专题05成比例线段期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪科版九年级数学上册

专题05成比例线段期中复习讲义 ☆ 复习目标 1理解线段的比、成比例线段的概念，会计算两条线段的比，能判断四条线段是否 成比例。 2掌握比例的基本性质、合比性质、等比性质，能利用比例性质进行比例式变形、 求值与简单证明，注意等比性质使用时分母和不为0的前提条件。 3理解黄金分割、黄金分割点、黄金比的定义，记住黄金比的近似值，会判断黄金 分割，能计算黄金分割相关线段长度。 4掌握平行线分线段成比例定理以及推论，能看懂“A”型、“8”型基本图形， 分清对应线段，列出正确的比例式。 5能够利用平行线分线段成比例，求线段的长度、证明线段成比例。 6会区分线段的比、比例尺，能结合比例尺解决地图、图纸类简单实际问题。 7.能识别与比例线段相关的基础几何模型，规范书写比例证明的步骤，找准对应关 系，避免比例式对应错乱。 ☆ 题型梳理 题型 考察方向 难度 题型一 相似图形 题型二 相似多边形 题型三 相似多边形的性质 题型四 成比例线段 题型五 比例的性质 题型六 比例线段 题型七 黄金分割 题型八 由平行判断成比例的线段 试卷第1页（共3页） ★★★ 题型九 由平行截线求相关线段的长或比值 拔高题 5题 星级说明：★基础：★★中档：★★★提升：★★★★难题★★★★★压轴 ☆ 知识梳理 知识点1线段的比 1.定义 在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。 若线段a 长度为m,线段b长度为n,则两条线段的比记作： m ah=mn或6n 2.重要要点 求线段的比时，两条线段必须统一长度单位： 线段的比是一个没有单位的正数： ab≠b:a(前后顺序不能随意颠倒) 知识点2成比例线段（比例线段） 1.定义 四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的 比，即 号号那么这四条线段叫做成比刷线段。简称比例线段。 2相关名称 试卷第2页（共3页） ac b-a a、d:比例外项 b、c:比例内项 d:a,b,c的第四比 例项 3.比例中项 若号：山同时为内项，则称b是1、c的此比例中项。推号得到腾 积式：b2=ac。 △区分：线段的比例中项一定为正数；数的比例中项有正负两个。 知识点3比例的基本性质及衍生性质 已知6*0，d40) 性质名称 公式形式 说明 比例式÷等积 基本性质 ad bc 式，核心转化工 具 b d 前后同时颠倒， 反比性质 = 比例仍然成立 交换内项（或交 更比性质 换外项) a士b_c士d 合比性质 d 分子加减分母， 试卷第3页（共3页） 性质名称 公式形式 说明 分母不变 多个相等比例合 等比性质 若==… 严(6+d+…+n≠0，则2tc+…+m=8 b+d+..+n b 并运算 知识点4黄金分割（本节重难点） 1.定义 把一条线段AB分成两条线段AP、PB(AP>PB),使较长线段AP是整 条线段AB与较短线段PB的比例中项，即： AP2=ABPB就称点P把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金 分割点。 2黄金比 AP PB V5-1 ≈0.618 AB AP 3.重要结论 ①一条线段上有两个黄金分割点： ②较长线段 5-1.AB; 2 较短线段-AR51,AB=3-距AB 2 2 试卷第4页（共3页） M B 【注】上图为黄金分割点尺规作图方法 知识点5：平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 n 已知：1‖2川l3,直线m、n分别交l1、2、3于点A,B,C和D,E,F. AB DE 、AB DE BC EF 结论： BC-EF (或 AC=DFAC=DF)· 2推论（三角形中的平行线） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）， 所得的对应 线段成 比例。 D 图2 图1 试卷第5页（共3页） 图1（正A字型）：直线在三角形内部平行于底边，截两条腰，得 到的对应线段成比例。 图2(8字型)：直线在三角形外部平行于底边，截两条腰的延长 线，得到的对应线段也成比例。 3.逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那 么这条直线平行于三角形的第三边。【需配图】 右边图（正A字型）：直线在三角形内部切两条腰，比例相等→这条 线和底边平行。 左边图(8字型)：直线在三角形外面切两条腰的延长线，比例相等→ 这条线也和底边平行。 知识点6相似多边形定义 两个边数相同的多边形，如果各对应角相等，各对应边成比例，那么这 两个多边形叫做相似多边形。 △两个条件缺一不可：①所有对应角相等；②所有对应边对应成比 例。 试卷第6页（共3页） 书写规范：对应顶点按顺序书写， 例如：四边形ABCD~四边形AB'CD' 知识点7相似多边形的相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比。 若四边形ABCD~四边形AB'C'D',相似比为k; y 则四边形A'B'C'D'~四边形ABCD的相似比为 知识点8：相似多边形核心性质 已知：四边形ABCD∽四边形A'BCD',相似比为k,即 AB BC CD DA ABBCCD DA =k。 1.对应角相等 ∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',∠D=∠D 试卷第7页（共3页） 2对应边成比例 怡%品 DA D'A=k C 3.周长之比等于相似比 D C四边形ABCD =k C四边形AB'CD 4.面积之比等于相似比的平方 S四边形ABCD =k2 S四边形AB'CD 题型精析 题型一相似图形 1.很多手机专门为老年人推出了“大字版”功能，那么用大字版看到的图形与原图形( A.全等 B.相似 C.轴对称 D.中心对 称 2.下列命题正确的是() A.等边三角形都是相似图形： B.矩形都是相似图形： C.菱形都是相似图形： D.等腰三角形都是相似图形， 3.某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则 保持不变的是( 试卷第8页（共3页） A.AB的长度 B.六边形ABCDEF的周长 C.六边形ABCDEF的面积 D.∠EDC的度数 题型二相似多边形 4.己知五边形ABCDE与五边形AB'C'D'E相似，若对应边AB与AB'的长分别为S0cm和 4Ocm,则五边形A'B'C'D'E'与五边形ABCDE的相似比是() A5:4 B.4:5 c.5:25 D.25:5 5.如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似（点A与点E、点B与点F、点C与点G、 点D与点H分别是对应点)，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是() D A.1:2 B.1:4 c.2:1 D.4:1 6.学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙. 在下面同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是()· D 题型三相似多边形的性质 7.如图所示，四边形ABCD∽四边形AB'C'D',∠A=105°，∠B=100°，∠D'=80°，则 ∠C=() A 105 D 80y D BQ1009 A.75° B.80° C.85 D.90° 试卷第9页（共3页） 8.如图，将矩形ABCD划分成四个全等的矩形.若要使每一个矩形与原矩形相似，则 AB BC 9.如图，已知矩形01BC矩形0MBC,B(10,5),AM=1,则CC的长是() B B A.1 B.2 C.3 D.4 题型四成比例线段 10.己知a、d、b、c四条线段成比例，其中a=3cm、b=4cm、c=6cm,则d的值为 () 9 A.5cm B.8cm C.2cm D.2cm 11.定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此 线段被分为中外比，这个点称为中外比点，如图，点P是线段N的中外比点，MP>PW ,MW=2,则PN= M P 2b2 x= 12.已知线段a、b,求作线段x,使 a,正确的作法是() 试卷第10页（共3页） 13.如图，△ABC中，D为AB边上一点，过点D作DE‖AC交BC于点E,若BD=CE, AB=BE,则AB与BC的比值为() A D B 5-1 2 3 A. 3 B.2 C.2 D.2 题型五比例的性质 x 5 14.如果y4,那么下列各式中正确的是(). A.5x=4y B.4x=5y C.x=5,y=4D.x=4,y=5 a b c l 2a+b-3c 15.若xyz7,且2x+y-3z≠0，那么2x+y-3z :-;=0,那么下列结论正确的是) 16.已知235 x+13 A.3y=5z B. y+25 C.x=2'y=3’z=5 +y=5 D.z-y2 17,互不相等的实数a、b、c满足k= a-- b a+bb+ec+a,则k= 题型六比例线段 18.如果线段a=28cm,b=7cm,那么a和b的比例中项是() 试卷第11页（共3页） A.18cm B.17.5cm C.16cm D.14cm √5-1 19.如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为2的三角形是黄金三角 形)，若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=8,则DE=一 D B E C 20.如图，线段B=,点P是线段B的黄金分割点（ 14<B明，点P是线段的黄 AP 金分制点(4B<P吗)，点是线段B的黄金分割点 4B<PB),“依此类推，则线段 AB的长度是（） A22 A ●B (e。 题型七黄金分割 21.乐器古筝示意图如图所示，弦AB的黄金分割点C是称为玛子的支撑物，若AB=8分 米，则玛子离较远的端点A的距离为() A.(45+4到分米B.(45-4分米 C.(2-45)分米D.(8-45)分米 22.大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景（如图），也会产生最具美感的黄金分 试卷第12页（共3页） BC AB 割比例，即AB=AC,点B为AC的黄金分割点（AB>BC),若AC=20cm,则BC的 长为cm. (结果保留根号) B 23.如图，乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A、B固定在乐器面板上，点C是靠近点 B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，则点CD之间的距离为() 月 A.405-40cmB.(805-160cm c.(805-80cmD.(805-60)cm 5-1 24.已知顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为2，如图正五边 形ABCDE 的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分》，已知B服=25，则DE的 长为() 5-5 5+V5 A.5-V5 B.5+V5 C.2 D.2 题型八由平行判断成比例的线段 25.如图，a∥b∥C,根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是 () 试卷第13页（共3页） AE DB AG DG A EF BC B.GFGC AD BE AF DC C.BE CF D.AEDB 26.在边长为1的等边三角形ABC中，D为直线AB上一点，AD=2,点E在直线BC 上，且DE=DC,则CE的长为 E 27.如图，AB川CD‖EF,则下列关系式一定成立的是() D E AC DF AC BD AC CE AC BD A. CE BD B.CEBF C.BDDF D. AE DE 题型九由平行截线求相关线段的长或比值 28.如图，直线 ∥13∥ ,直线4C和DF被，，所截，AB=3,BC=4,EF=8 ,则DE的长为() 试卷第14页（共3页） A/、D F A.9 B.3 C.5 D.6 29.如图，直线，直线4C和DF被，所截，B=5BC=6,EF=4,则DE的 长为() B E一h C 10 A.3 B.3 C.4 D.2 30,如图。在AMBC中，AD是BC边上的中线，点P是AD边上的一点，且DF=AF, DG 过点P作FG∥AC,那么BC=一· F B 解答题 31.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC 边上，点A落在点H处，折痕为DE;使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为 CF, 试卷第15页（共3页） (I)证明：四边形ADHE是正方形： (2)若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD=1.求CD的长 a+2_b_c+5 32.己知线段a,b,c满足3=4=6，且2a-b+3C=21 (1)求a,b,c的值： (2)若线段x是线段a,b的比例中项，求线段x的长。 33.在设计人体雕塑时，为了增加视觉美感，雕塑师在雕刻时将雕塑的上部（腰以上）与 下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比.美学家认为这个比值是黄金 v5- 分割数 它能增加美感.据说一些名画和雕塑中的人体大体都符合这个比， (I)如图，AB=4cm,线段AB上有一点C把线段分成两段，其中AC是较小的一段，且满足 AC:CB=CB:AB,求BC的值 B (2)雷锋纪念馆雕像按照黄金分割比例雕刻（上部：下部=下部：全身，上部比下部短）， 已知雕像下部高度为(5-)米，求这座雕像的总商度以及上部商度。 34.如图，在平行四边形ABCD中，点E,F分别为AD,BC的中点，连接BE,DF分别 交AC于点G,H.求证：AG=GH=HC 35.阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务， 材料：三角形的内角平分线定理： 试卷第16页（共3页） AB BD 如图1，在A4BC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,则ACCD· B D 图1 下面是这个定理的部分证明过程.证明：如图2，过C作CE∥DA,交BA的延长线于点E D 图2 (I)【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： (2)【直接应用】如图3，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交 AC于F.若AB=3,AC=5,求线段FC的长； F B D E 图3 AB BD (3)【拓展延伸】如图4，AD是。ABC的外角的平分线，求证：ACCD, E A B 图4 试卷第17页（共3页） 专题05成比例线段期中复习讲义 1.理解线段的比、成比例线段的概念，会计算两条线段的比，能判断四条线段是否成比例。 2.掌握比例的基本性质、合比性质、等比性质，能利用比例性质进行比例式变形、求值与简单证明，注意等比性质使用时分母和不为 0 的前提条件。 3.理解黄金分割、黄金分割点、黄金比的定义，记住黄金比的近似值，会判断黄金分割，能计算黄金分割相关线段长度。 4.掌握平行线分线段成比例定理以及推论，能看懂 “A” 型、“8” 型基本图形，分清对应线段，列出正确的比例式。 5.能够利用平行线分线段成比例，求线段的长度、证明线段成比例。 6.会区分线段的比、比例尺，能结合比例尺解决地图、图纸类简单实际问题。 7.能识别与比例线段相关的基础几何模型，规范书写比例证明的步骤，找准对应关系，避免比例式对应错乱。 题型 考察方向 难度 题型一 相似图形 ★ 题型二 相似多边形 ★ 题型三 相似多边形的性质 ★★ 题型四 成比例线段 ★ 题型五 比例的性质 ★★ 题型六 比例线段 ★ 题型七 黄金分割 ★★ 题型八 由平行判断成比例的线段 ★★ 题型九 由平行截线求相关线段的长或比值 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 1 线段的比 1.定义 在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。 若线段a长度为m，线段b长度为n，则两条线段的比记作： a:b=m:n或= 2.重要要点 求线段的比时，两条线段必须统一长度单位； 线段的比是一个没有单位的正数； a:b b:a（前后顺序不能随意颠倒）。 知识点 2 成比例线段（比例线段） 1.定义 四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即 =那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 2.相关名称 = a、d：比例外项 b、c：比例内项 d：a,b,c 的第四比例项 3.比例中项 若 =（b 同时为内项），则称 b 是 a、c 的比例中项。 推导得到等积式：b2=ac。 ⚠️区分：线段的比例中项一定为正数；数的比例中项有正负两个。 知识点 3 比例的基本性质及衍生性质 已知=(b0,d0) 性质名称 公式形式 说明 基本性质 比例式 ⇌ 等积式，核心转化工具 反比性质 前后同时颠倒，比例仍然成立 更比性质 交换内项（或交换外项） 合比性质 分子加减分母，分母不变 等比性质 多个相等比例合并运算 知识点 4 黄金分割（本节重难点） 1.定义 把一条线段AB分成两条线段AP、PB(AP>PB)，使较长线段AP是整条线段AB与较短线段PB的比例中项，即： AP2=ABPB 就称点P把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点。 2.黄金比 3.重要结论 ① 一条线段上有两个黄金分割点； ② 较长线段 = AB； 较短线段 =AB- AB=AB 【注】上图为黄金分割点尺规作图方法 知识点5:平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论（三角形中的平行线） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成 比例。 · 图 1（正 A 字型）：直线在三角形内部平行于底边，截两条腰，得到的对应线段成比例。 · 图 2（8 字型）：直线在三角形外部平行于底边，截两条腰的延长线，得到的对应线段也成比例。 3.逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。【需配图】 右边图（正 A 字型）：直线在三角形内部切两条腰，比例相等 ⇒ 这条线和底边平行。 左边图（8 字型）：直线在三角形外面切两条腰的延长线，比例相等 ⇒ 这条线也和底边平行。 知识点 6 相似多边形定义 两个边数相同的多边形，如果各对应角相等，各对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 ⚠️两个条件缺一不可： ① 所有对应角相等； ② 所有对应边对应成比例。 书写规范：对应顶点按顺序书写， 例如： 四边形ABCD四边形A'B'C'D' 知识点 7相似多边形的相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比。 若四边形ABCD四边形A'B'C'D'，相似比为k； 则四边形A'B'C'D'四边形ABCD的相似比为。 知识点8：相似多边形核心性质 1.对应角相等 ∠A=∠A'，∠B =∠B',∠C =∠C',∠D =∠D' 2.对应边成比例 = = = = k 3.周长之比等于相似比 4.面积之比等于相似比的平方 题型一 相似图形 1．很多手机专门为老年人推出了“大字版”功能，那么用大字版看到的图形与原图形（     ） A．全等 B．相似 C．轴对称 D．中心对称 【答案】B 【分析】手机大字版只是把图形放大，图形的形状没有改变，大小改变，属于图形的缩放，是相似变换． 【详解】解：大字版是将原图形按比例放大，所得图形与原图形形状相同、大小不同． ∵全等图形要求形状、大小均相同， ∴A不符合题意． ∵轴对称、中心对称的两个图形大小均不变， ∴C，D不符合题意． ∵相似图形形状相同，大小可不同， ∴B符合题意． 2．下列命题正确的是（   ） A．等边三角形都是相似图形； B．矩形都是相似图形； C．菱形都是相似图形； D．等腰三角形都是相似图形． 【答案】A 【分析】本题考查相似图形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．根据相似图形的定义，对各选项逐一判断即可得答案． 【详解】解：A、等边三角形都是相似图形，故该选项符合题意； B、矩形的长和宽不能确定，不一定相似，故该选项不符合题意； C、菱形各角不能确定，不一定相似，故该选项不符合题意； D、等腰三角形的底角与顶角均不能确定，边长也不确定，不一定相似，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（    ） A．的长度 B．六边形的周长 C．六边形的面积 D．的度数 【答案】D 【分析】本题考查相似图形的性质．根据相似图形的性质即可求解． 【详解】解：依题意，用放大镜观察该分子结构：原图形与放大后的图形是相似图形， ∴的长度变大，六边形的周长变大，面积变大，的度数保持不变． 故选：D 题型二 相似多边形 4．已知五边形与五边形相似，若对应边与的长分别为和，则五边形与五边形的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵五边形与五边形相似， ∴五边形与五边形的相似比为对应边与的比， ∵，， ∴． 5．如图，四边形和四边形相似（点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点），且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形和四边形相似， ∴它们的相似比是． 6．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．在下面同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（     ）. A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据对应边成比例，对应角相等的两个图形是相似图形，分别对A、B、C、D各选项的图形进行判断即可得答案. 【详解】解：A.设A选项图形的内边框长为，宽为，内外边框之间的宽为，则外边框长为，宽为， ∴内、外边框的边长比为：，， 当时，， ∴， 此时A选项图形内外边框的图形对应边不成比例，不是相似图形. 当时，， ∴， 此时A选项图形的内外边框的图形对应边成比例， ∵A选项图形的内外边框的图形是矩形， ∴A选项图形的内外边框的图形对应角相等， ∴此时A选项图形的内外边框的图形是相似图形， 综上所述，A选项图形的内、外边框的图形不一定相似，故A符合题意. B. 根据B选项图形的内、外边框的图形是正方形，设内边框的边长为，内外边框之间的宽为，则外边框的边长为， ∴B选项图形的内、外边框的图形的边长比为：，对应角也相等， ∴B选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故B不符合题意. C. 根据C选项图形的内、外边框的图形是等边三角形，设内边框的边长为，内外边框之间的宽为，则外边框的边长为， ∴C选项图形的内、外边框的图形的边长比为：，对应角也相等， ∴C选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故C不符合题意. D. 根据D选项图形的内、外边框的图形是圆，设内边框的半径为，内外边框之间的宽为，则外边框的半径为， ∴D选项图形的内、外边框的图形的周长比为：，对应角为，也相等， ∴D选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故D不符合题意. 题型三 相似多边形的性质 7．如图所示，四边形四边形，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似多边形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴， ∵， ∴． 8．如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则__________． 【答案】 【分析】根据相似多边形对应边成比例列式计算即可求解． 【详解】解：∵将矩形划分成四个全等的矩形， ∴小矩形的宽为，长为， ∵矩形的宽为，长为，且小矩形与原矩形相似， ∴， ∴， ∵，， ∴，即． 9．如图，已知矩形矩形，，，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定两个矩形的边长关系，再根据相似矩形的对应边成比例求出的长度，进而得出的长． 【详解】解：，，四边形和四边形是矩形， ，， ，， ， 矩形矩形， ，即， ， ． 故选：B． 题型四 成比例线段 10．已知、、、四条线段成比例，其中、、，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式，代入已知长度计算的值． 【详解】解：∵、、、四条线段成比例， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 11．定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．如图，点P是线段MN的中外比点，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据所给定义列出线段关系是解题关键． 根据所给定义列出线段关系，再求解即可（由描述，可知中外比是黄金比例的倒数，直接用黄金比例的值代入计算也可）． 【详解】解：由题意，得， 又， ∴， 解得（不合题意，舍去），或， 故答案为： ． 12．已知线段、，求作线段，使，正确的作法是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知等式变形为比例式，结合平行线分线段成比例定理及尺规作图中先作已知线段的原则进行判断． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵用平行线分线段成比例作线段的核心逻辑是：两条从同一点出发的射线，先在射线上依次截取全部已知的定长线段，再作平行线，最后截出的未知线段是作图的结果，不能一开始就去画还没求出来的， ∴选项错误， 根据平行线分线段成比例定理，图中对应线段成比例，满足，符合题意． 13．如图，中，D为边上一点，过点D作交于点E，若，，则与的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据题意设和，则和，根据平行线的性质得和，可求得，则即可解得答案． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 即，化简得， 整理得， 得，解得（负值舍去）， ∴， 故选：B． 题型五 比例的性质 14．如果，那么下列各式中正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用比例的基本性质验证等式变形，结合比例的意义判断具体取值的正误． 【详解】解：∵， ∴， ∴A错误，B正确； ∵满足的取值不唯一，且时， ∴C、D错误． 15．若，且，那么______． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，用表示，代入所求分式约分即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ，，， 将其代入所求分式得： ， ， ． 16．已知，那么下列结论正确的是（） A． B． C．，， D． 【答案】D 【分析】本题考查比例的性质，由比例关系设参数表示变量，代入各选项验证即可． 【详解】解：∵， ∴设，，（）． A、，，∵，∴A错误． B、，该值随变化，不一定等于，∴B错误． C、的值取决于，不一定为2,3,5，∴C错误． D、，∴D正确． 故选：D． 17．互不相等的实数a、b、c满足，则________． 【答案】 【分析】由已知连等式转化为方程组，通过整体相加的方法提取公因式，然后分情况讨论和的两种情况，并结合题目中“互不相等的实数”这一限制条件进行检验． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 相加得， ， ， 移项得， 此时分两种情况讨论： 情况一：若，则必须有，解得， 将代入原式，得，即； ，即， 两式相减得：，即， ∴， 这与题目已知条件“互不相等的实数”矛盾， ∴不成立，舍去； 情况二：若，则，，， 代入原连等式，得， 满足互不相等且分母不为0的条件，成立． 综上所述，的值为． 题型六 比例线段 18．如果线段，，那么和的比例中项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例线段的相关知识，根据比例中项的定义，比例中项的平方等于两条线段的乘积，且线段长度为正数，据此计算求解即可． 【详解】解：设和的比例中项是， 由题意得，， ∵，， ∴， ∴， 又∵线段长度为正数， ∴， 故选：D． 19．如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝8，则DE＝___． 【答案】/ 【分析】顶角是的等腰三角形，则两底角为，这样的三角形称为黄金三角形，又、都是黄金三角形，可证BC=BD=AD，DE=DC，利用DE=DC=AC-AD=AB-BC求解． 【详解】解：根据题意可知，BC=AB， ∵顶角是的等腰三角形， ∴AB=AC，∠ABC=∠C=， 又∵也是黄金三角形， ∴∠CBD=，BC=BD， ∴∠ABD=∠ABC-∠CBD==∠A， ∴BD=AD，同理可证DE=DC， ∴DE=DC=AC-AD=AB-BC=AB-AB=． 故答案为：． 【点睛】黄金三角形是较特殊的三角形，几个黄金三角形叠合在一起，可构造出若干个等腰三角形，利用等腰三角形的边相等进行代换． 20．如图，线段，点是线段的黄金分割点(且)，点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点依此类推，则线段的长度是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比进行解答即可． 【详解】解：根据黄金比的比值，， 则， … 依此类推，则线段， 故选C． 【点睛】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 题型七 黄金分割 21．乐器古筝示意图如图所示，弦的黄金分割点C是称为玛子的支撑物，若分米，则玛子离较远的端点A的距离为（   ） A．分米 B．分米 C．分米 D．分米 【答案】B 【分析】根据黄金分割点的定义，所分较长线段的长与原线段长的比值为，由此可解． 【详解】解：∵支撑点C是靠近点B的黄金分割点， ， 分米， 即玛子离较远的端点A的距离为分米． 22．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景（如图），也会产生最具美感的黄金分割比例，即．点B为的黄金分割点（），若，则的长为____．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】根据黄金分割比例得到，据此求出的长，再由线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵点B为的黄金分割点（）， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，则点之间的距离为（     ） A．（ B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 24．已知顶角为的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金三角形、正五边形的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握正五边形的性质得出为黄金三角形是解题的关键． 先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出，即可得出结果． 【详解】解：如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分）， 设 ， 黄金三角形的底与腰之比为， 在中，， 即， 解得， 即 ， 五边形是正五边形， ，正五边形内角和， ， ， ， 则 ， ， 则， 为黄金三角形， 黄金三角形的底与腰之比为， 即， ， 故选：A． 题型八 由平行判断成比例的线段 25．如图，，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， 由题意无法证明， 结合选项可知，选项A、B、D的比例式正确，不符合题意；选项C的比例式不正确，符合题意； 故选：C． 26．在边长为1的等边三角形中，D为直线上一点，，点E在直线上，且，则的长为________． 【答案】或3 【分析】分点在线段的延长线和反向延长线上，两种情况进行讨论求解即可，当点在线段的延长线上时，推出为等腰三角形，三角形外角的性质求出，根据等边对等角，推出为含30 度角的直角三角形，求出的长，进而求出的长即可，当点在线段的反向延长线上时，过点作，过点作，得到，根据等边三角形和等腰三角形的性质，结合平行线分线段成比例进行求解即可． 【详解】解：当点在的延长上时，如图， ∵边长为1的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在的反向延长上时，如图， 过点作，过点作， 则：， ∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：或3． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，以及平行线分线段成比例，掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 27．如图，，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是找好对应关系；根据定理内容列比例式即可． 【详解】解：∵ ∴， 故选：C ． 题型九 由平行截线求相关线段的长或比值 28．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（     ） A．9 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由平行线分线段成比例定理，得，代入已知线段的长度求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 29．如图，直线，直线和被所截，，则的长为（     ） A． B．3 C．4 D．2 【答案】A 【详解】解：， ， ，，， ， 解得． 30．如图，在中，是边上的中线，点F是边上的一点，且，过点F作，那么______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例得到，即，根据中线的定义得到，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵是边上的中线， ∴， ∴． 解答题 31．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为． (1)证明：四边形是正方形； (2)若矩形与原矩形相似，．求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得：，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形； (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，由折叠得，，即可证得四边形是正方形； （2）先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠可得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值舍）， ∴． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，矩形的性质，正方形的性质和判定，折叠的性质，相似多边形的性质，熟练掌握折叠的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 32．已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)，， (2)线段的长为 【分析】（1）设连等式的比值为，用含的代数式表示，代入求解即可； （2）根据比例中项的定义列出等式，结合线段的长度为正数求解即可． 【详解】（1）解：设， 则， 代入得：， 解得：， ． （2）解：线段是线段，的比例中项， ，即， ， ， 线段的长度为正数， ． 33．在设计人体雕塑时，为了增加视觉美感，雕塑师在雕刻时将雕塑的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比．美学家认为这个比值是黄金分割数，它能增加美感．据说一些名画和雕塑中的人体大体都符合这个比． (1)如图，，线段上有一点把线段分成两段，其中是较小的一段，且满足：：，求的值． (2)雷锋纪念馆雕像按照黄金分割比例雕刻（上部：下部下部：全身，上部比下部短），已知雕像下部高度为米，求这座雕像的总高度以及上部高度． 【答案】(1)的长为 (2)这座雕像的总高度为米，上部高度为米 【分析】（1）设为，则，根据列出方程，求解即可； （2）先根据上部：下部求出上部高度，再求这座雕像的总高度即可． 【详解】（1）解：设为，则， ∵， ∴， 即， 解得，， ∵， ∴， 答：的长为． （2）解：∵上部：下部，下部高度为米， ∴上部高度米， ∴这座雕像的总高度米． 34．如图，在平行四边形中，点E，F分别为，的中点，连接，分别交于点G，H．求证：． 【答案】证明：、F是对边、的中点， 且， ∴四边形是平行四边形， ． 在中，， ． 又是的中点， ， ． 同理，在中，， ． 【分析】先证明四边形是平行四边形，再利用平行线分线段成比例和，即可得到结论成立． 【详解】略 35．阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务． 材料：三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． 下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过作，交的延长线于点． (1)【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； (3)【拓展延伸】如图4，是的外角的平分线，求证：． 【答案】(1)证明：， ，，， 平分， ， ， ， ． (2) (3)证明：过点作，交于点，如图， ，， 是的平分线， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，即可证明． （2）根据（1）得到，则可推出，由平行线分线段成比例定理得到，据此可得答案； （3）过点作，交于点，由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，由平行线分线段成比例定理得到，即可证明． 【详解】（1）略 （2）解：平分，，， ． ， ． ； 是的中点， ， ， ， ， ． （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $