河南省叶县高级中学2026-2027学年高三上学期10月末调研考试数学试题

2026-2027学年高三数学10月末调研考试 考试注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】 或 2．已知复数，则的模为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， . 3．已知，，，则三者大小关系为（   ） A．a > b > c B．b > a > c C．c > a > b D．b > c > a 【答案】B 【分析】利用对数函数的换底公式比较，借助于中间值比较. 【详解】利用换底公式，，， 由于，，所以，即. 显然，所以. 4．将函数的图象上所有点的横坐标平移个单位，纵坐标保持不变，得到偶函数的图象，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，进而求出函数，再利用正余弦函数的图象性质求解. 【详解】函数， 依题意，，由函数为偶函数， 得，解得， 所以的最小值为，此时. 5．已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，，当时， ，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以，且，因为，所以①， 为偶函数，所以②， 当时，，由①②得，， 解得，. 6．已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到以为圆心，以为半径的圆与圆相交，进而得到，转化为圆的圆心到直线的距离小于列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】因为圆上恰有两个点与点的距离都为2， 所以以为圆心，以为半径的圆与圆相交， 因为圆的圆心为，半径为， 所以，即， 所以直线上至少存在一点使得， 所以点到直线的距离小于， 即，解得， 所以的取值范围是. 7．已知锐角，满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得和，由同角三角函数关系，求得和，进而求得和的值，结合两角差的余弦公式，即可求解. 【详解】由和均为锐角，可得， 因为，所以， 则， 又因为且均为锐角，可得，所以， 因为，可得， 所以，， 则 . 8．如图，在棱长为2的正方体中，点 M 为上的动点，O为正方体内一点，则以下命题错误的是（    ） A．取得最小值 B．当M为中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 C．四面体的外接球的表面积为时， D．若，则点O的轨迹长为 【答案】C 【分析】对于A，将平面沿翻折到与平面为同一平面，结合勾股定理以及三角形三边关系即可判断；对于B，设是的中点，得出四边形是菱形即可判断；对于C，当时，验算四面体的外接球的表面积即可判断；对于D，找出点的轨迹即可验算求解. 【详解】对于A，如图，将平面沿翻折到与平面为同一平面， 则，当三点共线时，等号成立，故A正确； 对于B，如图，设是的中点，连接， 因为正方体的棱长为2，且分别为的中点， 所以，且，， 所以四边形是菱形， 所以平面就是平面，此截面是平行四边形，故B正确； 对于C，由题意得，则， 因为两两垂直， 所以四面体的外接球的直径， 所以，解得，故C错误； 对于D，如图，由，所以点在的中垂面上，设的中点为，则， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 则， 所以点在以为圆心，半径为的半圆上运动，点的轨迹长为，故D正确. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键的得出点首先在面上，进一步得出可确定的轨迹，由此即可顺利得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．若，则实数的最大值为 D．若，则实数的最大值为1 【答案】BC 【分析】求出函数的定义域，即可判断A；判断出在上的单调性，即可判断B；先求出的值域，若恒成立，分析出要小于等于的下确界，即可判断C；若，分析出要小于的上确界，即可判断D. 【详解】因为恒成立，所以恒成立，所以的定义域为， 故A错误； 因为函数在上单调递增，则也单调递增，因此单调递减， 则单调递增，所以在上单调递增，故B正确； 因为，则，所以， 所以，所以，即. 若恒成立，则要小于等于的下确界，即， 所以实数的最大值为，故C正确； 若，则要小于的上确界，即， 所以实数没有最大值，故D错误. 10．如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（   ） A．不存在点，使得直线与所成的角为 B．存在点，使得平面平面 C．三棱锥的体积为 D．存在点，使得直线平面 【答案】BCD 【分析】当点为线段上靠近的四等分点时，利用线线角的定义求解判断A；当点为中点时，证明面面平行，即可判断B；结合等体积转化，即可判断C；当点为中点时，证明线面垂直，即可判断D. 【详解】对于A：当点为线段上靠近的四等分点时， 如图，连接,过点作，交于， 则,又正方体中，，所以， 则直线与所成角为， 又，， 所以为等边三角形，所以，故A错误； 对于B，当点为中点时，有，平面，平面， 所以平面，同理，平面， 且，平面， 所以平面平面，故B正确； 对于C：三棱锥的体积，故C正确； 对于D：当点为中点时，有，又， 所以平面即平面， 因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，故D正确. 11．已知直线与抛物线交于，两点，是抛物线的焦点，则下列判断一定正确的是（    ） A．若，则 B． C．过点作直线的垂线，垂足为点，为原点，则，，三点共线 D．直线，（为坐标原点）的斜率之积为 【答案】AC 【分析】通过联立方程组，整理得到一元二次方程，由韦达定理求得交点坐标的关系，由抛物线的定义和性质，逐一判断各个选项. 【详解】由题意可知，直线一定过焦点， 联立方程组，整理得， 设， 则， 即 当时，，由交点弦长公式可知，A选项正确； ， 则，B选项错误； 直线，则，则，， 因为，，所以，所以，，三点共线，C选项正确； ，所以，D选项错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知等边三角形的边长为2，设是平面内的动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设动点， . 【详解】设中点为原点，建立如图所示平面直角坐标系，等边的边长为2， 则， 设动点，则，，， ， 所以， 当时，取得最小值. 13．已知分别为双曲线 的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，则双曲线的离心率的取值范围为_______． 【答案】 【详解】由题意可得，，， 所以，当且仅当， 即时取等号，所以， 因为，， 所以，所以． 14．已知函数，，，若函数与其导函数的图象如图所示，则的最小值为______． 【答案】 【分析】通过两个函数图象，确定，再结合特殊点求得，结合辅助角公式可求解. 【详解】解：由函数，得， 结合函数的图象知，，，所以， 所以，由的图象过点， 得， 所以，；解得，； 又因为，所以，所以，， 所以 ，其中； 所以的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求的值； (2)若的面积为，为的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理及已知得，求出角的大小并求出，再由余弦定理求； （2）根据（1）和已知得、，再由，利用向量数量积的运算律求边长. 【详解】（1）已知 ， 结合余弦定理得，则， 因为为三角形边长，，所以， 因为，所以， 又因，，代入整理得， 解得，因为，所以， 根据余弦定理， ； （2）由（1）知，由的面积，得， 又，代入，得， 因为的中点，则， 两边取平方，， 即， 所以的长为1. 16．（15分）已知等差数列的首项为1，等比数列的公比为3，且，． (1)求和的通项公式； (2)设（），求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，， 解得，， 所以等差数列的通项公式为， 等比数列的通项公式为    ． （2）由（1）知（）， 则数列的前项和为 ， 其中， ， 因此，即数列的前项和为． 17．（15分）如图，四边形是周长为6的矩形，四边形满足，且，现将四边形以直线为轴旋转，记二面角的大小为．点M在直线上，且平面． (1)求证：； (2)已知平面和平面垂直． （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当取最小值时，证明：几何体的体积小于． 【答案】(1)如图，因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 又，，平面， 所以平面. 因为平面，所以． (2)（i） （ii）由题意知，几何体的体积， 由，知， 因为，，，所以， ， 所以， 又， 所以几何体的体积小于． 【分析】（1） 利用线面垂直性质，由平面得，结合矩形中，证平面，推出； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，求出两平面法向量，利用面面垂直则法向量点积为0得到，用基本不等式求最小值； （ⅱ）拆分几何体体积为两部分，代入最小值算出总体积，作差比较证明小于． 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）由，，知， 由（1）知，平面，则平面， 故在平面内过点D作的垂线，交直线于点G， 以D为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，则，，，， ，， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，， 所以， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，所以； 因为平面和平面垂直，所以， 即，整理可得， 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为． （ⅱ）略 18．（17分）椭圆的离心率为，长轴长为4. (1)求的方程； (2)设是曲线上的三个动点. （i）若直线过点，且点是曲线的上顶点，求面积的最大值； （ii）试探究：是否存在是以为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)（i）； （ii）①当在轴上时，的坐标为，则关于轴对称，的中点在轴上. 又为的中心，所以， 可知， 从而，即. 所以这与为等边三角形矛盾. ②当在轴上时，的坐标为，则关于轴对称，的中点在轴上. 又为的中心，所以，可知， 从而，即. 所以这与为等边三角形矛盾. ③当不在坐标轴上时，设，的中点为，则， 又为的中心，则，可知. 设，则， 又，两式相减得， 从而 ， 所以， 所以与不垂直，与等边矛盾. 综上所述，不存在是以为中心的等边三角形. 【分析】（1）利用离心率以及长轴长，求出椭圆中.即可求椭圆的方程; （2）（i）由已知，直线的斜率存在，设直线方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，推出面积的表达式，通过换元，利用导数求出面积的最大值. （ii）分点在轴上时、在轴上时以及不在坐标轴上讨论即可. 【详解】（1）由已知得 ，解得 ， 所以椭圆的方程是 （2）（i）由已知可知直线的斜率定存在，设直线的方程为， ， 由 得，所以 ， 所以， 又，所以， 令， 所以， 令， 根据对勾函数性质知在上单调递增， 所以当时，此时，有最小值，此时有最大值. 19．（17分）已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的极值； (3)若对任意的恒成立，求的取值范围； (4)若存在零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)极大值为，无极小值 (3) (4) 【分析】（1）由导数得出斜率，进而由切点写出切线方程； （2）由导数得出单调性，进而得出极值； （3）将问题转化为，构造函数，利用导数得出最大值，进而得出的取值范围； （4）存在零点等价于与轴有交点，结合（3）知，当且仅当时等号成立，所以当时，，不符合题意；当时，利用零点存在定理即可判断. 【详解】（1）若，则， 所以，， 所以，故曲线在点处的切线方程为， 即． （2）若，则，所以， 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值． （3）若对任意的恒成立，即， 令，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即的取值范围是． （4）令，得，令， 令，，所以， 所以当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 由（3）知，，即，所以， 当且仅当时等号成立， 所以当时，，不符合题意； 当时，，， 所以存在，使得，符合题意． 综上，的取值范围为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高三数学10月末调研考试 考试注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位 置 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合A=x2≤x<7jB=x2<x<10则CalAn B)=（） A.{x2≤x<7川 B.{xx<2或x>7 C.{xx<2或x>7 D.(xx≤2或x≥7 2.己知复数z=-2+i,则乙的模为() z+2 A.1 B.3 C.5 D.5 3.已知a=log32,b=ln2:c=52,则三者大小关系为（） A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 4.将函数fx=3sin2x+-sin xcosx- 3 的图象上所有点的横坐标平移0个单位，纵坐标保持不变， 得到偶函数y=gx的图象，则p的最小值为() C.I D. π 试卷第1页（共3页） 5.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x+1)为偶函数，f-1)=-1,当x∈[1,2]时，f(x)= x2+ax+b'则() A.a=-4,b=4B.a=4,b=0 C.a=2,b=-2 D.a=-3,b=3 6.已知圆C:x+y=1,若直线l:kx-y+3k+1=0上至少存在一点P,使得圆C上恰有两个点与点P的 距离都为2，则实数k的取值范围是() A -00,3 (o. C. +w D. ,已知税角a,B满显sina+2B-方cos2u+B- ,则cos3β=() 21-3 A. B.321-1 c.2i+3 D. 3PV21+1 8 8 8 8 8.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为CC1上的动点，O为正方体内一点，则 以下命题错误的是() D B D A.B1M+DM取得最小值2V5 B.当M为CC1中点时，平面BMD1截正方体所得的截面为平行四边形 C.四面体ABMD的外接球的表面积为10π时，CM=1 D.若A0=C0,A10=2,则点0的轨迹长为2π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 已知西数fx=1-2子，测下列送正确的是() A.fx的定义域为x|x∈R,x≠0 B.fx在R上单调递增 试卷第2页（共3页） C.若Vx∈R,fx≥a,则实数a的最大值为-1 D.若x∈R,fx≥a,则实数a的最大值为1 10.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1BC1D1中，P为线段A1B上的动点（不包含端点），则下 列说法正确的是() D C B A 夕 A,不存在点P,使得直线D,P与AC所成的角为号 B.存在点P,使得平面APD1∥平面C1BD C三枝锥D,-CDP的体积为号 D.存在点P,使得直线A1B⊥平面PDC1 11.已知直线y=kx-1与抛物线y2=4x交于A,B两点，F是抛物线的焦点，则下列判断一定正确的 是() A.若k=1,则AB=8 1+ 1=2 B.AF可BF C.过点B作直线x=-1的垂线，垂足为点D,O为原点，则A,D,O三点共线 D.直线OA,OB(O为坐标原点)的斜率之积为-3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知等边三角形ABC的边长为2，设p是平面ABC内的动点，则p:(P克+P元的最小值为 13.已知F,F,分别为双曲线父-y 日方=1Q>0,b>0的左、右焦点·p为双曲线右支上的在意一点，当 试卷第3页（共3页） PF了取最小值时，则双曲线的离心率e的取值范国为 PF2 14.已知函数f(x)=Acos(ax+p(A>0'o>0'0<0<m,若函数fx)与其导函数f(x的图象如 图所示，则r(x)+f(x的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)记△ABC的内角A'B'C的对边分别为ab'c已知b2=(a+c}-ac (1)若b=3,a=2,求cosA的值； (2)若△ABC的面积为3，D为AC的中点，且AC=2V3,求BD的长. 16.(15分)已知等差数列a,的首项为1，等比数列b,的公比为3，且a,=b,'a,=bg (1)求a,和b,的通项公式： 2设cn=a,+b,〈n∈N）,求数列cn的前2n顶和. 17.(I5分)如图，四边形ABCD是周长为6的矩形，四边形ADEF满足DE=2,且A亦=D市，现将 四边形ADEF以直线AD为轴旋转，记二面角E-AD-B的大小为C(0<c<π.点M在直线EC上，且 DM⊥平面EBC. 试卷第4页（共3页） E D (I)求证：DE⊥BC: (2)已知平面EBF和平面EBC垂直. (i)求cosc的最小值： ()当cosQ取最小值时，证明：几何体EFABCDA的体积小于 :。+2=1(a>b>0)的离心率为3，长轴长为4 18.(17分)椭圆c:+兰 2 (1)求C的方程： (2)设P,M,N是曲线C上的三个动点， D若直线MN过点D0,一引且p点是曲线c的上顶点，求△PMN面积的最大值： (i)试探究：是否存在△PMN是以O为中心的等边三角形，若存在，请给出证明：若不存在，请说明 理由. 19.(17分)已知函数fx=ae-nx-csx-1la≥0'gx=lnx-bx+1b∈R (①若a=1求曲线y=fx在点1，f1处的切线方程： (2)若b=2,求gx的极值： (3)若gx≤0对任意的x∈0，+∞恒成立，求b的取值范围： (④)若fx存在零点，求a的取值范围. 试卷第5页（共3页）