第一章 直角三角形的边角关系（单元自测·培优卷）数学北师大版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元自测 第一章 直角三角形的边角关系·培优卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，，如果的正弦值是，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．在 中，，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．定义：圆心在原点，半径为1的圆称为单位圆．如图，已知点在单位圆上，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则梯子的高度为（    ） A． B． C． D． 5．在ABC中， ，则ABC一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 6．课外活动小组测量学校旗杆的高度.如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米，那么旗杆AB的高度约为（   ） A．12 B． C． D． 7．如图，沿折叠矩形，使点落在边的点处，若，则的长为（　　） A．6 B．8 C．9 D． 8．如图，将以直角顶点为旋转中心，按顺时针方向旋转得到，延长，交于点，设，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图．在x轴的上方，直角绕原点O按顺时针方向旋转，若的两边分别与函数和的图象交于、两点，则大小的变化趋势为（    ） A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．先变大再变小 D．保持不变 10．如图，在中，，是线段上的动点（不含端点、）．若线段长为正整数，则点的个数共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在中，，如果，，那么 ． 12．如图，在中，，，，则的长为 ．    13．王子和小于两人相约一起去篮球馆打篮球．已知王子家B在小于家A的北偏西方向上，．两人到达篮球馆C处后，发现小于家A在篮球馆C的南偏西方向上，王子家B在篮球馆C的南偏西方向上．则小于家A到篮球馆C的距离 （结果精确到；参考数据：，，） 14．如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接、、．若，，则的长为 ． 15．如图，赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．已知小正方形的面积为4，连结．若平分，则大正方形的面积为 ． 16．在，，，点为直线上一点，若，，则的长为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）计算： (1) (2)． 18．（6分）如图，在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点在第一象限内，，． (1)求：点的坐标．(2)求：的值． 19．（8分）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到C的小路，经测量，． (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A处停止奔跑，现在小狗从点B出发，奔跑t秒后到达小路上的某点，此时小狗与淇淇的距离最近，求t的值． 20．（8分）如下图，在Rt中，是边上的一点， (1)的长为__________，的长为__________，的长为__________． (2)求点到的距离． 21．（10分）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题： (1)______； (2)请仅用无刻度的直尺作图（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）． ①如图1，在边上求作一点，使； ②如图2，在边上求作一点Q，使． 22．（10分）现有一台红外线理疗灯(如图1所示)，该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空：______°，______°； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．(参考数据：，，，) 23．（12分）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如，在计算时，可构造如图所示的图形．在中，，，设，延长至点，使得，连接，易知，所以． 任务． (1)请根据上面的步骤，_________． (2)请类比这种方法，画出图形，并计算的值． (3)在中，，，请你直接写出的值． 24．（12分）综合与实践：如图①，这个图案是三世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，“受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图②，直线上从左至右依次有、、三点，，，，． 【观察感知】通过观察图②，可以得出与的数量关系为_____． 【类比迁移】如图③．在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点，连结，交于点． （）求证：； （）的值为_____． 【拓展延伸】在【类比迁移】的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元自测 第一章直角三角形的边角关系·培优卷（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 个 8 10 A D B B D C B D c 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）》 11.25 12.12 13.4.2km 14.25 15.20+8V5 16.3或5 三、解答题（共8小题，共72分） 17.【详解1D解：原武-5×5-2×2+1x-1+: 3分 2 22 2 2》解，原式-2x2×31=1+1-3. 6分 2 18.【详解】(1)解：作BC⊥x轴，垂足为C, B :sin∠801=3,80=5， BC=3, 1分 由勾股定理得：0C=√25-9=4， .B4,3 3分 (2)解：：点A的坐标为10,0)， .0A=10, .0C=4 AC=6, 1/9 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB=√AC2+BC2=3V5, …5分 Cos 2B40=AC25 6分 AB 5 19.【详解】(1)解：：∠D=90°，AD=7m,DC=24m, .在RIAADC中，AC=√AD2+CD2=25(m), .小路AC的长为25m: .2分 (2)如图所示：过B作BH⊥AC, 当小狗在小路CA上奔跑，且跑到点H的位置时，小狗与淇淇的距离最近， .AB =20m,CB =15m.AC =25m, .AC2=625,AB2+BC2=625, 即AC2=AB2+BC2, .∠ABC=90°， 4分 则Sx4a:6c 24C~8H, 即8H=4B.8C_20×15-12m, AC 25 HC=BC2-HB2 =9(m), 6分 :由题意可得：HC+BC=9+15=24(m), 则24÷2=12(s), 当小狗在小路CA上奔跑时，小狗需要跑12秒与淇淇的距离最近. 8分 20.【详解】解：(1)在Rt△ACD中，cos∠4DC=CD AD 即3 6 5 AD .AD=10AC=√AD2-CD2=8.… 1分 在Rt ABC中，tanB=4C, BC 即 28 3 BC BC=12, 2分 .AB=√AC2+BC2=4V3.… 4分 (2)如图，过点D作DE⊥AB于点E. 2/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E .BC=12,CD=6.BD=6, 0 B 在R68BD中.an8-E-子De+E=D. :DE2+9DE2=36, 6分 解得：DE=12v13 13 故点D到AB的距离为123 8分 13 21.【详解】(1)解：如图所示：过C作CH⊥AB, 根据题意，可知S。ABc= BCX4AB×CH 2 2 二，AB=V42+42=4√2，BC=6,AC=V22+42=25, .6×4=42×CH, :CH=32, … 2分 :sin∠BAC=CH_3V2310 AC2510 故答案为：3而 .4分 10 (2)解：①如图所示P为所求， 3/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 D 7分 B C 图1 ②如图所示，Q为所求， M G 10分 B H 图2 22.【详解】(1)解：如图，延长AC交DG于G点，延长ME交DG于H点，.1分 21 E B A 图2 MF :AC⊥AF,AF∥I, AC⊥1，.∠CGD=90°， ∠BCD=154°， ∠GCD=180°-LBCD=26°， ∠1=90°-∠BCD=64°.3分 4/9 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠1+∠CDE+∠2=180°， ∠2=180°-64°-63°=53°. 故答案为：64,53；…5分 (2)解：：LA=∠HMA=∠CGD=90°， :.四边形AMHG是矩形，AG=MH. :∠2=53°，∠EHD=90°，∠HED=37°， :在Rt△EDH中，DE=30cm,cos∠HED=EH DE .EH=DE·cos∠HED=30×cos37°≈24cm), 7分 :EM =50cm .MH EM +EH =74(cm), :AG MH =74cm .AC=AB+BC=12+26=38(cm),..CG=AG-AC=36(cm), 8分 :在Rt△CGD中，∠GCD=90°-∠1=26°，cos∠GCD= CG CD .i.CD=_ CG 36 ≈40(cm), cos∠GCD cos?26° 答：此时伸缩杆CD的长度约为40Cm.… 10分 23.【详解】(1)解：由题意得：AC=x,CD=2x+√3x, Atam15°=4C-,x。=2-5, AD 2x+3x 故答案为：2-√； 3分 (2)如图所示， 在Rt△ACB中，LC=90,LABC=45°，延长CB到点D,使得BD=AB,连接AD, A 45 22.5 B D 则∠BAD=∠D, :LABC=2∠D=45 ∠D=22.5°， … 5分 设AC=BC=x,则AB=BD=√2x, 故CD=BC+BD=x+√2x, 5/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .tan22.5°= AC =√2-1： CDx+√2x 7分 (3)如图所示， 在Rt△ACB中，∠C=90°，取AC上的点D,使得BD=AD,连接BD, B .∠A=∠DBA D ∠BDC=∠A+∠DBA=2∠A, 9分 BC 1 :tan∠BDC= CD2' 设BC=x,则CD=2x, :BD=BC2+CD2=+(2x)2=5x, :AD BD=5x 则AC=CD+AD=2x+V5x, BC x 1 ∴.tanA= AC 2x+5x 2+5 =V5-2. … 12分 24.【详解】解：观察感知：：AB⊥BC,AD⊥1，CE⊥1， ∴∠ABC=∠ADB=∠BEC=90°， .∠ABD=LBCE=90°-∠CBE, AB=BC, ·.△ABD≌ABCE(AAS), :BD=CE, 故答案为：BD=CE;… 2分 类比迁移(1)证明：由题可知，∠ADB=∠ABC=∠BEC=90°， ∴∠ABD=∠BCE=90°-∠CBE, 由旋转可知，AB=BC, 3分 在△ABD和△BCE中， I∠ADB=∠BEC ∠ABD=∠BCE, AB=BC 6/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .△ABD≌ABCE(AAS): …5分 (2)解：如图，过N作NM⊥BE于点M, D B AABD≌aBCE, AD=BE=I2,BD=CE=4,∠BAD=∠CBE, ∴DE=BD+BE=4+12=16, :tan∠AED=MN-AD_l23 7分 ME DE 16 4' 设MN=3x,则ME=4x, :tan∠BAD=BD-4_1 AD123 ·tan∠MBN=MW_】 BM 3' .BM =3MN =9x, .BE=BM+ME=9x+4x=13x=12, 12 ..x= 13 ·BM=9x=108 13, :∠BAD=∠CBE,∠D=∠BMN=90°， △ABD∽△BNM, 108 .BN_BM-13=9, AB AD 12 13 9 故答案为： 3: 10分 拓展延伸：当点P在AD左侧时，过P作PQ1AB于点Q,如图， 719 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B :tan∠ABD=P、AD 3, BO BD ∴.设PQ=3a,则BQ=a, :.PB=PO2+BO =(3a)+a=10a, :tan∠BAP=Pe_3 AQ4’ ..AO=4a, .AB=AO+BO=4a+a=5a, :AB=VAD2+BD2=V122+42=410, 5a=410, 410 .a= Pg=i0a=i0×4i0-8, 5 DP=PB-BD=8-4=4; 当点P在AD右侧时，过P作PG⊥AB的延长线于点G,如图， ▣ D B G .tan∠PBG=tan∠ABD, PG AD ÷BGBD =3, 设BG=a,则PG=3a, PB=PG2+BG2=(3a)+a=10a, 8/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 tan ZBAP=PG_3 AG4’ .AG=4a, .AB=AG-BG=4a-a=3a=4v10, a=410 3 PB=10a=iox41040 33 DP=PB+BD=4 *452 3 3； 综上，DP的长为4或2， 12分 3 9/9命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元自测 第一章直角三角形的边角关系·培优卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.在：48C中，∠C=90,如果∠4的正弦值是号则下列各式正确的是() A.AB=3BC B.AB=3AC C.AC=3BC D.BC=3AC 【答案】A 【分析】 【详解】：在RiABC中，∠C=90°，simA=8C=1, AB3' ∴.AB=3BC, 故选A. 2.在RtaABC[中，∠C=90°[，若AB=13,BC=5,则sinA=() A,2 B.2 5 c号 D. 5 13 【答案】D 【分析】 【详解】解：：在RtAABC[中，∠C=90[,若AB=13,BC=5[, “sinA=BC、s AB 13' 故选：D 3.定义：圆心在原点，半径为1的圆称为单位圆.如图，已知点P(x,y(x>0,y>0)在单位圆上，则 sin ZP0A等于() 承y P(x,y) A.x B.y C. D. y 1/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 详解】解：过P作PEL0A于E则sin P0A5-y,了 P(x,y) E A主 故选B. 【点睛】本题考查的是正弦的定义，掌握定义是解题的关键. 4.如图，梯子AB=AC=a,梯子与地面的夹角为60°，则梯子的高度AD为() 60 B A.20 B.3 2 a C.a D. 2 a 【答案】B 【详解】解：：AD⊥BC, .∠ADC=90°， :∠C=60°， :4D=ACBinC=4Cin60°=ax5-5。 22a, 故选：B. 5.在△ABC中， (2cosA-√2)+1-tanB=0,则△ABC一定是() A.直角三角形B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【答案】D 【详解】解：：(2cosA-V2+1--tan B=0 (2cos4-2)=0,1-tan B=0 2cosA-√2=0,1-tanB=0 2/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·cosA= 2，tanB=l .∠A=45°，∠B=45° .∠C=180°-LA-∠B=90°，BC=AC “△ABC一定是等腰直角三角形 故选：D, 【点晴】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对 值、三角函数的性质，从而完成求解。 6.课外活动小组测量学校旗杆的高度如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长 BC为24米，那么旗杆AB的高度约为() B 30°7C A.12 B.6√5 C.83 D.122 【答案】C 【分析】 【详解】解：依题意，tan∠ACB=tan30°=4B BC 则ABV5 243 解得：AB=8V3米， 故选：C 7.如图，沿AE折叠矩形ABCD,使点D落在BC边的点F处，若CF=4,cos∠EFC=,则AB的长为() A.6 B.8 C.9 D.10 【答案】B 3/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， AB=DC,∠C=90°. CF=4,cos∠EFC=4 ÷COsLEFC=CF、44 EFEF 5 .EF=5. CE=VEF2-CF2=V52-43=3. :沿AE折叠矩形ABCD,使点D落在BC边的点F处， :DE=EF=5. :AB=DC=DE+CE=5+3=8. 故选：B. 8.如图，将Rt△ABC以直角顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转90°得到Rt△DEC,延长AB,交DE于 点F,设tanA=k,则AF:DF的值为() D B C A.1-k B.k C.I D 【答案】C 【详解】解：在RIA ABC中，tanA=BC =k, AC 设AC=a,则BC=ak, 由旋转的性质得：CD=AC=a,CE=BC=ak,∠D=∠A, .BD CD-BC=a-ak,AE=AC+CE a+ak, :∠A+∠ABC=90°，∠ABC=∠DBF,∠A=∠D, .∠D+∠DBF=90°， ∠DFB=90°， ·△DBF和△AEF都是直角三角形， 在Rt△DFB中，cOsD=DF=DF BD a-ak 4/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AFAF 在RtaAEF中，COSA= AE a+ak' :∠D=∠A, DE AF a-ak atak' AF a+ak a(1+k)1+k DF a-ak a(1-k)1-k' 即AF:DF=1+ Γ1-k 故选：C 2 9.如图.在x轴的上方，直角B0A绕原点O按顺时针方向旋转，若∠B0A的两边分别与函数y=二和 y=-二的图象交于A、B两点，则∠OAB大小的变化趋势为() 2 V=- B y= 0 A.逐渐变小 B.逐渐变大 C.先变大再变小D.保持不变 【答案】D 【详解】解：如图，过点A作AN⊥x轴于点N,过点B作BM⊥x轴于M, y y=- B 1 M ON :∠A0B=90°， ∠B0M+∠A0N=∠A0N+∠0AN=90°， .∠BOM=∠OAN, .∠BM0=∠AN0=90°， △BOM∽a0AN, 5/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BM OM ON AN' 》 n.)(m).BM -2.o#-m.ow-n. n m n 2 ∴.1mn=, mn mn=√2， ∠A0B=90°， tam∠0AB-OB0, OA ,△BOM∽△OAN, OB_BM-⊥-5®， OA ON mn 2 由O②可得，an∠01B=5,为定值， 2 故选：D 10.如图，在ABC中，AB=8V2,BC=14,∠B=45°，D是线段BC上的动点（不含端点B、C).若线段 AD长为正整数，则点D的个数共有() B D A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】C 【分析】 【详解】解：过点A作AE⊥BC,如图： B D :∠B=45°，∠AEB=90°， .∠B=∠EAB=45°， 6/22 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AE BE, 在Rto AEB中，AE2+BE2=AB2, 2AE2=AB2=(822, 解得：AE=BE=8, .EC=BC-BE=14-8=6, AC=V√AE2+EC2=V82+62=10, 8≤AD<8V2, 线段AD长为正整数， AD为8或9或10或11，共4个数： 当AD为8时，点D与E重合，只有一条线段； 当AD为9时，可在E点的左右两边，有两条线段； 当AD为10时，在E点的左边，只有一条线段： 当AD为11时，在E点的左边，只有一条线段： ·.一共有5条线段； 故选：C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果anB=2,BC=2,那么AB=_ 【答案】25 【详解】解：：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=2,BC=2, :4C=2,则4C=BCan8:2×2:4, BC .AB=VBC2+AC2=V22+42=2V5. 故答案为：2√5. 12.如图，在6Bc中，sn8-手snC-子，48=10，则4C的长为 【答案】12 【详解】解：过A作AH⊥BC于H, 7122 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B H sin B=AH=4 AB 5' :AB=10, .AH=8, sinC=4H2 AC 3' 4C=AH=12, 2 故答案为：12. 13.王子和小于两人相约一起去篮球馆打篮球.已知王子家B在小于家A的北偏西25°方向上，AB=3km·两 人到达篮球馆C处后，发现小于家A在篮球馆C的南偏西25°方向上，王子家B在篮球馆C的南偏西70°方 向上.则小于家A到篮球馆C的距离AC=(结果精确到0.1km;参考数据：sin50°≈0.77， c0s50°≈0.64，tan50°≈1.19) 北 50 》东 A 【答案】4.2km 【分析】 【详解】解：如图，过点B作BD⊥AC,垂足为D 北 东 A 由题意，得∠BAC=25°+25°=50°，∠BCA=70°-25°=45°， 在Rt△ABD中，AB=3km, .AD=ABc0s50°≈3×0.64=1.92(km,BD=AB.sin50°≈3×0.77=2.31km, 8/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在Rta BDC中，CD=BD=231-231km. tan45°1 AC=AD+CD=1.92+2.31=4.23≈4.2(km), 故答案为：4.2km. 14.如图，在菱形ABCD中，点E,F分别是BC,CD的中点，连接AE、AF、EF,若sin∠EAF=4 ， AE=5,则EF的长为】 D B E 【答案】25 【详解】解：过E点作EN⊥AF于N点， D B E 在菱形ABCD中，点E,F分别是BC,CD的中点， :AB=BC=CD=AD,AD∥BC,∠B=∠D, .BE=EC=CF DF, 在△ABE和△ADF中 AB=AD ∠B=∠D, BE=DF :△ABE≌△ADF(SAS, :AE=AF=5, sin∠EAF=4·AE=5 EN=AE x sin∠EAF=4, ∴.AN=3, :NF=AF-AN =2, 9/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 EF=EN2+NF2=25. 故答案为：25 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理等， 正确添加辅助线构造直角三角形是解本题的关键. 15.如图，赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个 大正方形.己知小正方形EFGH的面积为4，连结BE,若BF平分∠CBE,则大正方形ABCD的面积 冷 B 【答案】20+8√5 【详解】解：：四边形EFGH是正方形， ..GF=GH, .BF=CG, :小正方形EFGH的面积为4， ·GF=2, 设BF=CG=x, :BF平分∠CBE, ∠CBG=∠EBF, :tan/CBG tan/EBF, CGEF BGF,即=2 x+2 x 解得：x=1±V5, :BF=CG=1+5, :BG=BF+GF=3+5, :大正方形ABCD的面积=BG2+CG2=(3+V5+1+V5=20+85, 10/22………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元自测 第一章 直角三角形的边角关系·培优卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，，如果的正弦值是，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．在 中，，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．定义：圆心在原点，半径为1的圆称为单位圆．如图，已知点在单位圆上，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则梯子的高度为（    ） A． B． C． D． 5．在ABC中， ，则ABC一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 6．课外活动小组测量学校旗杆的高度.如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米，那么旗杆AB的高度约为（   ） A．12 B． C． D． 7．如图，沿折叠矩形，使点落在边的点处，若，则的长为（　　） A．6 B．8 C．9 D． 8．如图，将以直角顶点为旋转中心，按顺时针方向旋转得到，延长，交于点，设，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图．在x轴的上方，直角绕原点O按顺时针方向旋转，若的两边分别与函数和的图象交于、两点，则大小的变化趋势为（    ） A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．先变大再变小 D．保持不变 10．如图，在中，，是线段上的动点（不含端点、）．若线段长为正整数，则点的个数共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在中，，如果，，那么 ． 12．如图，在中，，，，则的长为 ．    13．王子和小于两人相约一起去篮球馆打篮球．已知王子家B在小于家A的北偏西方向上，．两人到达篮球馆C处后，发现小于家A在篮球馆C的南偏西方向上，王子家B在篮球馆C的南偏西方向上．则小于家A到篮球馆C的距离 （结果精确到；参考数据：，，） 14．如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接、、．若，，则的长为 ． 15．如图，赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．已知小正方形的面积为4，连结．若平分，则大正方形的面积为 ． 16．在，，，点为直线上一点，若，，则的长为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）计算： (1) (2)． 18．（6分）如图，在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点在第一象限内，，． (1)求：点的坐标．(2)求：的值． 19．（8分）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到C的小路，经测量，． (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A处停止奔跑，现在小狗从点B出发，奔跑t秒后到达小路上的某点，此时小狗与淇淇的距离最近，求t的值． 20．（8分）如下图，在Rt中，是边上的一点， (1)的长为__________，的长为__________，的长为__________． (2)求点到的距离． 21．（10分）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题： (1)______； (2)请仅用无刻度的直尺作图（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）． ①如图1，在边上求作一点，使； ②如图2，在边上求作一点Q，使． 22．（10分）现有一台红外线理疗灯(如图1所示)，该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空：______°，______°； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．(参考数据：，，，) 23．（12分）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如，在计算时，可构造如图所示的图形．在中，，，设，延长至点，使得，连接，易知，所以． 任务． (1)请根据上面的步骤，_________． (2)请类比这种方法，画出图形，并计算的值． (3)在中，，，请你直接写出的值． 24．（12分）综合与实践：如图①，这个图案是三世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，“受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图②，直线上从左至右依次有、、三点，，，，． 【观察感知】通过观察图②，可以得出与的数量关系为_____． 【类比迁移】如图③．在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点，连结，交于点． （）求证：； （）的值为_____． 【拓展延伸】在【类比迁移】的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $