第18节 计数原理与二项式定理专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第18节 计数原理与二项式定理 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 两个基本计数原理的辨别：分类（加法）与分步（乘法）的界限，关键看"每类各自独立完成一件事"还是"必须一步步走完" ② 组合数、排列数的计算与性质：对称式 = 、递推式 + = {|m|}，以及两者之间的换算 ③ 有限制条件的计数：先安排特殊元素或特殊位置（"优先排"），再安排一般元素，最后用容斥回扣"不重不漏" ④ 分组与分配的计数模型：平均分组必须除以组数阶乘，非平均分组按人数结构分类 ⑤ 二项式定理的通项与三类计数：某一项的系数、二项式系数、以及用"令 x = 1"求系数和 ⑥ 二项式系数的最值与系数最大项的判定：先用相邻项之比定位，再处理并列最大的情形 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 甲乙两城之间既有高铁班次 3 班、城际大巴 5 班，也有 2 条自驾路线。一位出差人员从甲城到乙城，可任选一种交通方式，则一天内共有多少种走法？ A. 10 B. 30 C. 120 D. 4 【答案】A 【解析】本题的判别点只有一处：选"高铁"、选"大巴"、还是"自驾"，三选其一即可抵达，属于"完成这件事的三类不同路径"，用加法原理。 每一类内部的多个班次／多条路线之间是并列的替代关系，所以每类内部的计数各自再加起来，得 3 + 5 + 2 = 10。 千万不要把 3 × 5 × 2 相乘：相乘的前提是"要同时坐高铁和大巴还要自驾"，那不是同一件事。 回代检验：10 这个数必须能拆成 3、5、2 三个加数，而 30 = 3 × 5 × 2 只能拆成乘式，这也侧面说明加法用对了。 【考查知识点】分类加法计数原理的识别与"加 vs 乘"的辨析 【易错点】看到多个数字就相乘，把加法原理误用成乘法原理 2. 某快递柜的取件码为 6 位数字，首位不能取 0，其余各位可取 0 至 9 中的任意一个数字，各数位相互独立。则这样的取件码共有多少个？ A. 900000 B. 1000000 C. 90000 D. 100000 【答案】A 【解析】6 位要全部确定下来才算出一个码，必须一步步决定每一位，这是"分步"。 第一位不能为 0，只有 1 至 9 共 9 种；第二位到第六位每位都是 10 种。 按乘法原理相乘：9 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 900000。 回代检查：若首位也允许为 0，总数是 = 1000000，现在扣掉首位为 0 的那 = 100000 个，得 1000000 − 100000 = 900000，与分步相乘的结果一致，两条路互为验证。 这类"首位受限"的题，用分步乘法直接算最快，用排除法复核最稳。 【考查知识点】分步乘法计数原理：按位分步，注意首位等特殊位置的限制 【易错点】把首位也当成 10 种，多算一个 级别的数；或把 6 位理解成从 10 个数里取 6 个的排列 3. 某校仪仗队共有 12 名队员，赛前要从中挑出 5 名担任旗手，不考虑顺序。则挑法共有多少种？ A. 792 B. 95040 C. 1188 D. 7920 【答案】A 【解析】只挑人不排顺序，这是组合问题，用组合数 。 按定义式展开： = 。 分子 12 × 11 × 10 × 9 × 8 = 95040，分母 120，相除得 792。 回代检查：95040 恰好是同样 5 个人的排列数 ，二者相差 5! = 120 倍，而 95040 ÷ 120 = 792，说明"先排列再除序"这条路也对得上。 也可以先算组合数再补一句： = = 792，用对称式能少算一次大数相乘。 【考查知识点】组合数的计算与"组合数 ↔ 排列数"的换算复核 【易错点】把"不考虑顺序"读成考虑顺序，直接算成 = 95040 4. 某配方用两种原料调配，展开式 中 项的系数为 A. 720 B. 1080 C. 360 D. 90 【答案】A 【解析】先把通项摆出来：第 k + 1 项为 ·。 要 x 的 3 次方，只能取 k = 3，于是该项为 ···。 代入数值：10 × 8 × 9 = 720。 回代检查：把系数对起来看， = 10、 = 8、 = 9，三者的质因数分别是 2 × 5、、，乘起来 720 = ··5，而 A 项恰好是 720，B 项 1080 = ··5 多了一个 3，属于把 算成 。 通项法的核心只有一句：先由"字母的指数"确定 k，再去算系数。 【考查知识点】二项式定理通项法求某一项的系数 【易错点】把 里的指数算错，或把 写成 20 5. 在 的展开式中，各项系数的和等于 256，则 n 等于 A. 8 B. 7 C. 9 D. 16 【答案】A 【解析】"各项系数之和"这类问题用赋值法最快：把式子看成一个关于 x 的多项式，令 x = 1 就把每一项都变成它的系数，全部加起来正是各项系数之和。 代入 x = 1 得 = = 256。 由 = 256，得 n = 8。 回代检查：n = 8 时展开式共 9 项，二项式系数之和也是 = 256，本题问的是"各项系数的和"，由于两项系数都取 1，二者恰好相等；若题目换成 ，系数之和就该是 ，不再与二项式系数和相等。 记住"系数和赋 1、奇数项系数和赋 −1"这两条，赋值题基本都能一眼定式。 【考查知识点】赋值法求二项展开式的各项系数之和 【易错点】把"各项系数之和"误认为"二项式系数之和"，从而无论 n 取多少都得到 而不去解方程；或把 = 256 算成 n = 16 6. 某医院把 5 名实习医生派往 3 家社区医院轮转，每家至少接收 1 人，每人只能去一家。则派法共有多少种？ A. 150 B. 300 C. 60 D. 90 【答案】A 【解析】标准模型是"把 5 个不同元素分到 3 个不同盒子且盒子不空"，只有两种人数结构：3 人 1 人 1 人、2 人 2 人 1 人。 先看 3 人 1 人 1 人：只要确定哪一组是 3 人即可，无序分组数为 {|3|} = 10，其余 2 人各自成组，不再另产生分组方式。 把这 3 组分给 3 家医院，医院彼此可区分，共 3! = 6 种，得 10 × 6 = 60 种。 再看 2 人 2 人 1 人：两个 2 人组人数相同，先做无序分组，为 = = 15。 同样分给 3 家医院有 3! = 6 种，得 15 × 6 = 90 种。 两类互斥，相加得 60 + 90 = 150。 用容斥复核：不加限制是 = 243；扣掉某一家空着、其余人只去另外两家，有 3 × = 96；再把"两家同时空着"（所有人挤到同一家）多扣的部分补回，有 3 × = 3，得 243 − 96 + 3 = 150，与分类法完全一致。 两路能对上是个重要信号："人数相同的组要先合并再除阶乘"这一步，正是两套算法能否吻合的关键。 【考查知识点】把不同元素分到不同盒子且不空的计数，分组分类法与容斥法两条路互相验证 【易错点】平均分组忘记除以组数阶乘 7. 某项预算模型写成 ，则该展开式中各项系数的和为 A. −1 B. 1 C. −32 D. 32 【答案】A 【解析】照赋值法的规矩，令 x = 1，各项系数之和就是 = 。 负奇次方仍为负，结果为 −1。 回代检查：把整个展开式写出来核对——二项式系数依次为 1、5、10、10、5、1，对应的系数依次是 1、−10、40、−80、80、−32，相加 1 − 10 + 40 − 80 + 80 − 32 = −1，与赋值结果吻合。 C 项 −32 = 是把赋值时把 x 当成 2 的误算，D 项 32 与 B 项 1 则是把符号整体丢了。 凡是括号里带减号的，赋完值一定要回头确认奇次方的符号，这是本题唯一的失分点。 【考查知识点】带减号的二项式用赋值法求系数和，并逐项展开复核符号 【易错点】把 算成 1；或把赋值写成 = 243 的同类错误 8. 老师把 6 本不同的参考书分给甲、乙、丙三位同学，要求甲恰好得到 2 本，乙、丙两人至少各得 1 本，每本书只能分给一人。则分法共有多少种？ A. 210 B. 240 C. 180 D. 360 【答案】A 【解析】先处理有数量要求的那个人：甲固定拿 2 本，从 6 本里选，有 {|2|} = 15 种。 还剩 4 本要分给乙、丙两人且每人至少 1 本。 这一步有两种等价看法。看法一：给 4 本书各决定归属，共 = 16 种，扣掉 4 本全给乙、全给丙这 2 种违规情形，得 16 − 2 = 14。 看法二：按人数配置枚举——乙 1 本丙 3 本有 {|1|} = 4 种，乙 2 本丙 2 本有 {|2|} = 6 种，乙 3 本丙 1 本有 {|3|} = 4 种，合计 4 + 6 + 4 = 14。 两种看法落到同一个数，说明每人至少 1 本这个条件已经封死，没有遗漏。 最后由乘法原理相乘：15 × 14 = 210。 回代检查：把这两步拆开看——15 = 6 × 5 ÷ 2、14 = − 2，两个式子相乘恰好 210，与选项 A 一致。 【考查知识点】带数量限制的分配计数：先定特殊对象的名额，再用排除法处理"至少" 【易错点】把"至少各 1 本"理解成可以有人一本都拿不到；或先把 6 本排成 3 份再忽略人的区别 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 设 的展开式已经写出，针对它的下列判断中，正确的有 A. 展开式共有 6 项 B. 各项系数之和为 243 C. 二项式系数之和为 32 D. 第 3 项的二项式系数为 40 【答案】ABC 【解析】A 项：n 次二项式的展开式共有 n + 1 = 6 项，正确。 B 项：按赋值法令 x = 1，得 = = 243，正确。 C 项：二项式系数只由组合数决定，与括号内系数 2 无关，和为 + … + {|5|} = = 32，正确。 D 项：第 3 项对应 k = 2，它的"二项式系数"是 {|2|} = 10；40 是这一项的"系数"（10 × = 40）。两者名词不同，不能混为一谈，错误。 回代检查：把 6 项的系数逐项算出来——1、10、40、80、80、32，相加 1 + 10 + 40 + 80 + 80 + 32 = 243，与 B 项吻合，同时可见四项的二项式系数 1、5、10、10、5、1 之和恰为 32，C 项也站得住。 综上，正确选项为 A、B、C。 【考查知识点】二项展开式的项数、系数和、二项式系数和以及"系数"与"二项式系数"的区别 【易错点】D 项把第 3 项的系数 40 当成二项式系数；分不清"系数含括号内的数字"而把 B 项也算错 10. 用数字 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字的四位数，针对它们的下列判断中，正确的有 A. 这样的四位数共有 360 个 B. 个位数字为偶数的有 180 个 C. 奇偶奇偶交替排列的有 72 个 D. 不含数字 6 的有 120 个 【答案】ABD 【解析】A 项：四个位置依次确定，是分步乘法 6 × 5 × 4 × 3 = 360， 等价于排列数 {|4|} = 360，正确。 B 项：先定个位（特殊位置优先），偶数有 2、4、6 共 3 种；前三位从剩下 5 个数字里排，有 5 × 4 × 3 = 60 种。相乘得 3 × 60 = 180，正确。 C 项：奇偶交替即第 1、3 位取奇数、第 2、4 位取偶数。第 1 位有 3 种、第 2 位有 3 种、第 3 位只剩 2 个奇数、第 4 位只剩 2 个偶数，相乘 3 × 3 × 2 × 2 = 36，而不是 72，错误。 D 项：不含 6 就是只用 1 至 5 这 5 个数字排四位数，为 {|4|} = 5 × 4 × 3 × 2 = 120，正确。 回代检查：C 项把"第 1 位与第 3 位各自选奇数"和"第 2、4 位各自选偶数"都当成 3 种独立计数，忘了奇数一旦被第 1 位占用，第 3 位就只剩 2 个可选，这正是 36 与 72 的差别所在。 综上，正确选项为 A、B、D。 【考查知识点】有限制条件的数字排列计数：特殊位优先、分类后求和并用容斥复核 【易错点】C 项把后一位的可用数当成不受前面占用的独立 3 种；B 项先排高位再排个位，导致每位都变成 3 种而多算 11. 关于组合数与二项式系数，下列判断中正确的有 A. {|3|} = {|6|} B. {|3|} + {|4|} = {|4|} C. 中二项式系数最大的项是第 5 项与第 6 项 D. {|3|} = 120 【答案】ABD 【解析】A 项：由对称式 {|m|} = {|n−m|}，9 − 3 = 6，正确。 B 项：由递推式（帕斯卡公式）{|m|} + {|m−1|} = {|m|}，取 n = 9、m = 4 即得，正确。 C 项：n = 10 是偶数，二项式系数 {|k|} 在 k = 5 时达到唯一最大值，对应第 6 项；"第 5 项与第 6 项同时最大"只有 n 为奇数时才成立，错误。 D 项：{|3|} = 6 × 5 × 4 = 120，正确。 回代检查：算一下具体数——{|3|} = 84、{|4|} = 126，两数之和 210，而 {|4|} = 210，B 项数字对得上；{|5|} = 252，而相邻的 {|4|} = 210、{|6|} = 210，都比 252 小，确证最大项唯一，出现在第 6 项。 综上，正确选项为 A、B、D。 【考查知识点】组合数的对称式与递推式、二项式系数最值的项数定位 【易错点】C 项把"n 为奇数才两项并列最大"误用到 n = 10 上；把排列数 {|3|} 算成 60 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 用 1、2、3 这三个数字组成没有重复数字的三位数，共能组成______个。 【答案】6 【解析】百位可以有 3 种选择，十位只剩 2 种，个位只剩 1 种。 由乘法原理得 3 × 2 × 1 = 6。 逐个列出核对：123、132、213、231、312、321，正好 6 个，一个不漏也不重。 这其实就是三个不同元素的全排列 3! = 6，本题是理解"分步乘法"最简单的入口。 【考查知识点】分步乘法与全排列的最简单模型，用枚举法验证 【易错点】只写出部分排列就停下；或把"没有重复数字"理解成"可以不把三个都用上"，却仍按 3! 计算而答成别的数 13. 把 按二项式定理展开，若第 3 项与第 7 项的二项式系数相同，则 n =___________。 【答案】8 【解析】按通项，第 3 项对应 k = 2、第 7 项对应 k = 6，所以条件是 {|2|} = {|6|}。 由组合数的对称式，两下标之和等于上标时值相等，故 n = 2 + 6 = 8。 回代检查：n = 8 时 {|2|} = 28、{|6|} = 28，确实相等；若 n 取别的值（例如 7），则 {|2|} = 21 而 {|6|} = 7，不相等。 本题的坑在"项数从 1 开始数"：第 3 项的下标是 2 而不是 3，把项数当成下标会列成 {|3|} = {|7|}，同样解得 n = 10，答案就错了。 【考查知识点】由二项式系数的相等反求指数 n，并看清"第 k + 1 项"与下标的关系 【易错点】把第 3 项、第 7 项直接当成下标 3 与 7，解出 n = 10 14. 某班辩论队要从 5 名男生、4 名女生中选出 4 人参赛，要求男、女生都至少有 1 人，则选法共有______种。 【答案】120 【解析】没有限制时从 9 人中选 4 人，共 {|4|} = 126 种。 扣掉不符合要求的两类：全为男生 {|4|} = 5 种、全为女生 {|4|} = 1 种。 所以 126 − 5 − 1 = 120。 另一种走法（按男女人数分类）也可以：1 男 3 女 {|1|}·{|3|} = 20；2 男 2 女 {|2|}·{|2|} = 60；3 男 1 女 {|3|}·{|1|} = 40。 三类相加 20 + 60 + 40 = 120，与排除法结果完全一致。 两种口径能对上，说明"至少"类计数用排除法通常更快，用分类法可以兜底。 【考查知识点】"至少各 1 人"型选法：排除法为主、分类法复核 【易错点】把"男、女生都至少有 1 人"当成必须 2 男 2 女，只算出 60 就作答；或忘记 4 人中最多 4 男、不能有 0 男 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某实验室把配比实验的结果写成 的展开式来估计成本。 （1）求 展开式中 项的系数； （2）求 展开式中各项系数之和； （3）若 的展开式中第 4 项与第 6 项的二项式系数相等，求 n，并指出展开式中系数最大的项及其系数。 【答案】解：（1）第 k + 1 项通项为 {|k|}··，令 k = 3，该项为 {|3|}·· = 35 × 8 ，系数为 280。 （2）令 x = 1，各项系数之和为 = = 2187。 （3）第 4 项对应 k = 3、第 6 项对应 k = 5，由二项式系数相等得 {|3|} = {|5|}，故 n = 3 + 5 = 8。 此时 ，第 k + 1 项的系数为 = {|k|}·（k = 0, 1, …, 8）。 比较相邻两项： 与 之比等于 × 2 = × 2。 当 × 2 ≥ 1，即 16 − 2k ≥ k + 1、k ≤ 5 时系数递增；当 k > 5 时系数递减；k = 5 时前后两项恰好相等。 所以系数最大的是第 6 项（k = 5）与第 7 项（k = 6），第 6 项为 {|5|}·· = 56 × 32 = ，第 7 项为 {|6|}·· = 28 × 64 = ，两项系数同为 1792。 复核：把 k = 0 到 8 的系数依次列出——1、16、112、448、1120、1792、1792、1024、256，先增后减，最大项确实出现在中间且并列两项，与比值法的判断一致。 【解析】第（1）问是通项法的标准动作：先用"字母的指数"锁定 k，再去乘系数，顺序不要反过来。 第（2）问用赋值法，一句话完成。这里要特别留意"各项系数之和"与"二项式系数之和"不是一回事：前者把括号内的 2 也带进去，得到 ；后者只数组合数，得到 。 第（3）问分三步走：先由对称式解出 n = 8；再写出系数的通项 ；最后用相邻项之比 判定单调。 比值法里最容易被忽略的是"并列最大"：本例 k = 5 时比值恰好等于 1，于是 = ，最大项有两项而不是一项，答题时漏写一项就丢分。 本题还可以先猜后证：系数里同时含 {|k|}（中间大）和 （向右递增），两个力量对冲，结果在正中间附近并列，这与比值算出的结论互相印证。 【考查知识点】二项式通项求系数、赋值法求系数和、由相邻项之比定位系数最大项 【易错点】第（3）问只算出第 6 项而漏掉第 7 项，误以为最大项唯一；把"二项式系数相等"错解成"项数下标相等" 16. 某社区为 A、B、C 三个站点招募周末值班志愿者，共有 5 名志愿者报名。每名志愿者只能被分配到其中一个站点，且每个站点至少要有 1 人值班。 （1）不管各站人数怎么分布，共有多少种分配方案； （2）若要求 A 站人数恰为 B 站人数的 2 倍，共有多少种方案； （3）若再规定指定的甲、乙两人不能分配到同一个站点，共有多少种方案。 【答案】解：（1）这是"5 个不同元素分到 3 个不同盒子且盒子不空"，只有两种人数结构：3 人 1 人 1 人、2 人 2 人 1 人。 3 人 1 人 1 人：先定哪家站点收 3 人有 3 种，再选 3 人去该站有 {|3|} = 10 种，剩余 2 人分给另外两站各 1 人有 2 种，共 3 × 10 × 2 = 60 种。 2 人 2 人 1 人：先定哪家站点收 1 人有 3 种，再从 5 人中选 1 人去该站有 5 种，剩余 4 人平分给另外两站各 2 人有 {|2|} = 6 种，共 3 × 5 × 6 = 90 种。 两类互斥，相加得 60 + 90 = 150。 用容斥再核一遍：不加限制是 = 243，扣掉某一家站点空着、其余人只去另外两家有 3 × = 96，再把两家同时空着（所有人挤到同一家）多扣的 3 × = 3 补回，得 243 − 96 + 3 = 150，与分类法完全吻合。 （2）设 B 站 b 人，则 A 站 2b 人，C 站为 5 − 3b 人。由 C 站至少 1 人得 5 − 3b ≥ 1，即 b ≤ 1；由 B 站至少 1 人得 b ≥ 1，故 b = 1。 于是三站人数分别为 A 站 2 人、B 站 1 人、C 站 2 人。 从 5 人中选 2 人去 A 站：{|2|} = 10；再从剩下 3 人中选 1 人去 B 站：{|1|} = 3；余下 2 人自动去 C 站。 由乘法原理得 10 × 3 = 30。 （3）在（1）的 150 种中减去甲、乙同站的方案数。 固定甲乙同在 A 站：A 站已有 2 人，剩下 3 人分到三站，要求 B、C 各至少 1 人。不加限制为 = 27；扣掉 B 站无人（3 人只去 A 或 C， = 8）、C 站无人（同样 8）；再把两站同时无人（3 人全去 A）这 1 种补回，得 27 − 8 − 8 + 1 = 12。 甲乙同在 B 站、同在 C 站与上面完全对称，各 12 种，甲、乙同站共 3 × 12 = 36 种。 所以甲、乙不同站的方案数为 150 − 36 = 114。 闭合检验：甲乙同站的 36 种与甲乙不同站的 114 种相加正好是 150 种，与第（1）问的总数对上。 【解析】第（1）问推荐先用容斥，因为"至少 1 人"这个条件用容斥一句话就能封住；分组分类法虽然能做，但要处理"两个数量相同的组"，平均分组记得除阶乘，一旦分类时把互换漏掉就会出现对不上的情况，容斥反而最不容易错。 第（2）问的关键动作是先把人数方程列出来：A = 2B、A + B + C = 5、C ≥ 1，这一步把原本模糊的"2 倍"变成唯一可行解（2、1、2），很多人直接开始枚举人数分布，反而绕远。 第（2）问落定人数后，剩下的只是"谁去哪"的依次选定，注意分配顺序要跟着"站点是固定且不同的"这条事实走，不要去除以站点数的阶乘。 第（3）问是典型的"正难则反"：直接数"甲乙不同站"要分三类，而数"甲乙同站"只需固定一个站再做一次三人容斥，所以先算反面再用总数相减最省力。 第（3）问里那句"27 − 8 − 8 + 1"是三维容斥的标准写法，第（3）问里那句 27 − 8 − 8 + 1 是三维容斥的标准写法：扣掉两个单空集之后，必须把两站同时无人这一块补回来，容斥的补回项缺一不可。整道题的三问形成一个闭环：第（1）问给出总数，第（2）问给出子结构，第（3）问做差集，最后用"反面 + 正面 = 总数"验证，答案可自检。 【考查知识点】"不同元素分到不同盒子且不空"的容斥计数、由人数方程锁定站人数分布、用正难则反处理"指定两人不同站" 【易错点】第（1）问平均分组时忘记除组数阶乘；第（3）问三维容斥漏掉"两个站同时无人"的补回项，算成 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第18节 计数原理与二项式定理 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 两个基本计数原理的辨别：分类（加法）与分步（乘法）的界限，关键看"每类各自独立完成一件事"还是"必须一步步走完" ② 组合数、排列数的计算与性质：对称式 = 、递推式 + = {|m|}，以及两者之间的换算 ③ 有限制条件的计数：先安排特殊元素或特殊位置（"优先排"），再安排一般元素，最后用容斥回扣"不重不漏" ④ 分组与分配的计数模型：平均分组必须除以组数阶乘，非平均分组按人数结构分类 ⑤ 二项式定理的通项与三类计数：某一项的系数、二项式系数、以及用"令 x = 1"求系数和 ⑥ 二项式系数的最值与系数最大项的判定：先用相邻项之比定位，再处理并列最大的情形 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 甲乙两城之间既有高铁班次 3 班、城际大巴 5 班，也有 2 条自驾路线。一位出差人员从甲城到乙城，可任选一种交通方式，则一天内共有多少种走法？ A. 10 B. 30 C. 120 D. 4 2. 某快递柜的取件码为 6 位数字，首位不能取 0，其余各位可取 0 至 9 中的任意一个数字，各数位相互独立。则这样的取件码共有多少个？ A. 900000 B. 1000000 C. 90000 D. 100000 3. 某校仪仗队共有 12 名队员，赛前要从中挑出 5 名担任旗手，不考虑顺序。则挑法共有多少种？ A. 792 B. 95040 C. 1188 D. 7920 4. 某配方用两种原料调配，展开式 中 项的系数为 A. 720 B. 1080 C. 360 D. 90 5. 在 的展开式中，各项系数的和等于 256，则 n 等于 A. 8 B. 7 C. 9 D. 16 6. 某医院把 5 名实习医生派往 3 家社区医院轮转，每家至少接收 1 人，每人只能去一家。则派法共有多少种？ A. 150 B. 300 C. 60 D. 90 7. 某项预算模型写成 ，则该展开式中各项系数的和为 A. −1 B. 1 C. −32 D. 32 8. 老师把 6 本不同的参考书分给甲、乙、丙三位同学，要求甲恰好得到 2 本，乙、丙两人至少各得 1 本，每本书只能分给一人。则分法共有多少种？ A. 210 B. 240 C. 180 D. 360 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 设 的展开式已经写出，针对它的下列判断中，正确的有 A. 展开式共有 6 项 B. 各项系数之和为 243 C. 二项式系数之和为 32 D. 第 3 项的二项式系数为 40 10. 用数字 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字的四位数，针对它们的下列判断中，正确的有 A. 这样的四位数共有 360 个 B. 个位数字为偶数的有 180 个 C. 奇偶奇偶交替排列的有 72 个 D. 不含数字 6 的有 120 个 11. 关于组合数与二项式系数，下列判断中正确的有 A. {|3|} = {|6|} B. {|3|} + {|4|} = {|4|} C. 中二项式系数最大的项是第 5 项与第 6 项 D. {|3|} = 120 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 用 1、2、3 这三个数字组成没有重复数字的三位数，共能组成______个。 13. 把 按二项式定理展开，若第 3 项与第 7 项的二项式系数相同，则 n =___________。 14. 某班辩论队要从 5 名男生、4 名女生中选出 4 人参赛，要求男、女生都至少有 1 人，则选法共有______种。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某实验室把配比实验的结果写成 的展开式来估计成本。 （1）求 展开式中 项的系数； （2）求 展开式中各项系数之和； （3）若 的展开式中第 4 项与第 6 项的二项式系数相等，求 n，并指出展开式中系数最大的项及其系数。 16. 某社区为 A、B、C 三个站点招募周末值班志愿者，共有 5 名志愿者报名。每名志愿者只能被分配到其中一个站点，且每个站点至少要有 1 人值班。 （1）不管各站人数怎么分布，共有多少种分配方案； （2）若要求 A 站人数恰为 B 站人数的 2 倍，共有多少种方案； （3）若再规定指定的甲、乙两人不能分配到同一个站点，共有多少种方案。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第18节 计数原理与二项式定理 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 分类加法计数原理 数学运算 基础 A 2 单项选择题 5 分步乘法计数原理 数学运算 基础 A 3 单项选择题 5 组合数的计算 数学运算 基础 A 4 单项选择题 5 二项式定理通项求系数 数学运算 基础 A 5 单项选择题 5 赋值法求系数和 数学运算 基础 A 6 单项选择题 5 有限制条件的分配计数 数学运算 中档 A 7 单项选择题 5 赋值法与符号处理 数学运算 中档 A 8 单项选择题 5 限制条件下的分配计数 数学运算 中档 A 9 多项选择题 6 二项展开式三类计数的辨析 数学运算 中档 ABC 10 多项选择题 6 限制条件下的排列计数 数学运算 中档 ABD 11 多项选择题 6 组合数性质与二项式系数最值 数学运算 中档 ABD 12 填空题 5 分步乘法与全排列 数学运算 基础 6 13 填空题 5 二项式系数的对称式反求指数 数学运算 中档 8 14 填空题 5 限制条件的选法计数 数学运算 中档 120 15 解答题 13 二项式定理的综合应用 数学运算、逻辑推理 中档 见解析 16 解答题 14 分配问题中的容斥与正难则反 数学运算、逻辑推理 略难 见解析 难度分布：基础 6 题，中档 9 题，略难 1 题。全卷共 16 题，满分 100 分，预估难度系数 0.55—0.70。 学科网（北京）股份有限公司 $