第04讲 函数的极值与最大（小）值（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第二册）

本讲义聚焦函数的极值与最值核心知识点，系统梳理极值的概念（极小值点、极大值点）、求极值步骤（定义域、求导、解方程、验符号、求极值），以及最值的概念（闭区间连续函数最值在极值点或端点取得）、求最值步骤，构建从导数应用到极值再到最值的知识支架。 资料以8大题型（含极值辨析、图像关系、求极值/最值、逆向求参等）为主线，结合各地期中期末真题，通过概念辨析培养推理意识（数学思维），图像分析提升几何直观（数学眼光），逆向问题发展创新意识。课中助教师分层教学，课后助学生巩固查漏，强化知识应用。

第04讲 函数的极值与最大（小）值 【人教A版】 模块一 函数的极值 1．极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列 方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【题型1 函数极值、极值点的辨析】 【例1】（24-25高二下·青海海南·期中）下列函数中，存在极值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据极值定义逐一分析即可. 【解答过程】对于：函数是实数集上的增函数，不存在极值； 对于：函数在上单调递增，不存在极值； 对于：函数在区间 上单调递减，不存在极值； 对于：在上单调递增，在上单调递减， 因此是函数的极小值点，符合题意. 故选：D. 【变式1.1】（24-25高二下·山东威海·期末）设的导函数为，且在处可导，则“是的极值点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据极值点定义或举例判断“”和“是函数的极值点”之间的逻辑关系，即可得答案. 【解答过程】根据函数极值点的定义可知为函数的极值点，必有； 反之，当时，不一定为函数的极值点， 比如，，满足，但在R上单调递增， 即不是函数的极值点， 故“为函数的极值点”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1.2】（25-26高二下·全国·课后作业）下列结论中，正确的是（   ） A．导数为零的点一定是极值点 B．如果在处连续且在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 C．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极小值 D．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 【答案】B 【解题思路】由函数的极值定义进行判断即可． 【解答过程】对于A项，如，则，函数在上单调递增，而导数为零的点为0不是函数的极值点，故A项错误， 对于B，C，D，根据极值的概念， 如果函数在处连续，且在点附近的左侧(函数单调递增）；右侧（函数单调递减），那么为极大值． 如果函数在处连续，且在点附近的左侧(函数单调递减）；右侧（函数单调递增），那么为极小值．则C，D错误，B项正确． 故选：B. 【变式1.3】（25-26高三上·山东·月考）已知函数，则“”是“有极值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】若函数有极值，则有变号零点，进而求的取值范围可得结果. 【解答过程】， 函数的图象关于直线对称， 则有极值的充要条件是，解得. 于是“”是“有极值”的充分不必要条件. 故选：A. 【题型2 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 【例2】（24-25高二下·湖北武汉·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D 【解题思路】根据导数的几何意义与极值、极值点的定义分别判断各选项. 【解答过程】A选项：由导函数图象可知是函数的极小值点， 的极小值为，A选项错误； B选项： 的极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，B选项错误； C选项：由导函数图象可知，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，C选项错误； D选项：由图象可知，即函数在处切线斜率小于零，D选项正确. 故选：D. 【变式2.1】（24-25高二下·上海黄浦·月考）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数，在区间上是增函数 C．是的极大值点 D．是的极小值点 【答案】A 【解题思路】根据导函数图象得出各区间导函数的符号，进而得出函数的单调性，再结合函数的极值的定义即可求解. 【解答过程】根据图象知，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减，故A错误，故B正确； 当时，取得极大值，是的极大值点，故C正确； 当时，取得极小值，是的极小值点，故D正确. 故选：A. 【变式2.2】（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．在处取得最小值 【答案】B 【解题思路】根据导函数图象的符号，确定函数的单调性，根据单调性可逐项判断. 【解答过程】由图可知，当时，，单调递减，故A错误； 当时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以在处取得极大值，故B正确；C错误； 时，，单调递增， 所以和处取得极小值，最小值不能确定，故D错误； 故选：B. 【变式2.3】（24-25高二下·河南郑州·期末）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在处取得极小值，在处取得极大值 C．函数在处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 【答案】C 【解题思路】根据导函数的图象判断单调区间，再依据区间单调性、极值点定义判断各项的正误. 【解答过程】由图象知，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 对于A，因为，所以，不正确； 对于B，C，由单调性知：为极大值点，为极小值点，B不正确，C正确； 对于D，由于，则，不是最小值，不正确. 故选：C. 【题型3 求已知函数的极值（点）】 【例3】（24-25高二下·青海西宁·期末）函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数求出的单调性，再结合极值即可求解. 【解答过程】由题意可得， 令，得或， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 所以当时，取到极小值，故C正确. 故选：C. 【变式3.1】（24-25高二下·广东·期末）函数的极小值点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对函数求导，令导数为零求出解，然后根据函数的单调性确定函数的极小值点. 【解答过程】对函数求导得，. 令，则或. 若，则或；若，则. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 所以函数的极小值点是. 故选：C. 【变式3.2】（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1)； (2)当时，函数无极值；当时，函数的极小值，无极大值. 【解题思路】（1）求出，，写出切线方程； （2）由求极值步骤求解. 【解答过程】（1）当时，则，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为 ，即. （2）因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值； 若，令，解得； 令，解得. 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值. 综上可知：当时，函数无极值； 当时，函数的极小值，无极大值. 【变式3.3】（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知实数，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)记为的导函数，试讨论的极值点的个数． 【答案】(1) (2)个 【解题思路】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）求得，设，可得出，令，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【解答过程】（1）当时，，则， 所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为实数，函数，该函数的定义域为， ， 令，则， 令，则， 对于方程，， 设函数的两个零点分别为、，且， 由韦达定理可得，，必有，， 由可得，由可得或， 所以函数的单调递增区间为、，单调递减区间为， 因为，， 所以，，则， 所以函数在内有且只有一个异号零点， 当时，；当时，， 所以函数在区间、上各有一个异号零点， 综上所述，函数的极值点个数为. 【题型4 极值的逆向求参问题】 【例4】（24-25高二下·福建漳州·期末）若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解题思路】借助极值点定义可得，即可得或，再分类进行讨论排除极大值情况即可得. 【解答过程】， ，解得：或； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，不合题意； 综上所述：. 故选：A. 【变式4.1】（24-25高二下·四川广安·期中）已知函数有两个极值点，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将问题化为有两个实数根，即和在上有两个交点，利用导数研究的值域，即可得参数范围. 【解答过程】，， 依题意得有两个左右异号的实根， 即有两个左右异号的实根， 所以和在上有两个交点， ，， 记，， 显然在上恒成立，即在上单调递减，且， 当时，，，所以在上单调递增， 当时，，，所以在上单调递减， 所以，当趋向0时，趋向，当趋向时，趋向0， 综上，当，即时，和在上有两个交点. 故选：A. 【变式4.2】（24-25高二下·山东青岛·期末）已知函数，. (1)求的零点； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【答案】(1)1； (2). 【解题思路】（1）确定函数的单调性，再求出其零点. （2）利用导数求出的极小值并建立不等式，再利用（1）的信息求出的取值范围即可. 【解答过程】（1）函数的定义域为，求导得， 函数在上单调递增，而， 所以的零点是1. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，     当时，取得极小值， 依题意，，即， 由（1）知，在上单调递增，且， 因此不等式的解集为， 所以a的取值范围为. 【变式4.3】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； (2)若函数有两个极值点，，且. （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【解题思路】（1）由题意计算即可得解； （2）（ⅰ）将问题转化成函数与的图象在上有两个不同的交点，求出直线与曲线相切参数的值即可得解； （ⅱ）由、是的两根得，进而将问题转化成证，再利用导数工具研究函数单调性即可求证. 【解答过程】（1）由题， 因为曲线在点处的切线垂直于直线， 所以. （2）（ⅰ）因为， 因为函数有两个极值点、，所以在上有两个不同的根， 所以函数与的图象在上有两个不同的交点， 设直线与曲线相切于点，， 则切线斜率为，所以， 所以函数与的图象在上有两个不同的交点， 则， 所以a的取值范围为； （ⅱ）证明：由题可得、是的两根，且. 所以， ， 令，则， 所以要证明即证，即证， 即证， 因为，所以， 所以函数即在上单调递减，所以， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以. 模块二 函数的最值 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 3．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【题型5 由导数求函数的最值（不含参）】 【例5】（24-25高二下·河南南阳·期末）函数在上的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出，根据导数求出单调性即可求解. 【解答过程】，令， 则，因为在 ，在 ， 所以在单调递减，在单调递增， 因为， 所以最小值为. 故选：A. 【变式5.1】（24-25高二下·福建福州·期末）设函数，，则的最小值和最大值分别为（   ） A．，0 B．， C．， D．0， 【答案】C 【解题思路】利用导数可求得函数的单调区间，利用单调性找到最值即可. 【解答过程】,, 时，，此时函数单调递增， 时，，此时函数单调递减. ，， 的最小值和最大值分别为，， 故选：C. 【变式5.2】（24-25高二上·贵州黔西南·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【解题思路】（1）求得，得到，得到切线的斜率为，结合导数的几何意义，即可求解； （2）由（1）知，得出函数的单调性，进而求得函数的最值. 【解答过程】（1）解：由函数，可得， 则，即切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）解：由（1）知， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此为的极小值点，也是最小值点， 又由，其中， 所以在上的最小值为，最大值为. 【变式5.3】（24-25高二下·北京石景山·期末）已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)单调增区间为：和，单调递减区间为： (2), 【解题思路】(1)利用导数可求出函数的单调区间； (2)由（1）可得函数极值，比较区间端点的函数值与极值的大小可得结果. 【解答过程】（1）， 令，解得或， 所以当或时，，当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数的单调增区间为：和，单调递减区间为：. （2）由（1）知，函数的极大值为，极小值为， 又， 所以在区间上的最大值和最小值分别为,. 【题型6 由导数求函数的最值（含参）】 【例6】（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1)单调递增区间为，，单调减区间为 (2)答案见解析 【解题思路】（1）由，求解即可； （2）通过，，讨论函数单调性，即可求解. 【解答过程】（1）当时，，， 令，解得或 当变化时，和的变化情况如表所示： 0 4 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 所以函数的单调递增区间为，，单调减区间为. （2），令，解得或 当时， 若，则，所以在区间上单调递增， 此时 当时， 若，则，所以在区间上单调递增， 若，则，所以在区间上单调递减； 此时 当时， 若，则，所以在区间上单调递减； 此时 综上所述，当时，； 当时，； 当时，. 【变式6.1】（24-25高二下·广西贵港·月考）已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为. (2)答案见解析. 【解题思路】（1）代入得，求导得，分析其单调性即可； （2）求导得，分和讨论即可. 【解答过程】（1）函数定义域为， 当时，， 则， 令， 令， 所以的单调增区间为，单调减区间为. （2）， 令解得 ①当时， 当时，在区间上单调递增， 当时， 在区间上单调递减． . ②当时， 当时，，在区间单调递增． . 综上所述，当时，， 当时，. 【变式6.2】（24-25高二下·云南玉溪·月考）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)求在上的最大值． 【答案】(1)极大值，无极小值 (2) 【解题思路】（1）先利用导数求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解； （2）分，和三种情况讨论得出函数在上的单调性，再根据函数的单调性即可得解. 【解答过程】（1）函数的定义域为， 当时，，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值； （2）， 当时，，所以函数在上单调递减， 此时，； 当时，令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，； 当时，， 所以函数在上单调递增，此时，， 综上所述，. 【变式6.3】（2025·辽宁·三模）已知函数． (1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程； (2)求的最值． 【答案】(1)只有1条， (2)当时，，没有最大值；当时，，没有最小值． 【解题思路】（1）分是切点与不是切点两种情况求解，当不是切点时，利用导数几何意义求得对应切线方程，结合已知点在切线上可得，进而求解判断即； （2）分与两种情况，可得的单调性，进而可求最值. 【解答过程】（1）当时，，则， 由题意可知点在曲线上， ①所以当是切点时，则切线斜率为 进而切线方程为，即， ②当不是切点时，设切点为，且， 则切线斜率为， 进而切线方程为， 化简得， 将代入上式，得， 化简得，解得（舍），进而此时没有切线， 综上所述，过点且与曲线相切的直线只有1条，切线方程为． （2）， 当时，由解得，由解得， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，没有最大值； 当时，由解得，由解得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，没有最小值． 综上，当时，，没有最大值； 当时，，没有最小值． 【题型7 最值的逆向求参问题】 【例7】（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在区间上的最小值小于，则正数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题可得，然后分类讨论利用导函数与函数单调性的关系结合条件即得. 【解答过程】由得， 当时，在上单调递增，的最小值为，不符题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为，解得. 故选：A. 【变式7.1】（24-25高二下·天津武清·月考）已知函数，若在区间上的最大值为28，则实数k的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出的导函数,即， 令，可得x的值，讨论函数的极值及单调性，结合在区间上的最大值为28，即可求出k的取值范围. 【解答过程】因为，所以， 令，解得， 所以在和时，，在时，， 所以函数在和上单调递增，函数在上单调递减， 则在内单调递增，所以在内，最大； 在时单调递减，所以在内，最大； 在时单调递增，所以在内，最大； 因为，且在区间上的最大值为28， 所以，即k的取值范围是， 故选：A. 【变式7.2】（24-25高二下·四川绵阳·期中）函数 (1)若在处取得极小值，求实数的取值范围， (2)若在区间上的最大值是，最小值是，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用导数判断函数单调性，从而得极值，即可得解； （2）分和，由单调性得最值，从而求解. 【解答过程】（1）因为， 令得或， 当时， 所以在递增，在递减，则为极大值点，不符合题意； 当时， 在递减，在递增，则为极小值点，符合题意； 所以的取值范围为. （2）当时， 在递增，在递减， 又，， ，， ，满足，则， 当时， 在递减，在递增， ，， ，满足，则， 综上：. 【变式7.3】（24-25高二下·湖北·期中）已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最小值，且的最小值大于，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程即可求得切线方程； （2）将函数求导后分类讨论推得，且有最小值，依题意，需使，即，构造函数，（），通过求导分析即可确定a的取值范围. 【解答过程】（1）当时，， ∴，故 ∴曲线在处的切线方程为：， 即. （2）因的定义域为， 当时，，则在上单调递增，无最小值； 故. 由得，由得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，有最小值， 依题意，，即， ∵，∴， 设，（），则， 因，则在上单调递增， 又，故由可得， 即，解得， 故实数a的取值范围是. 【题型8 函数单调性、极值与最值的综合应用】 【例8】（24-25高二下·重庆·期中）函数在时取得极值，则当时，的最大值为（   ） A．-9 B．2 C．10 D．5 【答案】C 【解题思路】求出函数的导数，由极值点求出，进而求出最大值. 【解答过程】函数，求导得， 由函数在时取得极值，得，解得， ，当时，，当时，， 则是的极值点，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的最大值为. 故选：C. 【变式8.1】（24-25高二下·上海黄浦·月考）已知函数，则下列结论错误的是（   ） A．函数存在两个不同的零点 B．函数既有极大值又有极小值 C．当时，方程有且只有两个实根 D．若时，，则的最小值为2 【答案】D 【解题思路】由，得到，可判定A正确；求得，得出函数的单调区间，可判定B正确；根据函数的最小值是，可判定C正确；由函数的单调性和极值，可判定时，，可判定D错误. 【解答过程】对于A中，由，可得，解得，所以A正确； 对于B中，由， 令时，可得，当时，或， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确； 对于C中，当时，，根据B可知，函数的最小值是， 可得函数的大致图象，    所以当时，方程有且只有两个实根，所以C正确； 对于D中，由B知函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 其中，当时，即在区间时，可得，所以D错误. 故选：D. 【变式8.2】（24-25高二下·宁夏·期中）已知函数. (1)求单调区间及极值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)递增区间是，递减区间是，极大值，极小值. (2)最大值为，最小值为. 【解题思路】（1）求出函数的导数，利用导数求出函数的单调区间、极值作答. （2）结合（1）中单调性，求出给定区间上最大值与最小值作答. 【解答过程】（1）函数的定义域为R，求导得， 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值，当时，取得极小值， 所以函数的递增区间是，递减区间是，极大值，极小值. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，而， 因此，， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 【变式8.3】（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若，试讨论的单调性； (3)是否存在，使得在区间上的最小值为，若存在，求出，若不存在说明理由. 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)答案见解析； (3) 【解题思路】（1）求定义域，求导，得到的单调性，进而得到函数极值情况； （2）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性； （3）由（2）可知，时，在上为减函数，在上为增函数，故分，，三种情况，根据函数最小值得到方程，求出. 【解答过程】（1）当时，，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以时，取极小值，无极大值； （2）因为，，若，恒成立，递增； 若，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，时，在上单调递增， 时，在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）可知，时，在上为减函数，在上为增函数． 假设存在，使得在区间上的最小值为， 若，即时，，解得，符合题意； 若，即时，， 解得，舍去； 若，即时，，解得，舍去． 综上所述，存在，使得在区间上的最小值为． 一、单选题 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数求出的极小值，再求出区间端点处的函数值，比较即可得答案. 【解答过程】由题意，令，解得， ， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以极小值为， 又，所以的最小值为． 故选：D. 2．（24-25高二下·天津武清·月考）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（    ） A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【答案】D 【解题思路】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；B.利用极小值点的定义判断；C. 利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；D.利用极小值点的定义判断； 【解答过程】根据图象知当时，，函数在上单调递增，A选项正确； 当时，，函数在上单调递减，故C正确； 函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，不是的极小值点，故D错误. 故选：D. 3．（24-25高二下·海南·月考）已知函数的极小值点为，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据极值的定义，结合导数的运算法则进行求解即可. 【解答过程】， 因为函数的极小值点为， 所以，或， 当时，，当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此是函数的极大值点，不符合题意； 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以是极小值点，是极大值点， 故选：A. 4．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的极小值点，进而求出的范围即可. 【解答过程】函数定义域为，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，即最小值， 又函数在内有最小值，则，解得， 所以实数的取值可以是. 故选：D. 5．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先对函数求导，根据题意得在时有两个不同的解，令，也即是在上有两个不同的解，再对求导，分析其单调性，即可求解. 【解答过程】，因为函数有两个极值点， 所以在时有两个不同的解， 令，则在上有两个不同的解，， 当时，，则在上单调递增，则不存在两个不同的解； 当时，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，当时，， 因为在上有两个不同的解，所以，所以. 故选：A. 6．（24-25高二下·河南郑州·期末）若函数在处取得极值，则在内的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解题思路】求出函数的导数，根据题意列式求出的值，结合函数的单调性，即可求得答案. 【解答过程】由，则， 因为在处取得极值，所以，解得， 故， 当或时，，当时，， 即在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值，符合题意，故符合题意， 所以在上单调递增，在上单调递减，又，， ，故在上的最小值为2. 故选：A. 7．（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对求导，求出导数为0的的值，分析的单调性，得出极值点，极值，并计算取得极值的其它点，从而得到的取值范围. 【解答过程】，令，解得或，易知： 在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故的极小值为，极大值为， 所以， 由可得，，解得或， 由可得，，解得或， 所以，， 因此，即. 故选：B． 8．（24-25高二下·四川南充·期末）函数有两个极值点满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数极值点和函数导数之间的关系，判断函数导数有两个零点时的参数范围，将两个极值点带入导函数，求得两个参数方程，根据换元法，构造新的函数，根据函数单调性，求出函数范围，判断结果. 【解答过程】由题意得，当函数有两个极值点时，即有两个不相等的根， 令，则， 可知当时，，在上单调递增，至多只有一个解，不符合题意； 当时，令，解得， 可知当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，有两个零点，符合题意，即，解得时，有两个零点； 可得，即， 作商得，令，因为，即，所以，变形得， 可得，即，则， 令，， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增，即在上单调递增， 因为，所以在上，所以在上单调递增， 因为，所以在上，即在上，则在上单调递增， 所以，可知， 当时，即，，因为，所以， 综上所述：； 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·课后作业）函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数在处有极小值 B．函数在处有极小值 C．函数在区间内有个极值点 D．导函数在处有极大值 【答案】BD 【解题思路】根据导函数的图象，利用极值点、极值的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【解答过程】对于选项A，由图知在左右两侧均有，所以不是的极值点，故选项A错误， 对于选项B，由图知在左右两侧的符号：左侧，右侧， 所以函数在处有极小值，故选项B正确， 对于选项C，根据图象可知，有个极值点，左右两侧均有， 所以不是的极值点，故选项C错误， 对于选项D，由的图象知，在左侧单调递增，在右侧单调递减， 所以在处有极大值，故选项D正确， 故选：BD. 10．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．有三个极值点 B．的最小值为 C．有三个零点 D．曲线存在两条平行的切线 【答案】ABD 【解题思路】对函数求导，利用极值点的定义判断A，求出函数的单调区间及极值即可求解最小值判断B，结合函数的单调性利用零点存在性定理判断C，利用导数的几何意义判断D. 【解答过程】， 令，则或或， 令，得或， 令，得或， 故有三个极值点，A正确； 由A项知在区间和上单调递减，在区间和内单调递增， 则的极大值为，极小值为或，所以的最小值为，B正确； ，由B项可知，则有两个零点，C错误； 曲线存在两条平行的切线，即切线的斜率相等，记为， 则存在两个零点，令，则， 令，显然，不妨令的两根为和，且， 则在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 所以曲线存在两条平行的切线，D正确． 故选：ABD. 11．（24-25高二下·全国·课后作业）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．它的极大值为，极小值为 B．当时，它的最大值为，最小值为 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 【答案】ACD 【解题思路】求导判断函数单调性，进一步可判断函数极值以及它在闭区间上的最值情况即可判断ABC，由导数的几何意义可判断D. 【解答过程】函数，． 由，得或，此时函数单调递增； 由，得，此时函数单调递减，C正确； 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值，A正确； 当时，单调递增，它的最大值为， 最小值为，B错误； ，，它在点处的切线方程为，D正确． 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高二下·上海宝山·期末）设，则函数的极大值点为__________． 【答案】 【解题思路】根据已知条件，对函数求导，利用导函数研究函数的单调性，即可求解. 【解答过程】由，可得， 令，解得：，， 令，解得：或，所以在，上单调递增； 令，解得：，所以在上单调递减； 故函数的极大值点为； 故答案为：. 13．（24-25高二下·吉林·月考）若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解题思路】利用导数判断函数的单调性并求得极小值，然后依题意得到，计算即可. 【解答过程】由题可知：， 令，则；令，则或， 所以函数在单调递增，在单调递减. 极小值为，令，所以或， 又函数在区间内有最小值， 所以. 故答案为：. 14．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解题思路】求解导数，根据导数有两个变号零点，结合图象可求答案. 【解答过程】，令可得， 因为有两个极值点，所以有两个变号零点， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 当从负半轴趋近于时，趋近于，当从正半轴趋近于时，趋近于， 又，简图如下，    由图可知，，即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）求下列函数的极值点和极值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)极小值点3，极小值，极大值点，极大值． (2)极小值点1，极小值3，无极大值点，无极大值． (3)极小值点0，极小值，极大值点2，极大值． 【解题思路】（1）（2）（3）先求函数的定义域，再对函数求导，利用导函数的符号确定函数的单调性，即可求得函数的极值； 【解答过程】（1）的定义域为，则， 令，得． 当x变化时，变化情况如下表： x 3 + 0 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 因此当时，有极大值，，当时，有极小值，， 故该函数的极小值点是3，极小值为；极大值点是，极大值为． （2）函数的定义域为， 则，令，得． 当x变化时，的变化情况如下表： x 1 0 + 递减 极小值3 递增 因此当时，有极小值，并且． 故该函数的极小值点是1，极小值为3；无极大值点，无极大值. （3）函数的定义域为R． 则．令，得或． 当x变化时，的变化情况如下表： x 0 2 0 + 0 递减 极小值0 递增 极大值 递减 由上表可以看出，当时，函数有极小值，且． 当时，函数有极大值，且， 故该函数的极小值点是0，极小值为0；极大值点是2，极大值为． 16．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）已知函数，当时，取得极值. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为1，最小值为. 【解题思路】（1）利用极值定义得，可解出解析式； （2）利用导函数判断出函数在区间上的单调性，列表分析可得结论. 【解答过程】（1）依题意可得，又当时，取得极值， 所以，即，解得，经验证符合题意， 所以. （2）可知，. 令，则得或 0 2 + 0 - 0 + 极大值1 极小值 ，，所以在区间上的最大值为1，最小值为. 17．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解题思路】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义，点斜式求切线方程； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数分析的单调性； （3）分类讨论与区间的关系，根据单调性求函数最小值即可. 【解答过程】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为：． 即切线方程为. （2）由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由（2）知时，在上单调递增，在上单调递减， ①当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以； ②当时，即时，函数在区间上单调递减， 在上单调递增，所以； ③当，即时，函数在区间上单调递减， 所以. 综上，时，，时，， 时，. 18．（24-25高二下·北京昌平·期末）已知函数. (1)当时， （i） 求曲线在点处的切线方程; （ii） 当时， 求函数的最大值; (2)若是函数的极大值点，求实数的取值范围. 【答案】(1)（i）;（ii）在 处函数取得最大值为. (2) 【解题思路】（1）（i）利用导数的几何意义，根据条件的解析式，求出、的值即可求出; （ii）分析出的单调区间，得到极值，分析得出最值即可. （2）利用，，联立解出不等式即可. 【解答过程】（1）（i）当时，，， ，， 切线方程的点斜式为：， 整理得：. （ii），，对任意实数恒成立 的符号由决定： 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递减. 是极小值点，时，， 时，，故， ∴当时，在 处函数取得最大值为. （2）, , 是函数的极大值点, ， ， ,化简得. 设， , 为了确保是极大值点,还需满足， ， ，解得：， 的取值范围是. 19．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数． (1)当时，求曲线过点的切线方程； (2)若函数有2个极值点，，且． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】(1)或． (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解题思路】（1）先写出的表达式，根据导数几何意义、设切点坐标，表示出切线方程，代入点，即可求得切点坐标，再代入切线方程，则问题得解； （2）（ⅰ）求导，根据极值点，可分离参数得，构造函数，求其导数分析单调性，再结合题目条件确定a的取值范围； （ⅱ）根据换元法（令，），转换对数运算，再根据待证不等式，构造相应函数，分析单调性，证明时，，从而得证. 【解答过程】（1）当时，，， 设切点为， ∴函数在处的切线方程为， 将点代入切线方程得， ，解得或1， ∴曲线在点处的切线为，在点处的切线为； （2）（ⅰ）， ∵有2个极值点，∴方程有2根，， 令，， 在上，，单调递增，在上，，单调递减， 当时，，当时，， ，当时，， ∴a的取值范围是； （ⅱ），， 令，， 则，，且， ∴， 令，则， ∴，； 要证，即证， 即证时，， 令，则， 当时，，单调递增，， ∴时，，不等式得证． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 函数的极值与最大（小）值 【人教A版】 模块一 函数的极值 1．极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列 方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【题型1 函数极值、极值点的辨析】 【例1】（24-25高二下·青海海南·期中）下列函数中，存在极值的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二下·山东威海·期末）设的导函数为，且在处可导，则“是的极值点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1.2】（25-26高二下·全国·课后作业）下列结论中，正确的是（   ） A．导数为零的点一定是极值点 B．如果在处连续且在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 C．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极小值 D．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 【变式1.3】（25-26高三上·山东·月考）已知函数，则“”是“有极值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型2 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 【例2】（24-25高二下·湖北武汉·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 【变式2.1】（24-25高二下·上海黄浦·月考）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数，在区间上是增函数 C．是的极大值点 D．是的极小值点 【变式2.2】（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．在处取得最小值 【变式2.3】（24-25高二下·河南郑州·期末）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在处取得极小值，在处取得极大值 C．函数在处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 【题型3 求已知函数的极值（点）】 【例3】（24-25高二下·青海西宁·期末）函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二下·广东·期末）函数的极小值点是（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 【变式3.3】（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知实数，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)记为的导函数，试讨论的极值点的个数． 【题型4 极值的逆向求参问题】 【例4】（24-25高二下·福建漳州·期末）若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 【变式4.1】（24-25高二下·四川广安·期中）已知函数有两个极值点，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二下·山东青岛·期末）已知函数，. (1)求的零点； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【变式4.3】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； (2)若函数有两个极值点，，且. （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：. 模块二 函数的最值 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 3．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【题型5 由导数求函数的最值（不含参）】 【例5】（24-25高二下·河南南阳·期末）函数在上的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二下·福建福州·期末）设函数，，则的最小值和最大值分别为（   ） A．，0 B．， C．， D．0， 【变式5.2】（24-25高二上·贵州黔西南·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【变式5.3】（24-25高二下·北京石景山·期末）已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【题型6 由导数求函数的最值（含参）】 【例6】（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 【变式6.1】（24-25高二下·广西贵港·月考）已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 【变式6.2】（24-25高二下·云南玉溪·月考）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)求在上的最大值． 【变式6.3】（2025·辽宁·三模）已知函数． (1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程； (2)求的最值． 【题型7 最值的逆向求参问题】 【例7】（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在区间上的最小值小于，则正数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二下·天津武清·月考）已知函数，若在区间上的最大值为28，则实数k的值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高二下·四川绵阳·期中）函数 (1)若在处取得极小值，求实数的取值范围， (2)若在区间上的最大值是，最小值是，求的值. 【变式7.3】（24-25高二下·湖北·期中）已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最小值，且的最小值大于，求实数a的取值范围. 【题型8 函数单调性、极值与最值的综合应用】 【例8】（24-25高二下·重庆·期中）函数在时取得极值，则当时，的最大值为（   ） A．-9 B．2 C．10 D．5 【变式8.1】（24-25高二下·上海黄浦·月考）已知函数，则下列结论错误的是（   ） A．函数存在两个不同的零点 B．函数既有极大值又有极小值 C．当时，方程有且只有两个实根 D．若时，，则的最小值为2 【变式8.2】（24-25高二下·宁夏·期中）已知函数. (1)求单调区间及极值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【变式8.3】（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若，试讨论的单调性； (3)是否存在，使得在区间上的最小值为，若存在，求出，若不存在说明理由. 一、单选题 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·天津武清·月考）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（    ） A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 3．（24-25高二下·海南·月考）已知函数的极小值点为，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·河南郑州·期末）若函数在处取得极值，则在内的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·四川南充·期末）函数有两个极值点满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·课后作业）函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数在处有极小值 B．函数在处有极小值 C．函数在区间内有个极值点 D．导函数在处有极大值 10．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．有三个极值点 B．的最小值为 C．有三个零点 D．曲线存在两条平行的切线 11．（24-25高二下·全国·课后作业）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．它的极大值为，极小值为 B．当时，它的最大值为，最小值为 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 三、填空题 12．（24-25高二下·上海宝山·期末）设，则函数的极大值点为__________． 13．（24-25高二下·吉林·月考）若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是__________． 14．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是__________． 四、解答题 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）求下列函数的极值点和极值． (1)； (2)； (3)． 16．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）已知函数，当时，取得极值. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 17．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 18．（24-25高二下·北京昌平·期末）已知函数. (1)当时， （i） 求曲线在点处的切线方程; （ii） 当时， 求函数的最大值; (2)若是函数的极大值点，求实数的取值范围. 19．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数． (1)当时，求曲线过点的切线方程； (2)若函数有2个极值点，，且． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $