专题09 解直角三角形及其应用 期中复习讲义 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

专题09解直角三角形及其应用期中复习讲义 1.理解解直角三角形的含义，掌握直角三角形边角关系：两锐角互余、勾股定理、锐角三角函数，能在已知两个元素（至少一条边）的条件下，求出其余未知元素。 2.学会在斜三角形、四边形等图形中，通过作垂线添加辅助线构造直角三角形，把非直角三角形问题转化为解直角三角形问题。 3.掌握仰角、俯角、方位角、坡度、坡角的定义，理清坡度与坡角正切值的关系，读懂实际问题示意图。 4.能够从测量高度、测距、航海等实际情境中抽象出直角三角形模型，选择合适的三角函数列式计算，求解高度、距离等未知量。 5.能够处理双直角三角形的综合题型，利用公共边建立等量关系，分步求解。 6.区分不同场景下辅助线的做法，规范书写解题步骤，看清观测点，避免仰角、俯角、方位角看错的失误。 7.可以结合三角函数、勾股定理进行综合计算，兼顾计算准确性，灵活选用简便方法解题。 题型 考察方向 难度 题型一 解直角三角形的相关计算 ★★ 题型二 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 ★★★ 题型三 解非直角三角形 ★★★ 题型四 仰角俯角问题 ★★★ 题型五 坡度坡比问题 ★★★ 题型六 方位角问题 ★★★ 题型七 其他问题 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知的边、角元素，求出所有未知边、未知角的过程，叫做解直角三角形。 直角三角形一共 6 个元素： 3 条边、3 个角（固定一个直角 90°） 实际需要求解：2 个锐角 + 2 条未知直角边 知识点 02 解直角三角形的四大依据（核心公式） 设在 Rt△ABC 中， ∠C=90 1. 边角关系（三角函数） sinA=, cosA=, tanA= 2. 边边关系（勾股定理） a2+b2=c2 3. 角角关系（互余） ∠A+∠B=90 4. 同角三角函数关系 sin2A+cos2A=1,tanA= 知识点 03 解直角三角形的类型及解法（必考表格） 解直角三角形，就是在已知直角三角形的部分边或角时，求出其余未知的边和角。直角三角形中，∠C=90°，三边为 a,b,c（c为斜边），三个角为 ∠A、∠B、∠C。 已知条件 解法步骤 图形 两直角边 (a, b) 1.由tanA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3.由c=求斜边。 在Rt△ABC中，∠C=90∘∠A、∠B、∠C的对边分别为a.b.c.如图所示 斜边和一直角边 (c, a) 1.由sinA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3. 由b=​求另一直角边。 一锐角和一直角边 (∠A, a) 1.∠B=90∘−∠A； 2.由b=求邻边； 3.由c=求斜边。 一锐角和斜边 (∠A, c) 1.∠B=90∘−∠A； 2 由a=csinA求对边； 3.由b=ccosA求邻边。 知识点 04 解直角三角形通用解题步骤 1.标图：在图形中标出已知边、已知角，标注字母a、b、c、∠ A、 ∠B； 2.判断：分清属于四类基础题型，确定先用勾股还是三角比； 3.计算：优先使用题目原始数据，减少中间近似误差； 4.求角：边长比值求三角函数，再反推角度； 5.检验： ① 直角边＜斜边； ② 两锐角相加等于 90°； ③ 边长符合勾股定理。 知识点 05 实际应用四大模型（课本重点） 1. 仰角、俯角问题 仰角：视线在水平线上方的角 俯角：视线在水平线下方的角 解题核心： 过观测点作水平线，构造直角三角形，利用 tan 求高度、距离。 2. 坡度、坡角问题（考试高频） 定义 坡角：坡面与水平面的夹角 坡度（坡比）i：铅直高度 h 与水平宽度 l 的比 i==tan ⚠️关键：坡度不是角度，是比值！ 坡度越大，坡面越陡。 3. 方向角问题（方位角） 标准描述： 北偏东、北偏西、南偏东、南偏西（角度靠坐标轴） 例：北偏东 30°、南偏西 45° 解题方法： 根据方位作十字坐标，构造直角三角形求解边长。 4. 双直角三角形模型（拔高必考） 同一水平线、共高、双三角形叠加 常见场景：测塔高、测河宽、山坡测距 方法： 设公共高为 x，利用两次三角函数列方程求解。 知识点 06 常见应用题模型汇总 模型名称 图形特征 解题核心方法 仰角俯角模型 水平线 + 视线 + 竖直高 用tan求高、水平距 坡度坡比模型 斜面、高、水平宽 i==tan 方位角模型 十字坐标、夹角 平行线转化角度，构造 Rt△ 双 Rt△共高模型 两个直角三角形共用一条高 设高列方程求解 知识点07：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型 正确标准 坡度理解错误 把坡度当成坡角 坡度是比值i=h:l，坡角是角度 仰角俯角看错 以铅垂线为基准量角 必须以水平线为基准 已知角度乱求边 只有角度无边强行求边长 解三角形必须至少一条已知边 双三角形不用方程 硬代数值计算导致出错 未知公共高，优先设 x 列方程 三角函数选错 求对边用 cos、求邻边用 sin 对边 sin，邻边 cos，对比 tan 角度互余遗忘 计算繁琐不会简化角度 ∠A+∠B=90快速求角 题型一 解直角三角形的相关计算 1．如图，在中，，则 的对边是____，的邻边是__________； 的对边是_____，的邻边是_________． 2．在Rt中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，则的度数为________． 4．如图所示，在四边形中，，，为中点，动点从点出发沿向终点运动，连接，．取中点，连接，则线段的最小值等于（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型二 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 5．如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为，米，米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是______平方米.（结果保留根号） 6．如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从点看点的仰角为36.5°，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（    ）米（参考数据：，，） A．43 B．45 C．47 D．49 7．如图，某高为60米的大楼旁边的山坡上有一个“5G”基站，从大楼顶端测得基站顶端的俯角为，山坡坡长米，坡度，大楼底端到山坡底端的距离米，则该基站的高度______米． 8．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为(   )    A．120m B．60m C．60m D．120m 题型三 解非直角三角形 9．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里． 10．如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ___________． 11．如图，在等腰中，于点，则的值（    ）    A． B． C． D． 题型四 仰角俯角问题 12．如图，航拍无人机从点A处看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（    ） A． B． C． D． 13．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为______米（结果保留根号）． 14．如图，小明想测量塔的高度．他在处用高为的测倾器测得塔顶的仰角为，再朝塔的方向前进至处，测得塔顶的仰角为．请你帮他计算一下这座塔的高度（结果精确到）． 题型五 坡度坡比问题 15．如图，无障碍坡道的坡度为，小丽在处乘坐直升电梯竖直升高了到达点处．若小丽从点沿这条坡道步行，则需前进_________到达点处． 16．为改善生态环境、防治水土流失，人们通常会在斜坡或河岸种植树木、灌木等固土植物，利用其根系固结土壤、减缓径流，从而起到涵养水源、保持水土的作用．如图，斜坡上有一棵树，已知树高米，斜坡的坡度为，小明在距离点2米远的处测得树顶点的仰角为，树，斜坡的剖面，点在同一平面上，树与地面垂直，则树根部到坡脚的距离为（     ） （参考数据：，，） A．10米 B．12米 C．13.5米 D．11米 17．如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 题型六 方位角问题 18．如图，一条笔直的东西公路的北边有一个建筑物，小明在公路上的点处测得建筑物在北偏东的方向上；小明向东走20米到达点处，测得建筑物在北偏东方向上．则建筑物到公路的距离为（   ） A．10米 B．米 C．15米 D．米 19．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则海轮所在的B处与灯塔P之间的距离是__________海里．（参考数据：，，，）． 20．如图，在岸边点测得湖中一小岛在点的东北方向（即北偏东），一轮船从点出发向正东方向行驶．某一时刻，轮船行驶到点时测得小岛在点的北偏东30°方向． (1)求的度数； (2)若轮船继续向东行驶到距离小岛最近点，求此时的度数． 题型七 其他问题 21．如图，一辆高为0.54米的智能摇杆车驶入夹角为的裂缝进行采样，则智能车无法采样的距离为___________．（注：，，） 22．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为a米，则窗角C到窗框的距离的长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 23．科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 解答题 24．一题多解法 如图，一块四边形土地，其中，，，，．求这块土地的面积（结果保留根号）． 25．（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有6个元素—三个角，三条边．其中，有一个角为90度，对于其他五个元素，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列两个条件中，不能解直角三角形的是 ． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有6个元素——三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知在中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，在中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是 ． 26．1947年11月12日，解放军经六昼夜激战攻克石门（石家庄旧称），此役为首例大城市攻坚战．1987年为纪念石家庄解放40周年，石家庄市政府修建了解放纪念碑．石外某班社会实践小组在了解石家庄历史过程中，计划测量纪念碑的高度，绘制了如图所示的平面图，用来表示纪念碑，纪念碑东侧是老火车站的售票厅，其中售票厅高18米．从，之间的E点在同一水平线上）测得纪念碑顶部的点，售票厅顶部点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为 解决下列问题，计算结果是无理数的保留根号： (1)填空：___________°，___________； (2)求，两点之间的距离； (3)求纪念碑的高度． 27．如图是某景区的平面示意图，景点位于景点的正南方向处，景点位于景点的南偏西方向，且与景点的距离． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是．智能巡检机器人从景点出发，沿道路的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 28．综合与实践． 如图，综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐杖出门的老人存在安全隐患．综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下． 【信息采集】 国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）：轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于（满足轮椅转身、停留需求）；无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于． 某单元门口数据采集： 入户台阶总高度为；入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为． 计划修建的轮椅通行坡道的坡度为． 【方案设计】 方案一：单段直坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和终点休息平台的水平长度为，为单段直坡道． 方案二：两段式折返坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和中间休息平台的水平长度（终点为单元门前人行道，无需另外设计平台），和为两段式折返坡道． 【问题解决】 (1)结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中的长度，并判断方案一是否可行； (2)结合题意判断方案二是否可行，并说明理由． 29．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据，，） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09解直角三角形及其应用期中复习讲义 1.理解解直角三角形的含义，掌握直角三角形边角关系：两锐角互余、勾股定理、锐角三角函数，能在已知两个元素（至少一条边）的条件下，求出其余未知元素。 2.学会在斜三角形、四边形等图形中，通过作垂线添加辅助线构造直角三角形，把非直角三角形问题转化为解直角三角形问题。 3.掌握仰角、俯角、方位角、坡度、坡角的定义，理清坡度与坡角正切值的关系，读懂实际问题示意图。 4.能够从测量高度、测距、航海等实际情境中抽象出直角三角形模型，选择合适的三角函数列式计算，求解高度、距离等未知量。 5.能够处理双直角三角形的综合题型，利用公共边建立等量关系，分步求解。 6.区分不同场景下辅助线的做法，规范书写解题步骤，看清观测点，避免仰角、俯角、方位角看错的失误。 7.可以结合三角函数、勾股定理进行综合计算，兼顾计算准确性，灵活选用简便方法解题。 题型 考察方向 难度 题型一 解直角三角形的相关计算 ★★ 题型二 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 ★★★ 题型三 解非直角三角形 ★★★ 题型四 仰角俯角问题 ★★★ 题型五 坡度坡比问题 ★★★ 题型六 方位角问题 ★★★ 题型七 其他问题 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知的边、角元素，求出所有未知边、未知角的过程，叫做解直角三角形。 直角三角形一共 6 个元素： 3 条边、3 个角（固定一个直角 90°） 实际需要求解：2 个锐角 + 2 条未知直角边 知识点 02 解直角三角形的四大依据（核心公式） 设在 Rt△ABC 中， ∠C=90 1. 边角关系（三角函数） sinA=, cosA=, tanA= 2. 边边关系（勾股定理） a2+b2=c2 3. 角角关系（互余） ∠A+∠B=90 4. 同角三角函数关系 sin2A+cos2A=1,tanA= 知识点 03 解直角三角形的类型及解法（必考表格） 解直角三角形，就是在已知直角三角形的部分边或角时，求出其余未知的边和角。直角三角形中，∠C=90°，三边为 a,b,c（c为斜边），三个角为 ∠A、∠B、∠C。 已知条件 解法步骤 图形 两直角边 (a, b) 1.由tanA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3.由c=求斜边。 在Rt△ABC中，∠C=90∘∠A、∠B、∠C的对边分别为a.b.c.如图所示 斜边和一直角边 (c, a) 1.由sinA=​求∠A； 2.∠B=90∘−∠A； 3. 由b=​求另一直角边。 一锐角和一直角边 (∠A, a) 1.∠B=90∘−∠A； 2.由b=求邻边； 3.由c=求斜边。 一锐角和斜边 (∠A, c) 1.∠B=90∘−∠A； 2 由a=csinA求对边； 3.由b=ccosA求邻边。 知识点 04 解直角三角形通用解题步骤 1.标图：在图形中标出已知边、已知角，标注字母a、b、c、∠ A、 ∠B； 2.判断：分清属于四类基础题型，确定先用勾股还是三角比； 3.计算：优先使用题目原始数据，减少中间近似误差； 4.求角：边长比值求三角函数，再反推角度； 5.检验： ① 直角边＜斜边； ② 两锐角相加等于 90°； ③ 边长符合勾股定理。 知识点 05 实际应用四大模型（课本重点） 1. 仰角、俯角问题 仰角：视线在水平线上方的角 俯角：视线在水平线下方的角 解题核心： 过观测点作水平线，构造直角三角形，利用 tan 求高度、距离。 2. 坡度、坡角问题（考试高频） 定义 坡角：坡面与水平面的夹角 坡度（坡比）i：铅直高度 h 与水平宽度 l 的比 i==tan ⚠️关键：坡度不是角度，是比值！ 坡度越大，坡面越陡。 3. 方向角问题（方位角） 标准描述： 北偏东、北偏西、南偏东、南偏西（角度靠坐标轴） 例：北偏东 30°、南偏西 45° 解题方法： 根据方位作十字坐标，构造直角三角形求解边长。 4. 双直角三角形模型（拔高必考） 同一水平线、共高、双三角形叠加 常见场景：测塔高、测河宽、山坡测距 方法： 设公共高为 x，利用两次三角函数列方程求解。 知识点 06 常见应用题模型汇总 模型名称 图形特征 解题核心方法 仰角俯角模型 水平线 + 视线 + 竖直高 用tan求高、水平距 坡度坡比模型 斜面、高、水平宽 i==tan 方位角模型 十字坐标、夹角 平行线转化角度，构造 Rt△ 双 Rt△共高模型 两个直角三角形共用一条高 设高列方程求解 知识点07：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型 正确标准 坡度理解错误 把坡度当成坡角 坡度是比值i=h:l，坡角是角度 仰角俯角看错 以铅垂线为基准量角 必须以水平线为基准 已知角度乱求边 只有角度无边强行求边长 解三角形必须至少一条已知边 双三角形不用方程 硬代数值计算导致出错 未知公共高，优先设 x 列方程 三角函数选错 求对边用 cos、求邻边用 sin 对边 sin，邻边 cos，对比 tan 角度互余遗忘 计算繁琐不会简化角度 ∠A+∠B=90快速求角 题型一 解直角三角形的相关计算 1．如图，在中，，则 的对边是____，的邻边是__________； 的对边是_____，的邻边是_________． 【答案】 / / / / 【分析】根据直角三角形定义确定直角顶点，区分斜边与直角边，结合锐角对边与邻边的概念进行识别． 【详解】解：由题意得的对边是，的邻边是 的对边是，的邻边是． 2．在Rt中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，先利用勾股定理求出，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴， ∴． 3．如图，在中，，，，则的度数为________． 【答案】/45度 【详解】通过作高构造直角三角形，利用余弦的定义求出线段长度，再结合勾股定理和特殊角的三角函数值求解角度． 【解答】解：过点A作于D， 在中， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 4．如图所示，在四边形中，，，为中点，动点从点出发沿向终点运动，连接，．取中点，连接，则线段的最小值等于（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】过点D作于点E，根据垂线段最短得到点P与点E重合时，最小，然后根据解直角三角形的性质求出，最后根据三角形中位线定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 根据垂线段最短，可知当点P与点E重合时，最小，最小值为的长度， 在中，，， ∴， ∵M为中点，N是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴线段的最小值为． 题型二 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 5．如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为，米，米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是______平方米.（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，根据解直角三角形的方法即可求解. 【详解】如解图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴. ∵在中，，， ∴. ∵，， ∴（平方米）. 【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解. 6．如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从点看点的仰角为36.5°，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（    ）米（参考数据：，，） A．43 B．45 C．47 D．49 【答案】B 【分析】首先构建直角三角形，然后利用三角函数值得出DG，即可得解. 【详解】作AH⊥EB于H，延长DC交AH于N，作DG⊥EB于G，如图所示： ∵∠ACD=135° ∴∠ACN=45° 在Rt△ACN中，AC=，∠ACN=45° ∴AN=CN=18 在Rt△ABH中，AB=，AH：BH=3:2， 设 ∴ 解得或（不符合题意，舍去） ∴AH=45 ∴HN=AH-AN=45-18=27 ∵四边形DGHN是矩形 ∴DG=HN=27 在Rt△DEG中， ∴ 故选：B. 【点睛】此题主要考查锐角三角函数的实际应用，熟练掌握，即可解题. 7．如图，某高为60米的大楼旁边的山坡上有一个“5G”基站，从大楼顶端测得基站顶端的俯角为，山坡坡长米，坡度，大楼底端到山坡底端的距离米，则该基站的高度______米． 【答案】 【分析】如图（见解析），先根据坡度的定义、勾股定理求出的长，从而可得的长，再根据解直角三角形可得的长，然后根据可得的长，从而可得的长，最后根据即可得． 【详解】解：如图，延长相交于点，过点作于点， 则四边形是矩形， ， 坡度， 设米，则米， 在中，， 解得， 米，米， 米， 米， 由题意得：， 在中，米， 米， 米， 米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、坡度等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 8．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为(   )    A．120m B．60m C．60m D．120m 【答案】B 【分析】根据题意作出图形，即求的长，求得∠BAC＝30°，进而解即可求解． 【详解】如图，    ∵底部是边长为120m的正方形， ∴BC＝×120＝60m， ∵AC⊥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∴AB＝＝120m， ∴AC＝＝m． 答：这个金字塔原来有米高． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． 题型三 解非直角三角形 9．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里． 【答案】20 【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解． 【详解】如图，过点A作AC⊥BD， 依题意可得∠ABC=45° ∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里) ∴AC=BC=ABsin45°=10(海里) 在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30° ∴AD=2AC=20 (海里) 故答案为：20． 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 10．如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ___________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，过点作于点，连接．由翻折可知，，，设，在中，，可求得，再利用勾股定理求出，在中，，即可求得，结合勾股定理可得，则，进而可得出答案． 【详解】解：过点作于点，连接． 由翻折可知，，， ， ，． 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 则， ． 故答案为：． 11．如图，在等腰中，于点，则的值（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由，易得，由可得，进而用勾股定理分别将BD、BC长用AB表示出来，再根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：D 【点睛】本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 题型四 仰角俯角问题 12．如图，航拍无人机从点A处看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图及题意得： ． 13．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为______米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米，， 在中，米， 在中，米， ∴米， ∴建筑物A、B之间的距离为米． 14．如图，小明想测量塔的高度．他在处用高为的测倾器测得塔顶的仰角为，再朝塔的方向前进至处，测得塔顶的仰角为．请你帮他计算一下这座塔的高度（结果精确到）． 【答案】 【分析】设，求出，，由列方程并解方程即可求出答案． 【详解】解：设，由题意可知，三点共线，三点共线，，，， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得 即这座塔的高度为． 题型五 坡度坡比问题 15．如图，无障碍坡道的坡度为，小丽在处乘坐直升电梯竖直升高了到达点处．若小丽从点沿这条坡道步行，则需前进_________到达点处． 【答案】 【分析】先根据坡度定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴． 16．为改善生态环境、防治水土流失，人们通常会在斜坡或河岸种植树木、灌木等固土植物，利用其根系固结土壤、减缓径流，从而起到涵养水源、保持水土的作用．如图，斜坡上有一棵树，已知树高米，斜坡的坡度为，小明在距离点2米远的处测得树顶点的仰角为，树，斜坡的剖面，点在同一平面上，树与地面垂直，则树根部到坡脚的距离为（     ） （参考数据：，，） A．10米 B．12米 C．13.5米 D．11米 【答案】A 【分析】延长交于点H则，已知斜坡的坡度为则求出即可得出再用勾股定理即可即可求出；求可设长为米再通过三角函数列式计算即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点，则； 设长为米， 由斜坡的坡度为可得， ，得， （米）， （米）， 在中， ， 即， ， 则（米）， 在直角中， （米）． 17．如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 【答案】小亮沿垂直方向上升了米 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，分别在直角三角形和直角三角形中，利用正弦分别求出和，于是可求出沿垂直方向上升的米数． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得四边形是矩形， ， 在直角三角形和直角三角形中， 、， 、， 、， （米）． 答：小亮沿垂直方向上升了米． 题型六 方位角问题 18．如图，一条笔直的东西公路的北边有一个建筑物，小明在公路上的点处测得建筑物在北偏东的方向上；小明向东走20米到达点处，测得建筑物在北偏东方向上．则建筑物到公路的距离为（   ） A．10米 B．米 C．15米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的知识，解决此题的关键是弄清直角三角形的三边与其锐角的关系，进而列出有关的等式，解之即可． 分别在两个直角三角形中由锐角三角函数的定义用分别表示出、，利用两线段的差等于20 列出关于线段的式子，求得即可． 【详解】解：过点C作，， ∵在中，， ， ∵在 中，， ， ∵米， 米， 解得：米． 故选：B． 19．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则海轮所在的B处与灯塔P之间的距离是__________海里．（参考数据：，，，）． 【答案】130 【分析】根据题意得，，，解可得，进而解可得到，即可求出答案． 【详解】解：根据题意得，，， 在中，，， ∴海里， 在中，，， ∴海里． 20．如图，在岸边点测得湖中一小岛在点的东北方向（即北偏东），一轮船从点出发向正东方向行驶．某一时刻，轮船行驶到点时测得小岛在点的北偏东30°方向． (1)求的度数； (2)若轮船继续向东行驶到距离小岛最近点，求此时的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知角度求出和，在中，根据三角形内角和定理求出的度数即可． （2）根据轮船距离小岛最近时得到的度数，然后利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】（1）解：如图①．由题意，得，，， ，， ． （2）当轮船行驶到距离小岛最近点时，此时，如图②． ． 由题意，得，， ， ． 题型七 其他问题 21．如图，一辆高为0.54米的智能摇杆车驶入夹角为的裂缝进行采样，则智能车无法采样的距离为___________．（注：，，） 【答案】米 【分析】利用正切函数定义即可解答． 【详解】解：由题意可知，为直角三角形，且，，米， 在中，， （米）， 即智能车无法采样的距离为 2 米． 22．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为a米，则窗角C到窗框的距离的长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】解：在中，， ∴米． 23．科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】过点作于H，则，，由题意可得，，，，解求出，可求出，再由勾股定理可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：过点E作，垂足为点H， 由题意可知： ，，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为1.3. 解答题 24．一题多解法 如图，一块四边形土地，其中，，，，．求这块土地的面积（结果保留根号）． 【答案】这块土地的面积为 【分析】解法一：延长，交于点，先求出，，再根据三角函数求出，，最后根据即可求解；解法二：过点作，交的延长线于点，作于点，先求出，，再根据三角函数求出，，结合题意可得四边形为矩形，则，进而得到，根据三角函数求出，最后根据即可求解． 【详解】解：解法一： 如图①，延长，交于点， ，，， ，， 在中，， ． 在中，， ， ； 故这块土地的面积为． 解法二： 如图②，过点作，交的延长线于点，作于点， ， ， ， ，． ， 四边形为矩形， ， ． ，，， ， ， 故这块土地的面积为． 25．（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有6个元素—三个角，三条边．其中，有一个角为90度，对于其他五个元素，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列两个条件中，不能解直角三角形的是 ． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有6个元素——三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知在中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，在中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是 ． 【答案】（1）③；（2）、、；（3）． 【分析】本题主要考查了三角函数的应用、三角形内角和定理以及三角形的边角关系等知识点．解题关键在于对于解直角三角形，要清楚不同条件下能否唯一确定三角形的其他元素．解三角形时，通过作高将三角形转化为直角三角形，利用三角函数建立边与角的关系．确定三角形解的个数时，根据直角三角形的边角关系和图形特点来分析边的取值范围． （1）判断解直角三角形的条件：根据直角三角形的性质和三角函数的定义，分析每个条件能否求出其他未知元素． （2）解三角形：通过作高构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出相关边的长度，再根据三角形内角和定理求出第三个角． （3）确定的取值范围：作高构造直角三角形，求出高的长度，再结合三角形解的个数与边的关系，确定的取值范围． 【详解】解：（1）判断解直角三角形的条件： ①已知两条边：根据勾股定理可求出第三边，再利用三角函数可求出两个锐角，所以能解直角三角形． ②已知一条边和一个锐角：利用三角函数可求出其他边，再根据直角三角形两锐角互余可求出另一个锐角，所以能解直角三角形． ③已知两个角：只知道三角形的三个角，没有边的信息，无法确定三角形的大小，所以不能解直角三角形． 故答案为：③． （2） 如图，过点作于点 在中，,设，则，． 在中，,设，则． ∴ 即 ∴，，, 在中，由勾股定理可知 （3） 如图，过点作于点 在中，, ∴ 由勾股定理可知 ∴当时，无法构成三角形，故舍去； 当时，是直角三角形有一解； 当时，以为圆心，为半径画弧与有两个交点，此时有两解． 当时，有一解； 综上所述的取值范围是． 26．1947年11月12日，解放军经六昼夜激战攻克石门（石家庄旧称），此役为首例大城市攻坚战．1987年为纪念石家庄解放40周年，石家庄市政府修建了解放纪念碑．石外某班社会实践小组在了解石家庄历史过程中，计划测量纪念碑的高度，绘制了如图所示的平面图，用来表示纪念碑，纪念碑东侧是老火车站的售票厅，其中售票厅高18米．从，之间的E点在同一水平线上）测得纪念碑顶部的点，售票厅顶部点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为 解决下列问题，计算结果是无理数的保留根号： (1)填空：___________°，___________； (2)求，两点之间的距离； (3)求纪念碑的高度． 【答案】(1)，36米 (2)米 (3)米 【分析】（1）如图：过点作交于点F，交于点G，则四边形是矩形，由平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质即可求得；直接利用含30度直角三角形的性质求的长即可； （2）解：如图：过点E作于点H，易得，利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得米、米；再说明，即米；然后利用线段的和差即可解答． （3）由矩形的性质可得米，利用含30度直角三角形的性质求的长，再利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图：过点作交于点F，交于点G，则四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴； 在中，，米， ∴米． （2）解：如图：过点E作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴米， 米， ∵，， ∴， ∴米， ∴米． （3）解：∵四边形是矩形，米， ∴米， 在中，，米， ∴米． ∴米． 27．如图是某景区的平面示意图，景点位于景点的正南方向处，景点位于景点的南偏西方向，且与景点的距离． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是．智能巡检机器人从景点出发，沿道路的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点B作构造直角三角形，由南偏西得到，利用含直角三角形的性质求出，再用勾股定理算出垂线段，接着算出，最后在中再次使用勾股定理求出； （2）以基站B为圆心、为通信半径，分别在行进路线上找出和这个圆相交的有效路段：全程在范围内，上截取，在上利用勾股算出交点E到A的距离，把三段有效路程相加，再根据“速度总路程时间”计算速度． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ， ， ，， ； （2）解：如图，设， ， ， 该智能巡检机器人的行驶速度为． 28．综合与实践． 如图，综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐杖出门的老人存在安全隐患．综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下． 【信息采集】 国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）：轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于（满足轮椅转身、停留需求）；无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于． 某单元门口数据采集： 入户台阶总高度为；入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为． 计划修建的轮椅通行坡道的坡度为． 【方案设计】 方案一：单段直坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和终点休息平台的水平长度为，为单段直坡道． 方案二：两段式折返坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和中间休息平台的水平长度（终点为单元门前人行道，无需另外设计平台），和为两段式折返坡道． 【问题解决】 (1)结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中的长度，并判断方案一是否可行； (2)结合题意判断方案二是否可行，并说明理由． 【答案】(1)方案一中的长度为，方案一不可行； (2)方案二可行，理由如下： 如图，过点作的垂线，交的延长线于点，记的延长线交于点， ∴四边形和是矩形， ∴，，，， 设，则， ∵坡道的坡度为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴， ∵， ∴方案二可行． 【分析】过作于点，可得四边形是矩形，则，，由题意可知，坡道的坡度为，所以，解得，然后通过，然后与比较即可； 过点作的垂线，交的延长线于点，记的延长线交于点，则有四边形和是矩形，所以，，，，设，则，根据题意得，然后证明，根据，即，解得，所以，，则，然后与比较即可． 【详解】（1）解：如图，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意可知，坡道的坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为，且， ∴方案一不可行， 答：方案一中的长度为，方案一不可行； （2）略． 29．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据，，） 【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为 (2)线段的长度约为 【分析】（1）根据题意作辅助线构造矩形，根据矩形性质得到对边相等，再利用三角函数求解即可． （2）作垂线构造矩形，利用（1）中的信息得到两直线平行得到角的度数，利用三角函数求边长，再利用构造等腰直角三角形直接计算即可． 【详解】（1）解：如图， 过点作于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， 在中，，， ∵， ∴， ， ， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为． （2）解：如图， 过点分别作，垂足分别为，， ∴四边形是矩形 ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ， ， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ， ， 答：线段的长度约为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $