四川省达州市第一中学2026～2027学年高一上学期第一次月考数学试题

达州一高2026级2026年秋季第一次月考 数学试题 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},则CA=() A.{1,4} B.{1,2,3} C.{2,3} D.{0,2,4} 2.已知命题p:∀x≥0，x2-4>0,则p是() A.3x<0,x2-4≤0 B.x<0,x2-4>0 C.3x≥0，x2-4≤0 D.∀x≥0，x-4≤0 3.“x=2”是“x2-x-2=0的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.对于任意实数a,b,c,d,以下四个命题：①若a>b,c>d,则a+c>b+d;②若a>b,则 ac>bc:③若a心b,则<：④若a>b,c2d,则ac>bd.其中正确命思的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 5.已知a0,b0,a+b=1,则上+4的最小值为() a b A.8 B.9 C.10 D.11 6.西数f(四的定义域为[0,7小，则函数g(x)=2r+ 的定义域是() Vx-1 A.(1,3] B.(1,15] c.(1,2] D.(1,13] 7.已知函数y=f(x)是定义在R上的减函数，且f(4)=0,则不等式f(x)<0的解集为() A.（-0,0) B.（4,+0) C.（-0,0)(4,+0) D.（-o0,0]l[4,+0） 高一数学第1页（共4页） 8.已知函数f(x)= 厂一r+c,x≤1，若存在ab∈R,且a≠b,使得fa)=fb)成立.则实数 2x2,x>1 的取值范围是() A.（-0,-2)U(3,+0) B.（-0,2)U(3,+0) C.（-0,-2) D.(2,3) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是() A.f()=x与g(x)=VR Bf倒-fr0与g- c.f(x)=Vx+3.Vx-3g(x)=Vx2-9 x,x>0 D.f(x)=x与g(x)= -x,x≤0 10.下列函数中，在区间(1,3)上是增函数的是() A.y=x-4 B.y=x+4 x C.y=Vx2-2x x,1<x≤2 D.y= x2-x,2<x≤3 11.已知a>0,b>0,且b=8-0 则下列说法正确的有() a+1 A.(a+1)(b+1)=9 B.、I 生1二的最小值为 u+1b+1 C.ab的取值范围为(0,2) D.a+2b的最小值为6√2-3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知f(x+1)=x2-x-1,则f(x)=- 高一数学第2页（共4页） 「ax+2-2a,x<2 13.已知函数f(x)= 1x2-am-3a,x≥2 在R上单调递增，则实数α的取值范围是。 14.已知x,y都是正实数，满足1+2 =2,记max{a,b}= a,azb b,a<b ,设M=max{2x,2xy, x y+1 则M的最小值为一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)设集合A={x-3≤x≤4，B={x|1-1≤x≤3-2}. (1)当m=3时，求A⌒B,(CRA)∩B; (2)若x∈B是x∈A的充分条件，求实数m的取值范围. 16.(本小题满分15分)己知一次函数f(x)在R上单调递减，且满足ff(x)=4x+6, 8(x)=x2-2x-2. (1)求f(x)的解析式： (2)若x∈R时，不等式g(x)>f(x)恒成立，求实数的取值范围： (3)若关于x的不等式g(x)f(x)在1,4上有解，求实数的取值范围. 17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x°-(a+4)x+4a. (1)当a=2时，求出函数f(x)在-2,4上的值域： (2)求关于x的不等式f(x)<0的解集. 高一数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)已知函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)+1, f(4)=-3,且当x>0时，f(x)<-1. (1)求f(0),f(2)的值： (2)求证：f(x)是R上的减函数： (3)若关于x的方程f（x2-2x-3引-k)=-1在区间[1,4]上有2个不等实根，求实数k的取值范围. 19.(本小题满分17分)对于函数f(x),若存在∈R,使∫(x)=x成立，则称x为f(x)的不动 点 (1)求函数y=x-2x-10的不动点： (2)若函数y=x-(a+2)x+a+3有两个不相等的不动点5，书，求互+上的取值范围， x2x (3)若函数f(x)=x+x+n有两个不相等的不动点：，：，且x-x>l,设"<，判断并证明 f(r)与的大小关系 高一数学第4页（共4页）达州一高2026级2026年秋季第一次月考 数学试题 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},则CA=() A.{1,4} B.{1,2,3} c.{2,3} D.{0,2,4} 【答案】C 【分析】补集是在全集U中去掉A中元素后剩下的元素组成的集合， 【解答】因为U={0,1,2,3,4}，A={0,1,4}, 所以CA={2,3},故选C. 2.已知命题p:x≥0，x2-4>0,则p是() A.3x<0,x2-4≤0 B.∀x<0,x2-4>0 C.1x≥0，x2-4≤0 D.x≥0，x2-4≤0 【答案】C 【分析】全称量词命题的否定：改量词（廿→3）、否结论，条件x≥0不变. 【解答】命题p:x≥0，x2-4>0, 其否定为x≥0，x°-4≤0，故选C. 3.“x=2”是“x2-x-2=0的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解方程x2-x-2=0,再判断两个命题间的推出关系. 【解答】当x=2时，x2-x-2=4-2-2=0,所以充分性成立； 由x-x-2=0得x=2或x=-1,所以必要性不成立， 故“x=2”是“x2-x-2=0”的充分不必要条件，选A. 4.对于任意实数a,b,c,d,以下四个命题：①若a>b,c>d,则a+c>b+d:②若a>b,则 ac>bc:⑤若a心h,则<：④若ab,c>d,则ac≥bd.其中正确命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 高一数学第1页（共10页） 【答案】B 【分析】逐条用不等式的基本性质判断，注意乘（除以）负数或零时不等号方向的变化 【解答】①由同向不等式可加性，正确： ②当c=0时ac2=bc2=0,错误： 1 ③当a>0>b时，二0>，错误： ④取a=1,b=-2,c=1,d=-2,则ac=1<bd=4,错误. 所以正确的命题只有1个，故选B. 5.已知a>0,b>0,a+b=1,则1+4 的最小值为() A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】B 1.4 【分析】用“乘1法把二+-乘以a+b,再用基本不等式. a b 【解答】因为a+b=1,所以 a b 2 当且仅当b=2a,即a=,b=号时取等号， 3 所以最小值为9，故选B. 6.西数f(y的定义域为[0,7小则函数()2r+ 的定义域是() √x-1 A.(（1,3] B.(1,15] c.(1,2] D.(1,13] 【答案】A 【分析】定义域需同时满足两个条件：∫(2x+1)有意义且分母不为零、被开方数非负. 【解答】由0≤2x+1≤7得- ≤x≤3； 由x-1>0得x>1. 两条件同时成立，得1<x≤3，即定义域为(1,3，故选A. 7.已知函数y=f(x)是定义在R上的减函数，且f(4)=0,则不等式f(x)<0的解集为() A.（-0,0) B.（4,+0) C.（-0,0)U(4,+0) D.（-o,0]l[4,+∞） 【答案】B 高一数学第2页（共10页） 【分析】利用减函数的定义把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系. 【解答】因为f(4)=0,所以f(x)<0即f(x)f(4) 又f(x)在R上是减函数，所以x>4, 即解集为(4，十o),故选B. 8.已知函数f(x)= -x+,x≤1，若存在ab∈R,且a≠b,使得f(a=f(b)成立，则实数k 2x2,x>1 的取值范围是( A.（-w,-2)U(3,+0) B.（-0,2U(3,+0) C.（-0,-2) D.(2,3) 【答案】B 【分析】“存在α≠b使f(☑)=f(b)”即函数在定义域上不是单调递增的，需分“两值同在第一段”与“一 值在左段、一值在右段”讨论. 解答】当x<1时，了y)=-x+=x+ 图象开口向下，对称轴为x= +4 2 当x>1时，f(x)=2x2单调递增，值域为(2，+∞). ①若两值都在第一段：当仁<1，即k<2时，x<1上存在关于x=仁对称的两个数函数值相等，符合题 意； ②若一值在左段、一值在右段：需左段最大值大于2. 当k≥2时，左段最大值为f(1)=k-1,由k-1>2得k>3; 雪<2时，左段显大值为，由>2得<-2√2（它包含在2中） 4 综上，k<2或k>3,即k的取值范围为(-0,2)U(3,+0),故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是() A.f(x)=x与g(x)=VR g.f)-K20)与()于 c.f(x)=/x+3.x-3g(x)=Vx2-9 高一数学第3页（共10页） [,x>0 D.f(x)=与g(x)= -,x≤0 【答案】BD 【分析】两个函数相同需定义域与对应关系都相同，逐项比较定义域： 【解答】A项，g(x)=Vx2=,与f(x)=x对应关系不同，不是同一函数： B项，8（田==x(x≠0），与f(x)=x(x≠0)定义城、对应关系都相同，是同一函数： C项，f(x)的定义域为[3，+∞），g(x)的定义域为(-∞，-3人[3，+∞)，定义域不同，不是同一函数： D项，g(x)在x>0时为x,在x≤0时为-x,即g(x)=x,与f(x)=x相同，是同一函数. 故选BD, 10.下列函数中，在区间(1,3)上是增函数的是() A.y=x-4 B.y=x+- C.y=vx2-2x x,1<x≤2 D.y= x2-x,2x≤3 【答案】AD 【分析】逐项判断在(1,3)上的单调性，注意定义域与分段函数衔接处的单调性. 【解答】A项，y=x-4在(0，+0)上单调递增，放在(1,3)上递增，正确： 4 B项，y=x+-在(1,2)上递减，在(2,3)上递增，错误： C项，y=√x2-2x需x2-2x≥0，即x≤0或x≥2，在(1,2)上无定义，错误； D项，1<x≤2时y=x递增；2<x<3时y=x2-x递增，且x=2处两段函数值都为2，所以在(1,3)上 单调递增，正确. 故选AD. 11.已知a心0，b>0,且b-8-0,则下列说法正确的有(） a+1 A.(a+1)(b+1)=9 B.11 一十 的最小值为亏 a+1b+1 高一数学第4页（共10页） C.ab的取值范围为(0,2) D.a+2b的最小值为6√2-3 【答案】ABD 【分析】由b 8-0得b+1=9 ,把各选项化为关于a+1的式子后逐项判断. a+1 +1 【解答】由b= 8-0得b+1=8-a+a+1- 9 又a>0,b>0,所以0<a<8. a+1 a+1 a+l A项，(a+)(b+1)=(a+1小9 =9,正确： +1 2,当且仅当a=2时取等号，正确： c质a1-品小10a+小}10-64，且b0,故的取范脚为 (0,4,错误： D项，a+2b=(a+1)+2b+1)-3=(a+1)+18-3≥2V8-3=6N5-3.正确 a+1 故选ABD, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知f(x+1)=x2-x-1,则f(x)=一 【答案】x2-3x+1 【分析】用换元法：令t=x+1,把右边的x都用t表示. 【解答】令t=x+1,则x=t-1, 所以f(t)=(t-1)-(t-1)-1=t2-3t+1, 即f(x)=x2-3x+1. 「ax+2-2a,x<2 13. 已知函数f(x)= 1x2-ax-3a,x≥ 在R上单调递增，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】分段函数在R上单调递增，需满足：每段分别递增，且衔接处左段的最大值不超过右段的最小 值. 【解答】当x<2时，f(x)=x+2-2a需单调递增，故a>0: 当x之2时，f八)--公-3如的对称精为x=号需氵2.即a三4： 2 高一数学第5页（共10页） 2 衔接处：x→2，f(x)→2，f(2)=4-2a-3a=4-5a,需4-5a≥2，解得a 2 综上.0a≤行即a的取值范国是0 5 a,a≥b 4.已知xy都是正实数，满足+三2，记max{a,6}谬 设M=max{2x,2xy}, x y+1 则M的最小值为 【答案】2 【分析】把M=max{2x,2xy=2xmax{1,y}，按y≥1与y1两种情况讨论. 【解答】M=max{2x,2xy以=2max{红，y. @当03y<1时，M=2x,由1=2-2得x=+1 y+1 因为0y≤1，所以2-2 ≤1，即x≥1，故M=2x≥2； y+1 ②当y≥1时，M=2,由上22=2y得x=y+1 1 y+1y+1 2y 所以M=2y=2y.y+1 =y+1≥2. 2y 两种情况下都有M≥2，且当y=1时x=1,此时1+2，=1+1=2成立，M=2. x y+l 所以M的最小值为2. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)设集合A={x-3≤x≤4}，B={x-1≤x≤3-2). (1)当m=3时，求AnB,(CRA)nB: (2)若x∈B是x∈A的充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)AnB={x2≤x≤4，(CA)nB={x4<x≤7}；(2)m≤2. 【分析】(1)m=3时写出B,再求交集与补集；(2)x∈B是x∈A的充分条件即B三A,注意B 可能为空集 【解答】(1)当=3时，B={x2≤x≤7}，又A={x|-3≤x≤4}， 所以AOB={x2≤x≤4： 又CA={x|x<-3或x>4},所以(CA)⌒B={x|4<x≤7}. (2)因为x∈B是x∈A的充分条件，所以B三A. 高一数学第6页（共10页） 当m-1>3L-2,即K时，B=cA,符合题意： 当m≥1时，需m-12-3且3m-2≤4，解得-2≤m≤2，即】≤≤2. 2 综上，m≤2 16.(本小题满分15分)已知一次函数f(x)在R上单调递减，且满足f(f(x)=4x+6, 8(x)=x2-2x-2. (1)求f(x)的解析式： (2)若x∈R时，不等式g(x)>f(x)恒成立，求实数的取值范围： (3)若关于x的不等式g(x)f(x)在1,4上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)f(x)=-2x-6:(2)-1<K3:(3)m>3. 【分析】(1)设f(x)=x+b(k<0),由f(f(x)=4x+6比较系数；(2)转化为二次不等式恒 成立，用判别式；(3)转化为二次函数在1,4上的最小值小于零，按对称轴位置分类讨论. 【解答】(1)设f(x)=x+b(k<0),则f(f(x)=(x+b)+b=x+b+b, 由f(f(x)=4x+6得k2=4且b+b=6, 因为k<0,所以k=-2,从而-2b+b=6,即b=-6, 所以f(x)=-2x-6. (2)g(x)f(x)即x2-2x-2>-2x-6,整理得x2+(2-2m)x+4>0对任意xeR恒成立， 所以△=(2-2m)-16<0,解得-1K3. (3)记h(x)=x2+(2-2m)x+4,则问题等价于h(x)在1,4上的最小值小于零，对称轴为x=1-1. 当-1≤1，即m≤2时，hy)在L,4上递增，h0=7-2m0,解得m>)与m≤2矛盾 当1m-1<4,即2<<5时，h(1-1)=4-(m-1)2<0,解得m>3或K-1,所以3<K5: 7 当-1≥4，即m≥5时，h(x)在1,4上递减，h(4)=28-8<0,解得m> ,符合m≥5. 综上，>3. 17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x2-(a+4)x+4a. (1)当a=2时，求出函数f(x)在[-2,4]上的值域： (2)求关于x的不等式f(x)<0的解集. 高一数学第7页（共10页） 【答案】(1)值域为[-1,24： (2)当a<4时，解集为(a,4):当a=4时，解集为☑；当a>4时，解集为(4,4). 【分析】(1)配方后结合区间[-2,4]求最值：(2)把f(x)因式分解为(x-4)(x-a),按a与4的大 小分类. 【解答】(1)当a=2时，f(x)=x2-6x+8=(x-3)-1, 因为3∈[-2,4]，所以f(xmn=f(3)=-l: 又f(-2)=24,f(4)=0,所以f(x)mx=24, 即值域为[-1,24. (2)f(x)=x2-(a+4)x+4a=(x-4)(x-a): 所以f(x)<0即(x-4)(x-a<0. 当a<4时，解集为(a,4): 当a=4时，(x-4)<0,解集为0： 当a>4时，解集为(4，a) l8.(本小题满分17分)已知函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)+1, f(4)=-3,且当x>0时，f(x)<-1. (1)求f(0),f(2)的值： (2)求证：f(x)是R上的减函数： (3)若关于x的方程f（x2-2x-3-k)=-1在区间[1,4]上有2个不等实根，求实数k的取值范围. 【答案】(1)f(0)=-1,f(2)=-2；(2)证明见解答；(3)0k≤4. 【分析】(1)在f(a+b)=f(a)+f(b)+1中赋值；(2)用单调性定义，结合“x>0时f(x)<-1”: (3)由f(0)=-1及f单调且为一一对应，把方程化为x-2x-3=k,再数形结合数根的个数. 【解答】(1)令a=b=0,得f(0)=2f(0)+1,所以f(0)=-1: 令a=b=2,得f(4)=2f(2)+1,即-3=2f(2)+1,所以f(2)=-2. (2)设x<x,则x-x>0,所以f(x-x)<-1. 由f(x)=f[(x-x)+x]=f(x,-x)+f(x)+1K-1+f(x)+1=f(x), 所以f(x)是R上的减函数. 高一数学第8页（共10页） (3)方程fx2-2x-3-)=-1即f（x2-2x-3-)=f(0), 因为f(x)在R上单调递减，所以x2-2x-3-k=0,即x2-2x-3=k. 设g(x)=x-2x-3H(x--4,xe[L,4] 当x∈[1,3]时，g(x)=4-(x-1),从4递减到0：当x∈[3,4时，g(x)=(x-1)-4,从0递增到 5. 要使方程有2个不等实根：k=0时只有x=3一解，不合： 0<k<4时，左右两支各有一解，共2解；k=4时，一解为x=1,另一解为x=1+22∈(3,4，共2 解； 4<k≤5时只有右支一解. 综上，0<k≤4. 19.(本小题满分17分)对于函数f(x),若存在∈R,使f()=成立，则称为f(x)的不动 点 (1)求函数y=x-2x-10的不动点： (2)若函数y=x-(a+2)x+a+3有两个不相等的不动点5，：，求立+上的取值范围： x2 x (3)若函数f(x)=x2+x+n有两个不相等的不动点x,x,且x-x>1,设r<x,判断并证明 f(r)与x的大小关系 【答案】(1)5和-2；(2)(-0，-2)U(2,+0)；(3)f(r）>x,证明见解答. 【分析】(1)解f(x)=x；(2)由f(x)=x有两不等实根得判别式大于零，再用韦达定理化简所求 式子：(3)由f(x)-x=(x-x)(x-x),把f(r)-x分解后判断符号. 【解答】(1)由x2-2x-10=x得x2-3x-10=0,即(x-5)(x+2)=0, 所以不动点为5和-2， (2)由x2-(a+2)x+a+3=x得x2-(a+3)x+(a+3)=0, 因为有两个不相等的不动点，所以△=(a+3)-4(a+3)=(a+3)(a-)>0,即aK-3或a>1: 由韦达定理x+x2=a+3,xx3=4+3, 所以生45-s+广-2x西_a+3y-2a+3)=a+1. x2 x1 xx a+3 由<-3或a>1得a+1<-2或a+1>2, 故立+飞的取值范围为(-0，-2)U(2,+0) x2x 高一数学第9页（共10页） (3)f(r)>x.证明如下： 因为x,x是f(x)的不动点，所以f(x)=:f(x)=x, 即x,x是方程f(x)-x=0的两根，故f(x)-x=(x-x)(x-x)· 所以f(r)）-r=(r-x)(r-x),从而 f(r)-x=f()-r+r-x=(r-x)(r-x+(r-x)=(-x)(r-x,+1). 因为Kx<x且x-xl,所以r-x<0, 又r-x+1=(r-x)+(:-x)+1<0+(-1)+1=0, 所以(r-x)(r-x+1)>0,即f(r)>x 高一数学第10页（共10页） 达州一高2026级2026年秋季第一次月考 数　学　试　题 （时间：120分钟　满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，则（　　） A． B． C． D． 2．已知命题：，，则是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．对于任意实数，，，，以下四个命题：①若，，则；②若，则；③若，则；④若，，则．其中正确命题的个数是（　　） A． B． C． D． 5．已知，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．函数的定义域为，则函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 8．已知函数，若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 10．下列函数中，在区间上是增函数的是（　　） A． B． C． D． 11．已知，，且，则下列说法正确的有（　　） A． B．的最小值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则______． 13．已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围是______． 14．已知，都是正实数，满足，记，设，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）设集合，． （1）当时，求，； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 16．（本小题满分15分）已知一次函数在上单调递减，且满足，． （1）求的解析式； （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 17．（本小题满分15分）已知函数． （1）当时，求出函数在上的值域； （2）求关于的不等式的解集． 18．（本小题满分17分）已知函数对任意的，，都有，，且当时，． （1）求，的值； （2）求证：是上的减函数； （3）若关于的方程在区间上有2个不等实根，求实数的取值范围． 19．（本小题满分17分）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点． （1）求函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，，求的取值范围； （3）若函数有两个不相等的不动点，，且，设，判断并证明与的大小关系． 高一数学　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 达州一高2026级2026年秋季第一次月考 数　学　试　题 （时间：120分钟　满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】补集是在全集中去掉中元素后剩下的元素组成的集合． 【解答】因为，， 所以，故选C． 2．已知命题：，，则是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】全称量词命题的否定：改量词（）、否结论，条件不变． 【解答】命题：，， 其否定为，，故选C． 3．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解方程，再判断两个命题间的推出关系． 【解答】当时，，所以充分性成立； 由得或，所以必要性不成立． 故“”是“”的充分不必要条件，选A． 4．对于任意实数，，，，以下四个命题：①若，，则；②若，则；③若，则；④若，，则．其中正确命题的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐条用不等式的基本性质判断，注意乘（除以）负数或零时不等号方向的变化． 【解答】①由同向不等式可加性，正确； ②当时，错误； ③当时，，错误； ④取，，，，则，错误． 所以正确的命题只有1个，故选B． 5．已知，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用“乘1法”把乘以，再用基本不等式． 【解答】因为，所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以最小值为，故选B． 6．函数的定义域为，则函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】定义域需同时满足两个条件：有意义且分母不为零、被开方数非负． 【解答】由得； 由得． 两条件同时成立，得，即定义域为，故选A． 7．已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用减函数的定义把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系． 【解答】因为，所以即． 又在上是减函数，所以， 即解集为，故选B． 8．已知函数，若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】“存在使”即函数在定义域上不是单调递增的，需分“两值同在第一段”与“一值在左段、一值在右段”讨论． 【解答】当时，，图象开口向下，对称轴为； 当时，单调递增，值域为． ①若两值都在第一段：当，即时，上存在关于对称的两个数函数值相等，符合题意； ②若一值在左段、一值在右段：需左段最大值大于． 当时，左段最大值为，由得； 当时，左段最大值为，由得（已包含在中）． 综上，或，即的取值范围为，故选B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BD 【分析】两个函数相同需定义域与对应关系都相同，逐项比较定义域． 【解答】A项，，与对应关系不同，不是同一函数； B项，（），与（）定义域、对应关系都相同，是同一函数； C项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数； D项，在时为，在时为，即，与相同，是同一函数． 故选BD． 10．下列函数中，在区间上是增函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】逐项判断在上的单调性，注意定义域与分段函数衔接处的单调性． 【解答】A项，在上单调递增，故在上递增，正确； B项，在上递减，在上递增，错误； C项，需，即或，在上无定义，错误； D项，时递增；时递增，且处两段函数值都为，所以在上单调递增，正确． 故选AD． 11．已知，，且，则下列说法正确的有（　　） A． B．的最小值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】由得，把各选项化为关于的式子后逐项判断． 【解答】由得，又，，所以． A项，，正确； B项，，当且仅当时取等号，正确； C项，，且，故的取值范围为，错误； D项，，正确． 故选ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则______． 【答案】 【分析】用换元法：令，把右边的都用表示． 【解答】令，则， 所以， 即． 13．已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】分段函数在上单调递增，需满足：每段分别递增，且衔接处左段的最大值不超过右段的最小值． 【解答】当时，需单调递增，故； 当时，的对称轴为，需，即； 衔接处：，，需，解得． 综上，，即的取值范围是． 14．已知，都是正实数，满足，记，设，则的最小值为______． 【答案】 【分析】把，按与两种情况讨论． 【解答】． ①当时，，由得， 因为，所以，即，故； ②当时，，由得， 所以． 两种情况下都有，且当时，此时成立，． 所以的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）设集合，． （1）当时，求，； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）时写出，再求交集与补集；（2）是的充分条件即，注意可能为空集． 【解答】（1）当时，，又， 所以； 又或，所以． （2）因为是的充分条件，所以． 当，即时，，符合题意； 当时，需且，解得，即． 综上，． 16．（本小题满分15分）已知一次函数在上单调递减，且满足，． （1）求的解析式； （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）设（），由比较系数；（2）转化为二次不等式恒成立，用判别式；（3）转化为二次函数在上的最小值小于零，按对称轴位置分类讨论． 【解答】（1）设（），则， 由得且， 因为，所以，从而，即， 所以． （2）即，整理得对任意恒成立， 所以，解得． （3）记，则问题等价于在上的最小值小于零，对称轴为． 当，即时，在上递增，，解得，与矛盾； 当，即时，，解得或，所以； 当，即时，在上递减，，解得，符合． 综上，． 17．（本小题满分15分）已知函数． （1）当时，求出函数在上的值域； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）值域为； （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【分析】（1）配方后结合区间求最值；（2）把因式分解为，按与的大小分类． 【解答】（1）当时，， 因为，所以； 又，，所以， 即值域为． （2）， 所以即． 当时，解集为； 当时，，解集为； 当时，解集为． 18．（本小题满分17分）已知函数对任意的，，都有，，且当时，． （1）求，的值； （2）求证：是上的减函数； （3）若关于的方程在区间上有2个不等实根，求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2）证明见解答；（3）． 【分析】（1）在中赋值；（2）用单调性定义，结合“时”；（3）由及单调且为一一对应，把方程化为，再数形结合数根的个数． 【解答】（1）令，得，所以； 令，得，即，所以． （2）设，则，所以． 由， 所以是上的减函数． （3）方程即， 因为在上单调递减，所以，即． 设，， 当时，，从递减到；当时，，从递增到． 要使方程有2个不等实根：时只有一解，不合； 时，左右两支各有一解，共2解；时，一解为，另一解为，共2解； 时只有右支一解． 综上，． 19．（本小题满分17分）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点． （1）求函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，，求的取值范围； （3）若函数有两个不相等的不动点，，且，设，判断并证明与的大小关系． 【答案】（1）和；（2）；（3），证明见解答． 【分析】（1）解；（2）由有两不等实根得判别式大于零，再用韦达定理化简所求式子；（3）由，把分解后判断符号． 【解答】（1）由得，即， 所以不动点为和． （2）由得， 因为有两个不相等的不动点，所以，即或； 由韦达定理，， 所以， 由或得或， 故的取值范围为． （3）．证明如下： 因为，是的不动点，所以，， 即，是方程的两根，故． 所以，从而 ． 因为且，所以， 又， 所以，即． 高一数学　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $