江苏省通州高级中学2024-2025学年高二上学期第三次阶段性测试数学试卷

江苏省通州高级中学2024~2025学年度高二年级第三次阶段性测试 数学试卷 出卷人： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 过点，且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的焦点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知为等差数列的前n项和，公差为d.若，，则（   ） A． B． C． D．无最大值 4．在平行六面体中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 5.半径为5的圆内有一点P，,过点P的21条弦的长度构成一个递增的等差数列，则的公差的取值范围是( )A A. B. C. D. 6．设，分别为等比数列，的前项和．若（，为常数），则（    ） A． B． C． D． 7. 如图所示，在圆锥内放入两个球，，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为，.这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为，， 的半径分别为1，4，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达的路线长与线段的长之和的最小值是（    ） A．6 B．8 C． D． 8. 已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 空间中任意两个单位向量必相等 C. 已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是-4 D. 若，则为钝角 10. 下列结论中正确的是（ ） A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B. 已知圆，圆，则圆和圆有条公切线 C. 若直线上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为直角，则实数的取值范围为 D. 若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（ ） 11．对于数列（），定义为，，…，中最大值（）（），把数列称为数列的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（    ） A．若数列是递减数列，则为常数列 B．若数列是递增数列，则有 C．满足为2，3，3，5，5的所有数列的个数为8 D．若，记为的前n项和，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12已知空间向量，若共面，则实数 13．设抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与C交于A，B两点，请写出一个过点A，B且与C的准线相切的圆的方程： ． 14．螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如下图（1）所示.如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为，直角三角形EMQ面积为，后续各直角三角形面积依次为，…，，则数列的前n项和恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．以为坐标原点，直线 分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．    (1)设平面的法向量为，求的值; (2)求与 所成角的余弦值. 16．已知数列满足，. (1)求证：是等差数列； (2)若，求数列的前n项和. 17.已知O为原点，椭圆C: 的左右焦点为,且离心率为，短轴长为，M，N分别是椭圆C在第二象限和第一象限上的点，, (1)求椭圆C的方程； （2）若直线MN的斜率为，求MN的方程。 18..已知等比数列为单增数列，，是与的等差中项， （1）求 （2）若不等式对恒成立，求的取值范围； （3）项数为的数列满足，，我们将称为n项对称数列，如数列1，2，2，1称为4项对称数列，1，2，3，2，1称为5项对称数列.记数列为项的对称数列，是公差为2的等差数列，数列的最大项为，记前项的和为，，求k的值. 19. 双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0) 经过点(，1)，且渐近线方程为y＝±x． （1）求a，b的值； （2）点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点O， 若设直线的AB方程为为y＝kx＋m(k≠0). （i）求△ABD外接圆的方程（用k，m表示）； （ii）求证：原点O到直线AB的距离为定值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省通州高级中学2024~2025学年度高二年级第三次阶段性测试 数学试卷 出卷人：高二数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 过点，且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 2. 双曲线的焦点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 3. 已知为等差数列的前n项和，公差为d.若，，则（   ） A． B． C． D．无最大值 【答案】B 4．在平行六面体中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A. 5.半径为5的圆内有一点P，,过点P的21条弦的长度构成一个递增的等差数列，则的公差的取值范围是( )A A. B. C. D. 6．设，分别为等比数列，的前项和．若（，为常数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，项和转换，求解即可 【详解】由题意， 设 则 故选：C 7. 如图所示，在圆锥内放入两个球，，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为，.这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为，， 的半径分别为1，4，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达的路线长与线段的长之和的最小值是（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【解析】在椭圆上任取一点，可证明，可得 ，设点沿圆锥表面到达的路线长为，则 ，当且仅当 为直线与椭圆交点时取等号，即可求解. 【详解】在椭圆上任取一点，连接交球于点 ，交球于点，连接，， ，， ， 在与中有： ，（ 为球的半径）， ， 为公共边， 所以， 所以，设点沿圆锥表面到达的路线长为， 则， 当且仅当为直线与椭圆交点时取等号， ， 所以最小值为， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是证明得出 ，从而，转化为 三点共线时求. 8. 已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】椭圆的左焦点为，， 过作轴，垂足为，由， 得，，有， 设，则有，， 由，两式相减得， 则有，所以. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 空间中任意两个单位向量必相等 C. 已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是-4 D. 若，则为钝角 【答案】AC 10. 下列结论中正确的是（ ） A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B. 已知圆，圆，则圆和圆有条公切线 C. 若直线上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为直角，则实数的取值范围为 D. 若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（ ） 【答案】BCD 【详解】对于A，当直线过原点时，直线方程为，满足条件，A错误； 对于B，圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则圆心距，又， 由，可知， 两圆相离，圆与圆共有条公切线，故B正确； 对于C，连接，，，如图， 则易知四边形为正方形， ，点的轨迹是圆心为，半径为的圆， 又点在直线上，故直线与该圆有公共点， 圆心到直线的距离，， 实数的取值范围为，故C正确； 故选：BCD. 11．对于数列（），定义为，，…，中最大值（）（），把数列称为数列的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（    ） A．若数列是递减数列，则为常数列 B．若数列是递增数列，则有 C．满足为2，3，3，5，5的所有数列的个数为8 D．若，记为的前n项和，则 【答案】ABD 【分析】由“M值数列”的定义，对选项中的结论进行判断. 【详解】若数列是递减数列，则是，，…，中最大值（）（）， 所以， 为常数列，A选项正确； 若数列是递增数列，则是，，…，中最大值（）（）， 所以，即，B选项正确； 满足为2，3，3，5，5，则，，可以取1，2，3，，可以取1，2，3，4，5， 所有数列的个数为，C选项错误； 若，则数列中奇数项构成递增的正项数列，偶数项都是负数， 则有， 所以，D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12已知空间向量，若共面，则实数 1 13．设抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与C交于A，B两点，请写出一个过点A，B且与C的准线相切的圆的方程： ． 【答案】（或写） 【详解】 方法一：设AB的中点为 过点作垂直抛物线的准线，垂足为；过点作垂直抛物线的准线，垂足为；过点作垂直抛物线的准线，垂足为； 则四边形为直角梯形，为梯形中位线. 由抛物线的定义可得， 则 所以以AB为直径的圆与准线相切，圆心为，半径为． 由抛物线C：，可得：，准线方程为：. 由直线l过点F且倾斜角为，可得：直线AB的方程为 联立方程组，整理得： 设，， 则， ． AB的中点坐标为，即 所以满足条件的一个圆的方程为． 方法二：同方法一求得AB的中点为，，直线AB的方程为 由题意得 则AB的中垂线方程为，即． 设圆心坐标为，半径为 则有 解得或 所以所求圆的方程为或． 故答案为：（或写） 斜率为的直线l过抛物线的焦点F，若l与圆相切，则 12 14．螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如下图（1）所示.如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为，直角三角形EMQ面积为，后续各直角三角形面积依次为，…，，则数列的前n项和恒成立，则实数的取值范围为 . 【详解】由题意，由外到内依次各正方形的边长分别为，则 ， ，……， ， 于是数列是以4为首项，为公比的等比数列，则. 由题意可得：，即……， 于是. ，，故解得或. 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．以为坐标原点，直线 分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．    (1)设平面的法向量为，求的值; (2)求与 所成角的余弦值. 【详解】（1）由题可知， ， 则即 解得 ； （2）， ∴， 又， ∴， 16．已知数列满足，. (1)求证：是等差数列； (2)若，求数列的前n项和. 【详解】（1）由，又， ∴，故，且， ∴是首项、公差均为的等差数列. （2）由（1），，则，又， ∴，则， ∴，， 则， ∴，. 17.已知O为原点，椭圆C: 的左右焦点为,且离心率为，短轴长为，M，N分别是椭圆C在第二象限和第一象限上的点，, (1)求椭圆C的方程； （2）若直线MN的斜率为，求MN的方程。 解：1） 2）设， 设MN为，所以由，得即，（1） 由得，， 代入1）得，m>0,所以直线方程为 18..已知等比数列为单增数列，，是与的等差中项， （1）求 （2）若不等式对恒成立，求的取值范围； （3）项数为的数列满足，，我们将称为n项对称数列，如数列1，2，2，1称为4项对称数列，1，2，3，2，1称为5项对称数列.记数列为项的对称数列，是公差为2的等差数列，数列的最大项为，记前项的和为，，求k的值. 解：1） 2） 2） 19. 双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0) 经过点(，1)，且渐近线方程为y＝±x． （1）求a，b的值； （2）点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点O， 若设直线的AB方程为为y＝kx＋m(k≠0). （i）求△ABD外接圆的方程（用k，m表示）； （ii）求证：原点O到直线AB的距离为定值. 解：（1）因为双曲线C渐近线方程为y＝±x，所以＝1． 又因为双曲线C经过点(，1)，所以－＝1． 2分 解得a＝b＝． 4分 （2）（i）当AB斜率不存在时，由双曲线对称性知AD经过原点，此时与题意不符． 设AB方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点E(x3，y3)，则D(－x2，y2)． 由消去x，得 (1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝－， 6分 则x3＝＝，y3＝kx3＋m＝，则AB的中垂线方程为y－＝－(x－)， 当x＝0时，y＝． 因为B，D两点关于y轴对称，则△ABD的外接圆圆心在y轴上， 记圆心为点F，则F(0，)． 8分 所以△ABD外接圆的方程为或. 10分 （ii）因为△ABD的外接圆经过原点，则OF＝FA，即||＝． 又因为－＝1，所以y12－ y1＋1＝0．同理，由OF＝FB，得y22－ y2＋1＝0， 所以y1，y2是方程y2－y＋1＝0的两个根，所以y1y2＝1． 14分 则(kx1＋m)(kx2＋m)＝1，即k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝1，所以k2×(－)＋km×＋m2＝1，化简得k2＋1＝m2，所以原点O到直线AB距离d＝＝1. 17分 学科网（北京）股份有限公司 $$