专题04反比例函数期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪科版九年级数学上册

专题04反比例函数期中复习讲义 1.认识反比例函数，能识别反比例函数解析式，掌握反比例函数的三种表达形式，会确定反比例函数中自变量的取值范围。 2.会用待定系数法求反比例函数解析式，已知一组 x、y 的值或者函数图象上一点坐标，求出函数表达式。 3.掌握反比例函数图象（双曲线）的画法，理解双曲线的两支分布规律，会根据 k 的正负判断图象所在象限。 4.理解反比例函数的增减性：当k>0时，在每个象限内，y 随 x 增大而减小；当k<0时，在每个象限内，y 随 x 增大而增大；牢记增减性是在同一象限内成立，不能跨象限讨论。 5.掌握反比例函数中k的几何意义：过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积等于|k|，围成直角三角形面积等于，会利用这个结论求k的值、图形面积。 6.会判断点是否在反比例函数图象上，理解图象上点的横、纵坐标乘积恒等于k。 7.能解决反比例函数与一次函数的交点问题，会联立解析式求交点坐标，结合图象比较两个函数值的大小，确定对应的自变量取值范围。 8.能够利用反比例函数模型解决简单的实际问题，分析变量之间的反比例关系，写出函数表达式并解释实际意义，注意自变量的实际限制条件。 9.区分反比例函数、正比例函数、一次函数的图象与性质，避免性质混淆。 题型 考察方向 难度 题型一 用反比例函数描述数量关系 ★ 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 ★ 题型三 根据反比例函数的定义求参数 ★ 题型四 求反比例函数解析式 ★★ 题型五 求反比例函数值 ★ 题型六 由反比例函数值求自变量 ★ 题型七 判断（画）反比例函数图象 ★★ 题型八 已知反比例函数的图象，判断其解析式 ★★ 题型九 判断反比例函数的增减性 ★★ 题型十 已知反比例函数的增减性求参数 ★★ 题型十一 判断反比例函数图象所在象限 ★★ 题型十二 比较反比例函数值或自变量的大小 ★★ 题型十三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 ★★ 题型十四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 ★★ 题型十五 已知比例系数求特殊图形的面积 ★★★ 题型十六 根据图形面积求比例系数 ★★★ 题型十七 实际问题与反比例函数 ★★ 题型十八 反比例函数与几何综合 ★★★ 题型十九 一次函数与反比例函数图象综合判断 ★★★ 题型二十 一次函数与反比例函数的交点问题 ★★★ 题型二十一 一次函数与反比例函数的实际应用 ★★★ 题型二十二 反比例函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：反比例函数定义 1 定义 一般地，形如y=（k 为常数，(k≠0）的函数叫做反比例函数。 x 是自变量，y 是函数，k 称为比例系数。 2 三种等价表达形式 分式形式：y=（k≠0） 乘积形式：xy=k (k 负指数形式：y=kx−1 (k 3 自变量取值范围 解析式层面：x0； 无实际背景时，自变量取不等于 0 的全体实数； 实际应用题中，根据现实条件进一步限制取值。 ⚠️辨析：y=、y=+1 不是反比例函数。 知识点02:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 知识点03:反比例函数的图象与画法 1.图象形状 反比例函数 y=(k0) 的图象是双曲线，由两个分支组成，关于原点成中心对称。 2.图象画法（三步法） (1)列表：选取 x0 的多组对应值，正负值均取，计算 y。 (2)描点：在平面直角坐标系中描出对应点。 (3)连线：用平滑曲线连接各点，注意两个分支不相连，且无限靠近坐标轴但永不相交。 知识点04:反比例函数的性质（核心考点） ⚠️关键易错：必须强调在每一个象限内，不能直接说 “全体定义域上y随x增大增大 / 减小”。 知识点05:比例系数 k 的几何意义（难点 + 高频考点） 过反比例函数 y= 图象上任意一点 P(x,y)，分别作 x 轴、y 轴的垂线： 1.与坐标轴围成的矩形面积 S=∣xy∣=∣k∣ 2.与坐标轴围成的直角三角形面积 S=∣k∣ 结论：面积只与 ∣k∣ 有关，与点的位置、k 正负无关。 知识点06：反比例函数与一次函数综合 1.求交点：联立 ，消元得到一元二次方程求解； 2.若有两个交点，两点关于原点中心对称； 3.根据图象位置，求解不等式>ax+b、<ax+b 知识点07:反比例函数的实际应用 （一）常见建模固定场景（总量恒定，两变量乘积不变） 行程问题：路程 s 固定，速度 v=； 工程问题：工作总量 W 固定，工作效率 P=； 几何面积：矩形、三角形面积固定，底与高、长与宽成反比例； 物理场景：压强、电阻、密度等定量公式。 （二）标准解题完整步骤 审题：找出题目中固定不变的总量； 设元：设出自变量 x 和因变量 y； 建模：根据 “总量 = 变量 1× 变量 2” 列出反比例关系式 y=； 定范围：结合实际意义限定自变量取值（时间、速度、长度均为正数，x>0）； 求解：根据题干要求求对应数值； 作答：检验结果是否符合现实，规范写出答案。 （三）图像应用特点 实际问题中自变量 (x>0)，因此图像只有双曲线第一象限单支，不存在二、三、四象限部分。 题型一 用反比例函数描述数量关系 1．下列各点不在反比例函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反比例函数图象上的点满足． A． ，点在函数图象上． B． ，点在函数图象上． C． ，点不在函数图象上． D． ，点在函数图象上． 2．若以方程 的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为_____． 【答案】-2 【分析】设方程的两个根分别为，根据题意得到＝，结合判别式，即可求解． 【详解】解：∵以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数数y的图象上， ∴设方程的两个根分别为， ∴＝，即， ∴ 解得： ∵， ∴， ∴． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程 的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，也考查了反比例函数． 3．如图的电路图中，用电器的电阻是可调节的，其范围为，已知电压，下列描述中错误的是（    ） A．与成反比例： B．与成反比例： C．电阻越大，功率越小 D．用电器的功率的范围为 【答案】A 【分析】根据功率判断即可． 【详解】∵， ∴， ∴A选项错误 故选：A． 【点睛】本题考查物理的电功率公式，熟记物理公式是解题的关键． 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 4．在下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断反比例函数需满足：分母为单个自变量，分子为非零常数． 【详解】解：A选项，符合要求． B选项是正比例函数，不符合． C选项分母为，不是单个自变量，不符合． D选项未说明为非零常数，不符合． 5．在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：①，符合反比例函数定义，是反比例函数； ②，是正比例函数，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ③可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ④可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ⑤，分母为不是，不符合定义，不是反比例函数； ⑥，符合反比例函数定义，是反比例函数； ∴符合条件的反比例函数共有4个． 6．小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量与充电时长t（单位：）的部分数据如下表： 充电时长 0 20 100 120 … 电量 0 10 50 60 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量与充电时长之间满足学过的某种函数关系．则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数据判断函数形式，再代入已知点求系数，最后验证其余数据即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴电量与充电时长之间不是反比例函数关系． 由表格数据可知，时，假设其为一次函数，设函数关系式为． 把，代入解析式得． 解得， 得函数关系式为． 验证其余数据：当时，，符合数据；当时，，符合数据． 因此与之间的函数关系式为． 题型三 根据反比例函数的定义求参数 7．若点在反比例函数 的图像上，则m的值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数上的点的坐标，将点P的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可求解． 【详解】解：点在反比例函数的图像上， 将代入函数解析式， 得：， ， 故选：B． 8．若是反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的值为_______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义，指数部分应为，即，再根据函数在每个象限内随的增大而增大，系数，解不等式即可得出答案． 【详解】解：函数是反比例函数， 则指数部分， 解得：， 又∵在每个象限内，随的增大而增大， ∴系数，即， ∴． 9．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的值是（     ） A．0 B．0或1 C．0或2 D．4 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义可得k的值，再由函数图象位于第二、四象限，即可求解． 【详解】解：∵函数为反比例函数， ∴，且， 解得：或， 又∵函数图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴． 题型四 求反比例函数解析式 10．若点在反比例函数的图象上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，即． 11．若反比例函数的图象经过点，则下列各点在此函数图象上的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与解析式，掌握好相关知识是关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，先求出的值，再验证各选项点的横纵坐标乘积是否等于即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴， ∵反比例函数图象上的点满足横纵坐标的乘积等于， ∴对各选项逐一验证： 对于A选项：，不在图象上， 对于B选项：，不在图象上， 对于C选项：，不在图象上， 对于D选项：，在图象上． 故选：D． 12．写出一个具有性质①②的函数__________． ①当时，； ②当时，y的值随x值的增大而减小． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据常见函数的性质，构造同时满足两个条件的函数即可，任意写出一个符合要求的函数即可． 【详解】解：构造反比例函数， 将，代入解析式得： ， 解得， 得函数， 根据反比例函数的性质，当时，函数在每个象限内随的增大而减小， 当时，，该函数满足随的增大而减小，符合题目要求． 13．如图，直线与反比例函数（）图象交于A，B两点，点A在第一象限，点B在第三象限，直线与交于点P，若，则k的值为__________． 【答案】9 【分析】先求解，可得，结合，可得，设，进一步求解即可． 【详解】解：∵， 解得：， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数（）图象交于A，B两点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴． 题型五 求反比例函数值 14．若点在反比例函数的图象上，则a的值为______． 【答案】 【分析】将点的横纵坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ 将，代入函数解析式， 得 ， 即 ． 15．若点在反比例函数的图象上，则______． 【答案】 【分析】点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，代入先求出的值，再计算所求式子即可． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ 将，代入解析式得 ， ∵ 反比例函数中，两边同乘得 ， ∴ ． 16．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过两点，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，，从而得到，进一步得到，代入变形后的代数式即可求得． 【详解】解：反比例函数的图象经过两点， ，， ∴， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键． 题型六 由反比例函数值求自变量 17．若点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是反比例函数图象上对应点与对应函数的关系，由点在反比例函数的图象上，可知． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故选：B． 18．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 【答案】 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出，，的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得，解得， 代入点得，解得， 代入点得，解得， ∵， ∴． 19．已知点都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需分点在第一、三象限两种情况讨论． 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小． 将代入，得 ． 当点在第一象限时，，此时，满足； 当点在第三象限时，， ∵ ，且第三象限内随增大而减小， ∴ ． 综上，的取值范围是或． 题型七 判断（画）反比例函数图象 20．当时，函数与的图象如图所示，则函数图象所在坐标系的原点是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】由函数解析式可知函数关于x轴对称，然后根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】由已知可知函数与关于x轴对称， ∴所在直线是x轴， ∵函数与的图象无限接近x轴和y轴，与近x轴和y轴都没有交点，且分别关于直线和直线对称， ∴所在直线是y轴， ∴函数图象所在坐标系的原点是点Q． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质，熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键． 21．函数的图像如图所示，则在该坐标系中，函数的大致图像是（     ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图像性质，解题的关键在于根据的图像确定的正负区间，进而分析的图像特征． 【详解】解：∵， ∴， ∴函数的图像可以看作由的图像向右平移2个单位长度得到， 且， 当时，， ∴只有A选项符合需求. 故选：A． 22．函数的图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象，根据列表、描点、连线画出的图象，即可解题． 【详解】解：列表： x … 1 2 3 … y … … 描点，连线，画出函数图象如图， 故选：C． 题型八 已知反比例函数的图象，判断其解析式 23．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质.由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案. 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即， 所以k的值可能是6； 故选：D. 24．反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为_______．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，由图可知图像在第三象限，；，图像在第四象限，、；再取，如图所示，即可比较，的大小，熟记反比例函数图像与性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，图像在第三象限，；，图像在第四象限，、； 取，如图所示： ； 综上所述，， 故答案为：． 25．如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图像，根据图像判断可能是下列的哪一个函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象；能够通过函数的图象得出结论是解题的关键．由图象可知，当时，函数值不存在，当时，，当时，随的增大先增大后减小；据此即可判断． 【详解】解：A、，当时，随的增大而减小，与图象不符，不符合题意； B、，满足图象特点，符合题意； C、，当时，，与图象不符，不符合题意； D、，当时，，与图象不符，不符合题意； 故选：B． 题型九 判断反比例函数的增减性 26．若反比例函数的图象经过点，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的系数判断图象所在象限，以及在每一象限内的增减性． 先根据反比例函数判断函数所在象限，再分析各点所在象限的函数值正负，最后根据同一象限内的增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点、、， ∴（∵）， ， ， ∴． 又∵在第二象限内，随的增大而增大，且， ∴当从增大到时，值增大，即， ∴， 故选：D． 27．下列函数中，当时，变量随变量的增大而减小的是（） A． B． C．（） D． 【答案】A 【详解】解：A选项，，，当时，随的增大而减小，符合题意． B选项，，当时，随的增大而增大，不符合题意； C选项，时，，，当时，随的增大而增大，不符合题意； D选项，，，当时，随的增大而增大，不符合题意． 28．关于反比例函数，下列说法中正确的是（     ） A．随的增大而增大 B．当时， C．当时，或 D．它的图象位于第一、三象限 【答案】C 【分析】由反比例函数解析式得，结合其图象与性质逐一判断各选项． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴． ∴函数图象位于第二、四象限，故D错误． ∵时，在每个象限内，随的增大而增大， ∴A中未限定象限，说法错误，故A错误． 当时，，随的增大而增大， ∵时，， 时，， ∴，故B错误． 当时，分两种情况： ①当时，随的增大而增大， ∵时，， ∴． ②当时，． 综上，或，故C正确． 题型十 已知反比例函数的增减性求参数 29．反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B．3 C．3 D．3 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 反比例函数的性质：当比例系数大于0时，图象在每个象限内y随x的增大而减小，即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而减小， ∴比例系数， ∴． 故选A． 30．反比例函数的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，当图象在每一象限内y随x增大而增大时，比例系数小于0，据此列出不等式求解k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一象限内，随的增大而增大， ∴， 解得． 31．已知反比例函数的图象上有两点，当时，，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得，而 时，，则，然后解不等式即可； 【详解】解：∵反比例函数的图象上有 当时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式． 题型十一 判断反比例函数图象所在象限 32．反比例函数的图象位于（     ） A．第一、三象限 B．第三、四象限 C．第一、二象限 D．第二、四象限 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限． 33．反比例函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解函数与图像的关系是解题的关键； 根据反比例函数的比例系数，得出函数图像是位于第二四象限的双曲线，据此判断即可． 【详解】解：由知，， ∴反比例函数经过第二、四象限， 故选：A． 34．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当反比例函数图象在一三象限时，，则对应的一次函数图象经过第一、三、四象限，所以选项A、B错误； C、当反比例函数图象在二四象限时， ，则对应的一次函数图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误；D选项正确． 题型十二 比较反比例函数值或自变量的大小 35．若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点，的横坐标代入求函数值，然后比较大小即可． 【详解】解：把代入，得． 把代入，得； ∵， ∴． 36．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用连接） 【答案】 【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴此函数图象在第一、三象限， ∵， ∴点，在第三象限， ∵函数图象在第三象限内为减函数， ∴， ∵， ∴在第一象限， ∴， ∴、、的大小关系是． 37．若点A(x1，2)、B(x2，-1)、C(x3，4)都在反比例函数 的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出，，的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 点，，都在反比例函数的图象上， ∴ 分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得，解得， 代入点得，解得， 代入点得，解得， ∵ ， ∴ ． 题型十三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 38．如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的对称性，即可求解， 本题考查了反比例函数的对称性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的对称性． 【详解】解：点、关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：． 39．若一个正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于，两点，则的值为________ ． 【答案】 【分析】正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两交点关于原点对称，得到两点坐标的关系，再结合交点在反比例函数上得到的值，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵正比例函数图象与反比例函数图象均关于原点中心对称， ∴两交点，关于原点对称， ∴，， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ， ， ， ． 40．如图所示，点是反比例函数上一点，点是点关于直线的对称点，则的面积为__________． 【答案】 【分析】先求出点的坐标；再根据关于直线对称的性质，通过构造辅助线证明全等三角形，推导出点的坐标；最后构造正方形，用正方形面积减去周边直角三角形的面积，即可算出的面积． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点的坐标为． 如图，过点作轴，过点作轴，设直线与交于点． ∵直线平分， ∴． ∵点是点关于直线的对称点， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴． 延长，交于点，则， ∴． 题型十四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 41．反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】反比例函数图象位于第二、四象限，说明其比例系数小于0，据此列不等式求解即可求出的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得 ． 42．若反比例函数（）的图象位于第二、第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是_________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】先根据反比例函数图象的位置确定的符号，再通过一元二次方程根的判别式判断根的情况． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 对于一元二次方程，， ∵， ∴， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 43．如图是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图像及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，由图象分布的位置可得，再由时，由图象可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第二象限，反比例函数和的图象分布在第一象限， ， 当时，由图象可得， ， 故选：B． 题型十五 已知比例系数求特殊图形的面积 44．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上，点在轴上，若四边形为平行四边形，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，反比例函数的几何意义，根据反比例函数的几何意义求出和，再根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴轴，， ∵点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 45．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点为轴上的点，点是第一象限内的一点，轴，轴于，已知线段交反比例函数的图像于点，连接，连接，交反比例函数图像于点．若的面积为4，则梯形的面积为___________． 【答案】 【分析】利用反比例函数的几何意义：图象上的点与坐标轴围成的直角三角形面积为；由得，减去即为梯形的面积． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴， ∴（反比例函数的几何意义）， ∵， ∴． ∵点在反比例函数图象上，轴， ∴， ∴， ∴梯形的面积为． 46．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．15 D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，图形与坐标，根据长方形的性质得，，，继而得出轴，轴，根据三角形的面积及反比例函数系数的几何意义得，，推出，继而得到，，，再根据即可得解．求出、的长是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴轴，轴， ∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，即，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴的面积为． 故选：C． 题型十六 根据图形面积求比例系数 47．如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，连接．且的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】设点的坐标为，根据的面积为，可得，即可求出的值． 【详解】解：设点的坐标为， 则，， ， 解得：． 48．双曲线的部分图像如图所示，是双曲线上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，已知三角形的面积为3，则________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标原点围成的三角形面积，结合图像所在的象限确定k的符号即可求解． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵点A在双曲线上， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线图像位于第二象限， ∴， ∴． 49．如图，点在反比例函数（）的图象上，点是上一点，作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据和同高，求出的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出的值，最后结合反比例函数图象在第二象限求解即可． 【详解】点在上，， 和同高， ， 的面积为， ， 轴， ， 解得， 点所在的反比例函数图象在第二象限， ， ． 题型十七 实际问题与反比例函数 50．某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为万元，前期付款元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款数额（元）与付款月数（取正整数）之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：一台电脑的售价为万元，前期付款元之后每个月付款元，付款月数为， ， ， （取正整数）． 51．列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到______． 【答案】300 【分析】设利用待定系数法求解反比例函数解析式，把代入函数解析式求解的值，结合图象上点的坐标含义可得答案． 【详解】解：由题意设， 把代入得：， ， 当h时，， 由函数图象可得，随着的增大而减小， 所以列车要在内到达，则速度至少需要提高到． 52．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度与液体密度（，）成反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法正确的是（     ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当浸在液体中的高度满足时，该液体密度 C．当液体密度时，浸在液体中的高度 D．当液体密度满足时，浸在液体中的高度 【答案】B 【详解】解：由题意知，浸在液体中的高度与液体密度（，）成反比例函数关系， ∴设， 将点代入得，， ∴， 当液体密度时，浸在液体中的高度，∴选项A错误； 当浸在液体中的高度满足时，当时，对应的液体密度为，∴该液体密度，∴选项B正确； 当液体密度时，当时，对应的液体高度为，∴浸在液体中的高度，∴选项C错误； 当液体密度满足时，当时，对应的液体高度为，∴浸在液体中的高度，∴选项D错误． 题型十八 反比例函数与几何综合 53．如图，点B在反比例函数图象上，点C与点B关于原点对称，过点B作轴，交反比例函数于点A．连接、，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，反比例函数的图象和性质，关于原点对称的点的坐标特征，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据题意设，进而得出，，即可求出的面积． 【详解】解：点B在反比例函数图象上， 设， 点C与点B关于原点对称， ， 轴，交反比例函数于点A， ， 的面积， 故选：C 54．如图，反比例函数的图象经过点，将线段沿轴向右平移至线段，点落在反比例函数的图象上，则线段扫过的面积为_________． 【答案】 4 【分析】设点坐标，根据平移性质确定点纵坐标，结合反比例函数解析式求点横坐标，从而得出平移距离，利用平行四边形面积公式计算． 【详解】设点的坐标为 ． ∵线段沿轴向右平移至线段 ， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，为 ． ∵点落在反比例函数的图象上 ， ∴ ． ∴ ． ∴点的坐标为 ． ∴平移的距离为 ． ∴线段扫过的图形为平行四边形，其面积为． 55．在平面直角坐标系中，反比例函数的位置如图所示，P为上一动点，矩形与交于C，D两点，连接． 针对两名同学的结论，下列判断正确的是（     ） 甲同学：的面积随点P的位置变化而变化； 乙同学：无论点P在什么位置，四边形的面积是定值． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】B 【分析】设，故，，根据反比例函数k的几何意义，图形的面积性质，解答即可． 【详解】解：设，故，， 的图象经过点C，D， ， 解得， ，， ， 根据反比例函数k的几何意义，得，，， ， 都是定值， 故的值也是定值， 故甲同学的说法错误； ，是定值， 故乙同学的说法正确； 题型十九 一次函数与反比例函数图象综合判断 56．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象，解题的关键是能够分类讨论，难度不大． 根据反比例函数和一次函数的图象，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴， 则A、D选项不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，函数的图象位于第一、三象限，则B选项符合题意；C选项不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，函数的图象位于第二、四象限，均不符合题意； 故选：B 57．反比例函数与一次函数（k为常数，）在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】根据当和时，和图象的位置逐项判断即可． 【详解】解：∵当时，过一、二、三象限，经过点，过一、三象限； 当时，过一、二、四象限，过二、四象限． ∴选项A：由图象可知，且经过点，但的，不符合条件； 选项B：由的图象可知，不经过点，不符合条件； 选项C：由的图象可知，经过点，的，符合条件； 选项D：由的图象可知，不经过点，不符合条件． 58．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数、反比例函数图象与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：若，反比例函数过一、三象限，一次函数过一、三、四象限； 若，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、四象限． 故选：A． 题型二十 一次函数与反比例函数的交点问题 59．如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据题意利用数形结合求解是解答此题的关键． 根据两函数的图象交点利用数形结合直接进行解答． 【详解】解：观察图象得：当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方， ∴当时，的取值范围是或． 故选：B 60．如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与反比例函数分别交于点A，B，若的面积为10，则______． 【答案】 【分析】因为一次函数，它们平行，我们取与轴的交点为，连接，此时因为和等底同高，就可以将的面积为10转化为的面积为10，从而求出． 【详解】解：连接， 取与轴的交点为，连接 此时 联立， 得，， 又因为点在第二象限， 所以，则的高即为 得， 61．如图是某一函数的图象，在这个图象上可以找到个不同的点：，，…，，使得，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】寻找反比例函数 的图象与原函数图象的交点个数 的最大值即可． 【详解】解：∵点在函数图像上，且， 则个点满足， ∴这些点是反比例函数与原函数图像的交点， 由图像可知，两个函数有8个交点，则的最大值为． 题型二十一 一次函数与反比例函数的实际应用 62．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是______分钟．    【答案】12 【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入确定两个自变量的值，差即为有效时间． 【详解】解：药物燃烧时y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入，得：， 把代入，得：， ∵， ∴那么此次消毒的有效时间是12分钟， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 63．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 64．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出． 【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴与之间的反比例函数为， 当时，, ∵，， ∴， 把代入得， 解得． 故答案为： 题型二十二 反比例函数、二次函数图象综合判断 65．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，根据反比例函数图象确定出k是负数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解． 【详解】解：∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数图象开口向上， 又， ∴二次函数图象与y轴的交点在y轴负半轴， 对称轴为直线， ∴对称轴在y轴左边， 纵观各选项，只有A选项符合． 故选：A． 66．在同一平面直角坐标系中，抛物线（是常数，且）与双曲线的大致图象可能是（    ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】先根据二次函数对称轴公式计算抛物线的对称轴为，确定其在轴左侧，据此排除对称轴位置不符的选项A、D；再分和两种情况讨论：当时，反比例函数图象应在一、三象限，且抛物线开口向上、与轴交于负半轴；当时，反比例函数图象在二、四象限，抛物线开口向下且与轴交于正半轴，由此确定答案． 【详解】解：对于抛物线，对称轴为直线， ∴抛物线对称轴一定在轴左侧，故选项A，D错误； 当时，，则双曲线在第一、三象限，抛物线交轴负半轴，故选项B错误； 当时，，则双曲线在第二、四象限，抛物线交轴正半轴，故选项C符合题意． 67．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得到，，然后判断一次函数的图象． 【详解】解：∵反比例函数图象在第一，三象限 ∴ ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴， ∵二次函数的图象开口向下，顶点在第一象限 ∴， ∴ ∴ ∴一次函数的图象y随x的增大而减小， ∴一次函数的图象大致是： 解答题 68．如图，某物理实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气．某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到下面组数据： 重物质量 活塞到桶底的距离 (1)该同学经过分析数据发现，不同重物的质量数值加上后得到的数值与对应的距离数值成反比．请你根据数据求出________； (2)在上面组数据的基础上，该同学以的值作为一个点的横坐标，的值作为该点的纵坐标，得到个点的坐标． ①将这个点的坐标填入下表； … … … … ②将这个点描在如图所示的平面直角坐标系中，并用平滑曲线连接； ③给出所得曲线对应的函数表达式________； (3)要使活塞到筒底的距离不小于，求在托盘中放入重物的质量的取值范围． 【答案】(1)8 (2)① 2 3 4 6 24 16 12 8 ②反比例函数的图象如图所示； ③ (3) 【分析】（1）设，把代入得到，把代入即可得到结论； （2）①根据题意求得，的值即可得到结论；②根据题意画出反比例函数的图象即可； ③把，的对应值代入反比例函数的解析式即可得到结论； （3）根据题意得到关于的不等式，解不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：设， 把代入得，， ， ， 把代入得，， ； （2）解：①略 ②略； ③设， 把代入得，， ， 所得曲线对应的函数表达式为； （3）解：当时，即， 解得， 重物的质量的取值范围为． 69．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)请直接写出不等式的解集； (3)将轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处，连接，，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将点坐标代入求得，然后将点坐标代入反比例函数求得； （2）不等式表示一次函数图象在反比例函数图象下方（含交点），结合图象直接写出解集即可； （3）先求出直线的解析式，确定其与轴的交点的坐标，再根据翻折的对称性，求出点的坐标，设与轴交于点，过点作轴于点，分别表示出相关线段的长，最后由即可求得的面积． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， ． 将点代入，得． （2）解：由函数图象可知，不等式的几何意义是一次函数图象在反比例函数图象下方（含交点）时对应的的取值范围， 结合两个交点和以及反比例函数的两支图象，可得解集为或． （3）解：将，代入一次函数中， 得， 解得， 一次函数为． 令，则， 一次函数与轴交点的坐标为． 轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处， 点的坐标为． 如图，设与轴交于点，过点作轴于点， 则，，，，． ． 70．已知反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． (4)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）用待定系数法直接解答即可； （2）把代入上一小问求出的解析式，求出函数值即可求出答案； （3）把取值范围的端点值代入第一小问的解析式，结合函数图象，求出的取值范围； （4）根据二次函数的顶点坐标公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得， ∴的值为． （2）解：由（1）得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，． （3）解：当时，；当时，， ∵在每个象限内，随增大而减小， ∴． （4）解： ， ∴函数图象的顶点坐标为， ∵函数的最大值为， ∴，且， 解得或（舍去）， ∴． 71．阅读与思考：下面是小亮同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 某数学兴趣小组进行探究活动如下： 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来，在中点的左侧距离中点处桂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧秤与中点的距离（单位：，看弹簧秤的示数（单位：有什么变化． 第一步，实验测量．改变弹簧秤与中点的距离，观察弹簧秤的示数的值，并做好记录，（共记录了7组数据）． 第二步，整理数据、 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 L/cm … 5 10 14 20 25 35 40 … F/N … 49 24.5 17.5 12.25 9.8 8 6.125 ．．． 第三步，描点连线．以的数值为横坐标，对应的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点． 在数据分析时，一位同学发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了他的猜想正确，并修改了表中这个数据． 任务： (1)你认为表中第几组数据是错误的？请把这组数据改正过来； (2)在平面直角坐标系中，画出与的函数图象； (3)观察这条曲线所表达的就是关系，结合学习过的函数特点，直接写出关于的函数表达式； (4)点在这条曲线上吗？说明理由． 【答案】(1)第六组数据是错误的，正确应该是：时， (2) 画出与的函数图象如图： (3) (4) 点在这条曲线上， 理由：∵， ∴点满足反比例函数的解析式，因此它在这条曲线上． 【分析】题目主要考查反比例函数的应用，根据表格数据及反比例函数的性质求解即可，熟练掌握运用反比例函数的性质是解题关键． （1）根据表格数据，可发现与F的乘积为定值245，再进行判断即可； （2）画出与的函数图象即可； （3）先判断这条曲线是否反比例函数的一支，再直接写出关于的函数表达式； （4）判断点在是否这条曲线上即可． 【详解】（1）解：根据表格数据，可发现与F的乘积为定值245， 第六组数据：，是错误的， 正确应该是：时，； （2）略 （3）这条曲线是反比例函数的一支； 因为在平面直角坐标系中，以它们为坐标的点都满足； 其函数表达式为：； （4）略 72．设函数，，当时，函数的最小值是a，函数的最大值是． (1)求k的值． (2)若点在函数的图象上，且点P到y轴的距离大于3，求n的取值范围． (3)一次函数与函数的图象在第一象限的交点为点A，且与x轴交于点B，点C在函数位于第一象限的图象上，若，直接写出点C的横坐标． 【答案】(1) (2)和 (3)3或 【分析】（1）根据在每一象限内，随x的增大而减小，随x的增大而减小求解即可； （2）根据题意可得或，代入反比例函数解析式可得n的取值范围； （3）分两种情况讨论①当点C在A点的右侧，②当点C在A点的左侧，根据面积关系列出相应的方程求出m值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴在每一象限内，随x的增大而减小，随x的增大而减小， ∴当时，最小值为， 当时，最大值为， 由①，②得：． （2）∵到y轴的距离大于3， ∴或， ∵， ∴或； （3）解，得，， ∴． 解，得， ∴， ∴ ∴ ①当点C在A点的右侧 设，过A，C分别关于x轴作垂线交于点M、N， ∵， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ②当点C在A点的左侧， 设，过A，C分别关于x轴作垂线交于点M、N， ∵， ∴， ∴（舍），， 所以点C的横坐标为3或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数k得几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 73．如图，它是反比例函数（m为常数，且）图象的一支． (1)图象的另一支位于哪个象限？求的取值范围； (2)点在该反比例函数的图象上． ①判断点，，是否在这个函数的图象上，并说明理由； ②在该函数图象的某一支上任取点和．如果，那么和有怎样的大小关系？ 【答案】(1)第三象限， (2)①点B，D在其图象上，理由如下： ∵点在其图象上， ∴，解得． ∴这个反比例函数的解析式为． 当时，；当时，；当时，． ∴点B，D在这个函数的图象上，点C不在这个函数的图象上． ② 【分析】（1）根据反比例函数的图象在第一象限，可得支必位于第三象限，，即可解答； （2）①先求出解析式，再分别将各点的横坐标代入，计算出y值与纵坐标比较即可；②根据反比例函数的性质即可解答． 【详解】（1）∵这个函数图象的一支位于第一象限， ∴另一支必位于第三象限． ∴． 解得． （2）∵点在其图象上， ∴，解得． ∴这个反比例函数的解析式为． ①略 ②∵， ∴在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小． ∴当时，． 【点睛】此题考查了反比例函数的知识，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象及性质，正确掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 74．如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴，点B在y轴正半轴，四边形为矩形，顶点在第一象限，矩形的面积为．反比例函数（）的图象交线段于点，交线段于点．连接、、，若，记． (1)求的值； (2)求此时的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）设点坐标为，点坐标为，由矩形面积为8，得．根据矩形性质和坐标与图形性质，结合已知可得点，代入即可求得函数解析式； （2）求得点，根据反比例函数系数k的几何意义得，再由求解即可． 【详解】（1）解：设点坐标为，点坐标为，因为四边形是矩形，所以点坐标为． 由矩形面积为8，得． ∵， ， ∴， ∴． 代入反比例函数得： ， ​∴． （2）解：∵在反比例函数 ​上，代入得​，因此． ∵． ∵ ∴； 由的纵坐标可知， ∵即​， ∴． ∴ ， ​ ∴，​ ∴． 75．如图，点是抛物线l：和双曲线的一个交点，且位于直线的右侧：抛物线l与x轴交于点B，C，（B在C的左侧）与y轴交于点F．    (1)当时，求a和k的值； (2)若点B在x轴的负半轴上，试确定k的取值范围； (3)的面积为4，且，求k的值； (4)直接写出k的值，使O，F两点间的距离为1． 【答案】(1)， (2) (3) (4)2或 【分析】（1）时，点为，把代入解得，把代入解得； （2）的对称轴为直线，当过原点时，则点B即在原点，则，得到，则，由，解得．由点位于直线的右侧得到．则； （3）由得到．由的面积为4得到．分当B在x轴的负半轴和在x轴的正半轴分别进行求解即可； （4）由O，F两点间的距离为1得到点F的坐标是或，分别代入，求出a的值，再求出m的值，即可得到k的值． 【详解】（1）解：时，点为， 把代入得， ，解得， 把代入得 ， 解得， 综上可知，，． （2）∵的对称轴为直线，当过原点时，则点B即在原点， ∴， ∴． ∴． 由，解得． ∵点位于直线的右侧， ∴． ∴． ∴当点B在x轴的负半轴上时，； （3）∵， ∴． ∵的面积为4， ∴． ∴． ①当B在x轴的负半轴时， ∵， ∴， ∴ ②当B在x轴的正半轴时， 设， ∵， ∴． ∴， ∴ ∵对称轴为， ∴不合题意，舍去， 综上所述可知点．代入得到， ∴， ∴． 当时，， 解得． 由（2）可知， ∴． ∴． （4）∵O，F两点间的距离为1． ∴点F的坐标是或， 把代入得到，， 解得， ∴， 把代入得到， 解得 ∵点在双曲线上， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， ∴， 把代入得到，， 解得， ∴， 把代入得到， 解得， ∵点在双曲线上， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， ∴， 综上可知，当或时，O，F两点间的距离为1． 【点睛】此题是二次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质、一元二次方程的解法等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04反比例函数期中复习讲义 1.认识反比例函数，能识别反比例函数解析式，掌握反比例函数的三种表达形式，会确定反比例函数中自变量的取值范围。 2.会用待定系数法求反比例函数解析式，已知一组 x、y 的值或者函数图象上一点坐标，求出函数表达式。 3.掌握反比例函数图象（双曲线）的画法，理解双曲线的两支分布规律，会根据 k 的正负判断图象所在象限。 4.理解反比例函数的增减性：当k>0时，在每个象限内，y 随 x 增大而减小；当k<0时，在每个象限内，y 随 x 增大而增大；牢记增减性是在同一象限内成立，不能跨象限讨论。 5.掌握反比例函数中k的几何意义：过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积等于|k|，围成直角三角形面积等于，会利用这个结论求k的值、图形面积。 6.会判断点是否在反比例函数图象上，理解图象上点的横、纵坐标乘积恒等于k。 7.能解决反比例函数与一次函数的交点问题，会联立解析式求交点坐标，结合图象比较两个函数值的大小，确定对应的自变量取值范围。 8.能够利用反比例函数模型解决简单的实际问题，分析变量之间的反比例关系，写出函数表达式并解释实际意义，注意自变量的实际限制条件。 9.区分反比例函数、正比例函数、一次函数的图象与性质，避免性质混淆。 题型 考察方向 难度 题型一 用反比例函数描述数量关系 ★ 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 ★ 题型三 根据反比例函数的定义求参数 ★ 题型四 求反比例函数解析式 ★★ 题型五 求反比例函数值 ★ 题型六 由反比例函数值求自变量 ★ 题型七 判断（画）反比例函数图象 ★★ 题型八 已知反比例函数的图象，判断其解析式 ★★ 题型九 判断反比例函数的增减性 ★★ 题型十 已知反比例函数的增减性求参数 ★★ 题型十一 判断反比例函数图象所在象限 ★★ 题型十二 比较反比例函数值或自变量的大小 ★★ 题型十三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 ★★ 题型十四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 ★★ 题型十五 已知比例系数求特殊图形的面积 ★★★ 题型十六 根据图形面积求比例系数 ★★★ 题型十七 实际问题与反比例函数 ★★ 题型十八 反比例函数与几何综合 ★★★ 题型十九 一次函数与反比例函数图象综合判断 ★★★ 题型二十 一次函数与反比例函数的交点问题 ★★★ 题型二十一 一次函数与反比例函数的实际应用 ★★★ 题型二十二 反比例函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：反比例函数定义 1 定义 一般地，形如y=（k 为常数，(k≠0）的函数叫做反比例函数。 x 是自变量，y 是函数，k 称为比例系数。 2 三种等价表达形式 分式形式：y=（k≠0） 乘积形式：xy=k (k 负指数形式：y=kx−1 (k 3 自变量取值范围 解析式层面：x0； 无实际背景时，自变量取不等于 0 的全体实数； 实际应用题中，根据现实条件进一步限制取值。 ⚠️辨析：y=、y=+1 不是反比例函数。 知识点02:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 知识点03:反比例函数的图象与画法 1.图象形状 反比例函数 y=(k0) 的图象是双曲线，由两个分支组成，关于原点成中心对称。 2.图象画法（三步法） (1)列表：选取 x0 的多组对应值，正负值均取，计算 y。 (2)描点：在平面直角坐标系中描出对应点。 (3)连线：用平滑曲线连接各点，注意两个分支不相连，且无限靠近坐标轴但永不相交。 知识点04:反比例函数的性质（核心考点） ⚠️关键易错：必须强调在每一个象限内，不能直接说 “全体定义域上y随x增大增大 / 减小”。 知识点05:比例系数 k 的几何意义（难点 + 高频考点） 过反比例函数 y= 图象上任意一点 P(x,y)，分别作 x 轴、y 轴的垂线： 1.与坐标轴围成的矩形面积 S=∣xy∣=∣k∣ 2.与坐标轴围成的直角三角形面积 S=∣k∣ 结论：面积只与 ∣k∣ 有关，与点的位置、k 正负无关。 知识点06：反比例函数与一次函数综合 1.求交点：联立 ，消元得到一元二次方程求解； 2.若有两个交点，两点关于原点中心对称； 3.根据图象位置，求解不等式>ax+b、<ax+b 知识点07:反比例函数的实际应用 （一）常见建模固定场景（总量恒定，两变量乘积不变） 行程问题：路程 s 固定，速度 v=； 工程问题：工作总量 W 固定，工作效率 P=； 几何面积：矩形、三角形面积固定，底与高、长与宽成反比例； 物理场景：压强、电阻、密度等定量公式。 （二）标准解题完整步骤 审题：找出题目中固定不变的总量； 设元：设出自变量 x 和因变量 y； 建模：根据 “总量 = 变量 1× 变量 2” 列出反比例关系式 y=； 定范围：结合实际意义限定自变量取值（时间、速度、长度均为正数，x>0）； 求解：根据题干要求求对应数值； 作答：检验结果是否符合现实，规范写出答案。 （三）图像应用特点 实际问题中自变量 (x>0)，因此图像只有双曲线第一象限单支，不存在二、三、四象限部分。 题型一 用反比例函数描述数量关系 1．下列各点不在反比例函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 2．若以方程 的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为_____． 3．如图的电路图中，用电器的电阻是可调节的，其范围为，已知电压，下列描述中错误的是（    ） A．与成反比例： B．与成反比例： C．电阻越大，功率越小 D．用电器的功率的范围为 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 4．在下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 5．在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量与充电时长t（单位：）的部分数据如下表： 充电时长 0 20 100 120 … 电量 0 10 50 60 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量与充电时长之间满足学过的某种函数关系．则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 题型三 根据反比例函数的定义求参数 7．若点在反比例函数 的图像上，则m的值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 8．若是反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的值为_______． 9．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的值是（     ） A．0 B．0或1 C．0或2 D．4 题型四 求反比例函数解析式 10．若点在反比例函数的图象上，则的值是（     ） A． B． C． D． 11．若反比例函数的图象经过点，则下列各点在此函数图象上的是（    ）． A． B． C． D． 12．写出一个具有性质①②的函数__________． ①当时，； ②当时，y的值随x值的增大而减小． 13．如图，直线与反比例函数（）图象交于A，B两点，点A在第一象限，点B在第三象限，直线与交于点P，若，则k的值为__________． 题型五 求反比例函数值 14．若点在反比例函数的图象上，则a的值为______． 15．若点在反比例函数的图象上，则______． 16．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过两点，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 题型六 由反比例函数值求自变量 17．若点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 18．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 19．已知点都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 题型七 判断（画）反比例函数图象 20．当时，函数与的图象如图所示，则函数图象所在坐标系的原点是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 21．函数的图像如图所示，则在该坐标系中，函数的大致图像是（     ） A．B．C．D． 22．函数的图象为（　　） A． B． C． D． 题型八 已知反比例函数的图象，判断其解析式 23．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 24．反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为_______．（用“<”连接） 25．如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图像，根据图像判断可能是下列的哪一个函数（    ） A． B． C． D． 题型九 判断反比例函数的增减性 26．若反比例函数的图象经过点，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 27．下列函数中，当时，变量随变量的增大而减小的是（） A． B． C．（） D． 28．关于反比例函数，下列说法中正确的是（     ） A．随的增大而增大 B．当时， C．当时，或 D．它的图象位于第一、三象限 题型十 已知反比例函数的增减性求参数 29．反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B．3 C．3 D．3 30．反比例函数的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是__________． 31．已知反比例函数的图象上有两点，当时，，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型十一 判断反比例函数图象所在象限 32．反比例函数的图象位于（     ） A．第一、三象限 B．第三、四象限 C．第一、二象限 D．第二、四象限 33．反比例函数的图像大致是（　　） A．B．C． D． 34．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 题型十二 比较反比例函数值或自变量的大小 35．若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 36．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用连接） 37．若点A(x1，2)、B(x2，-1)、C(x3，4)都在反比例函数 的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（     ） A． B． C． D． 题型十三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 38．如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为____________． 39．若一个正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于，两点，则的值为________ ． 40．如图所示，点是反比例函数上一点，点是点关于直线的对称点，则的面积为__________． 题型十四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 41．反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 42．若反比例函数（）的图象位于第二、第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是_________． 43．如图是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型十五 已知比例系数求特殊图形的面积 44．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上，点在轴上，若四边形为平行四边形，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 45．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点为轴上的点，点是第一象限内的一点，轴，轴于，已知线段交反比例函数的图像于点，连接，连接，交反比例函数图像于点．若的面积为4，则梯形的面积为___________． 46．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．15 D． 题型十六 根据图形面积求比例系数 47．如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，连接．且的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D．不确定 48．双曲线的部分图像如图所示，是双曲线上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，已知三角形的面积为3，则________． 49．如图，点在反比例函数（）的图象上，点是上一点，作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型十七 实际问题与反比例函数 50．某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为万元，前期付款元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款数额（元）与付款月数（取正整数）之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 51．列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到______． 52．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度与液体密度（，）成反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法正确的是（     ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当浸在液体中的高度满足时，该液体密度 C．当液体密度时，浸在液体中的高度 D．当液体密度满足时，浸在液体中的高度 题型十八 反比例函数与几何综合 53．如图，点B在反比例函数图象上，点C与点B关于原点对称，过点B作轴，交反比例函数于点A．连接、，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 54．如图，反比例函数的图象经过点，将线段沿轴向右平移至线段，点落在反比例函数的图象上，则线段扫过的面积为_________． 55．在平面直角坐标系中，反比例函数的位置如图所示，P为上一动点，矩形与交于C，D两点，连接． 针对两名同学的结论，下列判断正确的是（     ） 甲同学：的面积随点P的位置变化而变化； 乙同学：无论点P在什么位置，四边形的面积是定值． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 题型十九 一次函数与反比例函数图象综合判断 56．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是 （    ） A．B． C．D． 57．反比例函数与一次函数（k为常数，）在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C．D． 58．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型二十 一次函数与反比例函数的交点问题 59．如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 60．如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与反比例函数分别交于点A，B，若的面积为10，则______． 61．如图是某一函数的图象，在这个图象上可以找到个不同的点：，，…，，使得，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型二十一 一次函数与反比例函数的实际应用 62．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是______分钟．    63．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 64．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 题型二十二 反比例函数、二次函数图象综合判断 65．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 66．在同一平面直角坐标系中，抛物线（是常数，且）与双曲线的大致图象可能是（    ） A． B． C．D． 67．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 解答题 68．如图，某物理实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气．某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到下面组数据： 重物质量 活塞到桶底的距离 (1)该同学经过分析数据发现，不同重物的质量数值加上后得到的数值与对应的距离数值成反比．请你根据数据求出________； (2)在上面组数据的基础上，该同学以的值作为一个点的横坐标，的值作为该点的纵坐标，得到个点的坐标． ①将这个点的坐标填入下表； … … … … ②将这个点描在如图所示的平面直角坐标系中，并用平滑曲线连接； ③给出所得曲线对应的函数表达式________； (3)要使活塞到筒底的距离不小于，求在托盘中放入重物的质量的取值范围． 69．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)请直接写出不等式的解集； (3)将轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处，连接，，求的面积． 70．已知反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． (4)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 71．阅读与思考：下面是小亮同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 某数学兴趣小组进行探究活动如下： 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来，在中点的左侧距离中点处桂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧秤与中点的距离（单位：，看弹簧秤的示数（单位：有什么变化． 第一步，实验测量．改变弹簧秤与中点的距离，观察弹簧秤的示数的值，并做好记录，（共记录了7组数据）． 第二步，整理数据、 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 L/cm … 5 10 14 20 25 35 40 … F/N … 49 24.5 17.5 12.25 9.8 8 6.125 ．．． 第三步，描点连线．以的数值为横坐标，对应的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点． 在数据分析时，一位同学发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了他的猜想正确，并修改了表中这个数据． 任务： (1)你认为表中第几组数据是错误的？请把这组数据改正过来； (2)在平面直角坐标系中，画出与的函数图象； (3)观察这条曲线所表达的就是关系，结合学习过的函数特点，直接写出关于的函数表达式； (4)点在这条曲线上吗？说明理由． 72．设函数，，当时，函数的最小值是a，函数的最大值是． (1)求k的值． (2)若点在函数的图象上，且点P到y轴的距离大于3，求n的取值范围． (3)一次函数与函数的图象在第一象限的交点为点A，且与x轴交于点B，点C在函数位于第一象限的图象上，若，直接写出点C的横坐标． 73．如图，它是反比例函数（m为常数，且）图象的一支． (1)图象的另一支位于哪个象限？求的取值范围； (2)点在该反比例函数的图象上． ①判断点，，是否在这个函数的图象上，并说明理由； ②在该函数图象的某一支上任取点和．如果，那么和有怎样的大小关系？ 74．如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴，点B在y轴正半轴，四边形为矩形，顶点在第一象限，矩形的面积为．反比例函数（）的图象交线段于点，交线段于点．连接、、，若，记． (1)求的值； (2)求此时的值． 75．如图，点是抛物线l：和双曲线的一个交点，且位于直线的右侧：抛物线l与x轴交于点B，C，（B在C的左侧）与y轴交于点F．    (1)当时，求a和k的值； (2)若点B在x轴的负半轴上，试确定k的取值范围； (3)的面积为4，且，求k的值； (4)直接写出k的值，使O，F两点间的距离为1． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $