精品解析：江苏省南通市通州区通州区实验中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2025级高二质量监测 数学试卷 2026年10月 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 三点在一条直线上，则k的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知m为实数，直线，，若，则实数m的值 A. 2 B. 1 C. 1或2 D. 0或 3. 已知直线，若，则a的值为（ ） A. 8 B. 2 C. D. -2 4. 已知两点，，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是　　 A. B. C. D. 5. “”是“直线和直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 25 7. 在直线有一点，使它与两点的距离之差最大，则距离之差的最大值为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 8. 直线关于直线：对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 过点且与直线平行的直线的方程为 B. 过点且与直线垂直的直线的方程为 C. 若直线：与直线：平行，则a的值为或3 D. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 10. 已知直线，则（ ） A. 直线恒过点 B. 点到直线的最大距离为． C. 直线的斜率可以为任意负数 D. 当时，直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为4 11. 已知点，，且点在直线：上，则（ ） A. 存在点，使得 B. 若为等腰三角形，则点的个数是3个 C. 的最小值为 D. 最大值为3 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______． 13. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______． 14. 已知定点，动点和点分别在直线和上运动，则的周长取最小值时点的坐标为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 中，顶点、，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求边所在直线的方程； （2）求的面积． 16. 已知△ABC的顶点A(4，1)，AB边上的高所在直线平行于直线3x+5y-1=0，角B的平分线所在直线方程为2x-y-5=0. （1）求点B坐标； （2）求BC边所在直线方程. 17. 已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： （1）时，求直线l的方程． （2）当的面积最小时，求直线l的方程． 18. 已知直线 （1）证明：无论m为何值，直线l与直线总相交； （2）求点到直线l距离的最大值； （3）若O为坐标原点，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求面积的最小值． 19. 已知直线，，过点的直线分别与直线，交于，其中点在第三象限，点在第二象限，点； （1）若的面积为，求直线的方程； （2）直线交于点，直线交于点，若直线的斜率均存在，分别设为，判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高二质量监测 数学试卷 2026年10月 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 三点在一条直线上，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由列方程来求得的值. 【详解】依题意， 即，解得. 故选：B 2. 已知m为实数，直线，，若，则实数m的值 A. 2 B. 1 C. 1或2 D. 0或 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行的等价条件，求出的值； 【详解】解：当时，两直线方程分别为和，不满足条件． 当时，则，， 由得得或， 由得，则， 故选：B 【点睛】本题考查两直线的位置关系求参数的值，属于基础题. 3. 已知直线，若，则a的值为（ ） A. 8 B. 2 C. D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】根据两条直线垂直，列方程求解即可. 【详解】由题：直线相互垂直， 所以，解得：. 故选：D. 4. 已知两点，，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围． 详解：∵点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线L与线段AB有公共点， ∴直线l的斜率k≥kPB或k≤kPA， ∵PA的斜率为 =﹣1，PB的斜率为=1， ∴直线l的斜率k≥1或k≤﹣1， 故选D． 点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析. 5. “”是“直线和直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】因为直线和直线垂直，所以或，再根据充分必要条件的定义判断得解. 【详解】因为“直线和直线垂直， 所以或. 当时，直线和直线垂直； 当直线和直线垂直时，不一定成立. 所以是直线和直线垂直的充分不必要条件， 故选：A． 6. 已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】根据两条直线垂直得出,再根据基本不等式计算求解即可. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以即得, 所以, 因为，都是正实数，所以. 当且仅当时，取最小值25. 故选：D. 7. 在直线有一点，使它与两点的距离之差最大，则距离之差的最大值为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断、与直线的位置关系，求出关于直线的对称点的坐标，结合三角形三边关系求解距离之差的最大值即可. 【详解】如图： 易知、在直线的两侧， 设关于直线的对称点， 则，解得：. 由对称性可知，对任意直线上的点，均有，因此. 根据三角形三边关系，， 当且仅当为直线与的交点时等号成立. 故距离之差的最大值为. 8. 直线关于直线：对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 过点且与直线平行的直线的方程为 B. 过点且与直线垂直的直线的方程为 C. 若直线：与直线：平行，则a的值为或3 D. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于选项A，B，D，根据给定条件求出对应的直线方程判断作答；对于选项C，由给定条件求出a值判断作答. 【详解】对于A，直线的斜率为2，则过点且与直线平行的直线的方程为， 即，A正确； 对于B，直线的斜率为2，则过点且与直线垂直的直线的方程为， 即，B正确； 对于C，直线：的斜率为，因直线与直线平行，则直线的斜率存在，且， 解得或3，当时，两直线重合，当，两直线平行，C错误； 对于D，因过点，且在两坐标轴上的截距相等，则当截距都为0时，直线方程为，截距不为0时，当直线方程为，D错误. 故选：AB 10. 已知直线，则（ ） A. 直线恒过点 B. 点到直线的最大距离为． C. 直线的斜率可以为任意负数 D. 当时，直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，变形得到直线方程为，得到方程组，求出直线恒过点；B选项，根据直线所过定点，得到点到直线的最大距离为，求出答案；C选项，变形得到直线的斜率不等于；D选项，得到直线与两坐标轴的交点坐标，表达出三角形面积，得到最值. 【详解】A选项，变形得到， 令，解得，故直线恒过点，A正确； B选项，由于直线恒过点， 故点到直线的最大距离为，B正确； C选项，当时，此时直线的斜率为， 由于，故，C错误； D选项，当时，，， 中令得，令得， 故直线与坐标轴所围成的三角形面积为， 因为，所以当时，所围成的三角形面积最小，最小值为4，D正确. 故选：ABD 11. 已知点，，且点在直线：上，则（ ） A. 存在点，使得 B. 若为等腰三角形，则点的个数是3个 C. 的最小值为 D. 最大值为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，分类讨论，利用斜率公式以及两直线垂直的条件即可判断；对于B，分类讨论，讨论等腰三角形的顶点，结合点到直线的距离即可判断；对于C，求出点关于直线l的对称点，结合几何性质，数形结合，即可求解；对于D，结合几何性质，数形结合，即可判断； 【详解】对于A，设，当PM斜率不存在时，，此时， 则，即与不垂直； 当PN斜率不存在时，，此时， 则，即与不垂直； 当且时，，， 若，则，即， 由于，方程无解，故与不垂直； 综合可知不存在点，使得，A错误； 对于B，若等腰的顶点为P，此时P在的垂直平分线上， 则P点横坐标为，此时； 当M为等腰的顶点时，由于点M到直线：的距离为， 故直线l上必存在两点满足，设这两点为， 由于l上纵坐标为1的点为，该点和M的距离为2， 故和M，N不共线，适合题意， 由于N点到直线：的距离为， 故以N点为顶点的等腰不存在， 综合以上可知为等腰三角形，则点的个数是3个，B正确； 对于C，设点关于直线l的对称点为， 则，解得，即， 故, 当且仅当三点共线（P在之间）时取得等号， 即的最小值为，C正确； 对于D，如图，， 当且仅当P为的延长线与l的交点时等号成立， 即最大值为3，D正确， 故选：BCD 【点睛】方法点睛：（1）注意分类讨论方法的应用，比如选项A，B的判断；（2）注意数形结合思想的运用，比如选项C，D的求解. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据点关于直线对称得出，又点，应用斜率公式求出斜率，最后点斜式写出直线方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为，则解得 所以．又点， 所以，直线的方程为， 由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为：. 13. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______． 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一. 【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式. 14. 已知定点，动点和点分别在直线和上运动，则的周长取最小值时点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作定点关于直线的对称点，关于轴的对称点，连接与相交于点，与轴相交于点，此时的周长取最小值，联立方程求出交点即可 【详解】如图所示：作定点关于直线的对称点，关于轴的对称点， 连接与相交于点，与轴相交于点， 此时的周长取最小值，且最小值为 ． 且点的坐标满足，解得 ，即点 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 中，顶点、，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求边所在直线的方程； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）的面积为 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程； （2）求出点的坐标，计算出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式即可求得的面积. 【小问1详解】 解：因为边上的高所在直线方程为，可设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 因此，直线的方程为. 【小问2详解】 解：联立，解得，即点，， 直线的斜率为，则直线的方程为，即， 点到直线的距离为，故. 16. 已知△ABC的顶点A(4，1)，AB边上的高所在直线平行于直线3x+5y-1=0，角B的平分线所在直线方程为2x-y-5=0. （1）求点B坐标； （2）求BC边所在直线方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由题意，设出，由直线的斜率公式和两直线垂直的性质，求出，即可得出的坐标； （2）由题可得点关于的对称点在直线BC上，求出即可求出BC方程. 【详解】（1）设，故直线AB的斜率为， AB边上的高所在直线平行于直线， ，解得，； （2）由题可得点关于的对称点在直线BC上， 设，则，解得，即， 则直线BC的方程为，即. 【点睛】方法点睛：关于轴对称问题：（1）点关于直线的对称点，则有；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 17. 已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： （1）时，求直线l的方程． （2）当的面积最小时，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件可知点是的三等分点，构造直角三角形，利用相似三角形比值关系即可求出A，B两点坐标，继而求出方程; （2）利用截距式找出两截距关系，再根据代入三角形面积计算中即可找出面积的最小值，继而求出方程. 【小问1详解】 作，则. 由三角形相似，，可求得，， ∴方程为，即； 【小问2详解】 根据题意，设直线l的方程为，由题意，知，， ∵l过点，∴，解得，∴的面积， 化简，得.① ∴，解得或（舍去）. ∴S的最小值为4， 将代入①式，得，解得， ∴.∴直线l的方程为. 18. 已知直线 （1）证明：无论m为何值，直线l与直线总相交； （2）求点到直线l距离的最大值； （3）若O为坐标原点，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求面积的最小值． 【答案】（1）证明：对于，化简得， 令，得到， 对于点，直线与直线都是必过点， 所以，无论为何值，直线与直线总相交. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简直线，得到的必过点，得证； （2）根据直线过点可得点到直线距离的最大值为即可； （3）设，由（1）得，列出三角形面积公式，利用基本不等式即可求得三角形面积最小值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可得直线过点， 故点到直线l距离的最大值为， 当直线取到. 【小问3详解】 设，由（1）得， ，整理得， 因为，则，得，（当且仅当时，即时，等号成立）， ，面积的最小值为. 19. 已知直线，，过点的直线分别与直线，交于，其中点在第三象限，点在第二象限，点； （1）若的面积为，求直线的方程； （2）直线交于点，直线交于点，若直线的斜率均存在，分别设为，判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． 【答案】（1） （2）为定值， 【解析】 【分析】（1）设直线方程为，与直线，分别联立，可得的纵坐标，再由的面积为，解方程可得k，进而得到所求直线方程； （2）求得A，B的坐标，设，运用三点共线的条件：斜率相等，求得，，再由两点的斜率公式，化简整理，计算即可得到所求定值． 【小问1详解】 设直线方程为， 与直线，分别联立， 可得的纵坐标分别为， ∵的面积为16， ∴ 即， 解得， ∴直线l的方程为； 【小问2详解】 由（1）可得， 又，设， 由共线，可得 ，解得， 即有， 由共线，可得 ，解得， 即有， 则， 即有为定值． 【点睛】本题考查直线方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线交点问题注意联立方程，考查三点共线的条件：斜率相等，以及斜率公式的运用，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $