精品解析：四川省眉山市彭山区第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

彭山区第一中学2028届高一上学期12月月考 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.命题人：陈登贵，审题人：李凌飞 一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集和交集的概念求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：B. 2. 已知函数那么的值是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】应用分段函数解析式代入求值. 【详解】，则 故选：A. 3. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的定义域以及根号的性质，建立不等式组，可得答案. 【详解】由函数的定义域为，得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式不等式以及充分不必要条件的集合表示，可得答案. 【详解】由，可得或， 又集合是集合或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 5. 已知，且的图象如图所示，则等于（    ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数图象上两点的坐标可得函数解析式，进而求函数值. 【详解】由题中图象知，函数过，，则，所以． 又，所以（负值舍去），故， ． 故选：B 6. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性分析得出的大小关系． 【详解】，函数在R上单调递增， ，即，故； ，函数在上单调递增， ，即，故， ． 故选：C． 7. 已知函数为奇函数，则实数的值为（ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性列方程，化简求得的值. 【详解】的定义域是， 由于是奇函数，所以， 即， 解得，当时，， ，符合题意， 所以的值为. 故选：B 8. 设 若函数是单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段函数单调递增，需要满足在每一段上函数都是单调递增的，并且在分段点处左边函数的最大值小于等于右边函数的最小值.我们将分别分析两段函数的单调性，再根据分段点处的条件确定的取值范围. 【详解】当时，. 对于反比例函数（），当时，在各自区间上单调递减. ，要使在上单调递增，则，解不等式得. 当时，，对于指数函数（且）， 当时函数单调递增.所以，解这个不等式得到. 在处，需要满足，即， 解得. 综合以上三个条件，取交集得到实数的取值范围是. 故选：C. 二、多选题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用不等式的性质，结合指数函数单调性逐项判断即得. 【详解】对于A，由，得，则，A错误； 对于B，由，函数单调递增，则，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，函数单调递增，则，D正确. 故选：BD 10. 已知定义在上的函数，满足对任意的实数，，均有，且当时，，则（    ） A. B. C. 函数为增函数 D. 函数的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过赋值和，，可判断AB，由通过可判断C，令，可判断D. 【详解】对A：令，则有，故，故A正确； 对B：令，，则有，故，故B正确； 对C：令，则有，其中，， 令，，即有对、，当时，恒成立， 即函数为减函数，故C错误； 对D：令，则有，又， 故，故函数的图象关于点对称，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知，，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的最小值为8 C. 的最小值是 D. 的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，，又，可判断，对于BCD，由，得，再结合基本不等式逐个判断即可. 【详解】由，得，又， 所以，即，故A正确， 由，得，由A，，所以， 所以，当且仅当时，等号成立，故B正确， 由，令， 得，解得， 即，当且仅当时，取等号，C错误； ， 当且仅当时，取等号，故D正确， 故选：ABD 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 当且时，函数的图象一定经过定点___________ 【答案】 【解析】 【分析】令可求出定点. 【详解】令，可得当时，，所以图象一定经过定点. 故答案为：. 13. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出，进而求出. 【详解】当时，，则，解得，因此,当时,， 由函数是定义在R上的奇函数，得. 故答案为： 14. 已知函数，若，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数图象，分析出，，故，，结合函数单调性得到值域，求出取值范围. 【详解】画出的图象， 当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且， 令，解得，令，则， 若，且，则，， 所以，， 当时，取得最小值，最小值为， 又时，，时，， 故. 故答案为： 四、解答题.本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：； （2）若， （i）； （ii）求． 【答案】（1）； （2）（i）； （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂运算的性质化简可得； （2）对进行平方，结合完全平方公式和立方和公式可求出结果． 【详解】（1）原式 （2）（i）因为， 所以， 因此：. （ii）由，得， 故， 又， 故． 16. 已知二次函数满足：且. （1）求函数在区间上的值域； （2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. （3）设，，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过待定系数法求得函数解析式，进而可求解； （2）由（1）结合判别式法即可求解； （3）通过和，确定单调性即可求解. 【小问1详解】 ，， 此时，， 则， ，解得，. 则函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值， 又，，则. 因此，函数在区间上的值域为； 【小问2详解】 由得，即， 由题意可知，不等式对任意的恒成立， 则，解得. 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 ， 对称轴为： ①当时，即：； 如图1，； ②当时，即：； 如图2. . 综上所述： 17. 已知幂函数（为常数）的图象经过点. （1）求的解析式； （2）设， （i）判断的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； （ii）若关于m的不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1） （2）（i） 在区间上单调递增，证明如下： 设，所以， 因为，所以，所以， 所以，可得函数在区间上单调递增； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的图象所过点，列出方程求解即可. （2）（i）判断函数的单调性并用单调性的定义证明即可； （ii）利用函数的单调性可列不等式，转化为求的最大值即可得解. 【小问1详解】 因为幂函数（为常数）的图象经过点， 则，所以，故； 【小问2详解】 ， （i）略 （ii）由（i）知，为增函数. ∴由得，恒成立， ∴ 恒成立 又在区间为减函数， 当时，， 所以的范围为. 18. 为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调查发现，某水果树的单株产量U（单位：千克）与施用发酵有机肥x（单位：千克）满足如下关系：，单株发酵有机肥及其它成本总投入为元．已知该水果的市场售价为75元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求函数的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）当时，单株利润最大，为380元． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以直接得到利润表达式； （2）根据定义域求每段函数的利润最大值比较后可得答案. 【详解】（1）， 即，化简． （2）当时，为对称轴开口向上的抛物线，在单调递增，所以， 当时，，当且仅当 即取等号， 综上所述，当时，单株利润最大，为380元． 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”． （1）请证明：函数不存在“黄金区间”． （2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”． （3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值． 【答案】（1）证明：由为上的增函数，则有， ∴，无解，∴不存在“黄金区间”； （2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由为上的增函数和方程的解的情况可得证； （2）由可得出，再由二次函数的对称轴和方程，可求出函数的“黄金区间”； （3）化简得函数的单调性，由已知是方程的两个同号的实数根，再由根的判别式和根与系数的关系可表示，由或，可得的最大值． 【详解】（1）略 （2）记是函数的一个“黄金区间”， 由及此时函数值域为，可知 而其对称轴为，∴在上必为增函数， 令，∴，∴ 故该函数有唯一一个“黄金区间”； （3）由在和上均为增函数， 已知在“黄金区间”上单调，所以或，且在上为单调递增， 则同理可得，，即是方程的两个同号的实数根，等价于方程有两个同号的实数根， 又，则只要，∴或， 而由韦达定理知，， 所以，其中或，所以当时，取得最大值． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，对于解决此类问题的关键在于紧扣函数的新定义，注意将值域问题转化为方程的根的情况得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 彭山区第一中学2028届高一上学期12月月考 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.命题人：陈登贵，审题人：李凌飞 一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数那么的值是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 3. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，且的图象如图所示，则等于（    ） A. 4 B. C. D. 6. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数为奇函数，则实数的值为（ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 8. 设 若函数是单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 10. 已知定义在上的函数，满足对任意的实数，，均有，且当时，，则（    ） A. B. C. 函数为增函数 D. 函数的图象关于点对称 11. 已知，，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的最小值为8 C. 的最小值是 D. 的最小值为2 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 当且时，函数的图象一定经过定点___________ 13. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则__________． 14. 已知函数，若，且，则的取值范围是__________. 四、解答题.本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：； （2）若， （i）； （ii）求． 16. 已知二次函数满足：且. （1）求函数在区间上的值域； （2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. （3）设，，求的最大值． 17. 已知幂函数（为常数）的图象经过点. （1）求的解析式； （2）设， （i）判断的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； （ii）若关于m的不等式恒成立，求实数t的取值范围. 18. 为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调查发现，某水果树的单株产量U（单位：千克）与施用发酵有机肥x（单位：千克）满足如下关系：，单株发酵有机肥及其它成本总投入为元．已知该水果的市场售价为75元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求函数的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”． （1）请证明：函数不存在“黄金区间”． （2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”． （3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $