考点培优练02 统计解答题全题型归纳6大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

考点培优练02 统计解答题全题型归纳6大考点 考点预览 目录 考点01 频率分布直方图 1 考点02 一元线性回归方程 10 考点03 非线性回归建模 20 考点04 残差分析与决定系数 30 考点05 卡方独立性检验 38 考点06 统计新定义综合 48 考点通关 考点01 频率分布直方图 从频率分布直方图中估计数字特征 众数：最高矩形底边中点的横坐标. 中位数：使直方图左、右两边面积相等的分界线与横轴交点的横坐标；估计中位数时必须保证两侧面积之和恰好为0.5，不可直接取最高矩形中点. 平均数：每一组区间中点数值乘以本组频率，全部乘积相加得到整体均值，即每个小矩形的面积 × 小矩形底边中点的横坐标之和. 利用矩形总面积恒等于1的条件求解直方图未知纵轴参数；依次计算样本众数、平均数、百分位数；结合分层抽样比例计算分层抽取样本数量；利用样本频率估算总体对应样本容量；搭配古典概型求解分层抽样后随机抽取对应事件发生概率 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）从某学校名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于cm和cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，如图是频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人． (1)求第七组的频率，并求出样本中位数； (2)已知该校有名女生，男生身高总体数据的平均数和方差分别为和，女生身高总体数据的平均数和方差分别为和，估计该校学生身高的平均数和方差． 【跟踪训练】1．（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）某地区为了了解居民用水情况，随机选取100户居民，将每户人均月用水量（单位：吨）数据按照、、、、、、、、分成9组，得到如下图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中实数的值； (2)以区间的中点值为区间内的每个数据赋值，试估计这100户居民每户人均月用水量的平均值（近似到0.1吨）； (3)从样本中人均月用水量不低于3.5吨的居民中随机抽取3户居民，求区间和中都有用户被选中的概率． 2．（26-27高三上·上海嘉定·阶段检测）某班部分同学参加英语测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图． (1)求分数在的频率及班级参加测试的人数； (2)求分数在之间的频数，计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中随机抽取两份进行数据分析，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率． 3．（2027高三·全国·专题练习）某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图． (1)按照分层随机抽样，从和中随机抽取了9名学生．现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试．记推荐的3名学生来自的人数为，求的分布列； (2)由频率分布直方图可认为：周末运动时间服从正态分布，其中，为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求（精确到0.001）． 参考数据1：当时，，，． 参考数据2：，． 4．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）某地将举办大型体育赛事，为做好比赛的志愿服务保障工作，组委会定期对报名者开展综合能力测评.现从某高校的报名者中随机抽取200名男生和300名女生进行评分（满分100分），分别得到如图所示的两个频率分布直方图. (1)求的值，并估计女生评分的平均数； (2)若评分不低于70分定为“合格”，评分低于70分定为“不合格”.完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断评分等级与该校报名者的性别是否有关联. 性别 评分等级 合计 合格 不合格 男生 女生 合计 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 5．（26-27高三上·云南·阶段检测）某校高三年级1000名学生某一次的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图1所示，其中成绩分组区间是、、、、、． (1)求图中的值； (2)根据频率分布直方图，估计这1000名学生的这次考试数学成绩的上四分位数和平均数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）； (3)从这次数学成绩位于、、的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间的人数记为，求的分布列及数学期望． 考点02 一元线性回归方程 1.分别计算两组变量样本均值，所有、； 2.代入公式计算相关系数，根据大小说明线性相关强弱； 3.计算斜率，再利用求截距； 4.写出回归直线，根据正负判断增减； 5.将给定代入解析式，得到预测值，文字说明预测结论。 【典例2】（2026·河南·模拟预测）某农业科研团队为探究大棚蔬菜的光照时长对产量的影响，选取5组不同的光照时长方案，在相同种植条件下开展试验，统计对应时长下的蔬菜合格采收量，得到如下数据： 每日光照时长 14 15 16 17 18 合格采收量 4 8 16 20 26 (1)求变量与的样本相关系数，判断是否适合线性回归模型拟合，如果适合，求关于的经验回归方程； (2)当样本数据的残差绝对值大于1时，称该组数据为异常拟合数据，现从这5组数据中任取3组做残差分析，求取到异常拟合数据的组数的分布列和数学期望． 附：①样本相关系数，当时，相关性较强，当时，相关性一般； ②经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，； ③，，． 【跟踪训练】1．（26-27高三上·四川成都·开学考试）青白江区城厢古镇为打造群众满意的旅游景区，大力开发旅游产业. (1)某部门对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，下表是从接待游客中随机抽取的 100 位游客的满意度调查表，依据小概率值 的独立性检验，分析游客对本地景区的满意度是否与报团游或自助游有关联； 报团游 自助游 合计 满意 30 30 60 不满意 30 10 40 合计 60 40 100 附表： α 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 . (2)为安排好 2026 年 6 月份的游客接待工作，该部门统计了景区 2026 年 1 月份到 5 月份的接待游客人数 （单位：万人），统计结果如下： 月份 1 2 3 4 5 接待游客人数 （万人） 1 2 2.5 3 4 求样本相关系数 的值（精确到 0.01），请说明月份 与接待游客人数 之间线性相关的强弱；若线性相关强，求出 关于 的经验回归方程，并预测 2026 年 6 月份游客的人数. 附：经验回归方程的斜率及截距的最小二乘估计公式分别为：， ；相关系数，. 2．（26-27高三·全国·一轮复习）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2015年至2024年的年份代码和年研发投入(单位：亿元)的散点图，其中年份代码1－10分别对应年份2015－2024．     根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中，． (1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并说明理由． (2)①根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程； ②设该科技公司的年利润(单位：亿元)和年研发投入满足（且），该科技公司哪一年的年利润最大？ 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 3．（2026·山西运城·模拟预测）设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：（）与（天）之间近似满足关系式，其中，均为常数． (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：令，，，，． 参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 4．（2026·重庆·模拟预测）现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有2个白球和1个黑球，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球的颜色相同．则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏.否则，在盒子中再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． 1 2 3 4 5 516 209 127 98 50 (1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和期望； (2)有数学爱好者统计了近1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如表，经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程（结果保留整数）． 附：回归方程系数：，． 参考数据：设，，，，，，． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）文旅部门统计了某网红景点在2025年3月至7月的旅游收入（单位：万），得到以下数据： 月份 3 4 5 6 7 旅游收入 10 12 11 12 20 (1)根据表中所给数据，用相关系数加以判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由； (2)为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 男 100 女 60 总计 110 参考公式：相关系数， 参考数据：．线性回归方程：，其中，． ． 临界值表： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 考点03 非线性回归建模 1. 非线性建模步骤： （1）绘制两组变量对应散点图，根据散点分布升降增速判断适配曲线模型； （2） 构造全新替换变量，完成非线性表达式向线性表达式的转化； （3） 依据线性回归公式计算转换后模型的斜率与截距； 将替换变量回代原式，书写原始变量对应的非线性回归解析式 【典例3】（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）芯片产业对于国家的科技安全与经济发展具有不可估量的战略意义，近些年来，国家和企业纷纷加大对芯片的投入力度．国内某芯片公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元，下同）对年销售额y（单位：亿元，下同）的影响，该公司收集了最近10年的年研发资金投入量和年销售额（）的数据：已知第1年的研发资金投入量为2亿元，每年的年研发资金投入量比上一年增长4亿元，随着年研发资金投入量的增长，公司的年销售额也在增长．公司对数据进行了初步处理，得到如下数据（其中，）；，，．公司甲、乙两个研究团队用年研发资金投入量x为解释变量，年销售额y为响应变量建立经验回归方程．已知甲研究团队用函数模型①（为常数，e为随机误差）得到的经验回归方程为乙研究团队用函数模型②（为常数，为随机误差）． (1)求乙研究团队建立的一元非线性经验回归方程（精确到）； (2)现已知第11年公司投入研发资金40亿元，公司的年销售收入为91亿元．根据以上信息，请你对这两个团队的模型优劣进行比较，并说明理由； (3)研究发现，这两个模型均满足：对于每一个解释变量t，得到响应变量为u，且年研发资金投入为t亿元时，年销售额y服从正态分布，公司为了保证有97.725%的把握获得年销售额100亿，请你根据你得到的较好模型，问公司预计至少需要投入研发资金约为多少亿元？（保留到0.01） 参考公式与数据： ①成对数据（）的经验回归直线方程为，其系数为，．②参考数据：假设，则，．③．④，，，． 【跟踪训练】1．（2026·河南周口·模拟预测）生物污染是环境污染的主要类型之一，它会对生态环境造成极大的破坏．某种有害昆虫每只的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：）有关．现收集到此类昆虫的平均产卵数（个）和温度的组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型 ①，②分别进行拟合． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 179 422688 62.65 70308 表中，，，； (1)根据散点图，比较模型①、②，哪个模型比较合适？（无需说明理由），并根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程． (2)根据以往统计，我国南方某地每年平均温度达到以上时此类昆虫会对当地生态环境造成严重破坏，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要次人工防治的概率为，求取得最大值时对应的概率，并以此估计该地未来年需要人工防治的次数． 附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 2．（2026·山西运城·模拟预测）设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：（）与（天）之间近似满足关系式，其中，均为常数． (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：令，，，，． 参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 3．（26-27高三·全国·一轮复习）某应用平台为了优化成本，统计了其模型推理任务中，单批请求量（单位：千次）与单请求平均算力成本（单位：元/次）之间的关系，对近10组任务数据进行了统计分析，得到如下散点图：    (1)根据散点图判断，与哪一个更适宜作为单批请求量关于单请求平均算力成本的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (2)利用（1）中的结果回答问题：已知该平台的单批推理总收入预报值为（单位：千元），当单批请求量为何值时，平台单批推理的总收入预报值最大?（总收入预报值=单批请求量单请求平均算力成本） 参考公式及部分参考数据： ①对一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． ②参考数据： 22.725 5.5 2.25 7655.2 20.625 注：表中， 4．（25-26高二下·海南·期中）椰树集团为确定下一年度投入椰树椰汁的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 46.6 563 6.8 298.8 1.6 1469 108.8 表中 (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (2)已知椰树椰汁的年利润与的关系为.根据（1）的结果求年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 附：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 5．（2026·辽宁沈阳·三模）某农业技术站研究化肥施用量对大棚青菜产量的影响.在一定范围内，施肥量（单位kg/亩）越大，青菜产量（单位kg/亩）越高.实验测得具体数据如下表： 施肥量 2 3 4 5 6 青菜产量 4200 4300 4350 4380 4400 根据散点数据特征，研究人员分析得出产量与施肥量近似满足的关系，取，经计算可知，，，， (1)请根据上述数据，计算得出产量y关于施肥量x的回归方程，并结合常识描述的实际意义，为简化计算，计算过程中、均精确到个位数. (2)若青菜的收购价格为2元/kg，化肥的采购价格为12元/kg，请从利润最大的角度给出大棚的最优施肥量. 参考公式：，. 考点04 残差分析与决定系数 1.利用回归方程算出每组预测值； 2.依据残差，逐个计算每组样本残差 3.将全部残差取平方后累加得到残差平方和； 4.计算总离差平方和，代入公式求决定系数； 5.比较两个模型大小，更大的模型拟合效果更好； 6.根据残差正负分布分析模型是否存在系统性偏差 【典例4】（2026·山东青岛·二模）随着新能源产业的快速发展，某新能源车企凭借技术创新与市场扩张，实现近7年利润持续增长，其利润情况如下表所示（单位：亿元）. 第年 1 2 3 4 5 6 7 利润/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)建立关于的一元线性回归模型，求出其经验回归方程，并预测该新能源车企第10年的利润； (2)若用另一个非线性回归模型拟合上表中的成对数据，得到的经验回归方程的残差平方和为0.62，根据残差平方和的值，分析该非线性经验回归方程与（1）所求的线性经验回归方程哪一个拟合效果更好，并说明理由. 参考公式和数据：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 【跟踪训练】1．（2026·重庆·模拟预测）某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出（单位：万元）和销售量（单位：万台）的数据如下： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 广告费支出 1 2 4 6 11 13 19 销售量 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 (1)若用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程； (2)若用模型拟合与的关系，可得回归方程，经计算线性回归模型和该模型的分别约为0.75和0.88，请根据的值，判断选择哪个回归模型更好． 参考数据：，.附：，． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中提到，新时代十年我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从54万亿元增长到114万亿元，我国经济总量稳居世界第二位.建立年份编号为解释变量，地区生产总值为响应变量的一元线性回归模型，现就2012—2016某市的地区生产总值统计如下： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 年份编号 1 2 3 4 5 地区生产总值（亿元） 2.8 3.1 3.9 4.6 5.6 (1)求出经验回归方程，并计算2016年地区生产总值的残差； (2)随着我国打赢了人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，该市2017－2022的地区生产总值持续增长，现对这11年的数据有三种经验回归模型，，，它们的分别为和，请根据的数值选择最好的回归模型预测一下2024年该市的地区生产总值； (3)若2012－2022该市的人口数（单位：百万）与年份编号的回归模型为，结合（2）问中的最佳模型，预测一下在2023年以后，该市人均地区生产总值的变化趋势. 参考公式：，. 3．（2026·江西抚州·模拟预测）某医药研究所为了评估一种新药的疗效，开展了临床试验.研究人员记录了14名志愿者服用不同剂量的药物后，血液中某关键生化指标(单位:)随给药剂量(单位:)的变化情况.为了寻找最合适的预测模型，研究人员分别利用模型一和模型二对这14组数据进行了拟合，并绘制了相应的残差图(如图所示，图中纵轴为残差，横轴为给药剂量). (1)观察残差图，判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由； (2)设这14组数据得到的经验回归方程为. （ⅰ）已知样本中的某位志愿者的给药剂量为，生化指标为.若该样本点在拟合效果更优的模型中的残差对应于图中标注的四点之一，请指出该点并说明理由; （ii）若在这14组数据中，给药剂量的标准差为，生化指标的标准差为，求生化指标与给药剂量的相关系数.(结果精确到0.01) 参考公式:相关系数； 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 4．（2026·湖北武汉·一模）某医药研究所为了评估一种新药的疗效，开展了临床试验.研究人员记录了14名志愿者服用不同剂量的药物后，血液中某关键生化指标（单位：）随给药剂量（单位：mg）的变化情况.为了寻找最合适的预测模型，研究人员分别利用模型一和模型二对这14组数据进行了拟合，并绘制了相应的残差图（如图所示，图中纵轴为残差，横轴为给药剂量）． (1)观察残差图，判断哪个模型的拟合效果更好； (2)设这14组数据得到的经验回归方程为． （ⅰ）已知样本中的某位志愿者的给药剂量为，生化指标为．若该样本点在拟合效果更优的模型中的残差对应于图中标注的四点之一，请指出该点并说明理由； （ⅱ）若在这14组数据中，给药剂量的标准差为，生化指标的标准差为，求生化指标与给药剂量的相关系数．（结果精确到） 参考公式：相关系数；经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 5．（2026·安徽芜湖·二模）某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的人园游客量统计数据如下： 活动开展第天 人园游客量（百人） (1)由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； (2)求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） (3)该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客人园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，； 参考数据：，，，. 考点05 卡方独立性检验 1.结合样本总容量、行合计、列合计补齐列联表空白数值； 2.出原假设：两个分类变量相互独立； 3.代入卡方公式计算； 4.对比题目给定小概率对应的临界值； 5.若临界值，拒绝原假设，说明有对应把握判定变量有关；反之无充分证据证明相关 【典例5】（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）为研究高中生参加课后体育锻炼与心理抗压能力提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）． 课后体育锻炼 心理抗压能力 合计 心理抗压能力显著提升 心理抗压能力未显著提升 坚持参加课后体育锻炼 90 30 120 未坚持参加课后体育锻炼 20 60 80 合计 110 90 200 (1)用频率估计概率，从200名学生中任意抽取一名学生，设事件为“该学生坚持参加课后体育锻炼”，事件为“该学生心理抗压能力显著提升”，求； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升有关？ 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【跟踪训练】1．（26-27高三上·湖南·阶段检测）随着人工智能技术的快速发展，学习助手逐渐成为学生课后学习的新工具．某校为了解工具对数学成绩的影响，随机抽取了该校名高二学生进行问卷调查，得到的列联表如下： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 经常使用工具 不经常使用工具 (1)将样本频率视为概率，从该校经常使用工具的学生中随机抽取人，求这人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率； (2)依据的独立性检验，分析使用工具与数学成绩是否有关． 附：． 2．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积x/亩 1 2 3 4 5 管理时间y/月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示（单位：人）： 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 (1)求出样本相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； (3)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人， 记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望． 参考公式：，，其中 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：． 3．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60 名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周自主锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周自主锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周自主锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周自主锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率估计概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训.依据小概率值的独立性检验，零假设为:学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间相互独立. 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 合计 100 (1)先填写列联表，再依据小概率值的独立性检验，判断是否能认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关; (2)按照短跑成绩是否合格，运用分层抽样的方法从样本中选出5人，再从这5人中随机抽取2人. 记抽取的2人中短跑成绩合格的人数为X，求X的分布列和期望. 参考公式与数据:，其中，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 35 25 60 短跑成绩不合格 10 30 40 合计 45 55 100 有关 (2) 0 1 2 4．（2026高三·全国·专题练习）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图： (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； (2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表： 超过 不超过 第一种生产方式 第二种生产方式 (3)根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附： 5．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）某科技公司开发了一款AI问答系统．为评估其回答质量，随机抽取了200个用户提问进行测试．将提问按难度分为“简单”和“复杂”两类，将AI的回答质量分为“满意”和“不满意”两档，得到如下列联表． 问题难度 满意 不满意 合计 简单 80 20 100 复杂 65 35 100 合计 145 55 200 (1)根据小概率值的独立性检验，判断AI回答质量与问题难度是否有关； (2)从回答“不满意”的提问中，按问题难度采用分层随机抽样抽取11个提问进行复核，再从这11个提问中随机抽取2个进行用户回访，求抽到的2个提问中至少有1个是复杂问题的概率．附，其中． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 考点06 统计新定义综合 1.逐句拆解题干新定义的计算公式、判定标准； 2.提取样本数据，先完成基础统计量（均值、频率、回归系数）计算； 3.将基础结果代入全新定义公式分步运算； 4.对比数值大小给出结论，结合现实场景文字阐述意义 【典例6】（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）某家电专卖店销售、、三种型号的空调，销售情况如下表所示： 第一周 第二周 第三周 第四周 型数量（台） 型数量（台） 型数量（台） (1)从前三周随机选一周，求这一周型空调销售量既比型空调多又比型空调多的概率； (2)根据以往的销售和维修记录，一台型空调、型空调在销售后五年内需要维修的概率分别为、.为跟踪调查空调的使用情况，从该家电专卖店售出的型空调中随机抽取一台，型空调中随机抽取两台，试估计抽取的三台空调在销售后五年内恰有两台需要维修的概率； (3)直接写出一组、、的值，使得表中三种类型的空调在前四周销售台数的方差相等. 【跟踪训练】1．（2026·云南昭通·模拟预测）2026年3月，小马智行与如祺出行共建Robotaxi车队，无人驾驶技术逐步商业化落地.甲、乙两种自动驾驶算法各进行次紧急制动测试，反应时间（单位：秒）分别为：与.已知，，，. (1)求甲、乙两组数据的方差、； (2)若规定：当时，认为甲算法显著优于乙（其中为判定系数）.若， （i）现取，判断甲是否显著优于乙； （ii）若要使“甲算法显著优于乙”成立，求的最大整数值. 2．（2026·宁夏银川·一模）滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一，如何利用更有效的方法改造这些宝贵的土地资源，成为摆在我们面前的世界级难题．对盐碱的治理方法，研究人员在长期的实践中获得了两种成本差异不大，且能降低滨海盐碱地30-60cm土壤层可溶性盐含量的技术，为了对比两种技术治理盐碱的效果，科研人员在同一区域采集了12个土壤样本，平均分成两组，测得组土壤可溶性盐含量数据样本平均数，方差，B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数，方差．用技术1对组土壤进行可溶性盐改良试验，用技术2对组土壤进行可溶性盐改良试验，分别获得改良后土壤可溶性盐含量数据如下： 组 0.66 0.68 0.69 0.71 0.72 0.74 组 0.46 0.48 0.49 0.49 0.51 0.51 改良后组、组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为和，样本方差分别记为和 (1)求； (2)应用技术1与技术2土壤可溶性盐改良试验后，土壤可溶性盐含量是否有显著降低？（若，则认为技术能显著降低土壤可溶性盐含量，否则不认为有显著降低）． 3．（25-26高三上·安徽·阶段检测）我国大部分省市已经实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式，“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数(Raw Score)计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从化学、生物、政治、地理四门学科中“再选”两门学科，以等级分(Grade Scoring)计入高考成绩.按照这个方案，“再选”学科的等级分赋分规则如下：将考生的原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E 五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表： 等  级 A B C D E 人数比例 15% 35% 35% 13% 2% 赋分区间 [86,100] [71,85] [56,70] [41,55] [30,40] 将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为 其中R₁，R₂分别表示原始分区间的最低分和最高分，( 分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，R表示考生的原始分，G 表示考生的等级分，规定原始分为R时，等级分为G.某次化学考试的原始分最低分为45，最高分为94，呈连续整数分布，分成五组：第一组[45，55)，第二组[55,65), 第 三 组 [65,75), 第 四 组 [75,85), 第 五 组[85，95)，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同. (1)根据频率分布直方图求a，b的值，并估计此次化学考试原始分的平均值； (2)按照等级分赋分规则，估计此次考生化学成绩A等级的原始分区间； (3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某同学化学成绩的原始分为83，试计算其等级分. 4．（25-26高三下·陕西西安·期末）光学光电子是AI的算力底座、感知神经与计算新范式，二者深度绑定、相互成就．某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 (1)现从这100件样品中随机抽取2件，求恰有一件为合格品的概率（用分数表示）； (2)在100件样品中随机抽取10件，其中合格品8件，次品2件，再从这10件中随机选出3件，求选出的这3件样品中次品件数的分布列与数学期望； (3)已知切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立．若该工厂声称本厂元件合格率为95%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件．） 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练02 统计解答题全题型归纳6大考点 考点预览 目录 考点01 频率分布直方图 1 考点02 一元线性回归方程 10 考点03 非线性回归建模 20 考点04 残差分析与决定系数 30 考点05 卡方独立性检验 38 考点06 统计新定义综合 48 考点通关 考点01 频率分布直方图 从频率分布直方图中估计数字特征 众数：最高矩形底边中点的横坐标. 中位数：使直方图左、右两边面积相等的分界线与横轴交点的横坐标；估计中位数时必须保证两侧面积之和恰好为0.5，不可直接取最高矩形中点. 平均数：每一组区间中点数值乘以本组频率，全部乘积相加得到整体均值，即每个小矩形的面积 × 小矩形底边中点的横坐标之和. 利用矩形总面积恒等于1的条件求解直方图未知纵轴参数；依次计算样本众数、平均数、百分位数；结合分层抽样比例计算分层抽取样本数量；利用样本频率估算总体对应样本容量；搭配古典概型求解分层抽样后随机抽取对应事件发生概率 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）从某学校名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于cm和cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，如图是频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人． (1)求第七组的频率，并求出样本中位数； (2)已知该校有名女生，男生身高总体数据的平均数和方差分别为和，女生身高总体数据的平均数和方差分别为和，估计该校学生身高的平均数和方差． 【答案】(1)；； (2)；. 【分析】（1）先计算第六组对应的频率，再由所有矩形对应频率和为1可得第七组频率；由频率分布直方图估计中位数方法可得中位数； （2）先计算总体平均数，再由总体方差计算公式可得答案. 【详解】（1）第六组的频率为，则第七组的频率为， 前三组的频率和为，前四组的频率和为， 所以中位数位于第四组，设中位数为，由，解得， 即样本中位数为． （2）该校学生身高的平均数为， 该校学生身高的方差为． 【跟踪训练】1．（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）某地区为了了解居民用水情况，随机选取100户居民，将每户人均月用水量（单位：吨）数据按照、、、、、、、、分成9组，得到如下图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中实数的值； (2)以区间的中点值为区间内的每个数据赋值，试估计这100户居民每户人均月用水量的平均值（近似到0.1吨）； (3)从样本中人均月用水量不低于3.5吨的居民中随机抽取3户居民，求区间和中都有用户被选中的概率． 【答案】(1) (2)吨 (3) 【分析】（1）根据频率和为1，列方程求参数值即可； （2）根据频率直方图计算平均用水量即可； （3）首先确定对应区间的用户数，再应用古典概型的概率求法及组合数、互斥事件的概率求法求概率. 【详解】（1）由频率分布直方图，且所有矩形面积之和为， 则， 化简得，所以； （2）以各组区间中点作为该组数据的代表值，各组中点依次为 因此平均用水量估计为吨， 所以估计这100户居民每户人均月用水量的平均值为吨； （3）人均月用水量不低于吨的居民位于区间中 对应频率分别为， 所以两区间内居民户数分别为，共户， 从中随机抽取户，两个区间都有人被选中的概率为. 2．（26-27高三上·上海嘉定·阶段检测）某班部分同学参加英语测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图． (1)求分数在的频率及班级参加测试的人数； (2)求分数在之间的频数，计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中随机抽取两份进行数据分析，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）先由频率分布直方图求出分数在的频率，结合茎叶图中得分在的人数即可求得班级参加测试的人数； （2）根据茎叶图的数据，利用（1）中的总人数减去外的人数，即可得到内的人数，从而可计算频率分布直方图中间矩形的高； （3）用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意的基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果． 【详解】（1）由频率分布直方图可知，分数在的频率为； 由茎叶图知，分数在之间的频数为2，所以班级参加测试的人数为. （2）分数在之间的频数为； 频率分布直方图中间的矩形的高为. （3）将之间的5个分数编号为，之间的2个分数编号为， 在之间的试卷中任取两份的基本事件为： 共21个， 其中，至少有一份分数在之间的基本事件有 共11个， 故至少有一份分数在之间的概率是. 3．（2027高三·全国·专题练习）某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图． (1)按照分层随机抽样，从和中随机抽取了9名学生．现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试．记推荐的3名学生来自的人数为，求的分布列； (2)由频率分布直方图可认为：周末运动时间服从正态分布，其中，为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求（精确到0.001）． 参考数据1：当时，，，． 参考数据2：，． 【答案】(1) 0 1 2 3 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图及分层随机抽样的定义求出在上抽取的人数为6人，在上抽取的人数为3人，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，利用组合数得出各随机变量的概率，进而得出分布列； （2）利用频率分布直方图求出平均数，得出，利用正态分布的性质得出，再根据二项分布的概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由题意，运动时间在的人数为， 运动时间在的人数为． 按照分层随机抽样共抽取9人， 则在区间内抽取的人数为， 在区间内抽取的人数为． 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 （2）由题意，，． ，． ， （或）， ． ． 4．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）某地将举办大型体育赛事，为做好比赛的志愿服务保障工作，组委会定期对报名者开展综合能力测评.现从某高校的报名者中随机抽取200名男生和300名女生进行评分（满分100分），分别得到如图所示的两个频率分布直方图. (1)求的值，并估计女生评分的平均数； (2)若评分不低于70分定为“合格”，评分低于70分定为“不合格”.完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断评分等级与该校报名者的性别是否有关联. 性别 评分等级 合计 合格 不合格 男生 女生 合计 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)，74.5分. (2) 性别 合格 不合格 合计 男生 120 80 200 女生 210 90 300 合计 330 170 500 没有关联. 【分析】（1）利用频率分布直方图所有频率之和为1求，用各组中点乘对应频率求和得到女生评分平均数； （2）由直方图算出男女生合格、不合格人数填写列联表，计算卡方值与临界值比较，判断评分等级和性别是否有关联. 【详解】（1）由女生直方图各矩形面积之和为1，得， 解得. 以各组中值作为该组评分的代表值，女生平均分估计为. 所以，女生评分的平均数约为74.5分. （2）男生合格频率为，女生合格频率为，故列联表为： 性别 合格 不合格 合计 男生 120 80 200 女生 210 90 300 合计 330 170 500 提出零假设：评分等级与性别相互独立.由列联表计算得. 因为，所以在小概率值的检验标准下，不能拒绝零假设，即没有充分证据认为评分等级与该校报名者的性别有关联. 5．（26-27高三上·云南·阶段检测）某校高三年级1000名学生某一次的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图1所示，其中成绩分组区间是、、、、、． (1)求图中的值； (2)根据频率分布直方图，估计这1000名学生的这次考试数学成绩的上四分位数和平均数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）； (3)从这次数学成绩位于、、的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间的人数记为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)上四分位数为，平均数为 (3)分布列为 【分析】（1）根据频率和为计算； （2）根据百分位数和平均数的定义计算； （3）根据分层抽样求出各组人数，再根据超几何分布列出分布列和期望. 【详解】（1）由题意得，，得； （2）因为，， 所以上四分位数位于， 故上四分位数为， 平均数为； （3）因为、、的人数之比为， 故抽取的10人分别在这三组中的人数为， 则的取值为， 得，， 故分布列为 期望为. 考点02 一元线性回归方程 1.分别计算两组变量样本均值，所有、； 2.代入公式计算相关系数，根据大小说明线性相关强弱； 3.计算斜率，再利用求截距； 4.写出回归直线，根据正负判断增减； 5.将给定代入解析式，得到预测值，文字说明预测结论。 【典例2】（2026·河南·模拟预测）某农业科研团队为探究大棚蔬菜的光照时长对产量的影响，选取5组不同的光照时长方案，在相同种植条件下开展试验，统计对应时长下的蔬菜合格采收量，得到如下数据： 每日光照时长 14 15 16 17 18 合格采收量 4 8 16 20 26 (1)求变量与的样本相关系数，判断是否适合线性回归模型拟合，如果适合，求关于的经验回归方程； (2)当样本数据的残差绝对值大于1时，称该组数据为异常拟合数据，现从这5组数据中任取3组做残差分析，求取到异常拟合数据的组数的分布列和数学期望． 附：①样本相关系数，当时，相关性较强，当时，相关性一般； ②经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，； ③，，． 【答案】(1)适合， (2) 0 1 2 【分析】（1）根据公式先求得，可得与的线性相关性很强，适合线性回归模型拟合，进而结合公式求解即可； （2）计算可得异常拟合数据有2组，非异常拟合数据有3组，进而可得的所有可能取值为0，1，2，分别求出每一个对应的概率，再根据数学期望的公式求解即可. 【详解】（1）由已知，得， ， 所以， 所以． 因为，说明与的线性相关性很强，所以适合线性回归模型拟合． 因为， ， 所以关于的经验回归方程为． （2）由（1）知，． 因为样本数据的残差绝对值大于1时，称该组数据为异常拟合数据， 所以5组数据的残差绝对值及数据状态如下表所示． 每日光照时长 14 15 16 17 18 合格采收量 4 8 16 20 26 预测值 3.6 9.2 14.8 20.4 26 残差的绝对值 0.4 1.2 1.2 0.4 0 是否为异常拟合数据 否 是 是 否 否 由表可知，异常拟合数据有2组，非异常拟合数据有3组， 所以从这5组数据中任取3组，异常拟合数据的组数的所有可能取值为0，1，2． 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 则的数学期望. 【跟踪训练】1．（26-27高三上·四川成都·开学考试）青白江区城厢古镇为打造群众满意的旅游景区，大力开发旅游产业. (1)某部门对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，下表是从接待游客中随机抽取的 100 位游客的满意度调查表，依据小概率值 的独立性检验，分析游客对本地景区的满意度是否与报团游或自助游有关联； 报团游 自助游 合计 满意 30 30 60 不满意 30 10 40 合计 60 40 100 附表： α 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 . (2)为安排好 2026 年 6 月份的游客接待工作，该部门统计了景区 2026 年 1 月份到 5 月份的接待游客人数 （单位：万人），统计结果如下： 月份 1 2 3 4 5 接待游客人数 （万人） 1 2 2.5 3 4 求样本相关系数 的值（精确到 0.01），请说明月份 与接待游客人数 之间线性相关的强弱；若线性相关强，求出 关于 的经验回归方程，并预测 2026 年 6 月份游客的人数. 附：经验回归方程的斜率及截距的最小二乘估计公式分别为：， ；相关系数，. 【答案】(1) 依据小概率值的独立性检验，推断游客对本地景区的满意度与出游方式有关联。 (2) 样本相关系数，月份与接待游客人数线性相关极强；经验回归方程为；预测2026年6月份游客人数为4.6万人。 【分析】（1）由 列联表计算 ，并与 对应的临界值比较； （2）计算样本相关系数判断线性相关程度，再用最小二乘估计公式求经验回归方程，最后代入 进行预测． 【详解】（1）设游客对本地景区的满意度与出游方式无关联， 由列联表得 ，所以 因为所以依据小概率值 的独立性检验，否定， 推断游客对本地景区的满意度与出游方式有关联． （2）由题中数据得 又 ， 因此 故月份 与接待游客人数 线性相关极强． 经验回归方程斜率的最小二乘估计为截距为 所以经验回归方程为 当 时， 故预测 2026 年 6 月份接待游客人数约为 万人． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2015年至2024年的年份代码和年研发投入(单位：亿元)的散点图，其中年份代码1－10分别对应年份2015－2024．     根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中，． (1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并说明理由． (2)①根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程； ②设该科技公司的年利润(单位：亿元)和年研发投入满足（且），该科技公司哪一年的年利润最大？ 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 【答案】(1)选择模型②更适宜，理由如下： 根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差； 模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜. (2)①；②该公司2030年的年利润最大 【分析】（1）根据残差图确定即可； （2）①根据最小二乘法求非线性回归方程即可求解；②根据题意结合二次函数性质计算求解即可. 【详解】（1）略 （2）①设，所以， 所以， ， 所以关于的经验回归方程为； ②由题设可得， 当，即时，年利润有最大值， 故该公司2030年的年利润最大. 3．（2026·山西运城·模拟预测）设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：（）与（天）之间近似满足关系式，其中，均为常数． (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：令，，，，． 参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 【答案】(1)，，； (2) 0 1 2 3 【分析】（1）令，则，求出，，计算， 由回归直线过点，求出，从而得到关于的回归方程. （2）求出的取值，求出的取值的概率， 列出的分布列，根据分布列求出随机变量的期望值. 【详解】（1）令，则， 因为，所以， 因为，所以，    ，， 通过上表计算可得：，    因为回归直线过点，所以， 则 关于的回归方程， 又， 故关于的回归方程； （2）（2）7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天， 从散点图中任取3个点，即从这7天中任取3天， 所以这3个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为0，1，2，3， ；； ；.     所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的期望值. 4．（2026·重庆·模拟预测）现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有2个白球和1个黑球，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球的颜色相同．则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏.否则，在盒子中再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． 1 2 3 4 5 516 209 127 98 50 (1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和期望； (2)有数学爱好者统计了近1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如表，经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程（结果保留整数）． 附：回归方程系数：，． 参考数据：设，，，，，，． 【答案】(1)分布列见解析，； (2). 【分析】（1）先求出每一轮成功和失败的概率，再由条件概率公式求解即可； （2）设，则回归方程为，根据所给数据和公式，求出的值，再代回，即可得答案. 【详解】（1）由题意可知： 第1轮：盒子中共有3个小球（2白1黑）， 所以成功的概率为，所以失败的概率为； 第2轮：盒子中共有4个小球（3白1黑）， 所以成功的概率为，所以失败的概率为； 第3轮：是否成功都会停止，且只有前两轮失败，就会进行第3轮； 所以，，， 所以的分布列如下： 所以 （2）设，则回归方程为， 因为，，，，， 且， 所以， 所以． 所以回归方程为， 又因为， 所以回归方程为. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）文旅部门统计了某网红景点在2025年3月至7月的旅游收入（单位：万），得到以下数据： 月份 3 4 5 6 7 旅游收入 10 12 11 12 20 (1)根据表中所给数据，用相关系数加以判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由； (2)为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 男 100 女 60 总计 110 参考公式：相关系数， 参考数据：．线性回归方程：，其中，． ． 临界值表： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)可用线性回归模型拟合与的关系，． (2)能够在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联” 【分析】（1）计算，从而得出可用线性回归模型拟合与的关系，再根据最小二乘法求出即可得解. （2）补全列联表，计算卡方的值，进而判断即可. 【详解】（1）由已知得： ，，，，， ，因为 ， 说明与的线性相关关系很强． 可用线性回归模型拟合与的关系， ， 则关于的线性回归方程为：． （2）列联表如下所示： 喜欢 不喜欢 总计 男 70 30 100 女 40 60 100 总计 110 90 200 根据列联表中数据，， 所以能够在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”． 考点03 非线性回归建模 1. 非线性建模步骤： （1）绘制两组变量对应散点图，根据散点分布升降增速判断适配曲线模型； （2） 构造全新替换变量，完成非线性表达式向线性表达式的转化； （3） 依据线性回归公式计算转换后模型的斜率与截距； 将替换变量回代原式，书写原始变量对应的非线性回归解析式 【典例3】（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）芯片产业对于国家的科技安全与经济发展具有不可估量的战略意义，近些年来，国家和企业纷纷加大对芯片的投入力度．国内某芯片公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元，下同）对年销售额y（单位：亿元，下同）的影响，该公司收集了最近10年的年研发资金投入量和年销售额（）的数据：已知第1年的研发资金投入量为2亿元，每年的年研发资金投入量比上一年增长4亿元，随着年研发资金投入量的增长，公司的年销售额也在增长．公司对数据进行了初步处理，得到如下数据（其中，）；，，．公司甲、乙两个研究团队用年研发资金投入量x为解释变量，年销售额y为响应变量建立经验回归方程．已知甲研究团队用函数模型①（为常数，e为随机误差）得到的经验回归方程为乙研究团队用函数模型②（为常数，为随机误差）． (1)求乙研究团队建立的一元非线性经验回归方程（精确到）； (2)现已知第11年公司投入研发资金40亿元，公司的年销售收入为91亿元．根据以上信息，请你对这两个团队的模型优劣进行比较，并说明理由； (3)研究发现，这两个模型均满足：对于每一个解释变量t，得到响应变量为u，且年研发资金投入为t亿元时，年销售额y服从正态分布，公司为了保证有97.725%的把握获得年销售额100亿，请你根据你得到的较好模型，问公司预计至少需要投入研发资金约为多少亿元？（保留到0.01） 参考公式与数据： ①成对数据（）的经验回归直线方程为，其系数为，．②参考数据：假设，则，．③．④，，，． 【答案】(1) ； (2)甲团队（线性模型）：当时，，残差的绝对值； 乙团队（非线性模型）：当时，，残差的绝对值， 因为乙团队模型预测值与实际值的残差的绝对值更小， 所以乙团队的模型更优，能更好地拟合数据，反映年研发资金投入量与年销售额的关系； (3)（亿元）． 【详解】（1）已知是首项为2、公差为4的等差数列，， 则由等差数列前n项和公式得， ， 故，对于模型， 令，转化为线性回归． 根据线性回归系数公式：，， 因此，乙团队回归方程为； （2）略 （3）已知，要保证97.725%把握（对应分位数）， 需．代入乙模型，， 得：，解得， 即（亿元）． 预计至少需要投入研发资金约为亿元. 【跟踪训练】1．（2026·河南周口·模拟预测）生物污染是环境污染的主要类型之一，它会对生态环境造成极大的破坏．某种有害昆虫每只的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：）有关．现收集到此类昆虫的平均产卵数（个）和温度的组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型 ①，②分别进行拟合． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 179 422688 62.65 70308 表中，，，； (1)根据散点图，比较模型①、②，哪个模型比较合适？（无需说明理由），并根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程． (2)根据以往统计，我国南方某地每年平均温度达到以上时此类昆虫会对当地生态环境造成严重破坏，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要次人工防治的概率为，求取得最大值时对应的概率，并以此估计该地未来年需要人工防治的次数． 附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 【答案】(1)②， (2)，2 【分析】（1）根据散点图可选模型②，再根据题设中的数据和公式可求回归方程； （2）根据二项分布可求，利用导数可求其最大值；利用二项分布可求期望. 【详解】（1）②，理由如下：由散点图知，呈指数增长，所以模型②的拟合效果更好． 令，则， 则， 所以， 因此关于的线性回归方程为， 所以产卵数关于温度的回归方程为． （2）由题意得，， 所以 令，得， 故当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以取得最大值时对应的概率． 当时，，即每年需要人工防治的概率为， 且服从二项分布．所以， 估计该地未来年需要人工防治的次数为2． 2．（2026·山西运城·模拟预测）设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：（）与（天）之间近似满足关系式，其中，均为常数． (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：令，，，，． 参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 【答案】(1)，，； (2) 0 1 2 3 【分析】（1）令，则，求出，，计算， 由回归直线过点，求出，从而得到关于的回归方程. （2）求出的取值，求出的取值的概率， 列出的分布列，根据分布列求出随机变量的期望值. 【详解】（1）令，则， 因为，所以， 因为，所以，    ，， 通过上表计算可得：，    因为回归直线过点，所以， 则 关于的回归方程， 又， 故关于的回归方程； （2）（2）7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天， 从散点图中任取3个点，即从这7天中任取3天， 所以这3个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为0，1，2，3， ；； ；.     所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的期望值. 3．（26-27高三·全国·一轮复习）某应用平台为了优化成本，统计了其模型推理任务中，单批请求量（单位：千次）与单请求平均算力成本（单位：元/次）之间的关系，对近10组任务数据进行了统计分析，得到如下散点图：    (1)根据散点图判断，与哪一个更适宜作为单批请求量关于单请求平均算力成本的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (2)利用（1）中的结果回答问题：已知该平台的单批推理总收入预报值为（单位：千元），当单批请求量为何值时，平台单批推理的总收入预报值最大?（总收入预报值=单批请求量单请求平均算力成本） 参考公式及部分参考数据： ①对一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． ②参考数据： 22.725 5.5 2.25 7655.2 20.625 注：表中， 【答案】(1)更适宜， (2)单批请求量为(千次)时，平台单批推理的总收入预报值最大 【分析】（1）结合图形可知更适宜，令，根据最小二乘法结合题中数据计算求解即可； （2）由题意可得 ，求导，根据导数计算可得最大值. 【详解】（1）根据散点图判断更适宜作为单批请求量关于单请求平均算力成本的回归方程类型． 令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 所以关于的线性回归方程为 ，因此关于的回归方程为 ． （2）依题意得： ，． 令，即 ，解得 ，所以， 当时 ，，在上单调递增， 当 时，，在上单调递减， 故当，即单批请求量 (千次)时，平台单批推理的总收入预报值最大． 4．（25-26高二下·海南·期中）椰树集团为确定下一年度投入椰树椰汁的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 46.6 563 6.8 298.8 1.6 1469 108.8 表中 (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (2)已知椰树椰汁的年利润与的关系为.根据（1）的结果求年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 附：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 【答案】(1) (2)644.6；258.3 【分析】（1）根据散点图分析得出回归方程类型，结合非线性回归模型转化线性回归方程分析求解即可； （2）根据（1）中的方程代入相关变量计算分析即可. 【详解】（1）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型， 令，先建立关于的线性回归方程， 由于 ， 则， 所以关于的线性回归方程为， 因此关于的回归方程为. （2）当时，年销售量的预报值， 年利润的预报值. 5．（2026·辽宁沈阳·三模）某农业技术站研究化肥施用量对大棚青菜产量的影响.在一定范围内，施肥量（单位kg/亩）越大，青菜产量（单位kg/亩）越高.实验测得具体数据如下表： 施肥量 2 3 4 5 6 青菜产量 4200 4300 4350 4380 4400 根据散点数据特征，研究人员分析得出产量与施肥量近似满足的关系，取，经计算可知，，，， (1)请根据上述数据，计算得出产量y关于施肥量x的回归方程，并结合常识描述的实际意义，为简化计算，计算过程中、均精确到个位数. (2)若青菜的收购价格为2元/kg，化肥的采购价格为12元/kg，请从利润最大的角度给出大棚的最优施肥量. 参考公式：，. 【答案】(1)，实际意义是当化肥使用量无限增加时，青菜产量的理论上限为/亩 (2)当施肥量为10kg/亩时利润最大 【分析】（1）根据题意，利用回归系数的公式，求得，进而得出回归直线方程，结合的值，得出的实际意义； （2）由利润为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）根据题意，可得， 又由， 所以产量y关于施肥量x的回归方程为， 其中的实际意义是当化肥使用量无限增加时，青菜产量的理论上限为/亩. （2）设利润为元/亩， 当且仅当kg/亩时取等，即当施肥量为10kg/亩时利润最大. 考点04 残差分析与决定系数 1.利用回归方程算出每组预测值； 2.依据残差，逐个计算每组样本残差 3.将全部残差取平方后累加得到残差平方和； 4.计算总离差平方和，代入公式求决定系数； 5.比较两个模型大小，更大的模型拟合效果更好； 6.根据残差正负分布分析模型是否存在系统性偏差 【典例4】（2026·山东青岛·二模）随着新能源产业的快速发展，某新能源车企凭借技术创新与市场扩张，实现近7年利润持续增长，其利润情况如下表所示（单位：亿元）. 第年 1 2 3 4 5 6 7 利润/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)建立关于的一元线性回归模型，求出其经验回归方程，并预测该新能源车企第10年的利润； (2)若用另一个非线性回归模型拟合上表中的成对数据，得到的经验回归方程的残差平方和为0.62，根据残差平方和的值，分析该非线性经验回归方程与（1）所求的线性经验回归方程哪一个拟合效果更好，并说明理由. 参考公式和数据：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 【答案】(1)，亿元； (2)（1）所求的线性经验回归方程拟合效果更好. 【分析】（1）利用所给数据直接计算求出，然后根据回归方程即可得该新能源车企第10年的利润； （2）根据残差平方和公式求出（1）中回归方程的残差平方和，通过残差平方和的大小即可作出判断. 【详解】（1）由表格数据可得， 又， 所以， 所以，则回归方程为， 当时，， 即该新能源车企第10年的利润的估计值为亿元. （2）记（1）中线性回归方程的残差平方和为， 则， 因为，所以（1）中所求的线性经验回归方程拟合效果更好. 【跟踪训练】1．（2026·重庆·模拟预测）某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出（单位：万元）和销售量（单位：万台）的数据如下： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 广告费支出 1 2 4 6 11 13 19 销售量 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 (1)若用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程； (2)若用模型拟合与的关系，可得回归方程，经计算线性回归模型和该模型的分别约为0.75和0.88，请根据的值，判断选择哪个回归模型更好． 参考数据：，.附：，． 【答案】(1) (2)更好 【分析】（1）根据线性回归方程相关基本量直接计算即可； （2）根据反映的残差平方和与拟合效果关系进行判断. 【详解】（1）由题意得，， ， ，， 所以， 所以， 所以y关于x的线性回归方程为 （2）因为，且越接近于1，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好， 所以选用更好. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中提到，新时代十年我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从54万亿元增长到114万亿元，我国经济总量稳居世界第二位.建立年份编号为解释变量，地区生产总值为响应变量的一元线性回归模型，现就2012—2016某市的地区生产总值统计如下： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 年份编号 1 2 3 4 5 地区生产总值（亿元） 2.8 3.1 3.9 4.6 5.6 (1)求出经验回归方程，并计算2016年地区生产总值的残差； (2)随着我国打赢了人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，该市2017－2022的地区生产总值持续增长，现对这11年的数据有三种经验回归模型，，，它们的分别为和，请根据的数值选择最好的回归模型预测一下2024年该市的地区生产总值； (3)若2012－2022该市的人口数（单位：百万）与年份编号的回归模型为，结合（2）问中的最佳模型，预测一下在2023年以后，该市人均地区生产总值的变化趋势. 参考公式：，. 【答案】(1)， (2)亿元 (3)逐年递增 【分析】（1）根据表格数据，代入公式计算即可； （2）根据决定系数确定回归模型，再代入公式计算即可； （3）列出人均地区生产总值表达式，再用定义法确定函数单调性. 【详解】（1）由数据，， ， 而，， 所以，则，综上，经验回归方程为， 当时，，故2016年地区生产总值残差为； （2）根据决定系数越大拟合越好，由于，故模型较好， 因2024年对应，则亿元； （3）设该市人均地区生产总值为， ， 令，且， 若，所以， 而，，则0，故， 所以在上递增，则在上递增， 所以该市人均地区生产总值逐年递增. 3．（2026·江西抚州·模拟预测）某医药研究所为了评估一种新药的疗效，开展了临床试验.研究人员记录了14名志愿者服用不同剂量的药物后，血液中某关键生化指标(单位:)随给药剂量(单位:)的变化情况.为了寻找最合适的预测模型，研究人员分别利用模型一和模型二对这14组数据进行了拟合，并绘制了相应的残差图(如图所示，图中纵轴为残差，横轴为给药剂量). (1)观察残差图，判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由； (2)设这14组数据得到的经验回归方程为. （ⅰ）已知样本中的某位志愿者的给药剂量为，生化指标为.若该样本点在拟合效果更优的模型中的残差对应于图中标注的四点之一，请指出该点并说明理由; （ii）若在这14组数据中，给药剂量的标准差为，生化指标的标准差为，求生化指标与给药剂量的相关系数.(结果精确到0.01) 参考公式:相关系数； 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 【答案】(1)模型一，理由见解析 (2)（i）A点，理由见解析；（ii） 【分析】（1）根据残差图，比较带状区域的宽度即可得出判断； （2）（ⅰ）计算出残差即可求解； （ⅱ）根据相关系数公式及经验回归方程计算即可. 【详解】（1）模型一拟合效果好. 理由如下： 模型一的残差图中的点更集中地分布于以取值为0的横轴为中心的宽度更窄的水平带状区域内， 说明预测值与真实值偏差更小. （2）（ⅰ）在中，代入，得， 于是残差为，因此对于模型一中的A点. （ⅱ），， . 4．（2026·湖北武汉·一模）某医药研究所为了评估一种新药的疗效，开展了临床试验.研究人员记录了14名志愿者服用不同剂量的药物后，血液中某关键生化指标（单位：）随给药剂量（单位：mg）的变化情况.为了寻找最合适的预测模型，研究人员分别利用模型一和模型二对这14组数据进行了拟合，并绘制了相应的残差图（如图所示，图中纵轴为残差，横轴为给药剂量）． (1)观察残差图，判断哪个模型的拟合效果更好； (2)设这14组数据得到的经验回归方程为． （ⅰ）已知样本中的某位志愿者的给药剂量为，生化指标为．若该样本点在拟合效果更优的模型中的残差对应于图中标注的四点之一，请指出该点并说明理由； （ⅱ）若在这14组数据中，给药剂量的标准差为，生化指标的标准差为，求生化指标与给药剂量的相关系数．（结果精确到） 参考公式：相关系数；经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】(1)模型一的拟合效果更好 (2) （ⅰ）点，理由如下： 因为模型一的拟合效果更好，经验回归方程为， 所以该方程相应于点的残差为，故选点； （ⅱ） 【分析】（1）根据残差图，比较带状区域的宽度即可得出判断； （2）（ⅰ）计算出残差即可求解；（ⅱ）根据相关系数公式及经验回归方程计算即可. 【详解】（1）模型一的拟合效果更好． 理由如下：模型一残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型二的带状宽度窄，所以模型一的拟合精度更高，经验回归方程的预报精度相应就越高． （2）（ⅰ）略 （ⅱ）由题可知，， 所以, 由，, 所以 . 5．（2026·安徽芜湖·二模）某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的人园游客量统计数据如下： 活动开展第天 人园游客量（百人） (1)由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； (2)求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） (3)该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客人园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，； 参考数据：，，，. 【答案】(1)，相关程度很强 (2)，残差为百人 (3) 【分析】（1）求出、的值，利用公式求出相关系数的值，即可得出结论； （2）利用最小二乘法公式求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归直线方程，结合残差的概念求解即可； （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为，结合全概率公式求解即可. 【详解】（1）由表格中的数据可得，， 则， 由相关系数，可以推断入园游客量与活动开展第天相关程度很强. （2），， 故经验回归方程为. 对于表中第个观测，入园游客量为（百人）， 预测值为（百人），残差为（百人） （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为， 由题意可得，，，， . 考点05 卡方独立性检验 1.结合样本总容量、行合计、列合计补齐列联表空白数值； 2.出原假设：两个分类变量相互独立； 3.代入卡方公式计算； 4.对比题目给定小概率对应的临界值； 5.若临界值，拒绝原假设，说明有对应把握判定变量有关；反之无充分证据证明相关 【典例5】（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）为研究高中生参加课后体育锻炼与心理抗压能力提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）． 课后体育锻炼 心理抗压能力 合计 心理抗压能力显著提升 心理抗压能力未显著提升 坚持参加课后体育锻炼 90 30 120 未坚持参加课后体育锻炼 20 60 80 合计 110 90 200 (1)用频率估计概率，从200名学生中任意抽取一名学生，设事件为“该学生坚持参加课后体育锻炼”，事件为“该学生心理抗压能力显著提升”，求； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升有关？ 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2)能认为高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升有关 【详解】（1）由列联表可知，事件=“坚持参加课后体育锻炼”，120， 事件=“坚持参加课后体育锻炼且心理抗压能力显著提升”,90， 用频率估计概率，根据条件概率公式，得； （2）零假设 ：高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升无关， 取，代入卡方检验公式， 先计算分子核心项，代入得， 已知 对应的临界值为 10.828 ， 由于 ， 即依据小概率值 的独立性检验，我们推断不成立，能认为高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升有关. 【跟踪训练】1．（26-27高三上·湖南·阶段检测）随着人工智能技术的快速发展，学习助手逐渐成为学生课后学习的新工具．某校为了解工具对数学成绩的影响，随机抽取了该校名高二学生进行问卷调查，得到的列联表如下： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 经常使用工具 不经常使用工具 (1)将样本频率视为概率，从该校经常使用工具的学生中随机抽取人，求这人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率； (2)依据的独立性检验，分析使用工具与数学成绩是否有关． 附：． 【答案】(1) (2)使用工具与数学成绩有关 【详解】（1）由表中数据可知，经常使用工具的学生中，数学成绩优秀的概率为，数学成绩不优秀的概率为．     所以人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率为． （2）零假设为：使用工具与数学成绩无关． 根据列联表中的数据，得．     因为，所以依据的独立性检验，我们推断不成立，即认为使用工具与数学成绩有关． 2．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积x/亩 1 2 3 4 5 管理时间y/月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示（单位：人）： 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 (1)求出样本相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； (3)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人， 记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望． 参考公式：，，其中 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：． 【答案】(1)，管理时间与土地使用面积线性相关； (2)依据的独立性检验，认为村民的性别与参与管理的意愿有关； (3)的分布列为： 0 1 2 3 数学期望。 【分析】（1）代入公式计算即可； （2）先提出零假设，再代入公式计算即可； （3）X满足二项分布，按照概率公式展开. 【详解】（1），， ， ，， 则，因为，所以管理时间y与土地使用面积x线性相关. （2）零假设：村民的性别与参与管理的意愿无关 ，，，，， 则，所以零假设不成立， 即：依据的独立性检验，认为村民的性别与参与管理的意愿有关； （3）不愿意参与管理的男性村民占比为：， 任取3人，则，， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 3．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60 名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周自主锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周自主锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周自主锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周自主锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率估计概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训.依据小概率值的独立性检验，零假设为:学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间相互独立. 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 合计 100 (1)先填写列联表，再依据小概率值的独立性检验，判断是否能认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关; (2)按照短跑成绩是否合格，运用分层抽样的方法从样本中选出5人，再从这5人中随机抽取2人. 记抽取的2人中短跑成绩合格的人数为X，求X的分布列和期望. 参考公式与数据:，其中，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 35 25 60 短跑成绩不合格 10 30 40 合计 45 55 100 有关 (2) 0 1 2 【分析】（1）根据题中所给人数和对应概率计算得出列联表，再代入公式求出卡方值，即可得出结论； （2）易知，利用超几何分布公式计算得出相应概率可求出分布列和期望值. 【详解】（1）列联表为 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 35 25 60 短跑成绩不合格 10 30 40 合计 45 55 100 零假设学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时相互独立. 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关. （2）由列联表知，选出5人中短跑成绩合格的有3人， 因此，从这5人中随机抽取2人，其中短跑成绩合格的人数； 易知，则， ，， 的分布列为 0 1 2 所以的期望. 4．（2026高三·全国·专题练习）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图： (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； (2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表： 超过 不超过 第一种生产方式 第二种生产方式 (3)根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附： 【答案】(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下： （i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高. （iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高. (2)80 超过 不超过 第一种生产方式 15 5 第二种生产方式 5 15 (3)能 【分析】（1）计算两种生产方式的平均时间即可. （2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表． （3）由公式计算出的观测值，再与比较大小即可得结果． 【详解】（1）略 （2）由茎叶图知， 列联表如下： 超过 不超过 第一种生产方式 15 5 第二种生产方式 5 15 （3）由（2）得， 所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 5．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）某科技公司开发了一款AI问答系统．为评估其回答质量，随机抽取了200个用户提问进行测试．将提问按难度分为“简单”和“复杂”两类，将AI的回答质量分为“满意”和“不满意”两档，得到如下列联表． 问题难度 满意 不满意 合计 简单 80 20 100 复杂 65 35 100 合计 145 55 200 (1)根据小概率值的独立性检验，判断AI回答质量与问题难度是否有关； (2)从回答“不满意”的提问中，按问题难度采用分层随机抽样抽取11个提问进行复核，再从这11个提问中随机抽取2个进行用户回访，求抽到的2个提问中至少有1个是复杂问题的概率．附，其中． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有关． (2) 【分析】（1）根据独立性检验的思想计算值，并判断即可； （2）先求得简单问题应抽4个，复杂问题应抽7个，再结合对立事件的概率公式，古典概型概率公式求解即可, 【详解】（1）解：零假设：AI回答质量与问题难度无关， ， 所以根据小概率值的独立性检验，认为零假设不成立，即AI回答质量与问题难度有关，该推断犯错误的概率不超过0.05． （2）解：由题意，简单问题应抽个，复杂问题应抽个， 设事件为“抽到的2个提问中至少1个是复杂问题”， 其对立事件为“抽到的2个全是简单问题”． 所以． 考点06 统计新定义综合 1.逐句拆解题干新定义的计算公式、判定标准； 2.提取样本数据，先完成基础统计量（均值、频率、回归系数）计算； 3.将基础结果代入全新定义公式分步运算； 4.对比数值大小给出结论，结合现实场景文字阐述意义 【典例6】（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）某家电专卖店销售、、三种型号的空调，销售情况如下表所示： 第一周 第二周 第三周 第四周 型数量（台） 型数量（台） 型数量（台） (1)从前三周随机选一周，求这一周型空调销售量既比型空调多又比型空调多的概率； (2)根据以往的销售和维修记录，一台型空调、型空调在销售后五年内需要维修的概率分别为、.为跟踪调查空调的使用情况，从该家电专卖店售出的型空调中随机抽取一台，型空调中随机抽取两台，试估计抽取的三台空调在销售后五年内恰有两台需要维修的概率； (3)直接写出一组、、的值，使得表中三种类型的空调在前四周销售台数的方差相等. 【答案】(1) (2) (3)，， 【详解】（1）由表格中的数据可知，第三周型空调销售量既比型空调多又比型空调多， 第一周和第二周均不满足要求， 故从前三周随机选一周，这一周型空调销售量既比型空调多又比型空调多的概率为. （2）记事件从该家电专卖店售出的型空调中随机抽取一台，型空调中随机抽取两台，抽取的三台空调在销售后五年内恰有两台需要维修， 包含两种情况：①抽取的一台型空调需要维修，抽取的两台型空调中有且只有一台空调需要维修； ②抽取的一台型空调不需要维修，抽取的两台型空调都需要维修. 故. （3）方差相等，即三组数据波动一样， 、、、， 、、、， 、、、， 一组可行解：，，， 三组数据离散程度相同，方差相等，答案不唯一， 此时组数据的平均数为，方差为； 组数据的平均数为，方差为； 组数据的平均数为，方差为. 所以，，满足题意. 【跟踪训练】1．（2026·云南昭通·模拟预测）2026年3月，小马智行与如祺出行共建Robotaxi车队，无人驾驶技术逐步商业化落地.甲、乙两种自动驾驶算法各进行次紧急制动测试，反应时间（单位：秒）分别为：与.已知，，，. (1)求甲、乙两组数据的方差、； (2)若规定：当时，认为甲算法显著优于乙（其中为判定系数）.若， （i）现取，判断甲是否显著优于乙； （ii）若要使“甲算法显著优于乙”成立，求的最大整数值. 【答案】(1)，. (2)（i）甲算法显著优于乙；（ii）4. 【分析】（1）根据题意，先求得平均数，再结合方差公式，即可求解； （2）（i）结合（1）中所得结果，代入判定系数公式，可求得，，比较大小，即可判断； （ii）结合（1）中所得结果，代入判定系数公式，可求得，即的最大整数值为4. 【详解】（1）由题意可得：，，             所以， . （2）（i）由（1）可得，，所以， 又，， 所以当，时，，             因为，可认为甲算法显著优于乙.             （ii）由（1）可得，，，，， 所以，， 又，即，         故的最大整数值为4. 2．（2026·宁夏银川·一模）滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一，如何利用更有效的方法改造这些宝贵的土地资源，成为摆在我们面前的世界级难题．对盐碱的治理方法，研究人员在长期的实践中获得了两种成本差异不大，且能降低滨海盐碱地30-60cm土壤层可溶性盐含量的技术，为了对比两种技术治理盐碱的效果，科研人员在同一区域采集了12个土壤样本，平均分成两组，测得组土壤可溶性盐含量数据样本平均数，方差，B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数，方差．用技术1对组土壤进行可溶性盐改良试验，用技术2对组土壤进行可溶性盐改良试验，分别获得改良后土壤可溶性盐含量数据如下： 组 0.66 0.68 0.69 0.71 0.72 0.74 组 0.46 0.48 0.49 0.49 0.51 0.51 改良后组、组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为和，样本方差分别记为和 (1)求； (2)应用技术1与技术2土壤可溶性盐改良试验后，土壤可溶性盐含量是否有显著降低？（若，则认为技术能显著降低土壤可溶性盐含量，否则不认为有显著降低）． 【答案】(1)， ，， (2)当时，，， ， ， 应用技术1后，土壤可溶性盐含量没有显著降低， 当时，，， ， ， 应用技术2后，土壤可溶性盐含量显著降低． 【分析】（1）借助平均数与方差公式计算即可得； （2）计算出、、与即可得. 【详解】（1），， ，. （2）略 3．（25-26高三上·安徽·阶段检测）我国大部分省市已经实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式，“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数(Raw Score)计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从化学、生物、政治、地理四门学科中“再选”两门学科，以等级分(Grade Scoring)计入高考成绩.按照这个方案，“再选”学科的等级分赋分规则如下：将考生的原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E 五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表： 等  级 A B C D E 人数比例 15% 35% 35% 13% 2% 赋分区间 [86,100] [71,85] [56,70] [41,55] [30,40] 将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为 其中R₁，R₂分别表示原始分区间的最低分和最高分，( 分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，R表示考生的原始分，G 表示考生的等级分，规定原始分为R时，等级分为G.某次化学考试的原始分最低分为45，最高分为94，呈连续整数分布，分成五组：第一组[45，55)，第二组[55,65), 第 三 组 [65,75), 第 四 组 [75,85), 第 五 组[85，95)，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同. (1)根据频率分布直方图求a，b的值，并估计此次化学考试原始分的平均值； (2)按照等级分赋分规则，估计此次考生化学成绩A等级的原始分区间； (3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某同学化学成绩的原始分为83，试计算其等级分. 【答案】(1)a=0.005,b=0.025，69.5 (2)[80,94] (3)89 【分析】(1)由，且，求出，再由平均数公式求解； (2)结合公式求出等级A的原始分区间的最低分为，即可求解； (3)由转换公式求解． 【详解】（1）由题意可知:，且， 解得：， 可知每组的频率依次为：， 则该同学化学原始分的平均值为： ． （2）由频率分布直方图知：原始分成绩位于区间的占比为， 位于区间的占比为， 因为成绩A等级占比为，所以等级A的原始分区间的最低分位于区间，估计等级A的原始分区间的最低分为 ， 已知最高分为，所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为． （3）由公式，得 ，得， 所以该学生的等级分为分. 4．（25-26高三下·陕西西安·期末）光学光电子是AI的算力底座、感知神经与计算新范式，二者深度绑定、相互成就．某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 (1)现从这100件样品中随机抽取2件，求恰有一件为合格品的概率（用分数表示）； (2)在100件样品中随机抽取10件，其中合格品8件，次品2件，再从这10件中随机选出3件，求选出的这3件样品中次品件数的分布列与数学期望； (3)已知切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立．若该工厂声称本厂元件合格率为95%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件．） 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 ． (3)不可信． 【分析】（1）利用组合数计算古典概型概率； （2）根据超几何分布求出随机变量所有可能取值，计算对应概率，写出分布列并求解数学期望； （3）构造二项分布模型，利用切比雪夫不等式求出概率上界，依据小概率事件原理完成统计判断. 【详解】（1）记事件为从这100件样品中随机抽取2件，恰有一件为合格品， 则． 所以 恰有一件为合格品的概率为. （2）随机选出3件，这3件中次品件数的可能取值为0，1，2， 且，，， 所以的分布列为：      0   1   2             数学期望为． （3）设随机抽取100件产品中合格品的件数为， 假设厂家关于产品合格率为95%的说法成立，则， 所以，， 由切比雪夫不等式知，， 即在假设下，100个元件中合格品数量不大于80个的概率上界不超过0.021， 此概率极小，一般来说在一次试验中是不会发生的， 据此我们有理由推断工厂的合格率不可信． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $