第08讲 拓展四：构造函数法解决不等式问题讲义（知识清单+4类技巧总结+分层强化训练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第08讲 1.1.1空间向量及其线性运算 第一部分 知识梳理 1、两个基本还原 ① ② 2、类型一：构造可导积函数 ① 高频考点1： ② 高频考点1： 高频考点2 ③ 高频考点1： ④ 高频考点1： 高频考点2 ⑤ ⑥ 序号 条件 构造函数 1 2 3 4 5 6 7 8 3、类型二：构造可商函数 ① 高频考点1： ② 高频考点1： 高频考点2： ③ ⑥ 第二部分 题型精讲 题型01 构造或(，且)型 【典例1】（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，图象连续不间断，其导函数为，当时，，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）定义域为的是奇函数且可导，；当时，,则的解集为（     ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26高二下·新疆伊犁·期中）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026高二·全国·专题练习）已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（   ） A． B． C．D． 【变式2】（25-26高二下·山东威海·期末）已知是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·河南郑州·期末）设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型02构造或(，且)型 【典例1】（26-27高三上·福建南平·阶段检测）设函数在上的导函数为，且，则当时，必有（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·江西九江·期末）已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·陕西商洛·模拟预测）已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·广东东莞·期中）已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型03构造或型 【典例1】（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知奇函数的定义域为，其图象是一段连续不断的曲线，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三上·安徽马鞍山·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，导数为，且当时有，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．D． 题型04构造或型 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，是它的导数，且恒有成立，则（    ）． A． B． C． D． 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·山东泰安·阶段检测）已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·云南昆明·期中）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·重庆·阶段检测）定义在上的函数的导函数为，都有，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型05构造函数比较大小 【典例1】（2026·安徽·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________． 【典例2】（25-26高二下·湖南·期中）已知函数的导函数为，若对任意的，都有成立，且，则不等式的解集为_____． 【变式1】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）设函数在上存在导函数，对，都有，当时，成立，若，则实数的取值范围为___________． 【变式2】（25-26高三上·内蒙古包头·期中）已知在上是奇函数且为的导函数，对任意均有成立，若，则不等式的解集为________. 【变式3】（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知定义在R上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为___________ 第三部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．设函数，在上的导函数存在，且，则当时（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖北·期中）已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．D． 4．（24-25高二下·黑龙江鸡西·阶段检测）已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·山西·阶段检测）在上的导函数为，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·山东德州·期中）已知定义在上的函数的导函数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·贵州安顺·阶段检测）若函数在R上可导，且满足恒成立，常数则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的可导函数，且满足，，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二下·全国·单元测试）已知是定义在上的函数，其导函数是，且当时，总有，则下列各项表述不正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·湖南郴州·三模）已知定义在上的函数的导数为，若，且，则下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C．D． 三、填空题 11．已知定义在上的函数的导函数为，对任意，有，设，，，则，，的大小关系为________. 12．已知定义在的函数满足任意成立，且，则不等式的解集为___________. B能力提升 13．（26-27高三·全国·一轮复习）已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是________． 14．（25-26高二下·河北衡水·期末）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则，，的大小关系是________． 15．（25-26高三上·山东济南·期中）设函数在上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为 ____________ 16．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为_______． 17．（24-25高二下·青海西宁·期中）函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是_________________ 18．（2025·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为________． 19．（24-25高二下·北京·阶段检测）已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则按从小到大排列为______． 20．（24-25高二下·天津武清·阶段检测）已知是函数的导函数，且满足在上恒成立，则不等式的解集是______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 1.1.1空间向量及其线性运算 第一部分 知识梳理 1、两个基本还原 ① ② 2、类型一：构造可导积函数 ① 高频考点1： ② 高频考点1： 高频考点2 ③ 高频考点1： ④ 高频考点1： 高频考点2 ⑤ ⑥ 序号 条件 构造函数 1 2 3 4 5 6 7 8 3、类型二：构造可商函数 ① 高频考点1： ② 高频考点1： 高频考点2： ③ ⑥ 第二部分 题型精讲 题型01 构造或(，且)型 【典例1】（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，图象连续不间断，其导函数为，当时，，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，利用导数的运算法则及导数研究单调性，结合奇偶性解不等式，即可得. 【详解】令，则，结合题设， 当时，，即在上单调递减， 因为为定义在上的奇函数， 则， 所以在上为偶函数，且，则在上单调递增， 由，即，即， 故， 综上，不等式的解集为. 【典例2】（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）定义域为的是奇函数且可导，；当时，,则的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，并结合奇偶函数的性质求解不等式即可． 【详解】因为当时，， 所以， 设， 因为是上的奇函数， 所以，即为上的偶函数， 又， 所以在上单调递减，则在上单调递增， 又，所以， 不等式， 当时，则，得，解得， 当时，则，得，解得， 所以的解集为． 【典例3】（25-26高二下·新疆伊犁·期中）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干不等式形式，构造新的函数，通过导数判断函数的单调性，即可求出不等式的解集. 【详解】解：设，，则， 因为，，所以，则在上单调递减， 由，则， 两边同除以得， 又因为在上单调递减，所以，解得， 因此，不等式的解集为. 【变式1】（2026高二·全国·专题练习）已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（   ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】观察的结构，构造，先判断奇偶性，再求在上的单调性，把抽象不等式转化为自变量大小关系求解. 【详解】构造函数，其中，则，所以为上的奇函数， 当时，，所以函数在上为增函数， 由是偶函数的导函数，在上处处可导，则在上处处连续，所以函数在上连续，所以奇函数在上为增函数， 因为，则， 由得，可得，解得，即的取值范围为． 【变式2】（25-26高二下·山东威海·期末）已知是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造辅助函数，求导分析的单调性，利用是奇函数的性质，推导的奇偶性，进而得到的单调性，进而利用奇函数性质化简待解不等式，结合的单调性求解. 【详解】已知时，构造函数， 求导得， 时，分子，分母，故， 即在上单调递增. 又是奇函数，， 则， 故是偶函数，由对称性得在上单调递减，且. 由，原不等式可化为：， 当时，不等式两边除以得：， 因为在单调递减，故. 当时，不等式两边除以得：， 因为在单调递增，故. 综上，不等式的解集为. 【变式3】（25-26高二下·河南郑州·期末）设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】设，. 当时，， 因为时，，所以当时，. 所以在上单调递增，且， 所以当时，；当时，. 又为上的奇函数，所以为上的偶函数. 所以当时，；当时，. 综上，不等式的解集为. 题型02构造或(，且)型 【典例1】（26-27高三上·福建南平·阶段检测）设函数在上的导函数为，且，则当时，必有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求导判断函数单调递减，利用比较函数值即可. 【详解】构造函数，则， 因为，所以，又，所以， 所以在上单调递减. 因为，所以，即. 由，得；由，得； 对于与的大小关系无法判断. 【典例2】（25-26高二下·江西九江·期末）已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，求导得到其单调性，从而得到不等式，得到答案 【详解】设，则， 所以在上单调递增. 于是，即，解得. 【变式1】（2026·陕西商洛·模拟预测）已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设函数，结合条件判断函数的单调性，结合单调性解不等式可得结论. 【详解】设函数， 则． 由对任意，，得，则函数在上单调递减． 因为，所以，即． 由，得，所以，解得， 所以不等式的解集为，选项A正确. 【变式2】（25-26高二下·广东东莞·期中）已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件转化不等式为，构造函数并求导，结合已知条件得出，从而得出单调递减，结合，得出，从而利用单调性求解． 【详解】，已知不等式，则，即， 设，求导得， 函数是实数集上的减函数， 又，即， ，故不等式的解集为． 题型03构造或型 【典例1】（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知奇函数的定义域为，其图象是一段连续不断的曲线，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设 ，则 ，由条件可得在上单调递增，进一步可得在上单调递增，将可化为，即，由单调性可得答案. 【详解】设 ，则 当时，有成立， 此时 所以在上单调递增. 又为奇函数，则，则为奇函数， 又 则在上单调递增， 所以在上单调递增. 当，恒有 可化为， 即， 由在上单调递增， 所以， 故不等式的解集为. 【典例2】（25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，根据已知条件，可判断，所以在上单调递增.据此可判断，进而得出，，选出正确答案. 【详解】因为，所以. 由，得， 所以. 令，则，所以在上单调递增. 所以，即，即 即. 所以. 因为不能判断的取值，所以A错误，B,C不能确定，只有D选项一定正确. 故选：D. 【变式1】（25-26高三上·安徽马鞍山·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，导数为，且当时有，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，化简得出，，，结合函数在上的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】设，所以， 因为当时，， 所以，所以在上单调递增， 因为， 且，所以，所以， 故选：B. 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知函数为奇函数，令，得到，则函数在上单调递增，结合奇偶性即可逐项判断． 【详解】的图象关于点对称， 的图象关于点对称，即函数为奇函数， ，， 令，， 则， 即函数在上单调递增， 又函数为奇函数，为偶函数， 所以函数为奇函数， ，即， 整理得，则的大小无法确定，故AB错误； ，即， 整理得，则的大小无法确定，故C错误； ，即， ，即， 整理得，故D正确． 故选：D． 【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】令并求导，结合题意可得在上单调递减，从而等价于，即，进而得出答案. 【详解】 令，，则， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以等价于，即， 所以，即不等式的解集为． 故选：A． 题型04构造或型 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，是它的导数，且恒有成立，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干式子结构构造函数，利用导数法得为增函数，然后结合选项利用单调性逐个判断即可. 【详解】由题意知，即． 设，则， 所以为增函数，所以，则； ，则； ，则；． 故选：D 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题干式子结构特征构造函数，利用导函数求得在上为增函数，然后利用函数的单调性逐项判断即可. 【详解】令，，则， 从而在上为增函数． 对于A，，错误． 对于B，，错误． 对于C，，错误． 对于D，，正确． 故选：D 【变式1】（24-25高二下·山东泰安·阶段检测）已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，根据给定条件确定函数的奇偶性及单调性，再逐项判断即可. 【详解】令函数，由函数是奇函数， 得，函数是偶函数， 求导得，由任意，， 得任意，，函数在上单调递增，在上单调递减， 对于A，由，得，化简得，A错误； 对于B，由，得，化简得，B错误； 对于C，由，得，化简得，C正确； 对于D，由，得，化简得，D错误. 故选：C 【变式2】（24-25高二下·云南昆明·期中）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据结构，考虑构造，则，结合题目给出条件可知在上单调递减，故有，化简后即可得出答案. 【详解】构造函数，则. ， 即在上单调递减. 故有，即， 即①. 对于A：由①式可知，即，因此无法判断，故A错误； 对于B、C：由①式可知，即，故无法判断，故B错误，C正确； 对于D：由①式可知，即，故D错误. 故选：C. 【变式3】（24-25高二下·重庆·阶段检测）定义在上的函数的导函数为，都有，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，再结合两角和差的正弦公式对各个选项进行大小比较即可. 【详解】因为，所以，. 由，得， 则，即， 设，则， 可得，则在定义域上单调递减， 对于A，可得，则， 得到，即，故A错误， 对于B，可得，则， 得到，即，故B错误， 对于C，可得，则， 而由两角和的正弦公式得， 得到，故C正确， 对于D，可得，则， 而由两角和的正弦公式得， 得到，故D错误. 故选：C 题型05构造函数比较大小 【典例1】（2026·安徽·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】令，结合已知条件，证明为上的偶函数，在上单调递增，则等价于，即在上恒成立，结合单调性求解即可. 【详解】由，得. 令，则，故为上的偶函数． 因为当时，，所以在上单调递减，在上单调递增． 故等价于，即在上恒成立， 因为为偶函数，且在上单调递增，所以， 平方后化简得到，由一次函数性质得， 解得． 故实数的取值范围为. 【典例2】（25-26高二下·湖南·期中）已知函数的导函数为，若对任意的，都有成立，且，则不等式的解集为_____． 【答案】 【详解】因为，所以，即， 设，求导可得在上恒成立，所以函数在上单调递增， 因为，所以， 不等式，因为，所以化简可得， ，， 即可转化为， 因为在上单调递增，所以，解得， 即不等式的解集为． 【变式1】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）设函数在上存在导函数，对，都有，当时，成立，若，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】先通过构造函数，利用导数判断函数单调性，再结合函数奇偶性，将不等式转化为关于自变量的不等式，进而求解实数m的取值范围即可. 【详解】设，对求导得， 因为当时，，所以当时，， 则在上单调递减， 因为，所以， 即是偶函数，那么在上单调递增， 因为， 将其变形为：，即， 由于是偶函数，所以等价于， 又因为在上单调递减，所以， 则，展开得， 化简得，整理得， 解得或， 因此，实数的取值范围是. 【变式2】（25-26高三上·内蒙古包头·期中）已知在上是奇函数且为的导函数，对任意均有成立，若，则不等式的解集为________. 【答案】 【分析】根据所给含导数的不等式，构造函数，确定其单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】． 令，则， 所以，则在上是减函数． 由，且在上是奇函数，得，则， 又， 所以，即不等式的解集为． 故答案为： 【变式3】（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知定义在R上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为___________ 【答案】 【分析】令，结合导数可得函数在R上单调递增，进而由将原不等式等价于，进而结合单调性求解即可. 【详解】令，则， 所以函数在R上单调递增， 因为， 故原不等式等价于，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 第三部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．设函数，在上的导函数存在，且，则当时（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于AB，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD，构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得在上单调递减，从而得以判断. 【详解】对于AB，不妨设，，则，，满足题意， 若，则，故A错误， 若，则，故B错误； 对于CD，因为，在上的导函数存在，且， 令，则， 所以在上单调递减， 因为，即，所以， 由得，则，故C正确； 由得，则，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，判断函数单调性后即可求解. 【详解】令，则， 因为，所以， 所以函数在上单调递增， 因为，所以． 故选：B 3．（24-25高二下·湖北·期中）已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式可构造函数，判断出函数在上单调递减即可得出结论. 【详解】由可得， 令函数， 可得即在上单调递减， 因此可得，即，所以. 故选：B 4．（24-25高二下·黑龙江鸡西·阶段检测）已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题干条件可构造函数，对求导得在上单调递减，由已知条件可得，结合的单调性可解函数不等式. 【详解】由，联想到积的导数公式，故构造函数， 则，故在上单调递减， 又，所以不等式即的解集为. 故选：B. 5．（24-25高二下·山西·阶段检测）在上的导函数为，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件构造函数，利用导数判断其单调性，从而得到不等关系，即可判断. 【详解】令， 则， ，， 在上单调递增， ，即， . 故选：A. 6．（23-24高二下·山东德州·期中）已知定义在上的函数的导函数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求解不等式可构造函数，求导得单调性，把求解不等式变形为，即，利用单调性比大小即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递减，因为，所以， 不等式可变形为，即，可得， 故选：B. 7．（23-24高二下·贵州安顺·阶段检测）若函数在R上可导，且满足恒成立，常数则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造并求导，判断单调性，即可得结果. 【详解】令，则恒成立，故在上单调递增． ， ，即． 故选：A 8．已知是定义在上的可导函数，且满足，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意构造函数，求导后可得，则在单调递增，再由，得，从而可得结论. 【详解】令（），则， 所以在单调递增． 又，所以，即， 又，所以 ． 故选：D． 二、多选题 9．（25-26高二下·全国·单元测试）已知是定义在上的函数，其导函数是，且当时，总有，则下列各项表述不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】观察条件中的，不难发现这是求导后的分子，故设，求导后由题意可得在为增函数，则有，即，最终可得AB错误. 【详解】设，则， 因为，所以，即， 所以在为增函数，则有，即. 易得是的充分不必要条件，CD正确，AB错误. 故选：AB. 10．（2025·湖南郴州·三模）已知定义在上的函数的导数为，若，且，则下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】因为当时，，可构造，进而可得，所以在上单调递增，结合的单调性，逐项判断即可. 【详解】因为当时，， 令，可得，所以在上单调递增. 因为，可得， 对于A，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故A正确； 对于B，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故B错误； 对于C，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故C正确； 对于D，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故D错误； 故选：AC. 三、填空题 11．已知定义在上的函数的导函数为，对任意，有，设，，，则，，的大小关系为________. 【答案】 【分析】构造函数，根据导数判断函数单调性，进而比较大小. 【详解】构造函数，，， 则时，， 所以函数在上单调递增， 于是， 即， 所以， 故答案为：. 12．已知定义在的函数满足任意成立，且，则不等式的解集为___________. 【答案】 【分析】构造函数，求导可得单调性，即可求解. 【详解】令，则，所以在减函数，又，由，可得，故不等式的解集为, 故答案为： B能力提升 13．（26-27高三·全国·一轮复习）已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】构造函数，求导，结合已知条件分析函数单调性，进而利用单调性解不等式． 【详解】令，， 故在上单调递增， 已知，则， 不等式等价于，即， 在上单调递增， 故， 解得或，解集为． 14．（25-26高二下·河北衡水·期末）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则，，的大小关系是________． 【答案】 【分析】构造函数，判定其单调性，然后利用单调性比较大小. 【详解】构造函数，其中，则． 因为，所以，则函数在上单调递增． 因为，所以． 因为， 所以． 15．（25-26高三上·山东济南·期中）设函数在上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为 ____________ 【答案】 【分析】令，由题意得为奇函数，并结合导数得的单调性，再由，利用的单调性求解即可. 【详解】 令，即，则为奇函数， 当时，，则在上单调递增， 故在区间上单调递增，则在上单调递增， ∵， 即， ∴，解得． 故答案为： . 16．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为_______． 【答案】 【分析】通过构造函数得到单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】，， ，的每一项都除以不等号方向不变，即， ，设，则， ，，， 为R上的减函数，， 等价于，为R上的减函数， 的解为，等价于， 的解集为. 故答案为： 17．（24-25高二下·青海西宁·期中）函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是_________________ 【答案】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调区间及单调性，再利用奇偶性求解不等式. 【详解】令函数，由是上的奇函数，得， 函数是上的偶函数，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 显然，当时，由，得，即，解得， 当时，由，得，即，解得， 所以成立的x的取值范围是. 故答案为： 18．（2025·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】构造函数利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】设则， 故在R上单调递减， 且，即， 即， 故. 故不等式的解集为. 故答案为： 19．（24-25高二下·北京·阶段检测）已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则按从小到大排列为______． 【答案】 【分析】构造辅助函数，利用函数的单调性和奇偶性比较大小. 【详解】因为是奇函数，所以 令，则， 所以是偶函数 因为当时，， 所以当时，，所以在上单调递增， 因为，而， 所以 故答案为： 20．（24-25高二下·天津武清·阶段检测）已知是函数的导函数，且满足在上恒成立，则不等式的解集是______． 【答案】 【分析】根据已知关系式可构造函数，可知在上单调递增，将所求不等式转化为，利用单调性可解不等式求得结果. 【详解】令，则，所以在上单调递增， 由，得，即， 又在上单调递增，所以，解得. 所以不等式的解集是. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $