精品解析：四川省眉山市彭山区第一中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

高29届10月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题进行求解. 【详解】已知命题， 则：. 故选：D 2. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用比较法，结合不等式的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为，，所以， 因此由，所以本选项结论不正确； B：因为，所以由，所以本选项结论不正确； C：因为，所以由，所以本选项结论正确； D：， 因为，，且， 所以， 所以，所以本选项结论不正确. 3. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】同一函数需满足的条件：①定义域一样；②表达式一样，依次判断即可. 【详解】A选项，定义域为，而定义域为，两个函数定义域不一样， 所以不是同一函数，所以A选项错误； B选项，，而，两个函数表达式不一样， 所以不是同一函数，所以B选项错误； C选项，定义域为，而定义域为，两个函数定义域不一样， 所以不是同一函数，所以C选项错误； D选项，，定义域为，且定义域为， 两个函数表达式一样，定义域一样，所以D选项正确. 4. 设，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法解出的结果，然后与0进行比较，即可得到答案 【详解】解：因为，， 所以， ∴， 故选：A 5. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的补集以及交集的定义即可求解. 【详解】由图可知，阴影部分的元素为属于但不属于的元素构成， 所以集合表示为. 故选：A. 6. 关于不等式的解集中至少包含两个整数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】将因式分解，得；根据与1的大小关系分类讨论，再结合“解集中至少包含两个整数”这一限制条件，确定参数的取值范围. 【详解】将不等式化为． 当时，不等式的解集为，由于原不等式至少包含两个整数，则； 当时，不等式的解集为，由于原不等式至少包含两个整数，则， 综上所述，实数a的取值范围为或. 7. 若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集结合韦达定理得到的关系，再代入分式不等式，转化为整式不等式组求解即可. 【详解】由不等式的解集为或，可得， 且，是方程的两个实根. 根据韦达定理：，解得，其中， 代入待解不等式，得 ，因为，所以， 分式不等式等价于：，解得或.  故不等式的解集为. 8. 定义叫做集合的长度．已知集合，，若集合的长度为2，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 4或5 【答案】C 【解析】 【分析】先解含参一元二次不等式，对参数分类讨论，再根据交集长度求出参数，进而算出并集的长度. 【详解】对二次不等式因式分解： 集合：， 即 ； 集合： ，即 . 首先排除的情况：若，则，交集长度为0，不符合题意，因此. 当时： ，长度为； ，长度为， 可得，其长度为. 由题知交集长度为2，得，即. 此时，长度为. 当时： 同理可得，长度为； ，长度为； ，长度为. 由交集长度为2得，即.此时，长度为. 综上，的长度均为5. 二、多选题 9. 已知函数的定义域是，值域是，对应函数图象为，下列说法正确的是 （ ） A. 函数的定义域是 B. 函数的定义域是 C. 直线与恰有一个公共点 D. 直线与至多有一个公共点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域可判断A、B选项；根据函数的定义及图像可判断C、D选项. 【详解】因为的定义域是，即， 因为，所以，的定义域是，则A选项正确； 因为，所以，的定义域是，则B选项错误； 根据函数的定义，在定义域内的任意一个数，都有唯一确定的与之对应， 所以与有唯一的公共点，则C选项正确； 函数的一个函数值可对应多个不同的自变量，因此直线与可能有两个及以上公共点，则D选项错误. 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 的最小值为2 B. 有最小值为 C. 最大值为2 D. 有最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A、C、D，换元、结合二次函数的性质判断B. 【详解】对于A：因为，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为，故A正确； 对于B：因为正实数，满足，所以，又，解得， 所以，当时，有最小值为，此时，故B正确； 对于C：，因为， 所以，即最大值为，等号成立条件是，，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即，时取等号，故D错误. 故选：ABC 11. 已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果． 【详解】对于，对任意的，存在，使得，故正确； 对于，集合中元素绝对值的最小值为1， 易知当时，不存在使得成立，故错误； 对于，集合，对于任意的存在，使得成立，故C正确； 对于，集合，当时，， 易知当时不存在使得成立，故错误； 故选：AC 三、填空题 12. 已知函数的定义域为，则的定义域为______ 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为，则满足，故， 分母，解得， 故的定义域为． 13. 已知集合，．若，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，算出集合，再结合分类讨论和的情况即可. 【详解】已知集合，， 解不等式，得，所以， 已知集合， 当时，，即，解得，此时，符合题意； 当时，，即，解得或， 若，则（无解）或，得，此时. 因此实数的取值范围为. 14. 设，下列不等式恒成立的是：__________. ①； ②； ③； ④； ⑤若，则 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于选项①，利用作差法，再配方即可判断不等式恒成立； 对于选项②，③，④，⑤,利用均值不等式即可判断不等式是否恒成立； 对于选项④，取特殊值即可判断不等式不恒成立. 【详解】对于选项①，由于，，故①恒成立； 对于选项②，由于，，，当且仅当时，等号成立，故②恒成立； 对于选项③，由于，，，当且仅当时，等号成立，故③恒成立； 对于选项④，当时，，故④不恒成立； 对于选项⑤，，，，当且仅当时，等号成立.故⑤不恒成立， 即不等式恒成立的是①②③. 四、解答题 15. 解答下列各题： （1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数，满足，求的最大值． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）由题知，再根据基本不等式求解即可； （2）由题知，再结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 解：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为7． 【小问2详解】 解：正数，满足， 所以， 当且仅当且，即，时等号成立， 所以的最大值为． 16. 已知集合. （1）当时，求集合 （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求出集合，代入可求得集合，再由集合运算法则求解即可； （2）由可得集合是集合的子集，再由集合间的包含关系得出不等式，即可求得结果. 【小问1详解】 易知； 所以或； 当时可得集合. 所以； 【小问2详解】 因为，所以是的子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又，解得， 又，故. 综上，实数的取值范围为. 17. 已知集合. （1）求集合； （2）若是成立的_________条件，判断实数是否存在？若实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. [请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在问题（2）中，并作答.] 【答案】（1），． （2）选择①时，实数存在，；选择②时，实数存在，；选择③时，实数不存在． 【解析】 【分析】（1）分别解两个一元二次不等式，写出集合． （2）将“充分不必要、必要不充分、充要”分别转化为集合的真包含或相等关系，再比较两个闭区间的端点求． 【小问1详解】 由得 又 因为，所以 【小问2详解】 设命题为“”，命题为“”． 选择①“充分不必要条件”时， 且，即 ． 因此 解得． 当时， 确实成立，所以 选择②“必要不充分条件”时，且，即 ． 因此 结合，解得 此时 ，所以 选择③“充要条件”时，应有． 若两个闭区间相等，则端点分别相等，即 前式得，后式得，矛盾． 因此不存在满足条件的实数． 18. 已知函数，． （1）若，求关于的方程的解集； （2）求关于的不等式的解集； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； （3） 【解析】 【分析】（1）代入，将方程化为二次方程，通过因式分解求解；（2）因式分解不等式，根据二次函数开口方向，分讨论根的大小，确定解集；（3）联立方程整理为二次方程，利用韦达定理表示；结合判别式和确定的范围，进而求出的取值范围． 【小问1详解】 当时，方程化为，即， 解得或，解集为． 【小问2详解】 原不等式为，因式分解得， 方程的根为或， 当时，不等式的解为； 当时，不等式为，无实数解； 当时，不等式的解为； 综上所述，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为． 【小问3详解】 联立方程， 整理得，设方程的两根为，由韦达定理得 ，由于，所以， 又因为方程有两个不相等的实根，所以， 化简得，因为，所以， ， 当时，， 所以的取值范围为． 19. 已知集合，其中．若的子集满足，则称具有性质．的所有具有性质的子集的个数记为． （1）当时，写出的所有具有性质的子集； （2）当时，若，且，证明：数对和中至少有一对中的两数奇偶性相同； （3）当时，求的最大值． 【答案】（1）、 （2） 当时，． 所以或． 假设数对和中的两数均奇偶性不同，则和均为奇数． 因为，为偶数，所以，且． 又，故，，，， 所以不具有性质． 又，所以一定具有性质． 结合，，，， ，． 所以，与已知矛盾． 所以数对和中至少有一对中的两数奇偶性相同． （3）16 【解析】 【分析】（1）直接计算，枚举法 （2）利用进行奇偶数分析，利用反证法证明. （3）通过条件，对下标进行约束.，用组合极值思想组合构造. 【小问1详解】 ，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设． 若具有性质，则． 不妨设，则，所以． 故，． 对任意的，有，． 所以确定时，满足条件的的个数至多为． 所以． 当时，． 所以的最大值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高29届10月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 2. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 设，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. 或 C. D. 6. 关于不等式的解集中至少包含两个整数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 定义叫做集合的长度．已知集合，，若集合的长度为2，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 4或5 二、多选题 9. 已知函数的定义域是，值域是，对应函数图象为，下列说法正确的是 （ ） A. 函数的定义域是 B. 函数的定义域是 C. 直线与恰有一个公共点 D. 直线与至多有一个公共点 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 的最小值为2 B. 有最小值为 C. 最大值为2 D. 有最小值为 11. 已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知函数的定义域为，则的定义域为______ 13. 已知集合，．若，则实数的取值范围为__________． 14. 设，下列不等式恒成立的是：__________. ①； ②； ③； ④； ⑤若，则 四、解答题 15. 解答下列各题： （1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数，满足，求的最大值． 16. 已知集合. （1）当时，求集合 （2）若，求的取值范围. 17. 已知集合. （1）求集合； （2）若是成立的_________条件，判断实数是否存在？若实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. [请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在问题（2）中，并作答.] 18. 已知函数，． （1）若，求关于的方程的解集； （2）求关于的不等式的解集； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围． 19. 已知集合，其中．若的子集满足，则称具有性质．的所有具有性质的子集的个数记为． （1）当时，写出的所有具有性质的子集； （2）当时，若，且，证明：数对和中至少有一对中的两数奇偶性相同； （3）当时，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $