专题01 锐角三角函数（专项训练）数学新教材北师大版九年级下册

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01锐角三角函数 内容概览 目常考题型精准突破 题型1求角的正弦、余弦、正切值（重） 题型2由正弦、余弦、正切值求边长（重） 题型3含特殊角的三角函数值的混合运算（高频） 题型4由特殊角的三角函数值判断三角形的形状（高频） 题型5锐角的三角函数中的新定义问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1求角的正弦、余弦、正切值 1 1 2.20.5 3.2 453酒9 ◆题型2由正弦、余弦、正切值求边长 5.5或11 6.12 7.2 50 8.3 ◆题型3含特殊角的三角函数值的混合运算 9 1/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】1+5 (2)-V2 【】解式2 1,1,5 =2×4+22 1,1,3 222 143 2 (2)解：原式=1+2V2-6x5-1=1+22-3N2-1=-2. 2 10. 【答案灯05+子 (②2-V3 【分析】(1)将每个特殊角的三角函数值代入原式，再按照实数的混合运算顺序，先计算乘法，再计算 加法得到结果. (2)先把分子、分母中各个特殊角的三角函数值代入，再对分母进行化简，最后按照分式运算规则完成 计算，必要时进行分母有理化， 【详解】(1)解：2cos45°+sin30°cos60°+√3cos30° =2x5+×t5x5 222 2 =2+42 +1+3 7 =√2+ 4· c0s60° (2)解：tan45°+sin60° 2 1 2-√3 1+g2+52+0- 2 =2-V3」 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11. 【答案】(1)1 (2)2V3 【详解】(1)解：原式=2-2x+ +4× 5-25 2 =2-1+25-2√5 =1: (2)解：原式=3×1+2W3-2-1 =25 12. 【答案】(1)1 4 (23 【详解】(1)解：tan60°+√2sin45°-2cos30° =N5+2×5-2x5 2 2 =V5+1-5 =1: (2)解：tan230°-2sin30°tan45°+8cos260° 1-1+2 3 ◆题型4由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 13.等边 14.钝角 15.等腰直角 16.等边 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型5锐角的三角函数中的新定义问题 17. 【答案】(1) 解：：Rt△ABC中，∠C=90,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、五、c. .,sin 4=4.cos4b b c’a2+b2=c2, .'sin2 4+cos2 4= a2 b2 a2+b2 c2 (②)cosA=2V2 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： (1)根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； (2)利用(1)中关系进行求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：由(1)知：sinA+cos2A=1, :sinA= +c0s2A=1, .'cos2 4= 92 82W2 ..cos 4=V= 3 (负值已舍去). 18. 【答案】(1)1,1,1,1 (2)证明：在Rt△ABC中，∠C=90°， "sin A=4,sin B=b sinA+sin?B= c2, .·∠C=90°， a2+b2=c2, ∴.sin2A+sin2B=1. 4/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12 (3)13 【分析】(1)根据正弦函数的定义，计算即可得出结果；继而可想到在Rt△ABC中，∠C=90°，都有 sin2∠A+sin2∠B=1; (②)在R△MBC中，∠C=90°，利用锐角三角函数的定义得出siA-:,simB=。, c ,则 sin'A+sin'B=+b 。2,根据勾股定理得到d+b=c2,从而证明sin'A什sin'B= (3)利用关系式sin?Asin'B=1结合已知条件sinA= 3,进行求解。 【详架14)解：白图可知：m4sm☑-付9-1， sin2∠4，+sin2B, + sin2∠A+sin2∠B3 〔-， 观察上述等式，可猜想：sin2∠A+sin2∠B=1: (2)略 (3)解：siA= in24+sim2B=1, J 12 GsinB =13 (负值舍去)· 19 【答案】() (2)-13 3)1 【分析】(l)根据sinA=cosB即可求解； (2)由tan4=sin 5cosA+2sinA cosA =4得sin4=4cos4再代入30osA-SinA,即可求解： (3)将原式化简为(anI°.tan89）-(tan2°.tan88)-(tan3.tan87)-(tan4°.tan86）,根据tan A-tan B=1, 即可求解， 5/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：…∠A+∠B=90°，且si4 3 cosB=sinA: sinA (2)tan4= =4 cosA ∴.sinA=4cosA, 5c0s4+2in Scos+2x4cos413c-13 ∴.3cosA-sinA 3cosA-4cosA -cosA (3)tanl°.tan2°.tan3o.tan4°.tan86°.tan87°，tan88°.tan89o =(tanl°.tan89）(tan2°.tan88)-(tan3°.tan87）(tan4.tan86) =1×1×1×1 =1. 20. V6,V2 【答案】()4+4：1：29 sin.xcosx (2) 证明：，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a,AB=c,AC=b, b sin A=4,cos A=c,tan d=d b 0 cosA b b' .'tan 4= sin A cos4. 3) 证明：，tan(a+B)= sin(a+B)sina cos B+cosasin B cos(a+B)cosa cos B-sinasin B sina,sin B tana+tan B cosa cos B 1-tan a tan B 1- sin a sin B cosa cos B sina cos B cosasin B cosa cos B cosacos B cosa cos B-sinasin B cosa cos B 6/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin a cos B+cosasin B cosa cos B cosa cos B-sinasin B cosa cos B sina cos B+cosasin B cos a cos B-sin asin B' ∴.tan(a+B)= tan a+tan B 1-tan a tan B 【分析】本题主要考查了三角函数的有关计算，解题的关键是理解题意，熟练掌握三角函数的定义， (1)根据题干中提供的信息进行计算即可： (2)根据三角函数的定义进行解答即可： sin a cos B+cosasin B (3)根据解析(2)的结论分别求出tan(a+P)= cosa cos B-sina sin B' tana+tan B sin a cos B+cosa sin B 1-tan a tan B cosa cos B-sinasin B' 即可得出结论. 【详解】(1)解：cos15°=cos(45°-30) =cos45°cos30°+sin45°sin30° -2x521 2222 =62 44: sin90°=sin(45°+45) =sin45°cos45°+cos45°sin45° -2x2+2x2 2222 1.1 =一十 2'2 =1: sin 2x=sin(x+x) =sinxcosx+cosxsinx =2sinxcosx; (2)略 (3)略 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.C 2.B 3.B 4.B 5.D 二、填空题 6.60 7.钝角 10.2-V3或1 三、解答题 11. 【答案】(1)3 (2)1 【分析】(1)把60°、45°对应的特殊角三角函数值代入原式，再按照有理数混合运算顺序计算. (2)先分组提取公因式，再利用同角三角函数平方关系sin2x+cos2x=1逐步化简求值. 【详解】山解：in60-5 cos60°+tan245°.tan260° 9r町 =3: (2)解：sin'a+sin2B-sin2asin2B+cos2acos2B =sin2a(1-sin2B)+sin2B+cos2 a cos2B =sin2 a cos2 B+sin2 B+cos2 a cos2 B =cos2 B(sin2a+cos2a)+sin2B 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =cos2B×1+sin2B cos2 B+sin2B =1. 12. 【答案】(1)AD=4 (2)tanC=3 【分析】(1)利用余弦的定义，代入己知线段长求出AD的长： (2)先由勾股定理求出BD的长，再算出DC的长度，最后根据正切的定义求出tanC的值. 【详解】(I)解：~BD⊥AC,垂足为点D, .∠ADB=90°. 在RtABD中，cosA=4D AB AB=5:Cos4=4 5, AD=A4B.Cos A=5x4 4 (2)解：在Rt△ABD中， 由勾股定理得：BD=√AB2-AD2=V52-42=V5=3, AC=5,AD=4, ∴DC=AC-AD=5-4=1, 在Rt△BDC中，∠BDC=90°， .tanC=BD=3=3 DC 1 13. 【答案】03+ 月 2 5 2,此时0=300或0=600 【分析】(1)先对原式进行化简，再结合三角函数关系求解. (2)先对(sin0+cos)'进行展开，再结合韦达定理求出m的值. 9114 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)先将m的值代入原方程，再求解方程的两根，最后根据三角函数值求出0的值. tan 0.sin cos 【详解】(1) tan0-1 1-tan0 =tan0.sin cos0 tan-1 tan-1 sin .sin-cos cos0 sin0-cos0 cos0 sin20-cos20 sin0-cos0 (sin0+cos0)(sin0-cos0) sin0-cos sin 0+cos0 -（5+15+1 sin0+cos0=- y 2 (2)'sine.cos0=c=m a2 32x-(3+1x+5 =0, 2 ①当sin0= 2,cos0- 2时，0=300 ②当sin0= 1 2,cos8-2时：0=60 14. 【答案】(1)解：画图如下： 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则点P即为所求. (2)解：画图如下： B 则点Q即为所求， (3)解：画图如下： M A 则点M即为所求， 【分析】(1)根据题意，得BC-3根据am∠CBP-了，只需作CP-1即可； (2)作AG=AB=5;根据三角形全等的性质，得到△AGB是等腰直角三角形，连接BG,交AC于点 Q,根据an∠AB0=tan45°=1，解答即可； 相似的判定和性质，得到W3AG3B,根据正弧 4G 1 AB tan∠ABM=tan∠ABN=3 3 AB AB3 【详解】山)解：根据愿意，得BC=3作CP=1,则m∠CBP 3； 画图略， 则点P即为所求. 11/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：作AG=AB=5；根据三角形全等的性质，得到△AGB是等腰直角三角形，连接BG,交AC于 点Q,根据tan∠AB0=tan45°=l,画图略. 则点Q即为所求. 3)解：根据三角形相似的判定和性质，得到4W=?AGs =3B,连接BN交AC于点M,根据正切函数 LAG IAB 1 的定义，得到tan∠ABM=tan∠ABN=3n 3 1 AB=AB3 则点M即为所求，画图略. 15. 【答案】(1)1 、89 (22 【分析】(1)根据所给等式总结即可； (2)根据(1)中结论计算即可. 【详解】(1)解：①：sin30°=7，$n60°=sin(90°-30）= 2 ②：sin45°=V2 , asin45°=sin(90°-459）=V2 ..sin'a+sin2(90-a)=1; (2)解：sin'a+sin2(90°-a)=1, ∴.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289o =(sin21°+sin289）+sin22°+sin288)++(sin244°+sin246)+sin245o =1+1++1+ 2 2 12/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1+1++1+2 =4+号 89 =2· 16. 【答案】)6-2 4 (②)2+5 (3)V5+2,此结果与(2)中的结论一致 【分析】(1)根据给出的公式计算即可； (2)将cos75°= 6-√2 4sim75o=2+6代入an2sin2 计算即可： 4 cosa (3)构造含75°的直角三角形，再在75°的角中切出一个60°的角，结合图象即可作答. 【详解】(l)解：：cos(a+B)=cosa cosB--sinasinB, :.c0s75°=cos(30°+45) =cos30°cos45°-sin30°sin45° -3x2_1x2 2222 =6-V2 4； (2)解：tanu= sina ,cos750=V6-V2 cosa 4，sim75°=2+v6 4 .tan75° sin75° c0s75 √2+6 4 6-迈 4 =2+v6 √6-√2 （2+6)6+2) (6-26+2) 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8+4v3 4 =2+N5: (3)解：如图，∠ABC=60°，∠ABD=∠D=15°，则∠CBD=75°， B 2a 30° 15 C 3a A 2a D :tam75°=tan∠CBD=CD=Ba+2a-5+2, BC a 此结果与(2)中的结论一致. 14/14的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01锐角三角函数 内容概览 目常考题型精准突破 题型1求角的正弦、余弦、正切值（重） 题型2由正弦、余弦、正切值求边长（重） 题型3含特殊角的三角函数值的混合运算（高频） 题型4由特殊角的三角函数值判断三角形的形状（高频） 题型5锐角的三角函数中的新定义问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1求角的正弦、余弦、正切值 1.(26-27九年级下·全国课后作业)在△ABC中，∠C=90°，AB=7,BC=3,则sinA的值是 2.(2026福建泉州三模)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=L,AC=5,那么sinM的值是 3.(26-27九年级上山东泰安·阶段检测)如图，△ABC的顶点都在3×2的方格纸的格点上，则∠APD的 正切值为 B 4.(26-27九年级上黑龙江哈尔滨开学考试)已知矩形ABCD中，若AB=4,BC=2,点E为CD的中 点，F为AB上一点，连接EF、DF,EF=V5,则cOS∠EDF= ◆题型2由正弦、余弦、正切值求边长 5（2627九年级上照龙江哈尔滨阶段检测)在。MC中，mB-, 2’AB=45,AC=5,则BC的长为 6. (2025九年级全国专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点.若 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD=10,cosB=5,则4C的长为 4 D 7.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨阶段检测)如图，点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE, 3 sin∠MBE=亏，AF是。ABE的中线，若AF=5?则DE的长为 E D 8.(2026广东佛山二模)在矩形ABCD中，点E是边BC上一点，连接DE,过A作AF⊥DE于点F, 苦B=BF,DP=3,sin ZDAF=,则矩形ABCD的面积是 D ◆题型3含特殊角的三角函数值的混合运算 9.(26-27九年级上山东淄博阶段检测)计算： (1)2sin230°+cos245°+sin60°tan45° (2(N2-°+v8-6sin45+(-)20". 10.(26-27九年级上山东菏泽阶段检测)求下列各式的值： (1)2cos45°+sin30°cos60°+V3cos30°： c0s60° (②)tan45°+sin60°： 11.(26-27九年级上黑龙江大庆·阶段检测)计算： 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2cos60°+4sin60°-√12 2)3tan45°+2v3-2-(π-v5)」 12.(26-27九年级上山东泰安·阶段检测)计算： (1)tan60°+V2sin45°-2cos30°： (2)tan230°-2sin30°tan45°+8cos260° ◆题型4由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 1且(225九年级下辽宁法阳专题等习)在。AC中，∠4∠B部是说角，血4= 2,anB=√3，则 △ABC是 三角形. 14.(25-26九年级上山东枣庄阶段检测)在A4BC中，5anA-+(V2-2c0sB=0,则。4BC是 三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”） 5.2026苏淮安模)在MBC中，若m1V2 2 0-m0,∠∠B都是领角.则ABC 是 三角形。 是锐角，则△ABC是三角形. ◆题型5锐角的三角函数中的新定义问题 17.(2025四川攀枝花中考真题)如图，已知Rt△4BC中，∠C=90°，∠4、∠B∠C的对边分别为a、 b、c. B a b (I)根据锐角三角函数的定义，证明：sin2A+cos2A=1； 319 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)若simA=3,求cosA的值. 18 ,(26-27九年级下·全国课后作业)如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： B B B B3 3 A C21A2C34 图1 图2 图3 图4 (1)sin2+sin2B.= sin2+sin2B2 = sin2+sin2B3=. 观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B= (2)如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠4，∠B,∠C的对边分别是4，b,c,利用正弦的定义和勾股定理，证明 (1)中的猜想： 5 (3)已知∠A+∠B=90,且sinA=3,求sinB的值. 19.(26-27九年级下·全国单元测试)【阅读理解】如图，在直角三角形中，由锐角三角函数的定义我们 容易得到以下结论： A b C a B inA=a ① →sinA=cosB cos B=- ② sind_a.c=a=tand; cosA c bb tanA= ③ →tanA.tanB=l tan B= b a 419 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【牛刀小试】 02知∠4+∠B=90,且simA =3,则cosB= 5cosA+2sinA (②己知∠A为锐角，且tanM=4,求3cosA-sin4的值： (3)试求出tanl°.tan2°.tan3.tan4o.tan86°.tan87°.tan88°.tan89°的值. 20.(25-26九年级下江苏无锡阶段检测)定义：sin(a+P)=sina cosB+cosasin B, cos(a+B)=cosa cos B-sina sin B sin(a-B)=sina cos B-cosasin B, cos(a-B)=cosa cos B+sin asin B. 例如：c0s30°=c0s(60°-30）=c0s60°cos30°+sin60°sin30° 1V5,5.1V3 =一X -X一= 22222 ()cos15°=，sin90°=—，sin2x=—: ②如图，在Rt△4BC中，∠C=90,BC=a'AB=c'AC=b:求证：anA=SnA cos 4: B a ◇ b A (3)利用(2)中的结论证明： tan a+tan B tan(a+B)=- l-tana tan B1-tan a tan B≠0，cosa cosB≠0）· 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(26-27九年级上山东淄博阶段检测)在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=V3,则∠A=() A.30° B.45° C.60° D.90° 2.(26-27九年级上山东济宁阶段检测)如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosC的值是 519 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A. c. D.26 5 3 3。(2026安徽阜阳一模)如图，直线y=4-3与x轴，y轴分别交于A'B两点，则si血∠0AB的值为 () 0 A A3 5 c.s 4.(2026河北廊坊二模)如图， CD是a4Bc中AB边上的中线，且cD=AD:已知AB=5,sim4=子 △ABC的外角平分线BE交AC的延长线于点E,则CE的长为() E B A.5 B.6 C.7 D.8 5.(2026湖北孝感三模)如图，己知正方形ABCD的边长为12，点E,F为边AB的三等分点，DF与 CE交于点G,连接AG,则tan∠GAB的值为() 619 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G E B A 3 B D.2 二、填空题 6.(26-27九年级上全国单元复习)已知a为锐角，且2c0s(a-15)=V2,则&=一。 7.(2026九年级上全国专题练习)在AABC中，5anA-l+(V5-2c0sB'=0,则。4BC是 三 角形. 8.(25-26九年级上河南安阳阶段检测)如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， △ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为 C B 9(26-27九年级上：黑龙江哈尔滨阶段检测)阅读下面材料，sm30= 2'c0s30= 2，则 sin0+cos301 sin45 2 ,c0s45°= 2,则sin245+cos245°=1，已知∠A为锐角(cosA>0)且 sin A= 3,则cosA= 10.(2026上海奉贤·三模)如图，己知等腰直角三角形ABC,∠ACB=90°，AC=BC=2.将边AC绕 点A顺时针旋转a(0<a≤90)得到AP,连接CP、PB,如果△PBC是以BP为腰的等腰三角形，那么 ∠BCP的正切值是 A b 三、解答题 11.(26-27九年级上江苏苏州阶段检测)计算题： 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)计算： 2sin60°- 2cos60°+ian245°.tan260°： (2)已知a、B是锐角，请化简：sin2a+sin2B-sin2 asin'B+cos2acos2B 2(26-27九年级上河北石家庄阶段检测)如图，在等腰三角形BC中，B=C=5,os正 BD⊥AC,垂足为点D (I)求AD的长： (2)求tanC的值. 13.(26-27九年级上江苏苏州阶假检测)已知关于x的方程2x-(5+小x+m=0的两根为sin9和cos0, 0为锐角.求： tan.sin cos0 (1) tan0-1 1-tan0的值： (2)m的值： (3)方程的两根及此时的8的值； 14.(26-27九年级上·吉林长春·阶段检测)如图①、图②、图③均是7×6的正方形网格，每个小正方形的 边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定 的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法 B 图① 图② 图③ 0在图O中的边4C上恒点p连接Bp·使m∠CBP 3: (2②)在图②中的边AC上画点，连接B0,使an∠AB0=l: ③)在图③中的边4C上面点M:连接BM:使m∠BM 31 15.(26-27九年级上山东淄博阶段检测)观察下列等式： 819 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①sim30°2，sim60°-V3 1 2；②sin45°= 2,cos450= 2:③cos30°= 1 2，C0s60°= 2 (1)根据上述规律，计算sin'a+sin2(90°-a)=[注：sin'a=(sina)]. (2)求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的值 16.(26-27九年级上山东淄博开学考试)亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公 式： sin(a+B)=sin a cos B+cosasin B,cos(a+B)=cosa cos B-sinasin B 例：sin75°=sin(30°+45）=sin30°c0s45°+cos30°sin45°-V2+v6 4 (1)试仿照例题，求出cos75°的准确值： (2)我们知道：tana=sina cosa,试求出an750的准确值； (3)根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出tan75°的准确值（要求分母有理化），和 (2)中的结论进行比较. 919 专题01 锐角三角函数 常考题型·精准突破 题型1 求角的正弦、余弦、正切值（重） 题型2 由正弦、余弦、正切值求边长（重） 题型3 含特殊角的三角函数值的混合运算（高频） 题型4 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状（高频） 题型5 锐角的三角函数中的新定义问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 求角的正弦、余弦、正切值 1．（26-27九年级下·全国·课后作业）在中，，，，则的值是______． 【答案】 【分析】根据锐角正弦的定义计算，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 2．（2026·福建泉州·三模）在中，，，，那么的值是________． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再由锐角三角函数的定义即可求出的值. 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 根据锐角三角函数的定义可得：． 3．（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，的顶点都在的方格纸的格点上，则的正切值为___________ 【答案】 2 【分析】作，连接，根据正切的定义进行求解即可. 【详解】解：作，连接，如图，则， 由网格特征可知，， 设小正方形的边长为1，则，， ∴. 4．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知矩形中，若，，点为的中点，为上一点，连接、，，则___________． 【答案】 或/或 【分析】分F靠近点A和F靠近点B两种情况，过F作于G，利用矩形性质和勾股定理求出和的长度，再根据锐角三角函数的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ① 点F靠近点A，垂足G在上时： 如图1，作于， ∵ 四边形是矩形， ∴，，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ ，是中点， ∴ ， ∴ ， 在中，，， ∴ ； ② 点F靠近点B，垂足G在上时： 如图2，作于， ∵ 四边形是矩形， ∴，，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在中，，， ∴ ， 综上，的值为或． ◆题型2 由正弦、余弦、正切值求边长 5．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，，，则的长为______________． 【答案】 或 【分析】根据题意分情况作图，过点作于，利用三角函数定义和勾股定理分别计算各线段长度即可得到的长. 【详解】解：过点作于， 情况1：垂足在线段上， ∵ ， 设，则， 在中，， ∴， 解得（负值舍去） ∴，， 在中，， ∴， ∴； 情况2：垂足在线段延长线上， 同理可求，，， ∴； 综上，的长为或. 6．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，D为AB的中点．若，则AC的长为_______． 【答案】12 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质求得，由余弦函数求得，得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，为的中点， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形斜边中线是斜边的一半是解题关键． 7．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，点为正方形的边上一点，连接，，是的中线，若，则的长为______________． 【答案】 【分析】根据正方形性质得出，，利用直角三角形斜边中线性质得出，利用三角函数定义求出，利用勾股定理求出，进而可求出的长． 【详解】解：∵点为正方形的边上一点， ∴，， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·广东佛山·二模）在矩形中，点E是边上一点，连接，过A作于点F，若，，，则矩形的面积是______． 【答案】 【分析】过点B作于点G，则，再由矩形的性质得，从而有；在中由正弦函数关系求得，由勾股定理求得，在中由正弦函数关系求得，即可求得矩形的面积． 【详解】解：如图，过点B作于点G，则， ∵， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴； ∵，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∴， 在中，， ∴， ∴矩形的面积为． ◆题型3 含特殊角的三角函数值的混合运算 9．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． 10．（26-27九年级上·山东菏泽·阶段检测）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将每个特殊角的三角函数值代入原式，再按照实数的混合运算顺序，先计算乘法，再计算加法得到结果． （2）先把分子、分母中各个特殊角的三角函数值代入，再对分母进行化简，最后按照分式运算规则完成计算，必要时进行分母有理化． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 11．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）计算： (1) (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◆题型4 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 13．（2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 【答案】等边 【分析】先根据特殊角的三角函数值得到和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形的分类判断三角形类型． 【详解】解：在中，，都是锐角，，， ，， ， 的三个内角都是， 因此是等边三角形． 14．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）在中，，则是______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】本题考查了绝对值，平方数的非负性，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，利用绝对值和平方的非负性可得，，求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， 故答案为：钝角． 15．（2026·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是___________三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 16．（2026九年级下·江苏连云港·专题练习）在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 【答案】等边 【分析】利用绝对值和平方的非负性求出与的值，结合锐角条件确定的度数，再通过三角形内角和求出，最终判定为等边三角形。 【详解】解：∵， ∴根据绝对值和平方均非负， ∴，． ∵、为锐角， ∴，，则， ∴为等边三角形． ◆题型5 锐角的三角函数中的新定义问题 17．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 18．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： (1)______； ______； ______． 观察上述等式，猜想：在中，，都有______； (2)如图4，在中，的对边分别是，利用正弦的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)已知，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1，1 (2)证明：在中，， ， ． (3) 【分析】（1）根据正弦函数的定义，计算即可得出结果；继而可想到在中，，都有； （2）在中，，利用锐角三角函数的定义得出，，则，根据勾股定理得到，从而证明； （3）利用关系式，结合已知条件，进行求解． 【详解】（1）解：由图可知：， ， ， 观察上述等式，可猜想：； （2）略 （3）解：， （负值舍去）． 19．（26-27九年级下·全国·单元测试）【阅读理解】如图，在直角三角形中，由锐角三角函数的定义我们容易得到以下结论： ① ②； ③． 【牛刀小试】 (1)已知，且，则__________； (2)已知为锐角，且，求的值； (3)试求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据即可求解； （2）由得，再代入，即可求解； （3）将原式化简为，根据，即可求解． 【详解】（1）解：，且， ； （2）， ， ； （3） ． 20．（25-26九年级下·江苏无锡·阶段检测）定义：， ， ， ； 例如： (1)______，______，______； (2)如图，在中，，，，；求证：；    (3)利用（2）中的结论证明： （，）． 【答案】(1)；1； (2) 证明：∵在中，，，，， ∴，，， ∵， ∴． (3) 证明：∵ ， ∴． 【分析】本题主要考查了三角函数的有关计算，解题的关键是理解题意，熟练掌握三角函数的定义． （1）根据题干中提供的信息进行计算即可； （2）根据三角函数的定义进行解答即可； （3）根据解析（2）的结论分别求出，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； ； ； （2）略 （3）略 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）在中，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，， ∴为锐角， 又∵， ∴． 2．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：， ∴． 3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两点的坐标，再根据勾股定理和正弦的定义，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴. 4．（2026·河北廊坊·二模）如图，是中边上的中线，且．已知，，的外角平分线交的延长线于点，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由已知条件可得，从而求出，的长，过点作的延长线于点，利用角平分线的性质得，再利用即可求出的长． 【详解】解：，是中边上的中线， ，， ， ， ， ，， ， ， 过点作于点， 的外角平分线交的延长线于点，， ， ， ． 5．（2026·湖北孝感·三模）如图，已知正方形的边长为12，点E，F为边的三等分点，与交于点G，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作交于点，证明以及，结合解题即可． 【详解】解：如图，过点作交于点， 由题意知，，， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得； ∴． 二、填空题 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知为锐角，且，则______． 【答案】60 【分析】先对已知等式变形得到的值，结合特殊角的三角函数值和为锐角的条件，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵为锐角，即， ∴， ∴． 7．（2026九年级上·全国·专题练习）在中，，则是______三角形． 【答案】钝角 【分析】先利用绝对值、平方的非负性得到、，求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形． 8．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为________． 【答案】 【分析】根据图形可以得到，，，，然后根据勾股定理可以得到的长，从而可以计算出的值． 【详解】解：如图， 由图可得，，，，， ∴， ∴． 9．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阅读下面材料，，则，则，已知为锐角且，则___________． 【答案】 【分析】由题干给出的例子归纳得到，代入已知的值，结合即可求出结果． 【详解】解：由题干给出的例子可归纳得：任意锐角满足 ∵， ∴． 10．（2026·上海奉贤·三模）如图，已知等腰直角三角形，，．将边绕点顺时针旋转得到，连接、，如果是以为腰的等腰三角形，那么的正切值是_______． 【答案】或1 【分析】①当时，如图，过P作于E，过C作于F，则可得，证明，则，，由勾股定理可得，则可得，，根据正切的定义即可求出的正切值． ②当时，可证四边形是正方形，则，进而可得的正切值． 【详解】解：①当时，如图，过P作于E，过C作于F， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当时，如图， ∵旋转， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴的正切值是或1． 三、解答题 11．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）计算题： (1)计算：； (2)已知、是锐角，请化简：． 【答案】(1)3 (2)1 【分析】（1）把、对应的特殊角三角函数值代入原式，再按照有理数混合运算顺序计算． （2）先分组提取公因式，再利用同角三角函数平方关系逐步化简求值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦的定义，代入已知线段长求出的长； （2）先由勾股定理求出的长，再算出的长度，最后根据正切的定义求出的值． 【详解】（1）解：，垂足为点， ， 在中，， ，， ； （2）解：在中， 由勾股定理得：， ，， ， 在中，， ． 13．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知关于的方程的两根为和，为锐角．求： (1)的值； (2)的值； (3)方程的两根及此时的的值； 【答案】(1) (2) (3)，，此时或 【分析】（1）先对原式进行化简，再结合三角函数关系求解． （2）先对进行展开，再结合韦达定理求出的值． （3）先将的值代入原方程，再求解方程的两根，最后根据三角函数值求出的值． 【详解】（1） ． （2）， ， ． （3）， ，解得，， ①当，时，， ②当，时，． 14．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中的边上画点，连接，使； (2)在图②中的边上画点，连接，使； (3)在图③中的边上画点，连接，使． 【答案】(1)解：画图如下： 则点P即为所求． (2)解：画图如下： 则点Q即为所求． (3)解：画图如下： 则点M即为所求． 【分析】（1）根据题意，得，根据，只需作即可； （2）作；根据三角形全等的性质，得到是等腰直角三角形，连接，交于点Q，根据，解答即可； （3）根据三角形相似的判定和性质，得到，根据正切函数的定义，得到． 【详解】（1）解：根据题意，得，作，则， 画图略， 则点P即为所求． （2）解：作；根据三角形全等的性质，得到是等腰直角三角形，连接，交于点Q，根据，画图略． 则点Q即为所求． （3）解：根据三角形相似的判定和性质，得到，连接交于点M，根据正切函数的定义，得到， 则点M即为所求，画图略． 15．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）观察下列等式： ①，；②，；③，． (1)根据上述规律，计算 [注：]． (2)求的值 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据所给等式总结即可； （2）根据（1）中结论计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②∵， ∴， ∴； ； （2）解：∵， ∴ ． 16．（26-27九年级上·山东淄博·开学考试）亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式： ， 例： (1)试仿照例题，求出的准确值； (2)我们知道：，试求出的准确值； (3)根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出的准确值（要求分母有理化），和（2）中的结论进行比较． 【答案】(1) (2) (3)，此结果与（2）中的结论一致 【分析】（1）根据给出的公式计算即可； （2）将，代入计算即可； （3）构造含的直角三角形，再在的角中切出一个的角，结合图象即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，，， ∴ ； （3）解：如图，，，则， ∴， 此结果与（2）中的结论一致． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $