第二章 反比例函数（单元自测）数学新教材北师大版九年级下册

第二章 反比例函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义判断各选项函数类型，即可得到答案． 【解析】选项A：是正比例函数，不符合定义； 选项B：是二次函数，不符合定义； 选项C：符合 （ ）的形式，是反比例函数，符合要求； 选项D：是正比例函数，不符合定义．故选C． 2．如图，在矩形中，，，为边上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点作于点．设，的长度分别为，，则与的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质．先根据题意得出矩形的面积，求得的面积，然后再根据三角形的面积公式即可解答． 【解析】连接， 四边形是矩形， 矩形的面积为， 的面积为， ， ，即， ． 故选A． 3．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二次函数的图象开口向上和对称轴可知，由抛物线交的正半轴，可知，然后利用排除法即可得出正确答案．本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键． 【解析】二次函数的图象开口向上， ， ， ， ， 的图象必在二，四象限， 抛物线与轴相交于正半轴， ， ， 的图象经过一，二，四象限， 故A、B、C错误，D正确； 故选D． 4．已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A．其图象经过点 B．其图象位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数图象上点的坐标特征，以及反比例函数的性质，逐一判断各选项即可得到结论． 【解析】A选项：将点代入， 当时，， 图象经过点，该选项符合题意； B选项：， 反比例函数图象位于第一，第三象限，该选项不符合题意； C选项：， 当时，随的增大而减小，该选项不符合题意； D选项：当时， ，， ，该选项不符合题意．故选A． 5．反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项点的坐标代入解析式验证即可． 【解析】∵反比例函数解析式为， 对选项A，点，当时，， ∴点不在函数图象上，A不符合题意； 对选项B，点，当时，，等式成立， ∴点在函数图象上，B符合题意； 对选项C，点，当时，， ∴点不在函数图象上，C不符合题意； 对选项D，点，当时，， ∴点不在函数图象上，D不符合题意．故选B． 6．点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将已知点坐标代入反比例函数解析式求出k的值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征：点的横纵坐标乘积等于k，验证各选项即可得到答案． 【解析】∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴此函数图象上点的坐标满足， ，A不符合； ，B不符合； ，C不符合； ，D符合； ∴在此函数图象上．故选D． 7．如图，点A，C在反比例函数第一象限的图象上，点B，D在反比例函数第二象限的图象上，轴，，，与之间的距离为1，则的值是（ ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义．解法一：过A、B、C、D分别向x轴做垂线，垂足为E、F、G、H，证明四边形和四边形都是矩形，得出，，根据反比例函数k值意义可得，设，则，得出，求出，得出答案即可；解法二：设，两点的坐标分别为、，根据点与点的纵坐标相同，点与点的纵坐标相同，得到，，由，，得到，根据与的距离为1，把代入中，即可求解． 【解析】解法一：过A、B、C、D分别向x轴做垂线，垂足为E、F、G、H， 则轴， ∵轴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， 根据反比例函数k值意义可得： ， ∵与之间的距离为1， ∴设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 解法二：设，两点的坐标分别为、， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相同，即，解得， 点与点的纵坐标相同，即，解得， ∵，， ∴，解得， ∵与的距离为1， ∴ ， 把代入中，得， 故选C． 8．横、纵坐标都为整数的点称为整点若双曲线（如图）与双曲线之间只有两个整点（不含边界），则满足条件的的值不可能是（ ） A．2 B．3 C．5.5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图像及性质，运用数形结合思想是解题的关键．根据反比例函数的图像分类讨论求解即可． 【解析】当时，，此时过和，与之间有整点和，故不符合题意； 当时，，此时过和，与之间没有整点，故符合题意； 当时，，此时过和，与之间有整点和，故不符合题意； 当时，此时过和，与之间有整点和，故不符合题意； 故选． 9．已知点，在双曲线上；若，则下列结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图像及性质，掌握反比例函数的图像及性质是解题的关键．根据题意可得，反比例函数的图像分布在第二、四象限，即可求解． 【解析】的图像分布在第二、四象限，如图所示， 当，从图像可知， 故选B． 10．在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系、一次函数的图象与系数的关系、反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴为直线，求得，从而得出，则可确定直线经过第一、二、四象限，再根据当时，，从而确定反比例函数的图象在第二、第四象限，即可求解． 【解析】∵二次函数图象开口方向向下， ∴ ∵二次函数图象的对称轴为直线 ∴， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， ∵当时，， ∴反比例函数的图象在第二、第四象限， ∴只有D选项题意． 故选D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．已知反比例函数的图象分布在第二、第四象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象所在象限可得比例系数小于0，列不等式求解即可． 【解析】∵反比例函数的图象分布在第二、第四象限， ∴， 解得．故答案为$m< 1$． 12．已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键． 根据关于x轴、y轴对称的点的坐标设点A坐标为，则，代入解析式解出a值即可． 【解析】设点A坐标为，则， 将点B坐标代入得：， 解得 故答案为 13．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于时，电流I可能是________A． 【答案】 【分析】根据反比例函数图像判断即可． 【解析】由图像可知电流与电阻是反比例函数关系，电流随电阻的增大而减小，则当电阻R大于时，电流I可能是A．故答案为$0< I< 4$． 14．若点、、都在反比例函数的图象上，若，则、、的大小关系是________（用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，在每个象限内，随的增大而增大，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据反比例函数的性质比较即可得出答案． 【解析】反比例函数， ， 图象分布在二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， 点、、都在反比例函数的图象上，若， ，， ． 故答案为． 15．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小明用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 1 2 3 … y … b a 2 … 下列五个结论： ①，，； ②此函数的图象关于原点中心对称； ③当时，y随x增大而减小； ④在第一象限的函数的图象，当时，函数y有最小值为2； ⑤当时，则或． 其中正确的结论是________（只填写正确的序号）． 【答案】①②④ 【分析】此题考查了函数的图象和性质．画出函数图象，逐项进行分析判断即可． 【解析】函数图象如图， 根据表格中的性质可以其此函数图象关于原点中心对称，故②正确； 将代入得到， ，所以， ∴， 当时，，即， 当，，即， 故①正确； 因为此函数的自变量x的值不能取0，所以③错误； 根据图象的性质可知当时，函数y有最小值为2，故④正确； 当时，， 即 解得或3， 根据图象，可知当或，故⑤错误； 所以填写①②④． 故答案为①②④ 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）已知反比例函数在其图象所在的各象限内，随的增大而减小． （1）求的最小整数值． （2）判断直线与该反比例函数图象是否有交点，并说明理由． 【答案】（1）的最小整数值为0 （2） 有交点，理由如下： 由题意得，反比例函数的图象在第一、三象限； ∵， ∴直线经过第一、三象限， ∴直线与该反比例函数图象有交点． 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，以及正比例函数的图象与性质． （1）根据反比例函数的增减性质可知，解不等式即可； （2）根据反比例函数图象和正比例函数图象经过的象限进行判定即可． 【解析】（1）解：∵由题意，得 ∴ ∴的最小整数值为0 （2）略 17．（9分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若，求的面积． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 ； （2）的面积为． 【分析】（1）先将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，再根据求出的反比例函数解析式求出点坐标，将点和点坐标代入一次函数解析式求出、的值即可得解； （2）由一次函数的图象与轴相交于点求出点坐标，再根据推得点坐标，进而结合点和点坐标即可求出的面积． 【解析】（1）解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为 ； 也在反比例函数的图象上， ， 即， （2），在一次函数的图象上， ， 解得， 即一次函数解析式为． （2）解：一次函数的图象与轴相交于点， （1）， 即， （1）， 又，， ． 18．（9分）如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求S与n的函数关系式． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据反比例函数的性质得到，，，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式求解即可． 【解析】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点，在反比例函数图象上，， ，，，． ∵，垂直于y轴，，垂直于x轴， ∴四边形是矩形， ， ∴S与n的函数关系式为． 19．（9分）如图，已知三点，直线与反比例函数上在第一象限的图象交于点，连接． （1）求直线和反比例函数的表达式． （2）点P在反比例函数的图象上，点Q在直线上，若以D，C，P，Q为顶点的四边形是以为一边的平行四边形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标． 【答案】(1)， （2）或或或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式；平行四边形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （1）先求出一次函数解析式，再求出，即可求出反比例函数表达式； （2）设点，由平行四边形的性质列出等式即可求解． 【解析】（1）设直线的解析式为， 把点代入得， ， 解得：， 故直线的解析式为， 将点代入得，解得， 故点， 将代入得， 故反比例函数的表达式为． （2）设点， ∵以D，C，P，Q为顶点的四边形是以为一边的平行四边形， 故或， 解得或或或， ∴或或或． 20．（9分）某设计师结合数学知识设计了一款沙发，沙发的三视图如图1所示，将沙发侧面示意图简化后，得到图2所示图形．为了解沙发的相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系中，其中曲线是反比例函数的一段图象，线段是一次函数的一段图象，点的坐标为，沙发腿轴，与轴交于点．请你根据图形解决以下问题： （1）请求出反比例函数和一次函数的表达式；（不要求写的取值范围） （2）过点向轴作垂线，交轴于点．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子的长、宽、高至少分别是多少？ 【答案】(1)，； （2）长方体箱子的长、宽、高至少分别是，． 【分析】本题考查了求一次函数解析式和求反比例函数解析式，用一次和反比例函数解决实际问题，熟练掌握函数表达式的求法是解题的关键． （1）将点代入，即可得出反比例函数表达式；将点代入，即可得出一次函数表达式； （2）把代入，得出，进而得出点的坐标为，将代入，得出点的坐标为，继而分析得出长方体箱子的长、宽、高． 【解析】（1）解：将点代入，得， 反比例函数表达式为， 将点代入，得， 解得， 一次函数表达式为． （2）， 把代入，得， （5），即， ， ， 点的坐标为， 将代入，得， 点的坐标为， ， 根据图1可知，沙发的长是． 综上，长方体箱子的长、宽、高至少分别是，． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴交于点B，与反比例函数交于点C，连接OC，且． （1）求b，k的值； （2）若点D为反比例函数图象上一点，连接CD，使得，求点D的坐标． 【答案】(1)， （2） 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形相似的判定和性质，解一元二次方程，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． （1）作轴于点，把点代入即可求得，由，可知，然后利用三角形相似的性质求得、，即可求得，代入即可求得； （2）作于点，设，则，，证得，得到，即，整理得，解得，即可求得． 【解析】（1）解：作轴于点， 直线经过点，与轴交于点 ， ， ， ，， ， ， ， ∵， ， ， ，， ， ， 反比例函数过点， ； （2）解：作于点， 由（1）可知反比例函数为，， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ，即， 整理得， 解得或（舍去）， ． 22．（10分）《函数）复习课后，为加深对函数的认识，李老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下，请完成探究过程： （1）初步感知：函数的自变量取值范围是 　　； （2）作出图象：①列表： 0 1 2 3 2 3 5 表中　　，　　； ②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； （3）研究性质： 小明观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数是中心对称图形，对称中心为，则函数的对称中心为 　　； （4）拓展应用：当时，关于的方程有实数解，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①，0； ②函数图象如图所示： （3） （4） 【分析】本题考查了分式有意义的条件，反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合等知识．熟练掌握分式有意义的条件，反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合是解题的关键． （1）由题意知，，求解作答即可； （2）①将，分别代入求解即可；②描点连线即可； （3）由图象与反比例函数的性质可知，函数的对称中心为，然后作答即可； （4）由题意知，当时，函数中，，把，代入函数得，，解得，把，代入函数得，解得，然后作答即可． 【解析】（1）解：∵函数， ∴，解得， ∴函数的自变量的取值范围是． 故答案为． （2）解：①时，， ， 当时，， ， 故答案为，0； ②略 （3）解：函数的对称中心为， 故答案为； （4）解：当时，函数中，， 把，代入函数得，，解得， 把，代入函数得，解得， 当时，关于的方程有实数解，的取值范围是． 23．（10分）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，交反比例函数的图象于B，C两点，以为边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，矩形面积分别记为，已知． （1）直接写出反比例函数的表达式； （2）求矩形的面积． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据，得出，根据反比例函数的图象在第一象限，得出 ，即可得出答案； （2）点B，C均在反比例函数的图象上，得出．设分别交x轴于点分别交y轴于点G，H．得出，，根据，求出，最后求出结果即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点B，C均在反比例函数的图象上， ． 如图，设分别交x轴于点分别交y轴于点G，H． ，， ， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握反比例函数比例系数k的意义． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 反比例函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，为边上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点作于点．设，的长度分别为，，则与的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ） A． B． C． D． 4．已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A．其图象经过点 B．其图象位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 5．反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A． B． C． D． 6．点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，点A，C在反比例函数第一象限的图象上，点B，D在反比例函数第二象限的图象上，轴，，，与之间的距离为1，则的值是（ ） A．1 B．3 C．6 D．8 8．横、纵坐标都为整数的点称为整点若双曲线（如图）与双曲线之间只有两个整点（不含边界），则满足条件的的值不可能是（ ） A．2 B．3 C．5.5 D．6 9．已知点，在双曲线上；若，则下列结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．已知反比例函数的图象分布在第二、第四象限，则的取值范围是________． 12．已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是________． 13．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于时，电流I可能是________A． 14．若点、、都在反比例函数的图象上，若，则、、的大小关系是________（用“”连接）． 15．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小明用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 1 2 3 … y … b a 2 … 下列五个结论： ①，，； ②此函数的图象关于原点中心对称； ③当时，y随x增大而减小； ④在第一象限的函数的图象，当时，函数y有最小值为2； ⑤当时，则或． 其中正确的结论是________（只填写正确的序号）． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）已知反比例函数在其图象所在的各象限内，随的增大而减小． （1）求的最小整数值． （2）判断直线与该反比例函数图象是否有交点，并说明理由． 17．（9分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若，求的面积． 18．（9分）如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求S与n的函数关系式． 19．（9分）如图，已知三点，直线与反比例函数上在第一象限的图象交于点，连接． （1）求直线和反比例函数的表达式． （2）点P在反比例函数的图象上，点Q在直线上，若以D，C，P，Q为顶点的四边形是以为一边的平行四边形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标． 20．（9分）某设计师结合数学知识设计了一款沙发，沙发的三视图如图1所示，将沙发侧面示意图简化后，得到图2所示图形．为了解沙发的相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系中，其中曲线是反比例函数的一段图象，线段是一次函数的一段图象，点的坐标为，沙发腿轴，与轴交于点．请你根据图形解决以下问题： （1）请求出反比例函数和一次函数的表达式；（不要求写的取值范围） （2）过点向轴作垂线，交轴于点．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子的长、宽、高至少分别是多少？ 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴交于点B，与反比例函数交于点C，连接OC，且． （1）求b，k的值； （2）若点D为反比例函数图象上一点，连接CD，使得，求点D的坐标． 22．（10分）《函数）复习课后，为加深对函数的认识，李老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下，请完成探究过程： （1）初步感知：函数的自变量取值范围是 　　； （2）作出图象：①列表： 0 1 2 3 2 3 5 表中　　，　　； ②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； （3）研究性质： 小明观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数是中心对称图形，对称中心为，则函数的对称中心为 　　； （4）拓展应用：当时，关于的方程有实数解，求的取值范围． 23．（10分）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，交反比例函数的图象于B，C两点，以为边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，矩形面积分别记为，已知． （1）直接写出反比例函数的表达式； （2）求矩形的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $