第一章 直角三角形的边角关系（单元自测）数学新教材北师大版九年级下册

第一章 直角三角形的边角关系 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值（ ） A．扩大14倍 B．扩大4倍 C．缩小 D．无变化 2．如图，中，，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 3．在中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在中，点是斜边的中点，连接，若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．如图，伽利略通过斜面实验研究匀加速运动，已知实验斜面的底端到顶端的竖直高度为，小球在滑落到底端的过程中，水平前进距离为，则实验斜面的坡度比为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（ ） A． B． C． D． 7．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（ ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 8．某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电．如图，长为2米的光伏板斜靠在竖直于地面的支架上，倾斜角为，为提高发电效率，将底端沿方向移动到点，顶端向下滑动到点，此时倾斜角为，则顶端下降的垂直高度为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形，测得边长，，则铜眼形器的长等于（ ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交，于点．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．若，则________． 12．计算：________． 13．如图，是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为________． 14．如图，在矩形中，，，是的中点．将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与边交于点，连结．当点落在上时，________． 15．已知：如图，在中，，，，则的长为________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）嵩岳寺塔位于河南省登封市嵩山南麓嵩岳寺内，为北魏时期佛塔．2010年8月1日，包含嵩岳寺塔在内的登封“天地之中”历史建筑群被列入世界文化遗产，是我国四大名塔之一．某校九年级活动小组计划开展一次测量嵩岳寺塔高度的课题活动，方案如下： 活动课题 测量嵩岳寺塔的高度 活动目的 运用三角函数知识解决实际问题 活动工具 卷尺、测角仪 测量方案 测量步骤 如图，首先利用测角仪在A处测得嵩岳寺塔的塔尖F的仰角为；再前进到达C处，在C处测得嵩岳寺塔的塔尖F的仰角为，A，C，E在同一水平线上，测角仪的高度为 参考数据 （1）请你根据以上信息计算嵩岳寺塔的高度．（结果精确到） （2）该活动小组查阅资料得嵩岳寺塔的实际高度为，本次测量结果与之稍有误差，请提出一条减少误差的合理化建议． 17．（9分）如图，正在执行巡航任务的海警船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． （1）求的度数； （2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海警船继续向正东方向航行是否安全？ 18．（9分）玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） （1）求塔架的长度； （2）求风叶的长度．（精确到1米） 19．（9分）阅读与思考 阅读下列材料，请完成后面的任务． 邻对等四边形 【概念理解】 有一个邻角相等且对角线相等的四边形叫作邻对等四边形．如图1，在四边形中，，那么四边形称为邻对等四边形． 【问题解决】 问题1：根据邻对等四边形的概念，下列四边形一定是邻对等四边形的是 ▲ (填序号即可)． ①菱形②矩形③平行四边形④正方形 问题2：如图2，在邻对等四边形中，，求证：． 证明：如图2，延长至点，使得，连接， 任务： （1）材料中问题1的“▲”处应填写________． （2）请将问题2中证明过程的剩余部分补充完整． （3）如图3，已知四边形是邻对等四边形，，请直接写出的长． 20．（9分）如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足折射定律：折射率（其中代表入射角，代表折射角）．为了探究光线的折射现象，数学兴趣小组设计了如图2所示的实验：先将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿点A处投射到底部B处；再向水槽注水，水面上升到处时，停止注水．其中点在同一平面内，直线为法线，为入射光线．为入射光线的延长线，为折射光线．查阅资料，得知光线从空气射入水中的折射率，测得．求之间的距离．（参考数据：） 21．（10分）如图1是某超市从一楼到二楼的一自动扶梯，图2是其侧面示意图．已知自动扶梯的坡度为，的长是米，是二楼楼顶，，点是上处在自动扶梯顶端正上方的一点，，在自动扶梯底端处测得点的仰角为，求二楼的层高．（精确到米） （参考数据：，，） 22．（10分）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A处(点G、A、C在同一水平线上)测得大树顶端B的仰角为，沿着坡度的斜坡走6米到达斜坡上点D处，此时测得大树顶端B的仰角为，点A、B、C、D在同一平面内．参考数据：，，，，） （1）填空：________； （2）求斜坡上点D到的距离； （3）求大树的高度（结果精确到米）． 23．（10分）抛物线经过点和，与y轴交于点C． （1）如图①，当时． ①求抛物线的解析式； ②P是抛物线在第一象限上一点，若，求点P的坐标． （2）如图②，设抛物线与x轴交于点，此时抛物线也可以表示为交点式．若为x轴上方抛物线上一点，轴，G为垂足，直线交x轴于点，当点三点中有两点关于另一点对称时，求c的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 直角三角形的边角关系 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值（ ） A．扩大14倍 B．扩大4倍 C．缩小 D．无变化 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的意义，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键．在中，各边都扩大4倍，其相应边长的比值不变，因此锐角A的正弦函数值也不会改变． 【解析】锐角三角函数值是随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角A的正弦函数值不会随着边长的扩大而变化， 即若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值无变化， 故选D． 2．如图，中，，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦和正切的定义计算即可得出结果． 【解析】∵中，， ∴，，故A选项正确，符合题意．故选A． 3．在中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形，根据正切定义，设，则，再根据勾股定理求得，然后利用余弦定义求解即可． 【解析】如图， ∵在中，，， ∴设，则， ∴， ∴， 故选D． 4．如图，在中，点是斜边的中点，连接，若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，计算即可； 【解析】在中，，点是斜边的中点， ， ， ， ， ．故选A． 5．如图，伽利略通过斜面实验研究匀加速运动，已知实验斜面的底端到顶端的竖直高度为，小球在滑落到底端的过程中，水平前进距离为，则实验斜面的坡度比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，构造直角三角形，再根据坡比即为坡角的正切值，计算即可． 【解析】如图， 由题可知，，，， 在，， 则实验斜面的坡度比为．故选C． 6．如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可． 【解析】．，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ．，原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选D． 7．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（ ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【解析】，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选C． 8．某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电．如图，长为2米的光伏板斜靠在竖直于地面的支架上，倾斜角为，为提高发电效率，将底端沿方向移动到点，顶端向下滑动到点，此时倾斜角为，则顶端下降的垂直高度为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据题意可知，在和 中，分别利用正弦函数求出和的长，最后根据 即可求解． 【解析】由题意可知，光伏板长度不变，即米，且． 在 中，， ， ． 在中， ， ∵， ． ∴米．故选B． 9．如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形，测得边长，，则铜眼形器的长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，在中，继而得到． 【解析】连接交于点， ∵菱形中， ∴，，， ∵， ∴， ∴．故选D． 10．如图，在矩形中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交，于点．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，三角函数，线段垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，由，可设，，得，由作图可知垂直平分，设与的交点为，连接，得，，在中，由勾股定理得，求得，得到，，进而得，再证明，得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【解析】∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴设，， ∴， 由作图可知，垂直平分，设与的交点为，连接，则， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得（不合，舍去）或， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．若，则________． 【答案】7 【解析】由特殊锐角的三角函数值可知：． 已知因此可得 得．故答案为7． 12．计算：________． 【答案】 【解析】．故答案为$\sqrt{3}+1$ ## $1+\sqrt{3}$． 13．如图，是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为________． 【答案】 【分析】延长三角形玻璃破损的两条边，交于点，过点作于点，先在直角中，求出的长度，再在直角中，求出的长度即可． 【解析】如图，延长三角形玻璃破损的两条边，交于点，过点作于点， ， ， 在直角中， ，，， ， ， ， ， ， 在直角中， ，，， ．故答案为$\frac{2}{\cos 65{^{\circ}}}$． 14．如图，在矩形中，，，是的中点．将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与边交于点，连结．当点落在上时，________． 【答案】或 【分析】连接，设，根据矩形性质和旋转性质可得，，进而得出，利用勾股定理表示出和，结合共线及推导出，利用角度转换运算可得，再根据三角函数建立方程求解即可． 【解析】连接，如图： 四边形是矩形，，，是的中点， ，，，， 由旋转的性质可得，，， ，，， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 点在边上 ， 在中，， 在中，， ， 点落在上， 是的中点， 在中，， 在中，， 由旋转性质可知， ， 是的中点， ，即， 点在上， ， ， ， ， ， 即， 解得，． 【点睛】解题核心是利用旋转性质与全等三角形转化线段，结合等腰三角形“三线合一”和三角函数建立方程，将几何关系转化为代数问题求解．故答案为或． 15．已知：如图，在中，，，，则的长为________． 【答案】 【分析】过点作于点，在中利用三角函数求出，在中利用三角函数求出． 【解析】如图，过点作于点， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴．故答案为$8$． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）嵩岳寺塔位于河南省登封市嵩山南麓嵩岳寺内，为北魏时期佛塔．2010年8月1日，包含嵩岳寺塔在内的登封“天地之中”历史建筑群被列入世界文化遗产，是我国四大名塔之一．某校九年级活动小组计划开展一次测量嵩岳寺塔高度的课题活动，方案如下： 活动课题 测量嵩岳寺塔的高度 活动目的 运用三角函数知识解决实际问题 活动工具 卷尺、测角仪 测量方案 测量步骤 如图，首先利用测角仪在A处测得嵩岳寺塔的塔尖F的仰角为；再前进到达C处，在C处测得嵩岳寺塔的塔尖F的仰角为，A，C，E在同一水平线上，测角仪的高度为 参考数据 （1）请你根据以上信息计算嵩岳寺塔的高度．（结果精确到） （2）该活动小组查阅资料得嵩岳寺塔的实际高度为，本次测量结果与之稍有误差，请提出一条减少误差的合理化建议． 【答案】（1）约为； （2）建议：多次测量取平均值，可以减少误差 【分析】（1）先用两次仰角的正切值分别表示出塔尖到仪器水平线的竖直高度与水平距离的关系，再利用两次测量点之间的已知距离列方程，解出塔高； （2）合理给出建议即可． 【解析】（1）解：如图，延长交于点G． 所以四边形，四边形均为矩形， ，， 设， 在中，， ， ， 在中，， ，即， 解得，即， ． 答：嵩岳寺塔的高度约为． （2）略 17．（9分）如图，正在执行巡航任务的海警船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． （1）求的度数； （2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海警船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】（1） （2）海警船继续向正东方向航行安全 【分析】（1）作交的延长线于点，利用平行线的性质和角之间的关系，计算即可； （2）设海里，利用三角函数可得海里，海里，列出方程，求出，从而可得，与25比较即可求解． 【解析】（1）解：如图，作交的延长线于点， 由题意可知，，，，， 则， ，， ； （2）海警船继续向正东方向航行安全，理由如下， 设海里， 在中，，即， 则海里， 在中，，即， 则海里， （海里）， ， 即，解得， ， 海警船继续向正东方向航行安全． 18．（9分）玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） （1）求塔架的长度； （2）求风叶的长度．（精确到1米） 【答案】（1）塔架的长为75米； （2）风叶的长为49米． 【分析】（1）解直角三角形即可求解； （2）过点A作于点H，过点O作于点G，分别解直角三角形和直角三角形即可求解． 【解析】（1）解：根据题意，可知，，， ， 米． 答：塔架的长为75米． （2）解：如图，过点A作于点H，过点O作于点G， 设风叶的长度为， ， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 解得， 米． 答：风叶的长为49米． 19．（9分）阅读与思考 阅读下列材料，请完成后面的任务． 邻对等四边形 【概念理解】 有一个邻角相等且对角线相等的四边形叫作邻对等四边形．如图1，在四边形中，，那么四边形称为邻对等四边形． 【问题解决】 问题1：根据邻对等四边形的概念，下列四边形一定是邻对等四边形的是 ▲ (填序号即可)． ①菱形②矩形③平行四边形④正方形 问题2：如图2，在邻对等四边形中，，求证：． 证明：如图2，延长至点，使得，连接， 任务： （1）材料中问题1的“▲”处应填写________． （2）请将问题2中证明过程的剩余部分补充完整． （3）如图3，已知四边形是邻对等四边形，，请直接写出的长． 【答案】（1）②④； （2） 证明：延长至点，使得，连接． ∵四边形是邻对等四边形， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （3） 【分析】（1）根据邻对等四边形的定义，逐一分析各四边形的性质：矩形和正方形的邻角相等且对角线相等，满足定义；菱形、平行四边形的邻角不一定相等，对角线也不一定相等，不满足定义； （2）通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到角的等量关系，结合等腰三角形的性质和邻补角的定义，完成角的和为的证明； （3）利用（2）的结论求出的度数，在中求出的度数，构造直角三角形，通过锐角三角函数计算的长度． 【解析】（1）解：根据邻对等四边形的定义， ①菱形：邻角互补，且对角线不一定相等，故不是邻对等四边形； ②矩形：邻角均为，对角线相等，满足定义，故是邻对等四边形； ③平行四边形：邻角互补，对角线不一定相等，故不是邻对等四边形； ④正方形：邻角均为对角线相等，满足定义，故是邻对等四边形； 故答案为②④． （2）略 （3）解：∵四边形是邻对等四边形， ∴由（2）的结论可知，且． ， ． 在中，， ． 过点作于点， 在中，，， ． 在中，，，， ． 20．（9分）如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足折射定律：折射率（其中代表入射角，代表折射角）．为了探究光线的折射现象，数学兴趣小组设计了如图2所示的实验：先将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿点A处投射到底部B处；再向水槽注水，水面上升到处时，停止注水．其中点在同一平面内，直线为法线，为入射光线．为入射光线的延长线，为折射光线．查阅资料，得知光线从空气射入水中的折射率，测得．求之间的距离．（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，三角函数的应用，折射问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据题意可得，四边形是矩形，得出，根据折射率，，求出，在中，求出，在中，求出，即可求解． 【解析】根据题意可得，四边形是矩形， ∴， ∵折射率，， ∴， 解得：， 在中，，， ∴， ∴， 解得：， 在中，， ∴， ∴， 答：之间的距离． 21．（10分）如图1是某超市从一楼到二楼的一自动扶梯，图2是其侧面示意图．已知自动扶梯的坡度为，的长是米，是二楼楼顶，，点是上处在自动扶梯顶端正上方的一点，，在自动扶梯底端处测得点的仰角为，求二楼的层高．（精确到米） （参考数据：，，） 【答案】米 【分析】先由，可得米，米，求得，进而可求得答案． 【解析】如图，延长交于点． ∵， ∴． ∴， 设米，则米． ∵，米， ∴． ∴， ∴米，米． ∵， ∴米， ∴米． 答：二楼的层高约为米． 22．（10分）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A处(点G、A、C在同一水平线上)测得大树顶端B的仰角为，沿着坡度的斜坡走6米到达斜坡上点D处，此时测得大树顶端B的仰角为，点A、B、C、D在同一平面内．参考数据：，，，，） （1）填空：________； （2）求斜坡上点D到的距离； （3）求大树的高度（结果精确到米）． 【答案】（1）61 （2）点D到的距离为3米 （3）大树的高度约为米 【分析】本题主要考查解直角三角形，含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握斜坡的坡度即是正切值，利用锐角三角函数列方程求解． （1）由坡度可求，由平行线的性质和已知条件可求； （2）过点D作于点F，利用含的直角三角形的性质进行求解； （3）D作于点H，设，求出，利用两个直角三角形的锐角三角函数进行求解． 【解析】（1）解：斜坡的坡度， ， ， ， 故答案为61． （2）如图2，过点D作于点F． 在中， ，， ． 答：点D到的距离为3米． （3）过点D作于点H，则四边形是矩形． ． 设，则． 在中， ， ． 在中，． ， 在中， ， ． 解得， 答：大树的高度约为米． 23．（10分）抛物线经过点和，与y轴交于点C． （1）如图①，当时． ①求抛物线的解析式； ②P是抛物线在第一象限上一点，若，求点P的坐标． （2）如图②，设抛物线与x轴交于点，此时抛物线也可以表示为交点式．若为x轴上方抛物线上一点，轴，G为垂足，直线交x轴于点，当点三点中有两点关于另一点对称时，求c的值． 【答案】（1）；点P的坐标为 （2）或 【分析】（1）①把点和代入，再建立方程组解题即可； ②如图，过点B作交的延长线于点E，过点E作轴于点F．证明，可得，证明为等腰直角三角形．，设直线的解析式为，再进一步求解即可； （2）由题意可知，该抛物线关于直线对称．求解，可得抛物线的解析式为，如图，设点F的坐标为，则点，可得．，求解点．，点，分情况讨论即可． 【解析】（1）解：①由题意得， 解得：， 抛物线的解析式为． ②如图，过点B作交的延长线于点E，过点E作轴于点F． 当，， ∴． ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 又， ∴， 又轴， 为等腰直角三角形． ， ∴， 设直线的解析式为， 由题意得 解得， ∴直线的解析式为， 联立 得， 解得（不符合题意） 点P的坐标为． （2）解：由题意可知，该抛物线关于直线对称． ， ∴， ∴抛物线的解析式为， 如图，设点F的坐标为， 则点， ． ， ∴， ∴点关于直线对称． ， ∴点． 当时，， ∴， ∴同理可得：直线的解析式为， 点， 分情况讨论： ①如图a，当点，关于点对称，则时，， 解得； ②如图b，当点，关于点对称，则时，， 解得． 综上或； ． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的对称性的应用，锐角三角函数的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $