中，，，点满足，则______；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最大值为______． 5．（2024·黑龙江大庆·三模）在中，，若边上的两条中线相交于点，则__________；__________. 三、解答题 6．（2025·宁夏银川·一模）在中，角的对边分别为，若. (1)求； (2)若边上的两条中线相交于点，求. 考点03 基底法解决平面向量问题 ①利用基底转化向量；②根据向量运算律化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想，三角函数思想等得出结论； 对平面向量基本定理的理解 ①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． ②基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． ③是同一平面内所有向量的一组基底， 则当与共线时，；当与共线时，；当时，． ④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 【典例3】（2026·天津滨海新区·三模）已知平行四边形的两条对角线相交于，，，，点在线段上且满足，则_____________；若点是线段上的动点，的范围为_____________． 【跟踪训练】1．（2026·天津南开·一模）在中，，点在线段上，点在线段上，且满足，.记，，用和表示______；若，，则______. 2．（2026·天津·一模）在平行四边形中，分别是线段的中点.记，，用和表示__________.；若延长交于点，则平行四边形面积的最大值为__________. 3．（24-25高三上·江苏常州·阶段检测）已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为____________． 4．（2026·江苏南京·模拟预测）在平行四边形中，，分别是线段，的中点．记，，则______（用和表示）；若，则平行四边形面积的最大值为______． 5．（2026·湖南常德·一模）在等边三角形 中， ，点 在边 上，且满足 ，点 是边 （包括端点）上的一个动点，则 的最小值为_____. 6．（2026·山东济南·模拟预测）的内角，，所对的边分别为，，，其面积为．已知． (1)求； (2)点满足，且，求． 考点04 利用极化恒等式解决平面向量最值问题 是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. 【典例4】（2026·广西贵港·三模）已知，点是直线上的任意一点，点在曲线上，点是线段的中点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【跟踪训练】1．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）如图，四边形ABCD为矩形，其中AB=4，AD=3，其上方是一个以CD为直径的半圆，P为半圆弧上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高三下·四川雅安·阶段检测）如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 4．（2026·北京·三模）如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·云南曲靖·二模）已知正方形的边长为2，为该正方形内切圆的直径，点P在正方形的边上运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 6．（22-23高三下·福建福州·期中）已知边长为2的正方形ABCD内接于圆O，点P是正方形ABCD四条边上的动点，MN是圆O的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点05 利用三角向量不等式求最值范围 三角向量不等式 ，当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立． 特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． 【典例5】（2025·辽宁大连·一模）设单位向量，已知，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【跟踪训练】1．（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（    ） A．8 B．16 C． D． 2．（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）已知向量与的夹角为，，与同向，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 3．（23-24高三下·浙江·期中）已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（    ）    A．7 B．12 C．14 D．16 4．（2026·辽宁抚顺·一模）已知向量，满足，，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（24-25高三上·全国·阶段检测）已知，向量满足，则的最大值为（    ）． A．2 B． C．3 D． 6．（24-25高三下·海南·阶段检测）设是非零向量，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 考点06 平面向量中参数的最值范围 平面向量中的范围与最值问题是兼具热度与难度的考点，这类题目融合多个知识点，展现了知识间的交叉关联。常见形式为依据给定条件，求解向量的模、数量积、夹角或相关系数等变量的范围或最值。解决这类问题通常有两种思路： 一种是 “几何化”，即借助平面向量的几何意义，先把问题转化为平面几何里的最值或取值范围问题，再结合平面图形的特点直接判断结果； 一种是 “代数化”，即通过平面向量的坐标运算，先将问题转化为代数领域中函数的最值与值域、不等式的解、方程的可解性等问题，进而运用函数、不等式、方程的相关知识来求解。 【典例6】（2025·江苏·模拟预测）在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（25-26高三·全国·三轮复习）在直角梯形中，，，且，，对角线与交于点，点满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山东·期中）已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京通州·期末）已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·山西·期末）已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·贵州遵义·阶段检测）的三个内角对应的三条边分别为，且为的中点，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·辽宁·期中）在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点07 投影向量解决向量数量积综合应用 投影向量法：求投影向量时，根据定义由投影向量与投影所在的向量共线，问题转化为利用该向量的数量投影与投影所在向量方向上单位向量的积；特别注意：投影向量与数量投影的本质区别与联系； 1、数量投影的定义与求法 据图：如果令为向量的单位向量，那么 向量在向量方向上的向量投影为：； 其中，实数（*）称为向量在向量方向上的数量投影； 【典例7】（2025·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（    ） A． B． C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D．的最大值为 【跟踪训练】1．（24-25高三下·宁夏吴忠·期末）如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为，、为正八边形内的点（含边界），在上的投影向量为，则下列结论正确的是（      ）    A． B． C．的最大值为 D． 2．（24-25高三下·浙江衢州·期末）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A．若函数，则函数的最小值为 B．的最大值为 C．在方向上的投影向量为 D． 3．（25-26高三上·河南三门峡·期中）已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 . 4．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知⊙C的半径为1，是⊙C的一条弦，且，点是上一动点，则的最大值为 . 5．（2025·上海·模拟预测）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值 ． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $