河南省叶县高级中学2025-2026学年高三上学期12月末数学模拟试卷

2025年12月末高三数学模拟试卷（详解版） （ 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知，（为虚数单位，）．若，则的值为（   ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】A 【知识点】复数的除法运算、复数的相等 【分析】由复数的运算法则计算即可. 【详解】由题意得： ， ，解得 . 故选：A 2．的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．60 D． 【答案】D 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】求出展开式通项，再求出的展开式通项，即可求出. 【详解】展开式的通项为， 则含的项为，其中的展开式的通项为， 令，得，所以展开式中的系数为. 故选：D. 3．已知函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】法一：由，求得单调增区间，再结合集合包含关系即可求解，法二：由得到，再结合集合包含关系即可求解. 【详解】方法一：由正弦函数的单调性，令， 解得， 又在单调， 所以当时，，即， 解得，所以的最大值为3. 方法二：在单调， 故， 所以的最大值为3. 故选：B 4．已知实数，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】充要条件的证明、根据函数的单调性解不等式 【分析】构建，结合函数单调性解不等式，进而分析充分、必要条件. 【详解】因为在定义域内单调递减， 可知函数在定义域内单调递减， 若，即，可得， 所以等价于； 又因为在定义域内单调递增， 若，即，可得， 所以等价于； 综上所述：等价于， 所以“”是“”成立的充要条件. 故选：B. 5．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用全概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】应用全概率公式、对立事件的概率求法列方程求. 【详解】由全概率公式知 ， 所以. 故选：A 6．在中，为的中点，且外接圆的圆心为M，则（   ） A．11 B．14 C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】根据题意，分别取线段的中点为结合向量数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为N为的中点，则，所以． 如图，分别取线段的中点为，因为M为的外接圆圆心， 所以，则 ， ， 因此． 故选：D． 7．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】抛物线的焦半径公式、直线与抛物线交点相关问题 【分析】求出抛物线及直线方程，通过直曲联立求出点的横坐标，再根据抛物线的定义进行求解即可. 【详解】因为，由抛物线的定义可知到准线距离为，即，解得：， 即抛物线方程为，代入点坐标得，即. 不妨取，又， 则直线的斜率为，所以直线为， 联立，消去整理得：， 解得：，，即点的横坐标为， 由此可得：，即得：. 故选：B 8．若数列满足（且），则称为“对数m底数列”．已知正项数列是“对数2底数列”且，则当且时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列新定义 【分析】根据定义，即，再利用累乘，平方后再由根据递推关系可得答案. 【详解】因为正项数列是“对数2底数列”所以，所以， 所以，且 以上式子相乘得，所以， 所以，得， 且，则，所以，， 故. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．象棋作为一种传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红、黑两种阵营，将、士、车、马、炮、兵为象棋中的棋子，现有3个红色的“马”“车”“炮”棋子与2个黑色的“马”“车”棋子，将这5个棋子排成一列，则下列说法正确的是（    ） A．共有120种排列方式 B．若两个“车”相邻，则有24种排列方式 C．若两个“马”不相邻，则有72种排列方式 D．若红、黑棋子间隔排列，则有12种排列方式 【答案】ACD 【知识点】排列组合综合、不相邻排列问题、相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】由全排可得A；两个“车”先捆绑，再与其他全排可判断B；先将剩余的3个棋子进行全排列，再两个“马”插空可确定C；将2个黑色的棋子进行全排列，红色棋子插空可得D. 【详解】A对，由排列知识可得共有种排列方式． B错，将两个“车”捆绑作为一个元素，有种排列方式， 再和剩余的3个棋子进行全排列，故共有种排列方式． C对，两个“马”不相邻，先将剩余的3个棋子进行全排列，产生4个空， 再将两个“马”插空，故共有种排列方式． D对，将2个黑色的棋子进行全排列，产生3个空，再将3个红色的棋子进行插空， 故共有种排列方式． 故选：ACD. 10．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，点在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（　　） A．若为线段的中点，则直线平面 B．三棱锥的体积为 C．在线段上存在点，使得 D．若，则点的轨迹长为 【答案】ABD 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据题目条件，以为原点，方向为轴建立空间坐标系，结合选项条件代入计算判断选项是否正确. 【详解】以为原点，方向为轴建立空间坐标系，棱长为， ,,,,,,,, ，分别是，的中点,,, 点在正方形上，设，其中， 对于A选项：为线段的中点，则,, 又是正方体，则是平面的法向量， ，即， 又平行平面，所以直线平行平面，A选项正确； 对于B，三棱锥体积与相同， 的顶点， ，， 点到的距离恒为， 于是，B选项正确 对于C，在线段上：，设 ， ， 垂直条件即， ， 但，所以不存在这样的点,C选项错误； 对于D，即， ， ，， ， 点限制在，且平面上， 因此在这个范围内对应一条线段： 当时，得；当时，得， 线段长度：， 所以轨迹长为，D选项正确. 故选：ABD 11．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（ ） A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为 D．直线l与双曲线交于A，B两点，若AB的中点坐标是，则直线l的方程为 【答案】ABD 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】直接求出两曲线的渐近线方程即可判断A，求出，再根据双曲线的定义求出，，即可判断B，设，利用勾股定理求出，再由面积公式计算即可判断C，令，进而得到，结合中点坐标及斜率的两点式得，再由已知和点斜式写出直线方程判断D. 【详解】A：双曲线，则，，故渐近线方程为，即， 双曲线，，，故渐近线方程为，即，A正确； B：由题意得，，，由双曲线的定义得，， ， ，，故的周长为，B正确； C：对称性不妨设在右支上，设，则，， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以的面积为，故C错误； D：令，则，作差得， 所以，而，， 所以，可得，且点在直线上， 所以直线为，即为， 经验证符合题意，D正确， 故选：ABD 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某软件科技公司近8年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示． x 3 4 5 6 6 7 8 9 y 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程（，用分数表示）， ． 附：（1）参考数据：，． （2）参考公式：，． 【答案】 【知识点】相关系数的计算、求回归直线方程 【分析】首先计算和 ，再比较参考公式，即可求解. 【详解】， ， 由条件可知， 得， 所以， 故答案为：. 13．已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是 【答案】 【知识点】数列不等式恒成立问题、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】设等比数列的公比为，根据，，成等差数列，得到，求得，得到，把由恒成立，转化为，设，结合函数的单调性，求得的最小值，即可得到答案. 【详解】设等比数列的公比为， 因为等比数列的首项为，则， 又因为，，成等差数列，所以， 可得，解得或（舍去），所以， 因为，所以数列为递增数列， 由恒成立，所以， 设，可得函数在单调递减，在单调递增， 当时，时，可得； 当时，时，可得， 所以的最小值为，所以，即的取值范围为. 故答案为：. 14．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】将不等式变形为，构造函数，利用导函数与函数单调性的关系确定函数的单调性，进而可得在上恒成立，再进一步构造，利用导数研究单调性和最值即可求解. 【详解】即在上恒成立， 令， 易得在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 即在上恒成立，即在上恒成立， 也即在上恒成立， 所以， 令，则， 由，解得；由，解得； 所以在单调递增，单调递减， 所以， 即，故实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤。 15．已知向量，函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)在中，分别是角的对边，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、数量积的坐标表示、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式与辅助角公式可得，再利用正弦型函数性质计算即可得解； （2）由计算可得，再利用面积公式与余弦定理计算即可得解. 【详解】（1）， 令，解得， 故函数的单调递减区间为； （2），则，则， 即，又，故， 则，故， ， 即，则， 即有，故的周长为. 16．如图，在四棱锥中，平面ABCD，．E为棱PC上一点，且，平面ABE与棱PD交于点F． (1)求证：为PD的中点； (2)求二面角的余弦值； (3)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】点到平面距离的向量求法、证明线面平行、面面角的向量求法 【分析】（1）利用勾股定理可得为的中点，再利用线面平行判定定理和性质定理即可得，即可得出证明； （2）建立以为坐标原点的空间直角坐标系，求出平面的法向量为，易知是平面的一个法向量，根据空间向量夹角与二面角之间的关系即可求得结果. （3）求出平面的法向量，利用空间向量法求出点到平面的距离公式即可求解. 【详解】（1）因为平面，平面，所以． 在中，． 在直角梯形中， 由，，可求得，所以． 因为，所以为的中点． 因为，平面，平面，所以平面． 因为平面平面，所以． 所以， 所以为的中点； （2）由题可知因为平面，所以． 又，所以两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系， 则,,,，,, 所以，，． 设平面的法向量为，则，即 令，则，．于是． 因为平面，且，所以平面， 又平面，所以． 又，且为的中点，所以．平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量． ． 由题设，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． （3）,,,， 则，，， 设平面的法向量，则， 令，则，所以， 所以点A到平面的距离为， 所以点A到平面的距离为 17．人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧．某科技公司计划开发三款不同的大语言模型A，B，C．每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收．只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立．只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布．已知A，B，C三款模型通过算法设计评审的概率依次为，，，通过工程部署验收的概率依次为，，． (1)求A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审的概率； (2)若已知A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为A的概率； (3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，A，B，C三款模型能成功上线的数量为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1)； (2)； (3)分布列见解析， 【知识点】求离散型随机变量的均值、计算古典概型问题的概率、计算条件概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式进行求解； （2）由条件概率求解公式可得； （3）先求出A，B，C三款模型能成功上线的概率，求出的可能取值及对应概率，得到分布列和数学期望. 【详解】（1）设A，B，C三款模型通过算法设计评审为事件， A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件， 则 ； （2）由条件概率公式可得 ； （3）设A，B，C三款模型能成功上线为事件， 则，，， 的可能取值为， 则， ， ， ， 所以X的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为. 18．已知，分别是椭圆的左､右顶点，，是椭圆上异于，的两点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为. (1)求椭圆的方程； (2)已知为坐标原点，直线（其中），直线与椭圆相交于，两点，且满足. （i）求与的关系式； （ii）求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i），（ii） 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的参数及范围、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由菱形可知此时与分别为椭圆的长轴与短轴，结合勾股定理可得周长，与面积，即可得与，即可得椭圆方程； （2）（i）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，根据化简可得关系式；（ii）根据弦长公式可得，又原点到直线的距离，可得三角形面积，结合二次函数性质可得取值范围. 【详解】（1）由已知，若四边形为菱形，则与互相垂直且平分， 又，分别为椭圆的左、右顶点，则，分别为椭圆的上、下顶点， 则，，且， 所以，菱形的周长为， 即，解得，， 所以椭圆方程为； （2） （i）设，， 联立，消去，可得， 则， 且，， 又，且，， 则，即， 代入可得， 化简可得，即； （ii）由直线与椭圆相交可得 ， 又， 则， 又坐标原点到直线的距离， 则， 设，则，， 则， 则当，即时，取得最大值为； 当，即时，取得最小值为， 即. 19．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数的几何意义求得，可求切线方程； （2）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （3）（i）结合（2）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得. 【详解】（1）当时，，求导得，所以， 又，所以切点为， 所以切线方程为，即； （2）由，求导得， 若，，所以在上单调递增； 若，令，得，解得， 当 时，，则在 上单调递减； 当 时，，则在 上单调递增； 综上所述：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）（i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（2）知，且，所以， 解得，所以的取值范围． （ii）由（i）得，所以，， 两边同时取自然对数，得，， 两式相减得，即， 要证，只需证明， 即，所以， 令，只需证明，构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式成立， 于是原不等式成立． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年12月末高三数学模拟试卷 （ 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知，（为虚数单位，）．若，则的值为（   ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 2．的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．60 D． 3．已知函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 4．已知实数，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 6．在中，为的中点，且外接圆的圆心为M，则（   ） A．11 B．14 C． D． 7．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．若数列满足（且），则称为“对数m底数列”．已知正项数列是“对数2底数列”且，则当且时，（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．象棋作为一种传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红、黑两种阵营，将、士、车、马、炮、兵为象棋中的棋子，现有3个红色的“马”“车”“炮”棋子与2个黑色的“马”“车”棋子，将这5个棋子排成一列，则下列说法正确的是（    ） A．共有120种排列方式 B．若两个“车”相邻，则有24种排列方式 C．若两个“马”不相邻，则有72种排列方式 D．若红、黑棋子间隔排列，则有12种排列方式 10．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，点在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（　　） A．若为线段的中点，则直线平面 B．三棱锥的体积为 C．在线段上存在点，使得 D．若，则点的轨迹长为 11．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（ ） A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为 D．直线l与双曲线交于A，B两点，若AB的中点坐标是，则直线l的方程为 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某软件科技公司近8年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示． x 3 4 5 6 6 7 8 9 y 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程（，用分数表示）， ． 附：（1）参考数据：，． （2）参考公式：，． 13．已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是 14．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤。 15．已知向量，函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)在中，分别是角的对边，的面积为，求的周长. 16．如图，在四棱锥中，平面ABCD，．E为棱PC上一点，且，平面ABE与棱PD交于点F． (1)求证：为PD的中点； (2)求二面角的余弦值； (3)求点A到平面的距离． 17．人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧．某科技公司计划开发三款不同的大语言模型A，B，C．每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收．只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立．只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布．已知A，B，C三款模型通过算法设计评审的概率依次为，，，通过工程部署验收的概率依次为，，． (1)求A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审的概率； (2)若已知A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为A的概率； (3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，A，B，C三款模型能成功上线的数量为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 18．已知，分别是椭圆的左､右顶点，，是椭圆上异于，的两点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为. (1)求椭圆的方程； (2)已知为坐标原点，直线（其中），直线与椭圆相交于，两点，且满足. （i）求与的关系式； （ii）求面积的取值范围. 19．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $