专题01 反比例函数的图象和性质（专项训练）数学新教材北师大版九年级下册

专题01 反比例函数的图象和性质 常考题型·精准突破 题型1 根据反比例函数的定义求参数（重） 题型2 判断反比例函数的图象和性质（高频） 题型3 比较反比例函数值或自变量的大小（高频） 题型4 根据反比例函数图象和性质求参数（高频） 题型5 反比例函数的图象和性质综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 根据反比例函数的定义求参数 1．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）若函数是反比例函数，则______． 【答案】3 【详解】解：∵为反比例函数时，的次数为， ∴， 解得． 2．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）若是反比例函数，则m的值为_______． 【答案】 或 【分析】根据反比例函数定义，需满足自变量的次数为，且比例系数不为，据此列方程求解即可. 【详解】解：∵是反比例函数， ∴ 且， 解得或， 经检验，或均符合题意， 故或. 3．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）若函数是反比例函数，则_________． 【答案】 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， ∴． ◆题型2 判断反比例函数的图象和性质 4．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）关于反比例函数，下列说法中正确的是（     ） A．随的增大而增大 B．当时， C．当时，或 D．它的图象位于第一、三象限 【答案】C 【分析】由反比例函数解析式得，结合其图象与性质逐一判断各选项． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴． ∴函数图象位于第二、四象限，故D错误． ∵时，在每个象限内，随的增大而增大， ∴A中未限定象限，说法错误，故A错误． 当时，，随的增大而增大， ∵时，， 时，， ∴，故B错误． 当时，分两种情况： ①当时，随的增大而增大， ∵时，， ∴． ②当时，． 综上，或，故C正确． 5．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】代入验证A，由的符号判断B、D，结合对称性判断C． 【详解】解：∵ 当时，， ∴ A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴ B错误； ∵ 反比例函数的图象关于原点对称， ∴ C正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小， ∴ D错误． 6．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．它的图象经过点 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵，∴该函数是反比例函数，比例系数，故A正确，不符合题意； ∵，∴函数图象位于第二、第四象限，故B正确，不符合题意； 当时，图象在第二象限，随的增大而增大，故C正确，不符合题意； 将代入，得，故D错误，符合题意； 故答案为D． ◆题型3 比较反比例函数值或自变量的大小 7．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）若点，都在函数的图象上，且，则________（填“，或”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数k的符号判断图象所在象限，结合两点横坐标的正负确定两点位置，通过纵坐标的正负比较大小． 【详解】解：反比例函数，比例系数， 函数图象分布在第一、三象限， ， 点在第三象限，点在第一象限， 第三象限内的点的纵坐标为负，第一象限内的点的纵坐标为正， ． 8．（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为________（用“”连接）． 【答案】 【分析】将三个点的横坐标代入反比例函数解析式，计算出对应纵坐标的值，再比较大小即可． 【详解】解：当时，；当时，；当时，， ，即． 9．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在反比例函数（k为常数）的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为______． 【答案】 【分析】根据解析式可判断函数图象所在的象限，以及在每个象限内的增减性，结合三个点的横坐标可得答案． 【详解】解：∵， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∵，位于第二象限，， ∴； 又∵位于第四象限， ∴， ∴． ◆题型4 根据反比例函数图象和性质求参数 10．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）若反比例函数的图像位于第二、第四象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据双曲线分布的象限，得到，然后解不等式即可求解． 【详解】解：反比例函数的图像位于第二、四象限， ，解得． 11．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）反比例函数的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，当图象在每一象限内y随x增大而增大时，比例系数小于0，据此列出不等式求解k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一象限内，随的增大而增大， ∴， 解得． 12．（25-26九年级下·广东深圳·期中）已知反比例函数的图像经过点，．若，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【分析】反比例函数的图像经过点，．且，y随x的增大而增大，即函数图像在二、四象限，从而得到，然后求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点，．且，， ∴y随x的增大而增大，即函数图像在二、四象限， ∴，解得：． ◆题型5 反比例函数的图象和性质综合 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数的图象位于第一、第三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意知，，解得， ∴k的取值范围为． （2）解：由题意知，反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴在第一象限内y随x的增大而减小． ， ∴，解得， ∵， ∴a的取值范围为． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点． (1)k的值为_______； (2)判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由； (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)4 (2)点不在这个函数的图象上．理由如下： ∵当时，， ∴点不在这个函数的图象上 (3) 【分析】（1）把代入求出结论即可； （2）当时，，从而判断点不在这个函数的图象上； （3）根据反比例函数性质求出范围即可； 【详解】（1）解：把代入，则； （2）略 （3）解：当时，；当时，； ， ∴在每一象限内，y随x的增大而减小， ∴y的取值范围为． 15．（23-24九年级上·河北邢台·期末）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：点在该函数的图象上，点不在该函数的图象上，理由如下： 当时，反比例函数解析式为， 将代入，得，与点的纵坐标相等，故点在函数图象上； 将代入，得，故点不在函数图象上． 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式，列方程求解的值； （2）根据反比例函数的增减性与比例系数的符号关系，列不等式求解的取值范围即可； （3）先确定时的函数解析式，代入点的横坐标计算纵坐标，与已知纵坐标对比判断点是否在图象上即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． （2）解：∵反比例函数的每一支上，随的增大而减小， ∴， 解得． （3）略． 16．（2026九年级上·广东·专题练习）已知反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． (4)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）用待定系数法直接解答即可； （2）把代入上一小问求出的解析式，求出函数值即可求出答案； （3）把取值范围的端点值代入第一小问的解析式，结合函数图象，求出的取值范围； （4）根据二次函数的顶点坐标公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得， ∴的值为． （2）解：由（1）得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，． （3）解：当时，；当时，， ∵在每个象限内，随增大而减小， ∴． （4）解： ， ∴函数图象的顶点坐标为， ∵函数的最大值为， ∴，且， 解得或（舍去）， ∴． 17．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上． (1)若，求证：； (2)若，，过点作直线平行于轴、过点作直线平行于轴，两直线交于点， ①当时，求的值； ②连接，过点作交反比例函数图象于另一点，当时，的面积为8，求k的值． 【答案】(1)证明：∵点在反比例函数的图象上， ， ， ， 将代入，得， 又， ， ， ，即． (2)①；② 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于的性质，结合已知条件推导即可证明结论． （2）①根据点在反比例函数上得到坐标关系，求出交点的坐标后计算和的长度和即可； ②利用全等三角形得到点的坐标，结合点在反比例函数上和三角形面积的条件，逐步推导计算得到的值． 【详解】（1）略 （2）①解：∵，点在上， ， ， ， 如图，交点的坐标为，即， ， ． ②解：如图，过点作，垂足为， 由题意得 ，交点， ，， ∵， ，且， ， 在和中， ， ， 点坐标为 ∵在上， ， 整理得：， ，是等腰直角三角形， ，即， ， 整理得：， ， 将代入， 得，整理得， 联立，得， ∵， ∴， 即， 解得， 代入，得． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26九年级下·山东烟台·期末）下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数定义，形如（为常数，，）的函数为反比例函数，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.； ∵选项B：的分母是关于的一次二项式，不符合定义形式，B错误； 选项C：是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.； 选项D：可变形为，其中，符合反比例函数的定义，D正确． 2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）反比例函数的图像经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：将点代入，得，解得． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．图象分别位于第一、三象限 B．随的增大而增大 C．图象经过点 D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数中，结合反比例函数性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于反比例函数，可得， A. ∵， ∴ 图象位于第二、四象限，不位于第一、三象限，A错误， B. 当时，只有在每个象限内随的增大而增大，选项未限定象限，B错误， C. 当时，， ∴ 图象不经过点，C错误， D. 当时，∵， ∴ . 又∵，可得，两边同乘得， ∴ ，D正确． 4．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）若点A(x1，2)、B(x2，-1)、C(x3，4)都在反比例函数 的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出，，的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 点，，都在反比例函数的图象上， ∴ 分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得，解得， 代入点得，解得， 代入点得，解得， ∵ ， ∴ ． 5．（25-26八年级下·河南周口·期末）反比例函数， 点 在该函数图象上，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用反比例函数的性质比较函数值大小，当时，反比例函数图象在第二、四象限，每个象限内随的增大而增大，先判断各点所在象限，再比较大小． 【详解】解：∵反比例函数为 ，且 ， ∴函数图象位于第二、第四象限，在每个象限内，随的增大而增大． ∵点 ，的横坐标都小于， ∴ 都在第二象限， 又∵ ， ∴， ∵点 的横坐标， ∴在第四象限， ∴， 综上可得：． 二、填空题 6．（25-26八年级下·山东济南·期末）若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【答案】0 【分析】根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，据此列式求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴且， 解得． 7．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了通过反比例函数图象，确定参数的取值，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． 根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，函数图象位于第一、三象限． 【详解】解：反比例函数的图象在第一、三象限， 因此比例系数， 解得， 故答案为：． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）点在一次函数上，也在反比例函数上，则的值为________． 【答案】20 【分析】根据函数图象上点的坐标满足函数解析式，得到的关系式与的值，再利用完全平方公式变形计算得到结果. 【详解】解：点在一次函数上， ∴将代入得，整理得， 点在反比例函数上， ∴将代入得，整理得， ∴. 9．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）已知反比例函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为__________．（用“>”连接） 【答案】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，判断三个点所在的象限，结合每一象限内函数的增减性比较函数值的大小． 【详解】解：反比例函数中，， 又， ， ， 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ，，三点在函数图象上， ，在第二象限，点在第四象限， ， 即． 10．（24-25九年级上·河南郑州·阶段检测）已知反比例函数，对于正数m，当自变量x满足时，函数y的最小值为a，则当时，函数y的最小值为_______，最大值为_______．（用含a的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键．根据反比例函数的性质，可知图象在第一、三象限，在每个象限内， 随的增大而减小，再根据对于一个正数，当自变量满足时，函数的最小值为，求出解析式为，再根据反比例函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数， ∴图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵对于一个正数，当时，函数的最小值为， 则时，， ∴， ∴， 当时， 当时，函数的最小值为：， 当时，函数的最大值为：． 故答案为：；． 三、解答题 11．（25-26八年级下·北京东城·期中）已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可设，然后代入求解即可； （2）把代入求出的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵与成反比例 ∴设 ∵函数图象经过点 ∴ 解得 ∴关于的表达式为； （2）解：当时，则， 解得． 12．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知点，点均在反比例函数上，且． (1)若时，求的值； (2)若时，求的值； (3)随着的变化，的值是否变化？若不变，请求出这个值；若变化，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【分析】（1）根据m的值先求得点A的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答； （2）根据点A和点B在反比例函数图象上，可得，，从而可知m、n为关于x的一元二次方程的两个解，进而根据根与系数的关系即可解答． （3）同（2）可解． 【详解】（1）解：当，则， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴； （2）解：当时，反比例函数为， ∵点，点均在反比例函数上， ∴，， ∴m、n为关于x的一元二次方程的两个解， 方程整理得，其中，方程有2个不相等的实数根， ∴； （3）解：不变， ∵点，点均在反比例函数上， ∴，， ∴m、n为关于x的一元二次方程的两个解， 方程整理得，其中， ∵， ∴，方程有2个不相等的实数根， ∴． 13．（上海市浦东新区几校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）反比例函数过，点与点关于直线对称，抛物线经过A、B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若抛物线的对称轴为，求抛物线的表达式； (3)若抛物线在的部分与反比例函数无公共点，求a的取值范围（）． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象综合问题； （1）将点代入反比例函数的解析式即可求出的值． （2）求出点的坐标，然后将与的坐标代入即可，结合抛物线的对称轴为，求出抛物线的解析式即可求出，与的值． （3）令和代入反比例函数中求出相应的点坐标，然后将两点的坐标代入中求出的值，根据函数图象求得的范围． 【详解】（1）解：∵反比例函数过， ∴， ∴； （2）∵点与点关于直线对称， ∴． ∵抛物线过点和，抛物线的对称轴为， ∴ ∴ ∴ （3）解：∵抛物线过点 ∴ 解得： ∴ 反比例函数的解析式： 令时，，即 令时，，即 当过点时，， 当过点时，， ∴抛物线在的部分与反比例函数无公共点，此时的范围：且． 14．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么这个点被称为“好点”．例如就是“好点”． (1)下列结论： ①直线上有无数个“好点”； ②二次函数的顶点是“好点”； ③双曲线上只有一个“好点”． 以上结论中，你认为正确的是______（填写正确结论的序号）． (2)二次函数的图象上存在唯一一个好点， ①求这个二次函数解析式； ②当时，，求t的取值范围． 【答案】(1)①② (2)①；②． 【分析】（1）根据“好点”的定义逐一判断即可； （2）①设“好点”为，代入，据此求解即可； ②利用配方法得到抛物线开口向下，当时，最大值为，再求得当时，或，结合函数图象得，据此求解即可． 【详解】（1）解：①直线上任意点都满足纵坐标是横坐标的3倍，有无数个“好点”，说法正确； ②二次函数， 顶点为，，是“好点”，说法正确； ③设双曲线“好点”为，代入得，解得， 得到两个好点和，不是只有一个，原说法错误； 所以正确的是①②； （2）解：①设“好点”为，代入， 得， 整理得：， ∵图象上存在唯一一个好点， ∴该一元二次方程有两个相等实数根，判别式， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； ②， 开口向下，当时，最大值为， 当时，， 解得或， ∵当时，， 结合函数图象得， 解得． 15．（2026·宁夏银川·三模）综合与实践： 《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究．过程如下，请完成探究过程： (1)初步感知 函数的自变量取值范围是_____． (2)作出图象 ①列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 3 4 6 0 … 填空：表中_____，_____． ②描点，连线： 在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (3)研究性质 小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为_____；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线_____． (4)拓展应用 若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接、，则的面积为_____． 【答案】(1) (2)①5，；②函数图象如下： (3)；和； (4) 【分析】（1）根据分母不能为0，即可解决问题； （2）①将对应的值代入求解即可；②根据表格描点连线即可； （3）结合图象和平移的性质求解即可； （4）令一次函数的图象与轴交于点，分别求出、、三点坐标，再利用三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 函数的自变量取值范围是； （2）解：①当时，， 当时，， 解得：，即； ②图象如答图； （3）解：小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线和． （4）解：如图，令一次函数的图象与轴交于点， 联立， 解得：，， ，， 令，则，解得：， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 反比例函数的图象和性质 常考题型·精准突破 题型1 根据反比例函数的定义求参数（重） 题型2 判断反比例函数的图象和性质（高频） 题型3 比较反比例函数值或自变量的大小（高频） 题型4 根据反比例函数图象和性质求参数（高频） 题型5 反比例函数的图象和性质综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 根据反比例函数的定义求参数 1．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）若函数是反比例函数，则______． 2．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）若是反比例函数，则m的值为_______． 3．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）若函数是反比例函数，则_________． ◆题型2 判断反比例函数的图象和性质 4．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）关于反比例函数，下列说法中正确的是（     ） A．随的增大而增大 B．当时， C．当时，或 D．它的图象位于第一、三象限 5．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当时，随的增大而增大 6．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．它的图象经过点 ◆题型3 比较反比例函数值或自变量的大小 7．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）若点，都在函数的图象上，且，则________（填“，或”）． 8．（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为________（用“”连接）． 9．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在反比例函数（k为常数）的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为______． ◆题型4 根据反比例函数图象和性质求参数 10．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）若反比例函数的图像位于第二、第四象限，则的取值范围是________． 11．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）反比例函数的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是__________． 12．（25-26九年级下·广东深圳·期中）已知反比例函数的图像经过点，．若，则实数k的取值范围是______． ◆题型5 反比例函数的图象和性质综合 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数的图象位于第一、第三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，且，求a的取值范围． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点． (1)k的值为_______； (2)判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由； (3)当时，求y的取值范围． 15．（23-24九年级上·河北邢台·期末）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 16．（2026九年级上·广东·专题练习）已知反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． (4)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 17．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上． (1)若，求证：； (2)若，，过点作直线平行于轴、过点作直线平行于轴，两直线交于点， ①当时，求的值； ②连接，过点作交反比例函数图象于另一点，当时，的面积为8，求k的值． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26九年级下·山东烟台·期末）下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）反比例函数的图像经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．图象分别位于第一、三象限 B．随的增大而增大 C．图象经过点 D．当时， 4．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）若点A(x1，2)、B(x2，-1)、C(x3，4)都在反比例函数 的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河南周口·期末）反比例函数， 点 在该函数图象上，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·山东济南·期末）若函数是反比例函数，则k的值为__________． 7．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是______． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）点在一次函数上，也在反比例函数上，则的值为________． 9．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）已知反比例函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为__________．（用“>”连接） 10．（24-25九年级上·河南郑州·阶段检测）已知反比例函数，对于正数m，当自变量x满足时，函数y的最小值为a，则当时，函数y的最小值为_______，最大值为_______．（用含a的式子表示） 三、解答题 11．（25-26八年级下·北京东城·期中）已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 12．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知点，点均在反比例函数上，且． (1)若时，求的值； (2)若时，求的值； (3)随着的变化，的值是否变化？若不变，请求出这个值；若变化，说明理由． 13．（上海市浦东新区几校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）反比例函数过，点与点关于直线对称，抛物线经过A、B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若抛物线的对称轴为，求抛物线的表达式； (3)若抛物线在的部分与反比例函数无公共点，求a的取值范围（）． 14．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么这个点被称为“好点”．例如就是“好点”． (1)下列结论： ①直线上有无数个“好点”； ②二次函数的顶点是“好点”； ③双曲线上只有一个“好点”． 以上结论中，你认为正确的是______（填写正确结论的序号）． (2)二次函数的图象上存在唯一一个好点， ①求这个二次函数解析式； ②当时，，求t的取值范围． 15．（2026·宁夏银川·三模）综合与实践： 《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究．过程如下，请完成探究过程： (1)初步感知 函数的自变量取值范围是_____． (2)作出图象 ①列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 3 4 6 0 … 填空：表中_____，_____． ②描点，连线： 在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (3)研究性质 小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为_____；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线_____． (4)拓展应用 若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接、，则的面积为_____． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 反比例函数的图象和性质 常考题型·精准突破 题型1 根据反比例函数的定义求参数（重） 题型2 判断反比例函数的图象和性质（高频） 题型3 比较反比例函数值或自变量的大小（高频） 题型4 根据反比例函数图象和性质求参数（高频） 题型5 反比例函数的图象和性质综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 根据反比例函数的定义求参数 1．3 2．或 3． ◆题型2 判断反比例函数的图象和性质 4．C 5．C 6．D ◆题型3 比较反比例函数值或自变量的大小 7． 8． 9． ◆题型4 根据反比例函数图象和性质求参数 10． 11． 12． ◆题型5 反比例函数的图象和性质综合 13． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意知，，解得， ∴k的取值范围为． （2）解：由题意知，反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴在第一象限内y随x的增大而减小． ， ∴，解得， ∵， ∴a的取值范围为． 14． 【答案】(1)4 (2)点不在这个函数的图象上．理由如下： ∵当时，， ∴点不在这个函数的图象上 (3) 【分析】（1）把代入求出结论即可； （2）当时，，从而判断点不在这个函数的图象上； （3）根据反比例函数性质求出范围即可； 【详解】（1）解：把代入，则； （2）略 （3）解：当时，；当时，； ， ∴在每一象限内，y随x的增大而减小， ∴y的取值范围为． 15． 【答案】(1) (2) (3) 解：点在该函数的图象上，点不在该函数的图象上，理由如下： 当时，反比例函数解析式为， 将代入，得，与点的纵坐标相等，故点在函数图象上； 将代入，得，故点不在函数图象上． 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式，列方程求解的值； （2）根据反比例函数的增减性与比例系数的符号关系，列不等式求解的取值范围即可； （3）先确定时的函数解析式，代入点的横坐标计算纵坐标，与已知纵坐标对比判断点是否在图象上即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． （2）解：∵反比例函数的每一支上，随的增大而减小， ∴， 解得． （3）略． 16． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）用待定系数法直接解答即可； （2）把代入上一小问求出的解析式，求出函数值即可求出答案； （3）把取值范围的端点值代入第一小问的解析式，结合函数图象，求出的取值范围； （4）根据二次函数的顶点坐标公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得， ∴的值为． （2）解：由（1）得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，． （3）解：当时，；当时，， ∵在每个象限内，随增大而减小， ∴． （4）解： ， ∴函数图象的顶点坐标为， ∵函数的最大值为， ∴，且， 解得或（舍去）， ∴． 17． 【答案】(1)证明：∵点在反比例函数的图象上， ， ， ， 将代入，得， 又， ， ， ，即． (2)①；② 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于的性质，结合已知条件推导即可证明结论． （2）①根据点在反比例函数上得到坐标关系，求出交点的坐标后计算和的长度和即可； ②利用全等三角形得到点的坐标，结合点在反比例函数上和三角形面积的条件，逐步推导计算得到的值． 【详解】（1）略 （2）①解：∵，点在上， ， ， ， 如图，交点的坐标为，即， ， ． ②解：如图，过点作，垂足为， 由题意得 ，交点， ，， ∵， ，且， ， 在和中， ， ， 点坐标为 ∵在上， ， 整理得：， ，是等腰直角三角形， ，即， ， 整理得：， ， 将代入， 得，整理得， 联立，得， ∵， ∴， 即， 解得， 代入，得． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．D 2．D 3．D 4．B 5．B 二、填空题 6．0 7． 8．20 9． 10． 三、解答题 11． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可设，然后代入求解即可； （2）把代入求出的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵与成反比例 ∴设 ∵函数图象经过点 ∴ 解得 ∴关于的表达式为； （2）解：当时，则， 解得． 12． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【分析】（1）根据m的值先求得点A的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答； （2）根据点A和点B在反比例函数图象上，可得，，从而可知m、n为关于x的一元二次方程的两个解，进而根据根与系数的关系即可解答． （3）同（2）可解． 【详解】（1）解：当，则， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴； （2）解：当时，反比例函数为， ∵点，点均在反比例函数上， ∴，， ∴m、n为关于x的一元二次方程的两个解， 方程整理得，其中，方程有2个不相等的实数根， ∴； （3）解：不变， ∵点，点均在反比例函数上， ∴，， ∴m、n为关于x的一元二次方程的两个解， 方程整理得，其中， ∵， ∴，方程有2个不相等的实数根， ∴． 13． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象综合问题； （1）将点代入反比例函数的解析式即可求出的值． （2）求出点的坐标，然后将与的坐标代入即可，结合抛物线的对称轴为，求出抛物线的解析式即可求出，与的值． （3）令和代入反比例函数中求出相应的点坐标，然后将两点的坐标代入中求出的值，根据函数图象求得的范围． 【详解】（1）解：∵反比例函数过， ∴， ∴； （2）∵点与点关于直线对称， ∴． ∵抛物线过点和，抛物线的对称轴为， ∴ ∴ ∴ （3）解：∵抛物线过点 ∴ 解得： ∴ 反比例函数的解析式： 令时，，即 令时，，即 当过点时，， 当过点时，， ∴抛物线在的部分与反比例函数无公共点，此时的范围：且． 14． 【答案】(1)①② (2)①；②． 【分析】（1）根据“好点”的定义逐一判断即可； （2）①设“好点”为，代入，据此求解即可； ②利用配方法得到抛物线开口向下，当时，最大值为，再求得当时，或，结合函数图象得，据此求解即可． 【详解】（1）解：①直线上任意点都满足纵坐标是横坐标的3倍，有无数个“好点”，说法正确； ②二次函数， 顶点为，，是“好点”，说法正确； ③设双曲线“好点”为，代入得，解得， 得到两个好点和，不是只有一个，原说法错误； 所以正确的是①②； （2）解：①设“好点”为，代入， 得， 整理得：， ∵图象上存在唯一一个好点， ∴该一元二次方程有两个相等实数根，判别式， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； ②， 开口向下，当时，最大值为， 当时，， 解得或， ∵当时，， 结合函数图象得， 解得． 15． 【答案】(1) (2)①5，；②函数图象如下： (3)；和； (4) 【分析】（1）根据分母不能为0，即可解决问题； （2）①将对应的值代入求解即可；②根据表格描点连线即可； （3）结合图象和平移的性质求解即可； （4）令一次函数的图象与轴交于点，分别求出、、三点坐标，再利用三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 函数的自变量取值范围是； （2）解：①当时，， 当时，， 解得：，即； ②图象如答图； （3）解：小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线和． （4）解：如图，令一次函数的图象与轴交于点， 联立， 解得：，， ，， 令，则，解得：， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $