专题03二次函数的应用期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪科版九年级数学上册

专题03二次函数的应用期中复习讲义 1.能够读懂实际问题情境，分析数量关系，建立二次函数关系式，明确自变量的实际取值范围。 2.掌握利用二次函数求实际问题中的最大（小）值，区分顶点在取值范围内、顶点不在取值范围内两种最值求法。 3.会解决面积类最值问题，如矩形、围栏、窗框等图形面积的最值计算。 4.会解决销售利润类问题，理清进价、售价、销量、利润之间的关系，列出函数并求利润最值。 5.能够处理拱桥、隧道、抛球等抛物线型实物模型问题，会建立平面直角坐标系，求出二次函数解析式，再利用解析式解决高度、宽度、通行等实际问题。 6.会结合图象分析实际问题，能根据函数值反求自变量，解释结果对应的实际意义，并检验解是否符合现实情景。 7.理解二次函数在实际问题中的增减性，能在限定的自变量区间内判断函数的变化趋势。 8.规范书写应用题步骤，会舍去不符合实际意义的解，规避自变量取值范围这个易错点。 题型 考察方向 难度 题型一 图形问题 ★★ 题型二 图形运动问题 ★★★ 题型三 拱桥问题 ★★ 题型四 销售问题 ★★ 题型五 投球问题 ★★ 题型六 喷水问题 ★★ 题型七 增长率问题 ★★ 题型八 线段周长问题 ★★★ 题型九 面积问题 ★★★ 题型十 角度问题 ★★★ 题型十一 特殊三角形问题 ★★★ 题型十二 特殊四边形 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点总览：二次函数应用题两大核心类型 实际问题求解思路通用流程： 审题，找到变量，设自变量x、函数y； 根据等量关系，列出二次函数解析式y=ax2+bx+c(a0)； 确定自变量x的实际取值范围（重中之重，极易遗漏）； 判断顶点横坐标是否在取值范围内，分情况求最大值 / 最小值； 结合问题写出最终答案。 核心原理： a>0，抛物线开口向上，顶点处取得最小值； a<0，抛物线开口向下，顶点处取得最大值。 ⚠️若顶点横坐标不在自变量取值区间内，则最值出现在区间端点。 知识点01:实际问题与二次函数的练习转化 知识点 02 类型一：最大面积问题 常见场景：矩形面积、围栏围场地、窗户、隧道截面、内接多边形面积等。 解题思路 1.用含x的代数式表示图形两条关键边长； 2.根据面积公式建立二次函数； 3.根据限制条件写出x取值范围； 4.利用顶点求面积最值。 典型模型：围栏问题 用总长固定的篱笆围成矩形场地（一边靠墙），设垂直墙边长为x，写出面积S关于x的函数，求最大面积。 ⚠️易错：篱笆长度不要重复计算靠墙的一边。 知识点 3 类型二：最大利润问题（考试高频） 相关等量关系： 单件利润=售价-进价 总利润=单件利润 销售量 两类常见设问 涨价模型：售价上涨，销量随之减少； 降价模型：售价下调，销量随之增加。 标准步骤 1.设涨价（降价）x元； 2.表示出新单价、单件利润、变化后的销售量； 3.列出总利润的二次函数； 4.根据售价、销量为正数，确定自变量取值范围； 5.求函数最大值。 ⚠️重要提醒：部分题目要求售价为整数，求出顶点后需要检验取邻近整数对比利润。 知识点 4 类型三：抛物线型实际运动轨迹（抛物线建模） 1.常见场景：投篮、抛小球、喷泉、桥梁拱洞、隧道、炮弹飞行。 核心思路：建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线解析式，再求解高度、水平距离等问题。 2.常见设问： 求抛物线解析式； 求最大高度； 判断物体能否通过指定位置； 求落地时水平距离。 3.坐标系建法技巧： 优先把原点放在顶点、起点或者地面交点，简化计算。 知识点5最值分类讨论核心表格（预习重点） 设二次函数 y=ax2+bx+c\(a≠0)，顶点横坐标 x0=-，自变量取值范围 m xn 开口方向 顶点位置 最值结论 a>0（开口向上） x0在区间[m,n]内 x=x0时，y最小=；最值大在端点x=m或x=n a>0（开口向上） x0在区间左侧x0<m 区间内y随x增大而增大；x=m最小，x=n最大 a>0（开口向上） x0在区间右侧x0>n 区间内y随x增大而减小；x=n最小，x=m最大 a<0（开口向下） x0在区间[m,n]内 x=x0时，y最大=；最小值在端点x=m或x=n a<0（开口向下） x0在区间左侧x0<m 区间内y随x增大而减小；x=m最大，x=n最小 a<0（开口向下） x0在区间右侧x0>n 区间内y随x增大而增大；x=n最大，x=m最小 知识点6二次函数综合 问题类型 核心知识点 线段周长问题 求抛物线上动点到定点 / 定直线的线段长度最值，或动点构成图形的周长最值（结合对称点转化） 面积问题 用 “铅垂高 × 水平宽”“割补法” 求动点与定点围成图形的面积，分析面积最值 角度问题 利用三角函数、斜率求角度，判断直角 / 特殊角（如 45°）的存在性 特殊三角形问题 分类讨论等腰 / 直角 / 等边三角形的存在性，结合距离公式、勾股定理列方程求解 特殊四边形问题 分析平行 / 矩形 / 菱形 / 正方形的存在性，利用对边平行 / 相等、对角线性质列条件 相似三角形问题 找对应角 / 对应边，利用相似比列比例式，结合函数表达式求解动点坐标 知识点7高频易错点汇总 易错知识 错误典型表现 正确标准 忽略自变量取值范围 直接套用顶点公式求最值，不检验顶点横坐标是否在范围内 顶点不在取值区间时，最值只能在区间端点取得 面积 / 利润模型列式错误 混淆边长表达式、利润公式，符号出错 严格牢记：总利润 = 单件利润 × 销量；面积 = 长 × 宽 单位不统一 题目单位不一致直接代入计算 列式前统一所有长度、价格单位 取值忽略实际意义 长度、数量不能为负数，人数、商品数量一般≥0 自变量范围必须满足x>0等现实条件 坐标系建模出错 坐标轴原点随意选取，坐标符号混乱 优先将关键点放在坐标轴上，简化计算 混淆最大、最小值 开口向上强行求最大值，开口向下求最小值 a>0有最小值；a<0有最大值 题型一 图形问题 1．某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长米．如果外墙长米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成． 任务一： （1）小菜园的面积能达到平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 任务二： （2）怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案并求出最大面积． 2．如图所示，二次函数的顶点坐标为，矩形的顶点B，C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形在抛物线与x轴所围成的图形内，且点A在点D的左侧． (1)求二次函数的解析式； (2)设点A的坐标为，试求矩形的周长p关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； (3)是否存在这样的矩形，使它的周长为9？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由． 3．某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为米，位置的墙最大可用长度为米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图的三处各留米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长米． (1)若饲养场（矩形）的一边长为米，则另一边____米． (2)若饲养场（矩形）的面积为平方米，求边的长． (3)饲养场的面积有最大值吗？若有，求出边的长；若没有，请说明理由． 题型二 图形运动问题 4．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为，的面积为. (1)求随变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (2)当为时，的值时多少？ (3)当取何值时，面积最大，最大是多少？ 5．如图，在矩形中，，点从点出发，沿边向点以/秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向点以/秒的速度移动．如果、两点分别到达两点后就停止移动，回答下列问题： (1)运动开始后第几秒时，的面积等于？ (2)设运动开始后第秒时，五边形的面积为，写出与的函数关系式及自变量的取值范围；并求出当为何值时，的值最小． 6．如图，在正方形中，，连接．P，Q两点分别从A，D同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点B运动；点Q沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度．在运动过程中，以为邻边作平行四边形．设运动时间为x秒，平行四边形和正方形重叠部分的图形面积为y． (1)当点M在上时， ________； (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 题型三 拱桥问题 7．某隧道的截面由抛物线和长方形构成，若隧道宽度为12米，最高处离地面10米，长方形宽为4米．如图，现以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求出抛物线的表达式（并写出自变量的取值范围）． (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？ (3)在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯，使路灯离地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少？ 8．塘西河公园有一处抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系（以中点为原点，抛物线对称轴所在直线为轴）中，拱桥高度米，跨度米． (1)求抛物线的表达式； (2)拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形（分别在抛物线的左右侧上），已知搭建“脚手架”的三边所用钢材长度为14米（在地面上，无需使用钢材），求． 9．如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱浸在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，需要增加吃水深度，求至少要增加多少吃水深度？ 题型四 销售问题 10．排骨藕汤，作为湖北的传统特色美食，以其独特的风味和丰富的营养深受全国人民的喜爱．某商家准备在市场上销售排骨藕汤，市场调查发现：排骨藕汤的成本为每罐45元；若每罐以60元销售，平均每天可销售40罐；价格每降低1元，平均每天多销售10罐；若设每罐降价x元（x为整数），每天的销售量为y罐． (1)直接写出每天销售量y与x之间的函数关系式 ；（不写x的取值范围） (2)若元旦当天，商家销售排骨藕汤的利润为880元，为了让消费者获得更多实惠，该店每罐排骨藕汤的定价为多少元? (3)为了促进市场良性竞争，排骨藕汤的销售单价不得高于56元，不得低于47元，求该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润． 11．某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出212件，如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖8件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． (1)当售价为55元时，月销售利润是________元； (2)求关于的函数解析式，每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月销售利润是多少？ (3)每件商品的售价定为____时，每个月的利润为3360元． 12．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为16元，当每件销售价格定为18元时，每天可以销售200件．市场调查反映：每件销售价格每提高1元，日销量将会减少10件．物价部门规定：每件销售价格不能超过25元，设该纪念品的每件销售价格为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)要使日销售利润为720元，每件销售价格应定为多少元？ (3)求日销售利润w（元）与每件销售价格x（元）之间的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 题型五 投球问题 13．掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． (1)求满足条件的抛物线的关系式； (2)根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 14．掷实心球是南充中考体育考试体能选测项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化．明明利用摄影系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离 竖直高度 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． (1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是_________米，实心球在空中的最大高度是_________米； (2)求满足条件的抛物线的解析式； (3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 15．问题：如何设计击球路线？情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，球网与轴的水平距离，击球点在轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． 吊球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度． 高远球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，且飞行的最大高度在和之间． 探究： (1)求扣球和吊球时，羽毛球飞行满足的函数表达式； (2)小鹰经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少？并通过计算判断若选择吊球的方式能否使球过网． (3)通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式的取值范围． 题型六 喷水问题 16．将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示． (1)求水流的最高点到地面的距离； (2)求左、右两条水流最高点之间的距离． 17．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心． (1)如图，以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求水管的长度； (2)在抛物线的形状、大小不变的情况下，若要想水柱落地处离池中心，应把水管加长多少米？ 18．广州市某公园是市民休闲娱乐的好去处．为庆祝国庆佳节，公园里的音乐喷泉经过改造，由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成完整的“彩虹门”，吸引众多游客驻足． 我校有一兴趣小组在假期时间利用所学知识对“彩虹门”进行了相关的探索与研究： (1)①如图，小芳同学测得喷泉场地宽度米，在，处各有一个喷水装置，出水口离地面高度，都为米，而喷水装置喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且测得点到地面的距离为米．现以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请你根据小明测量的数据求出“彩虹门”喷泉中抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； ②如图，小芳同学在观赏“彩虹门”之后打算给公园提一个建设游客通道的建议：为了避免游客被淋湿，在“彩虹门”下方所在直线上安装若干把雨伞，每相邻雨伞之间间隔米．伞的顶端离地面的距离保持米．为保证“彩虹门”的水柱不被破坏，要求最外侧雨伞顶端与水柱间的垂直高度为米．请你帮助小华求出最外侧雨伞离喷水装置至少要多少米？最多可以安装几把雨伞？ (2)如图，公园管理部门为使“彩虹门”的设计更具创意．现将两个喷水装置同时向外侧移动米（在所在直线上，），此时两条水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动米（记作点）．向外移动后，黄师傅在日常检查维护设备期间，喷水装置意外喷水，此时他站在设备左侧水平距离为处，请问身高的黄师傅是否会被淋湿？ 题型七 增长率问题 19．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x． (1)用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式； (2)根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率． 20．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 21．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 题型八 线段周长问题 22．如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)求拋物线的解析式； (2)连接，，求的面积； (3)抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标． 23．已知抛物线：（，是常数）经过点． (1)若抛物线的对称轴为直线，求，的值． (2)若抛物线还经过另一点，且， ①求的取值范围； ②抛物线与轴交于点，点在抛物线的对称轴上．的最小值为，线段长为，记，求关于的函数解析式，并求的最小值． 24．如图是新能源汽车充电站遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)一辆观光车需要充电，如图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 题型九 面积问题 25．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)求该二次函数的解析式； (2)求由，，三点构成的的面积． 26．如图，开口向下的抛物线与x轴交于点、，与轴交于点，点P是第一象限内抛物线上的一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，求四边形的面积，并求其最大值． 27．如图所示，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C． (1)求m的值及点B和点C的坐标； (2)求的面积； (3)该二次函数图象上是否有一点（不与C点重合），使，若存在，求点D坐标；若不存在，说明理由． 题型十 角度问题 28．如图，抛物线经过，两点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)作射线交轴于点，使，则的长为________． 29．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点，连接．点为x轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为t． (1)________，________； (2)连接，当时，求t的值； (3)设以，，，为顶点的四边形的面积为， ①求关于t的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 30．如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十一 特殊三角形问题 31．如图，二次函数的图象与直线交于点和点，过点B作平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)抛物线的对称轴为直线______，______； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M，N，使得是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 32．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，E为线段上一动点（不与点A、C重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标； (3)如图2，P为第三象限内抛物线上一动点，连接并延长垂直x轴于点D，过点E作的垂线，与y轴交于点G，设点P的横坐标为n，求的最大值． 33．如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，求的值． 题型十二 特殊四边形 34．如图，抛物线 经过， 两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)连接和，求的面积； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 35．已知关于的二次函数，把二次函数图象向上平移个单位，得到新的函数的图象为抛物线，如图所示，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，． (1)当时，求新的函数与直线的交点坐标． (2)若四边形为正方形，求的值． 36．已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二次函数的应用期中复习讲义 1.能够读懂实际问题情境，分析数量关系，建立二次函数关系式，明确自变量的实际取值范围。 2.掌握利用二次函数求实际问题中的最大（小）值，区分顶点在取值范围内、顶点不在取值范围内两种最值求法。 3.会解决面积类最值问题，如矩形、围栏、窗框等图形面积的最值计算。 4.会解决销售利润类问题，理清进价、售价、销量、利润之间的关系，列出函数并求利润最值。 5.能够处理拱桥、隧道、抛球等抛物线型实物模型问题，会建立平面直角坐标系，求出二次函数解析式，再利用解析式解决高度、宽度、通行等实际问题。 6.会结合图象分析实际问题，能根据函数值反求自变量，解释结果对应的实际意义，并检验解是否符合现实情景。 7.理解二次函数在实际问题中的增减性，能在限定的自变量区间内判断函数的变化趋势。 8.规范书写应用题步骤，会舍去不符合实际意义的解，规避自变量取值范围这个易错点。 题型 考察方向 难度 题型一 图形问题 ★★ 题型二 图形运动问题 ★★★ 题型三 拱桥问题 ★★ 题型四 销售问题 ★★ 题型五 投球问题 ★★ 题型六 喷水问题 ★★ 题型七 增长率问题 ★★ 题型八 线段周长问题 ★★★ 题型九 面积问题 ★★★ 题型十 角度问题 ★★★ 题型十一 特殊三角形问题 ★★★ 题型十二 特殊四边形 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点总览：二次函数应用题两大核心类型 实际问题求解思路通用流程： 审题，找到变量，设自变量x、函数y； 根据等量关系，列出二次函数解析式y=ax2+bx+c(a0)； 确定自变量x的实际取值范围（重中之重，极易遗漏）； 判断顶点横坐标是否在取值范围内，分情况求最大值 / 最小值； 结合问题写出最终答案。 核心原理： a>0，抛物线开口向上，顶点处取得最小值； a<0，抛物线开口向下，顶点处取得最大值。 ⚠️若顶点横坐标不在自变量取值区间内，则最值出现在区间端点。 知识点01:实际问题与二次函数的练习转化 知识点 02 类型一：最大面积问题 常见场景：矩形面积、围栏围场地、窗户、隧道截面、内接多边形面积等。 解题思路 1.用含x的代数式表示图形两条关键边长； 2.根据面积公式建立二次函数； 3.根据限制条件写出x取值范围； 4.利用顶点求面积最值。 典型模型：围栏问题 用总长固定的篱笆围成矩形场地（一边靠墙），设垂直墙边长为x，写出面积S关于x的函数，求最大面积。 ⚠️易错：篱笆长度不要重复计算靠墙的一边。 知识点 3 类型二：最大利润问题（考试高频） 相关等量关系： 单件利润=售价-进价 总利润=单件利润 销售量 两类常见设问 涨价模型：售价上涨，销量随之减少； 降价模型：售价下调，销量随之增加。 标准步骤 1.设涨价（降价）x元； 2.表示出新单价、单件利润、变化后的销售量； 3.列出总利润的二次函数； 4.根据售价、销量为正数，确定自变量取值范围； 5.求函数最大值。 ⚠️重要提醒：部分题目要求售价为整数，求出顶点后需要检验取邻近整数对比利润。 知识点 4 类型三：抛物线型实际运动轨迹（抛物线建模） 1.常见场景：投篮、抛小球、喷泉、桥梁拱洞、隧道、炮弹飞行。 核心思路：建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线解析式，再求解高度、水平距离等问题。 2.常见设问： 求抛物线解析式； 求最大高度； 判断物体能否通过指定位置； 求落地时水平距离。 3.坐标系建法技巧： 优先把原点放在顶点、起点或者地面交点，简化计算。 知识点5最值分类讨论核心表格（预习重点） 设二次函数 y=ax2+bx+c\(a≠0)，顶点横坐标 x0=-，自变量取值范围 m xn 开口方向 顶点位置 最值结论 a>0（开口向上） x0在区间[m,n]内 x=x0时，y最小=；最值大在端点x=m或x=n a>0（开口向上） x0在区间左侧x0<m 区间内y随x增大而增大；x=m最小，x=n最大 a>0（开口向上） x0在区间右侧x0>n 区间内y随x增大而减小；x=n最小，x=m最大 a<0（开口向下） x0在区间[m,n]内 x=x0时，y最大=；最小值在端点x=m或x=n a<0（开口向下） x0在区间左侧x0<m 区间内y随x增大而减小；x=m最大，x=n最小 a<0（开口向下） x0在区间右侧x0>n 区间内y随x增大而增大；x=n最大，x=m最小 知识点6二次函数综合 问题类型 核心知识点 线段周长问题 求抛物线上动点到定点 / 定直线的线段长度最值，或动点构成图形的周长最值（结合对称点转化） 面积问题 用 “铅垂高 × 水平宽”“割补法” 求动点与定点围成图形的面积，分析面积最值 角度问题 利用三角函数、斜率求角度，判断直角 / 特殊角（如 45°）的存在性 特殊三角形问题 分类讨论等腰 / 直角 / 等边三角形的存在性，结合距离公式、勾股定理列方程求解 特殊四边形问题 分析平行 / 矩形 / 菱形 / 正方形的存在性，利用对边平行 / 相等、对角线性质列条件 相似三角形问题 找对应角 / 对应边，利用相似比列比例式，结合函数表达式求解动点坐标 知识点7高频易错点汇总 易错知识 错误典型表现 正确标准 忽略自变量取值范围 直接套用顶点公式求最值，不检验顶点横坐标是否在范围内 顶点不在取值区间时，最值只能在区间端点取得 面积 / 利润模型列式错误 混淆边长表达式、利润公式，符号出错 严格牢记：总利润 = 单件利润 × 销量；面积 = 长 × 宽 单位不统一 题目单位不一致直接代入计算 列式前统一所有长度、价格单位 取值忽略实际意义 长度、数量不能为负数，人数、商品数量一般≥0 自变量范围必须满足x>0等现实条件 坐标系建模出错 坐标轴原点随意选取，坐标符号混乱 优先将关键点放在坐标轴上，简化计算 混淆最大、最小值 开口向上强行求最大值，开口向下求最小值 a>0有最小值；a<0有最大值 题型一 图形问题 1．某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长米．如果外墙长米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成． 任务一： （1）小菜园的面积能达到平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 任务二： （2）怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案并求出最大面积． 【答案】任务一：小菜园的面积能达到平方米，此时米，米； 任务二：当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，解题关键是准确构建数学模型并合理求解． 任务一：设，则，根据面积关系列出一元二次方程，求解后判断是否符合题意即可； 任务二：建立小菜园面积关于边长的二次函数模型，利用二次函数性质求解面积最大值及对应的边长． 【详解】解：依题意得：米， 任务一：设，则， 若小菜园的面积能达到平方米， 即， ， ， 解得，， 则当米时，米，符合题意； 当米时，，不符合题意； 综上，小菜园的面积能达到平方米，此时米，米． 任务二：小菜园的面积， ， 当时，取最大值，最大值为， 即当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． 2．如图所示，二次函数的顶点坐标为，矩形的顶点B，C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形在抛物线与x轴所围成的图形内，且点A在点D的左侧． (1)求二次函数的解析式； (2)设点A的坐标为，试求矩形的周长p关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； (3)是否存在这样的矩形，使它的周长为9？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由如下： 令， 可得， ， 所以不存在这样的矩形，使它的周长为9． 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）求得点的坐标，即可表示出矩形的周长p关于自变量x的函数解析式； （3）利用根的判别式即可解答． 【详解】（1）解：把代入， 可得， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：A、D在抛物线上，点A在点D的左侧， ， 矩形在抛物线与x轴所围成的图形内， ， 抛物线的对称轴为轴， ， ， ， 令， 解得，， ； （3）略 3．某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为米，位置的墙最大可用长度为米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图的三处各留米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长米． (1)若饲养场（矩形）的一边长为米，则另一边____米． (2)若饲养场（矩形）的面积为平方米，求边的长． (3)饲养场的面积有最大值吗？若有，求出边的长；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)边的长为米 (3)饲养场的面积有最大值，此时米 【分析】（1）直接根据图形计算即可； （2）设米，则米，根据矩形的面积等于长乘以宽，即可列方程求解； （3）设饲养场的面积为，米，则米，由矩形的面积等于长乘以宽可得，根据二次函数的性质即可判定． 【详解】（1）解：（米）； （2）设米，则米， 依题意得， 整理得， 解得，， 当时，（米），，不合题意，舍去； 当时，（米），符合题意． 边的长为米； （3）饲养场的面积有最大值， 设饲养场的面积为，米，则米， 根据题意得， 整理得， ， 当时，饲养场的面积有最大值为平方米， 即饲养场的面积有最大值，此时米． 题型二 图形运动问题 4．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为，的面积为. (1)求随变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (2)当为时，的值时多少？ (3)当取何值时，面积最大，最大是多少？ 【答案】(1)； (2)或； (3)当时，面积最大，最大值为． 【分析】（1）根据题意得出，，则即可； （2）当时，列出方程，求出方程的解即可； （3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可； 本题考查了列函数关系式，解一元二次方程，二次函数的最值等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得：，，则， ∴； （2）当时， ∴，解得，， ∴的值为或； （3）， ∴当时，面积最大，最大值为． 5．如图，在矩形中，，点从点出发，沿边向点以/秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向点以/秒的速度移动．如果、两点分别到达两点后就停止移动，回答下列问题： (1)运动开始后第几秒时，的面积等于？ (2)设运动开始后第秒时，五边形的面积为，写出与的函数关系式及自变量的取值范围；并求出当为何值时，的值最小． 【答案】(1)运动开始后第或秒时，的面积等于 (2)，当时，最小值为． 【分析】（1）设运动时间为秒，可将，表示出来，再由三角形的面积公式列出关于的方程求解即可； （2）根据五边形的面积等于矩形减去，用表示，再通过配方法求得的最小值． 【详解】（1）解：设运动开始后第秒时，的面积等于． 则有，， 由得， ， 当时，，即， 解得或，符合题意， 即运动开始后第或秒时，的面积等于． （2）解：五边形的面积等于矩形的面积减去， ， 配方得， 当时，最小值为． 6．如图，在正方形中，，连接．P，Q两点分别从A，D同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点B运动；点Q沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度．在运动过程中，以为邻边作平行四边形．设运动时间为x秒，平行四边形和正方形重叠部分的图形面积为y． (1)当点M在上时， ________； (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图1中，当点M落在上时，是等腰直角三角形，构建方程求解即可； （2）分三种情形：如图中，当时，重叠部分是矩形，如图中，当，重叠部分是四边形，如图中，时，重叠部分是五边形，分别求解，可得结论； 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 如图1中，当点M落在上时， ∵以为邻边作平行四边形． ∴，， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，点P以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点B运动；点Q沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， （2）解：如图中，当时，重叠部分是矩形， 依题意，， 矩形的面积， 即． 如图中，当，重叠部分是四边形， 过点作， 同理证明是等腰直角三角形 ∴ 由（1）得， ∴ ∴平行四边形的面积， 即． 如图中，时，重叠部分是五边形， ， 同理证明是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 同理证明是等腰直角三角形， ∴ ． 综上所述，． 题型三 拱桥问题 7．某隧道的截面由抛物线和长方形构成，若隧道宽度为12米，最高处离地面10米，长方形宽为4米．如图，现以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求出抛物线的表达式（并写出自变量的取值范围）． (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？ (3)在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯，使路灯离地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少？ 【答案】(1) (2)这辆货运汽车能安全通过 (3)两排灯的水平距离最小是 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出抛物线的顶点为，设抛物线的表达式为，再把点代入计算，即可作答． （2）理解题意，得出货运汽车的另一侧与地面交点的横坐标为2或10，再把或分别代入，进行计算，即可作答． （3）把代入进行计算，得， ，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵隧道宽度为12米，最高处离地面10米， ∴抛物线的顶点为， ∴设抛物线的表达式为， ∵长方形宽为4米 ∴抛物线经过点， 把代入， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为， 即该抛物线的表达式为， （2）解：由（1）得抛物线的顶点为 ∵一辆货运汽车载一长方体集装箱后的宽为，隧道内设双向车道， ∴货运汽车靠路面中心线行驶时，或 则其另一侧与地面交点的横坐标为2或10， ∴当时，， 当时，． ∴这辆货运汽车能安全通过． （3）解：由（1）得， 依题意，令，则， ∴， 解得， ， 则， ∴两排灯的水平距离最小是． 8．塘西河公园有一处抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系（以中点为原点，抛物线对称轴所在直线为轴）中，拱桥高度米，跨度米． (1)求抛物线的表达式； (2)拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形（分别在抛物线的左右侧上），已知搭建“脚手架”的三边所用钢材长度为14米（在地面上，无需使用钢材），求． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据题意列方程组，即可得到结论； （2）设点，根据题意列方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， 设抛物线的解析式为， 则有， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， 整理得， ∴， 解得，（大于8，舍去）， ∴，， ∴． 9．如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱浸在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，需要增加吃水深度，求至少要增加多少吃水深度？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为（）． (2)①能顺利通过．②至少要增加的吃水深度． 【分析】（1）以中点为原点、直线为轴、过拱顶且垂直于的直线为轴建立坐标系；用待定系数法设，代入、两点坐标求参数； （2）利用解析式计算拱顶及集装箱顶部到水面的高度并比较． 【详解】（1）解：以的中点为原点，直线为轴，过拱顶且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，． 设抛物线的函数表达式为． ∵正常水位时水面宽为，警戒水位比正常水位高时水面宽为， ∴，，且点、都在抛物线上． ∴ 解得，． ∴抛物线的函数表达式为（）． （2）解：①集装箱为棱长的正方体，吃水深度为， ∴露出水面的高度为，即集装箱顶部距水面． 在正常水位时，拱顶距水面；在集装箱宽度范围内（距桥中心不超过），拱高最低处为时，． ∴集装箱顶部低于拱顶，能顺利通过． ②警戒水位时水面上升，拱顶距警戒水面；在集装箱宽度范围内拱高最低处为时，距警戒水面． 集装箱顶部距警戒水面仍为，故不能直接通过． 设需增加吃水深度，则集装箱顶部距警戒水面变为． 需满足，解得． ∴至少要增加的吃水深度． 题型四 销售问题 10．排骨藕汤，作为湖北的传统特色美食，以其独特的风味和丰富的营养深受全国人民的喜爱．某商家准备在市场上销售排骨藕汤，市场调查发现：排骨藕汤的成本为每罐45元；若每罐以60元销售，平均每天可销售40罐；价格每降低1元，平均每天多销售10罐；若设每罐降价x元（x为整数），每天的销售量为y罐． (1)直接写出每天销售量y与x之间的函数关系式 ；（不写x的取值范围） (2)若元旦当天，商家销售排骨藕汤的利润为880元，为了让消费者获得更多实惠，该店每罐排骨藕汤的定价为多少元? (3)为了促进市场良性竞争，排骨藕汤的销售单价不得高于56元，不得低于47元，求该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润． 【答案】(1) (2)53元 (3)900元 【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用，根据已知条件列出函数表达式是解题的关键． （1）根据销售数量与销售单价之间的关系建立等式，得到y与x之间的函数关系式； （2）根据题意列出方程，解方程，从而确定当天的售价； （3）先根据单价确定的取值范围，再列出利润的二次函数表达式，根据二次函数的单调性求解最大值即可． 【详解】（1）解：设每罐降价x元，则平均每天多销售罐， 因此每天的销售量y与x之间的关系式为：， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得或， 当时，每罐排骨藕汤的定价为元， 当时，每罐排骨藕汤的定价为元， 为了让消费者获得更多实惠， 则每罐排骨藕汤的定价为元； （3）解：根据题意得：， 解得， 设商店销售排骨藕汤的总利润为w元， 则， 由于， 则抛物线开口向下， 由于对称轴为直线，且x为整数， 当或时，w取最大，w的最大值为元， 则该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润为900元． 11．某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出212件，如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖8件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． (1)当售价为55元时，月销售利润是________元； (2)求关于的函数解析式，每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月销售利润是多少？ (3)每件商品的售价定为____时，每个月的利润为3360元． 【答案】(1) (2)函数解析式为（，且为正整数）；每件商品的售价定为元时，每个月可获得最大利润，最大月销售利润为元． (3)元 【分析】（1）根据售价计算出上涨金额和单件利润，进而得出月销量，最后根据“月销售利润单件利润月销量”求出结果． （2）设上涨金额为未知数，表示出单件利润和月销量，根据“月销售利润y单件利润月销量”建立函数关系式，然后根据题意确定的取值范围，最后将函数关系式化为顶点式来求最大利润． （3）将代入（2）求出的函数解析式中，解方程得出上涨金额的可能取值，根据的取值范围确定最终取值，进而得出此时的售价． 【详解】（1）解：原售价为元，现售价为元，则上涨金额（元）， 单件利润为（元）， 销量减少量（件），现月销量（件）， 月销售利润（元）； （2）解：设每件商品的售价上涨元，则：单件利润元，月销量（件）． 由题意知，售价不能高于元，即，解得， ∵为正整数， ∴． 根据题意可得： ； ∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值， ∵，为正整数，，， ∴是距离对称轴最近的整数， ∴当时，取得最大值，（元）， 此时售价为（元）， 即每件商品的售价定为元时，每个月可获得最大利润，最大月销售利润为元． （3）解：令，即， 整理得， 即， 解得，， ∵为正整数， ∴不合题意，舍去， ∴，此时售价为（元）． 12．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为16元，当每件销售价格定为18元时，每天可以销售200件．市场调查反映：每件销售价格每提高1元，日销量将会减少10件．物价部门规定：每件销售价格不能超过25元，设该纪念品的每件销售价格为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)要使日销售利润为720元，每件销售价格应定为多少元？ (3)求日销售利润w（元）与每件销售价格x（元）之间的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)（） (2)每件销售价格应定为20元 (3)函数关系式为（）；当时，日销售利润最大，最大利润为1170元 【分析】（1）根据日销量随售价的变化规律列等式，化简得到一次函数关系式； （2）根据日销售利润的计算方法列一元二次方程，结合售价上限筛选符合条件的解； （3）先推导利润关于售价的二次函数关系式，再结合二次函数的增减性与自变量取值范围求最大值． 【详解】（1）解：， 由题意知，每件销售价格不低于18元，不超过25元， ， （）； （2）解：由题意知，， 整理得， 解得，， ， ，即每件销售价格应定为20元； （3）解：由题意知，， 整理得，， 二次项系数，， 时，取最大值，最大值为：， 即时，日销售利润最大，最大利润为1170元． 题型五 投球问题 13．掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． (1)求满足条件的抛物线的关系式； (2)根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【答案】(1) (2)小明在这次投掷中得到了满分， 理由如下： 当时，则， 解得或（舍去）， ∵， ∴小明在这次投掷中得到了满分． 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标，把关系式设为顶点式，再代入即可求出对应的关系式； （2）把代入，即可求出x的值，再与比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的关系式是， 把点代入得 解得， ∴ 抛物线的关系式为； （2）略 14．掷实心球是南充中考体育考试体能选测项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化．明明利用摄影系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离 竖直高度 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． (1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是_________米，实心球在空中的最大高度是_________米； (2)求满足条件的抛物线的解析式； (3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)明明在此次考试中得到满分，理由如下： 把代入，得， 解得，（不合题意，舍去）， 即实心球从起点到落地点的水平距离为米， ∵， ∴明明在此次考试中得到满分． 【分析】（）根据图表解答即可； （）由（）可知抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）把代入函数解析式求出的值，进而与满分成绩比较即可． 【详解】（1）解：由表可知：时，，   ∴明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米，   ∵当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴为直线，   ∵抛物线开口向下， ∴当时，实心球在空中取得最大高度，   又∵当时，，   ∴实心球在空中的最大高度是米； （2）解：由（）知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）略 15．问题：如何设计击球路线？情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，球网与轴的水平距离，击球点在轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． 吊球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度． 高远球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，且飞行的最大高度在和之间． 探究： (1)求扣球和吊球时，羽毛球飞行满足的函数表达式； (2)小鹰经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少？并通过计算判断若选择吊球的方式能否使球过网． (3)通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式的取值范围． 【答案】(1)扣球：，吊球：； (2)球网的高度为，选择吊球的方式正好能过网； (3)的范围是 【分析】（1）把代入可得扣球时的函数解析式，再求解点P的坐标为，设抛物线为：，将代入计算，可得吊球时的函数解析式； （2）把代入，可得的高度；把代入，可得选择吊球的方式能否使球过网； （3）先求出接球点过 和 两点，再分两种情况，当接球点为时，若最大高度为5.8，，a为最小；当接球点为时，若最大高度为4.8，，a为最大，计算即可． 【详解】（1）解：扣球时，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为， ， 解得， 一次函数解析式为， 当时，， 则点P的坐标为， 吊球时，当羽毛球飞行的水平距离是时，达到最大高度， 设抛物线为：， 将代入得， 解得， ； （2）当时，， 球网的高度为， 当时，， 球网的高度为， 选择吊球的方式正好能过网； （3）球网在，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度， 接球横坐标范围到， 接球点过 和 两点， 高远球：，飞行的最大高度在和之间， 当接球点为时，若最大高度为5.8，，a为最小， ， 解得， 当接球点为时，若最大高度为4.8，，a为最大， ， 解得， 抛物线开口向下， 的范围是． 题型六 喷水问题 16．将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示． (1)求水流的最高点到地面的距离； (2)求左、右两条水流最高点之间的距离． 【答案】(1)水流的最高点到地面的距离为10米 (2)左、右两条水流最高点之间的距离为6米 【分析】（1）将二次函数转化为顶点式进行求解即可； （2）根据点关于轴对称的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流最高点到地面的距离为10米； （2）解：∵左、右两条抛物线关于轴对称， ∴左边抛物线的顶点为，其关于轴的对称点即为右边抛物线的顶点， ∴左、右两条水流最高点之间的距离为：米． 17．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心． (1)如图，以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求水管的长度； (2)在抛物线的形状、大小不变的情况下，若要想水柱落地处离池中心，应把水管加长多少米？ 【答案】(1)水管的长度为 (2)应把水管加长 【分析】（1）设抛物线的解析式为， 根据题意求出，得到抛物线的解析式，即可解答； （2）设应把水管加长，求出平移后抛物线的解析式，即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将，代入，得， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴水管的长度为； （2）解：设应把水管加长，在抛物线的形状、大小不变的情况下，相当于把抛物线向上平移了个单位长度， ∴平移后抛物线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴平移后抛物线的解析式为， ∴应把水管加长． 18．广州市某公园是市民休闲娱乐的好去处．为庆祝国庆佳节，公园里的音乐喷泉经过改造，由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成完整的“彩虹门”，吸引众多游客驻足． 我校有一兴趣小组在假期时间利用所学知识对“彩虹门”进行了相关的探索与研究： (1)①如图，小芳同学测得喷泉场地宽度米，在，处各有一个喷水装置，出水口离地面高度，都为米，而喷水装置喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且测得点到地面的距离为米．现以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请你根据小明测量的数据求出“彩虹门”喷泉中抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； ②如图，小芳同学在观赏“彩虹门”之后打算给公园提一个建设游客通道的建议：为了避免游客被淋湿，在“彩虹门”下方所在直线上安装若干把雨伞，每相邻雨伞之间间隔米．伞的顶端离地面的距离保持米．为保证“彩虹门”的水柱不被破坏，要求最外侧雨伞顶端与水柱间的垂直高度为米．请你帮助小华求出最外侧雨伞离喷水装置至少要多少米？最多可以安装几把雨伞？ (2)如图，公园管理部门为使“彩虹门”的设计更具创意．现将两个喷水装置同时向外侧移动米（在所在直线上，），此时两条水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动米（记作点）．向外移动后，黄师傅在日常检查维护设备期间，喷水装置意外喷水，此时他站在设备左侧水平距离为处，请问身高的黄师傅是否会被淋湿？ 【答案】(1)①，②4，6 (2)不会 【分析】（1）①根据题意取中点为O，建立直角坐标系，设函数表达式为，利用待定系数法求解即可； ②先求出最外侧雨伞离喷水装置至少4米，得出两把最外侧雨伞之间的距离为8米，再根据两把之间的间距求出把数即可； （2）运用待定系数法求出左侧抛物母的解析式为，根据对称性得右侧抛物线的解析式为，再求出黄师傅位置坐标，代入计算即可得出结论． 【详解】（1）解：①由题可知，建立的平面直角坐标系如图1，略， 设所求抛物线的函数表达式为, 由题可知，，，，， ∴点的坐标为，点C的坐标为， 将、代入,得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②∵要求最外侧雨伞顶端与水柱的垂直高度为0.3米，伞顶端高度为3.7米， ∴水柱在雨伞外侧位置的纵坐标为， ∴将代入抛物线解析式， 解得； ∵左侧喷水装置A的坐标为，最外侧雨伞的横坐标为， ∴两者的水平距离为米，即最外侧雨伞离喷水装置至少4米． ∴两把最外侧雨伞分别在和处， ∴两点之间的总长度为米， ∵相邻雨伞间隔1.6米， ∴间隔总数为， ∴雨伞总数为间隔数把； （2）解：∵抛物线形状不变， ∴二次项系数a始终为， 又两个喷水装置向外移动m米后，两条水柱的交点R向下移动1米，由原来的变为， 由对称性，左侧抛物线的顶点横坐标为， 设左侧抛物线解析式为， 将点代入得 移动后的左侧喷水装置坐标为， 代入左侧抛物线解析式， 化简得， 解得， 代入， 解得， 解得， ∵， ∴； ∴左侧抛物线解析式为， ∴由对称性得右侧抛物线解析式为，移动后的B点坐标为，即， ∴黄师傅站在B左侧1米处，对应横坐标为， ∴将代入右侧抛物线解析式得， ∵， ∴黄师傅头顶位置的水柱高度大于他的身高，不会被淋湿． 题型七 增长率问题 19．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x． (1)用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式； (2)根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率． 【答案】(1)含的代数式为，二次函数一般形式为 (2)该市参加健身运动人数的年平均增长率为 【分析】（1）初始量为，平均增长率为，经过次增长后的量为，则满足等量关系，再化为一般式即可； （2）令，则，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x， 由题意得：2023年参加健身运动的人数， ∴二次函数一般形式为 （2）解：由题意得：，则， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴该市参加健身运动人数的年平均增长率为． 20．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 21．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 【答案】（1）80；（2）20． 【分析】（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计算即可； （2）先根据已知条件算出A、B两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与2月的增长率，列式计算即可得到答案． 【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知： 把①×200得 用②-③得：，解得 把代入①中，解得 故入住A房间的有80间． （2）由题意得： 下调后A房间的房价=，B房间的房价= 由题目已知条件和（1）中计算的结果知： 下调后A房间的入住间数=，B房间的入住间数= 故三月份的总收入= 又∵三月份比二月份总营业收入增加了 ∴ 即 解得：，（舍去） 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，二次函数与增长率的问题，解题的关键在于能够根据已知条件找到等量关系进行列式计算． 题型八 线段周长问题 22．如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)求拋物线的解析式； (2)连接，，求的面积； (3)抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)存在， 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形面积的计算，点的对称性，有一定的综合性，难度不大． （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与y轴的交点为点H，求出直线，抛物线与y轴的交点坐标，再由三角形的面积公式，即可求解； （3）由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时的值最小，进而求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴点， 把点代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线与y轴的交点为点H， 对于， 当时，， ∴直线与y轴的交点坐标为， 联立得：， 解得：或， ∴点， 对于，当时，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在， 由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时的值最小， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点A关于对称轴的对称点为点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：， ∴点E的坐标为． 23．已知抛物线：（，是常数）经过点． (1)若抛物线的对称轴为直线，求，的值． (2)若抛物线还经过另一点，且， ①求的取值范围； ②抛物线与轴交于点，点在抛物线的对称轴上．的最小值为，线段长为，记，求关于的函数解析式，并求的最小值． 【答案】(1)，； (2)①； ②（），的最小值为． 【分析】（1）利用抛物线对称轴公式与点A在抛物线上的条件，联立方程求解b和c； （2）①由A、B纵坐标相同得两点关于对称轴对称，结合对称轴公式建立b与m的关系，根据m的范围推导b的范围； ②利用轴对称性质将转化为，结合最短路径结论得的最小值为的长度，结合长度得到W的解析式，再通过二次函数配方求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得． ∵抛物线经过点， ∴代入解析式得， 即． 将代入， 得． （2）解：①∵抛物线经过和， ∴两点关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线． 又∵抛物线对称轴为直线， ∴， 即． ∵， ∴， 即． ②∵抛物线与y轴交于点C， ∴令，得， 即． 将代入抛物线解析式得， 即． 结合①中，得， ∴． ∵点P在抛物线的对称轴上，点A是点B关于对称轴的对称点， ∴， 即． ∵对称轴为直线，且， ∴，且， 即点B、C均在对称轴右侧，两点在同侧． ∴， 即最小值． 由勾股定理得， ∴． ∵、纵坐标相同， ∴线段的长度． ∴，其中． 将配方得． ∵二次函数开口向上，对称轴为直线，且在内， ∴当时，取得最小值，最小值为． 24．如图是新能源汽车充电站遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)一辆观光车需要充电，如图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 【答案】(1)； (2)观光车可以完全停进遮阳棚正下方； (3) 的最大值为米． 【分析】第问已知顶点优先用顶点式求解析式； 第问已知纵坐标求对应横坐标，比较水平可利用长度与车长判断能否停进； 第问构造竖直方向线段关于的二次函数，利用顶点求最值． 【详解】（1）解：由题意，顶点． 设顶点式，顶点为： 把代入： ∴，即． （2）解：车最高点离地，令： 在到顶点这一段，取． 该位置向右可利用的水平长度为． ， ∴观光车可以完全停进遮阳棚正下方． （3）解：设直线的函数解析式为． 将点代入中， 得， 点在抛物线上，在直线上，轴： 设,则 时，取得最大值： 答：的最大值为米． 【点睛】本题是二次函数实际应用题，考查建模能力与三类常见设问．已知顶点坐标，优先设顶点式求解析式；竖直方向线段的长度，等于上方点纵坐标减下方点纵坐标，构造差函数；二次函数最值：开口向下，在对称轴处取最大值；计算时注意先求对称轴再代入． 题型九 面积问题 25．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)求该二次函数的解析式； (2)求由，，三点构成的的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象与性质． （1）将点代入，求得，即可得二次函数表达式； （2）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求解可得． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴ 解得： ∴该二次函数的解析式为； （2）当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 26．如图，开口向下的抛物线与x轴交于点、，与轴交于点，点P是第一象限内抛物线上的一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，求四边形的面积，并求其最大值． 【答案】(1) (2)，8 【分析】（1）设二次函数表达式为，再将点C代入，求出a值即可； （2）连接，设点P坐标为，，利用得出S关于m的表达式，再求最值即可． 【详解】（1）解：∵、，， ∴设抛物线表达式为， 将C代入得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：连接，设点P坐标为，且， ∵、，， 可得，，， ∴ ， ∴当时，面积最大值为8， ∴四边形的面积最大值为8． 27．如图所示，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C． (1)求m的值及点B和点C的坐标； (2)求的面积； (3)该二次函数图象上是否有一点（不与C点重合），使，若存在，求点D坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，，； (2)12 (3)存在，点D的坐标为或或 【分析】（1）将点代入函数解析式求解确定m的值，然后求出方程的根，确定，再令，即可得出点C的坐标； （2）根据（1）确定二次函数解析式，得出， ，即可求出三角形的面积； （3）设点D的纵坐标为h，根据题意得出，然后分两种情况代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为， ∴将点代入函数解析式得：， 解得：； ∴二次函数的解析式为：， 当时，， 解得：，， ∴， 当时，， ∴； （2）由（1）得，， ∴，， ∴的面积为：； （3）设点D的纵坐标为h， ∵，， ∴， 当时，， 解得：（舍去）， ∴点D的坐标为； 当时，， 解得：， ∴点D的坐标为或； 综上可得：点D的坐标为或或． 题型十 角度问题 28．如图，抛物线经过，两点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)作射线交轴于点，使，则的长为________． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把，代入计算即可； （2）先求出，再根据得到或，据此分类讨论计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， 解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时，，． ， ， ， ∴当点在点上方时，如图①所示． ， ，， ∴ ， ； 当点在点下方时，如图②所示． ， ， ∴， ∵， ∴， （负值舍去）， ． 综上所述，的长为或． 29．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点，连接．点为x轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为t． (1)________，________； (2)连接，当时，求t的值； (3)设以，，，为顶点的四边形的面积为， ①求关于t的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)① ② 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用已知条件得到，则点P与点C的纵坐标相同，令，求得x值，则点P的横坐标可求； （3）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点P在的上方时，即，，过点P作于点D，利用解答即可；当点P在的下方时，即，，过点P作于点E，利用解答即可；②利用函数的性质求得S的取值范围，画出函数的图象，依据图象解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点， 解得 该二次函数的解析式为； （2）解：如图所示，连， ，， ． ． ， ． ． ∴点P的纵坐标为4． ． 解得或． 由图可得． ． （3）解：①令，则， 解得，． ． 当点P在的上方时， 即，， 过点P作于点D， 则， ， ． ， 即，． 过点P作于点E，如图， 则． ． 综上，S关于t的函数解析式为． ②当时， ， ， 当时，S有最大值为， ． 当时，， ． 画出函数的大致图象，如图∶ 由图象可知∶当时，存在2个符合条件的点P． 30．如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的坐标为或 【分析】（1）把代入直线，解方程求出的值即可； （2）把代入直线解析式，得出点的坐标，再利用待定系数法确定二次函数解析式即可； （3）分在上方和下方两种情况，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得：． （2）解：由（1）可知，， ∴直线的解析式为， ∴当时， 解得：， ∴， 将、代入中得， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． （3）解：存在，的坐标为或 ①当点在直线上方时，设交轴于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 联立直线与抛物线解析式得：， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴； ②如图，当点在直线下方时，设交轴于点， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为 ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得：， 解得：，（与点重合，舍去）， 所以； 综上所述：存在点，使得，的坐标为或． 题型十一 特殊三角形问题 31．如图，二次函数的图象与直线交于点和点，过点B作平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)抛物线的对称轴为直线______，______； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M，N，使得是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，2 (2)或 (3)存在，，，，． 【分析】（1）利用对称轴公式即可求出抛物线对称轴，然后将代入即可求出n的值； （2）在A点上方的y轴取点D，连接，求出使得的点D的坐标，求出过点D且平行于的直线的解析式，然后和抛物线表达式联立求解m即可； （3）作于点E，于点F，根据题意可知当，时，是以为斜边的等腰直角三角形，从而根据列出m的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数 ∴对称轴为直线 将代入得，； （2）解：∵ ∴ ∵抛物线对称轴为直线 ∴点C坐标为 由题意， 在A点上方的y轴取点D，连接，如图， 设，则，即， 解得， 过点D作的平行线交抛物线于点M， ∵直线的表达式为， ∴设直线的表达式为 将代入得， ∴直线的表达式为 联立和得， 解得， 或； （3）解：如图，作于点E，于点F ， 当，时， ∴，此时是以为斜边的等腰直角三角形 ∵ 解得，，，． 32．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，E为线段上一动点（不与点A、C重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标； (3)如图2，P为第三象限内抛物线上一动点，连接并延长垂直x轴于点D，过点E作的垂线，与y轴交于点G，设点P的横坐标为n，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式为，设，根据列方程求出t的值即可求E点坐标； （3）表示出，，得到，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得， ∴； （2）解：∵， 当时，， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵点P的横坐标为n，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∵二次项系数为，， ∴当时，有最大值． 33．如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，求的值． 【答案】 【分析】分别过点E，F作对称轴的垂线，垂足为M，N，证明，所以，，又点，，则，，得，再由，从而求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴直线为， 如图，分别过点E，F作对称轴的垂线，垂足为M，N， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴， ∵，， ∴ , ∴ ∵， ∴， ∴． 题型十二 特殊四边形 34．如图，抛物线 经过， 两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)连接和，求的面积； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）先求出直线的解析式，进而求出点的坐标，利用抛物线解析式求出点的坐标，利用的面积减去的面积即可； （3）设点，，利用平行四边形对角线互相平分的性质构造方程组，求解即可． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图， ∵， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为， ∴， ∴； （3）解：假设存在， 设点，， ①当为对角线时， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴， 解得， ∴； ②当为对角线时， 同理，， 解得， ∴； ③当为对角线时， 同理，， 解得， ∴； 综上所述，假设成立，点的坐标为或或． 35．已知关于的二次函数，把二次函数图象向上平移个单位，得到新的函数的图象为抛物线，如图所示，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，． (1)当时，求新的函数与直线的交点坐标． (2)若四边形为正方形，求的值． 【答案】(1)和 (2)5 【分析】（1）先求出平移后的函数解析式，再将、代入计算即可； （2）先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】（1）解：∵把二次函数图象向上平移个单位，得到新的函数的图象为抛物线， ∴抛物线的函数解析式为， 将、代入得， 解得：， 即新的函数与直线的交点坐标为和； （2）解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 36．已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积最大值为，此时点M的坐标为 (3)存在，符合条件的点P的坐标为：，，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作轴于点H，交线段于点D，先求直线的解析式，设点M的坐标为，用含q的式子表示出，进而用含q的式子表示出，利用二次函数的最值求解； （3）以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况：当以为对角线时，则；当以为对角线时，则；当以为对角线时，则，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图，作轴于点H，交线段于点D， 将代入，得， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为； 设点M的坐标为，则点D的坐标为， ， ， 二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 综上可知，的面积最大值为，此时点M的坐标为； （3）解：抛物线的对称轴为：直线， 设，，，， ，，， 以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况： 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ，； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ， ， 综上可得，符合条件的点P的坐标为：，，，， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $