第06讲 拓展二：利用导数研究不等式能成立（有解）问题讲义（知识清单+6类技巧总结+分层强化训练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第06讲 拓展二：利用导数研究不等式能成立（有解）问题 第一部分 知识梳理 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：，使得能成立； ，使得能成立． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、等价转化法 当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 4、最值定位法解决双参不等式问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 5、值域法解决双参等式问题 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 第二部分 题型精讲 方法01 分离变量法 【典例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数． (1)若函数在上单调递增，且，求角的值； (2)若，且，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)0 (2)． 【分析】（1）根据函数在上单调递增得到在上恒成立，进而得到，结合已知条件得到，求解即可. （2）分离参数将原问题转化为，使得成立；构造函数，，进一步转化为，；根据导数与最值的关系求解即可. 【详解】（1）对求导得， 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立， 又当时，，所以在上恒成立，即． 因为，，所以． 又，所以． （2）当时，，则， 若，使得，即，使得成立， 也即，使得成立. 令，，则需，即可. ， 令，，则. 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以， 因此. 故实数的取值范围是． 【典例2】（23-24高二上·陕西·阶段检测）已知，，直线． (1)函数在处的切线与直线l平行，求实数k的值； (2)若至少存在一个使成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义，求得在的切线的斜率，结合条件，即可得答案. （2）由题意成立至少存在一个x，令，利用导数求出的最小值，分析即可得答案. 【详解】（1）由已知得，，且在的切线与直线l平行， 所以，解得； （2）因为至少存在一个，使成立， 所以成立至少存在一个x，即成立至少存在一个x． 令，当时，恒成立， 因此在上单调递增．当时，， 即实数a的取值范围为； 【变式1】（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数. (1)当时，记函数的图像在处的切线与坐标轴围成的图形的面积为，求的最小值； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）求函数的导函数，从而得到函数在处的切线方程，然后求得切线与坐标轴的交点坐标，得到面积的表达，然后由基本不等式求得最小值； （2）代入表达式然后化简，从而转换为求不等式某一边的最值，构造函数后借助导函数，然后得到函数的单调区间，从而得到其最小值.然后得到实数的取值范围. 【详解】（1）因为）， 所以，所以2，又， 所以函数在处的切线方程为， 令，得，令，得， 所以， 令，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时 ，所以的最小值为4. （2）因为在上有解， 即在上有解， 等价于在上有解，所以. 设， 则. 令，得或， 列表如下： 0 1 2 3 + - + 递增 极大值 递减 极小值 递增 因为，，所以在上的最小值为，所以. 【变式2】（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在单调递增，无单调递减区间；当时，在和上单调递增，在上单调递减； (2) 【分析】（1）求导可得，对分、以及三种情况讨论即可得解； （2）由存在性问题进行参变分离可得即可. 【详解】（1）函数的定义域是 . 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，且不恒成立，此时在单调递增，无单调递减区间； 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增，无单调递减区间； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； （2）至少存在一个，使得成立，即当时， 有解 ∵当时，，∴有解， 令，则. ∵， ∴在上单调递减，∴， ∴，即， ∴实数a的取值范围. 【变式3】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数，且在 处取得极值． (1)求m的值及的单调区间； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，的递减区间为 ，递增区间为； (2). 【分析】（1）对函数求导，由求参数，进而研究函数的单调区间； （2）问题化为在上能成立，利用导数求的最大值，即可得范围. 【详解】（1）由题设，且，即， 所以，当 时，当时 ， 所以的递减区间为 ，递增区间为，即 处取得极小值，满足， 综上，，的递减区间为 ，递增区间为； （2）由题设，即在上能成立， 令，则， 令，则， 当时， ，即在上单调递增， 当时， ，即在上单调递减， 由时，， 当时， ， 在上单调递增， 当 时， ， 在上单调递减， 所以，则. 方法02分类讨论法 【典例1】（2025·新疆喀什·二模）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）结合导数分析函数的单调性，进而求解极值； （2）求导，分，，三种情况分析求解即可. 【详解】（1）当时，， 则， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，函数取得极大值， 时，函数取得极小值. （2）由，， 则， 当时，，此时，函数在上单调递增， 则，即； 当时，， 则时，；时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，与矛盾，不符合题意； 当时，，此时，函数在上单调递减， 则，即恒成立，符合题意. 综上所述，的取值范围为． 【典例2】（2025·河北保定·一模）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围. 【答案】(1)的极大值为，无极小值 (2) 【分析】（1）通过求导来分析函数的单调性，进而求出函数的极值； （2）分类讨论，得到单调性，求出函数最值，根据最值满足的条件来确定参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值. （2）由题得2a）， 当时，，不符合题意； 当时，令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 由 得，解得； 当时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 由， 得，解得. 综上，的取值范围为. 【变式1】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的图象的一条切线方程是. (1)求； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设切点，根据导数的几何意义求得，结合，构造，应用导数研究其零点，即可求参数值； （2）问题化为有解，构造研究不等式能成立求参数范围. 【详解】（1）设的图象与直线切于点，则①， ，则，即，代入①式得. 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 故，即. （2）由题意得有解，即有解. 令，则， 若，则，则，符合题意； 若，即，则，不符合题意； 若， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，解得. 综上，的取值范围为. 【变式2】（24-25高三上·湖北·阶段检测）已知函数. (1)若是的极值点，求实数的值，并求的单调区间； (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调增区间为；单调减区间为 (2). 【分析】（1）求导，通过为极值点，求，进而确定单调区间； （2）将转换成构造函数，通过，，三类情况讨论单调性即可求解. 【详解】（1）是的极值点，故， 当时，， ， 可知是的极大值点，故， 的单调增区间为；单调减区间为. （2）由得， 易知 当时，满足题意； 当时，令， 在上单调递增，则，不符合题意； 当时， 由得，由得， 于是有在上单调递减，在上单调递增， ，所以当，，使得， 也即，使得， 综上，的取值范围是. 【变式3】（23-24高三上·浙江·期中）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围. 注：为自然对数的底数. 【答案】(1)当时，的递增区间是；当时，递增区间是，递减区间是； (2) 【分析】（1）求出函数的导数，对讨论，分为和两种情形，通过导数与0的关系可判断单调区间； （2）依题转化为，设，即，，应用导数求最值，对对讨论，分为和，三种情形讨论即可求解. 【详解】（1）∵，定义域为，∴， 当时，∴，∴的递增区间是； 当时，由，得，∴的递增区间是， ，得，递减区间是； （2）∵， ∴，∴， 设， ∴， 当，，在上单调递增， ∴，，不符合题意， 当，则存在唯一的，使得. 当，使得，当，使得. 当，单调递减，当，单调递增， ∴， ∴，这与矛盾. 当，，在上单调递减， ∴，∴， 综上， 【点睛】本题主要考查导数的运用：求单调区间和最值，考查能成立问题，构造函数是关键，也是常用的一种手段．通过求构造函数的最值即可，属于中档题． 方法03等价转化法 【典例1】（2024高二下·全国·专题练习）已知函数，若在上存在一点，使得成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】构造函数，将问题转化为，从而求出，分类讨论的取值范围，分别求出即可得解. 【详解】令， 若使能成立，则对于，即可， 而. 当，即时，，在上单调递减， 则，， 而显然成立，故； 当，即时，，在上单调递增， 则，可得； 当，即时， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增， ∴， 而，∴，故，即不成立； 综上：. 【典例2】（23-24高三上·北京·阶段检测）已知函数，． (1)若在点处的切线为，求实数的值； (2)设函数，求函数的单调区间与极值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) ，单调递增，，单调递减， 在处取得极大值，极大值为，无极小值. (3) 【分析】（1）求出的导数，根据在点处的切线为，得得解； （2）求出，判断的正负，得解； （3）令，把题干中的问题转化为在上有，再利用导数研究的单调性，对进行分类讨论，求出不同范围下的，得解. 【详解】（1）， ，又在点处的切线为，得， 即，解得. （2）， ，， 令，解得，令，解得， ，单调递增，，单调递减， 在处取得极大值，极大值为，无极小值. （3）令，，使得， 等价于在上，， ，， ，， 令，，令，， 即在上单调递减，在上单调递增， 当即时，在上单调递减， ，则，解得， ，， 当即时，在上单调递减，在上单调递增， ，因为，所以， 则，即，不合题意， 综上，的取值范围为. 【变式1】已知函数f（x）=mx--lnx，mR，函数在上为增函数，且． (1)当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值; (2)求θ的值; (3)若在[1， e]上至少存在一个x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求m的取值范围． 【答案】(1)增区间是，减区间为， 函数有极大值; (2) (3) 【分析】（1）由，得到，利用导数法求解； （2） 根据题意得到在上恒成立， 转化为恒成立求解； （3）令 分，，讨论求解. 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴． 令，则．∴，和的变化情况如下表： + 0 递增 极大值 递减     即函数增区间是，减区间为， 函数有极大值是; （2）由已知在上恒成立， 即，在上恒成立， ∵，∴， 故在上恒成立，只需， 即，∴只有， 由，知； （3）令 当时，由，则，， 此时不存在，使得成立 当 时，， 所以在上单调递增， 所以， 令，则， 所以实数m的取值范围是. 【变式2】已知函数. （1）求函数的极值点； （2）设，若在上至少存在一个，使得成立，求m的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求出（），再利用导数与函数单调性之间的关系求出单调区间，进而求出极值点即可. （2）构造函数，当时，得出在不存在使不等式成立；当时，判断，判断函数在单调递增，只需即可. 【详解】解：（1）因为（） 由，得， 令，解得，，解得， 所以函数在上为单调递减；在上单调递增， 所以为函数的极小值点 （2）构造函数， 当时，，，， 所以在不存在使得成立. 当时， 因为，∴，，所以在恒成立， 故在单调递增，， 所以只需，解之得， 故的取值范围. 方法04最值定位法解决双参不等式问题 【典例1】（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知函数，． (1)求的极值； (2)若在上单调递增，求实数 的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数 的取值范围． 【答案】(1)极小值0，无极大值 (2) (3) 【分析】（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【详解】（1），求导得，， 因为时，，所以在上单调递增． 因为时，，所以在上单调递减． 又，故在处取极小值0，无极大值． （2）函数， 求导得， 由在单调递增，得在上恒成立， 即在上恒成立， 因此，． 设，，， 则在上单调递增，于是， 即， 所以的取值范围为． （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，． 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得． 由，得，函数在上单调递减， 则． 因此，解得， 所以 的取值范围为． 【典例2】（25-26高二下·吉林延边·阶段检测）（1）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求a； （2）从点可向曲线引三条不同切线，求的取值范围； （3）已知，使得成立，求实数的取值范围 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据导数的几何意义先求得切线方程，进而得到，可得，进而求解即可； （2）设曲线在点处的切线过点，根据导数的几何意义结合题意可得有三个不同的解，设，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （3）由题意可得，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）由，求导得，令得切线斜率， 故曲线在点处的切线方程为，即， 由，求导得， 设的切点为， 根据题意可得，即， 又，解得. （2）设曲线在点处的切线过点， 由，求导得，所以， 所以曲线在处的切线方程为， 因为从点可向曲线引三条不同切线， 所以有三个不同的解，即有三个不同的解， 设，该函数有三个不同零点，求导得， 令，则或， 当或，当， 所以函数在区间上单调递减，在和区间上单调递增， 所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则，解得， 则的取值范围为. （3）因为，使得成立等价于在上，. 易得，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上的最小值为，易知在上单调递增， 所以函数在上的最小值为，则， 即实数的取值范围是. 【变式1】（2025·安徽合肥·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为和 (2) 【分析】（1）先求解出，然后根据的正负可求解出的单调区间； （2）根据的单调性将问题转化为“在上有解” ，然后通过分离参数、构造函数以及换元法求解出与新函数最值的关系，由此可求的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为, 则， 令，可得或，令，可得或， 则的单调递增区间为和，单调递减区间为和 （2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 由已知：在上有解， 在上有解，在上有解， ，； 令，则， 在上单调递增，， 令，，则在上单调递增， 则，故. 的取值范围为. 【变式2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数. (1)若时，求曲线在处切线的斜率； (2)求的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. (3) 【分析】（1）根据导数几何意义直接求解即可； （2）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到结论； （3）将问题转化为，由二次函数性质可求得，采用参变分离的方式可得，利用导数可求得的最小值，进而得到结果. 【详解】（1）当时，，则， ，在处切线的斜率为. （2）由题意知：的定义域为，， ①当时，，，， 在上单调递增； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）对任意，均存在，使得，； ，当时，， 在上恒成立，即在上恒成立，； 令，则， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 【变式3】（25-26高三上·宁夏吴忠·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)设，函数，对于，，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 当时，的减区间为，无增区间， 当时，的增区间为，减区间为； (3). 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，应用分类讨论研究导数区间符号，进而确定单调区间； （3）问题化为在，成立，利用导数分别求出两函数在给定区间内的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）当时，得， 则曲线在点处的切线斜率为且， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）由题设且， 当时在上单调递减； 当时，令， 当时在区间上单调递减， 当时在上单调递增， 综上， 当时，的减区间为，无增区间， 当时，的增区间为，减区间为； （3）由题设，对于，，使得， 所以在，成立， 由（2）知，当时，则在上单调递增，则， 由，，则在上单调递增，则， 只需. 方法05值域法解决双参等式问题 【典例1】已知定义在上的函数满足且，其中的解集为A.函数，，若，使得，则实数a的取值范围是? 【答案】 【分析】构造函数，利用导数结合已知条件可得的单调性，由，不等式等价于，由的单调性即可求得解集A，再分别求得，的值域，由已知可得函数的值域是函数的值域的子集，从而可求得实数a的取值范围. 【详解】构造函数， 所以， 因为定义在上的函数满足， 所以，所以在上单调递增，且， 所以不等式可化为，即，所以， 所以的解集， 函数， 当且仅当，或时等号成立，在A上仅当时等号成立， 所以在A上的值域为， 为增函数， 所以在A上的值域为， 若，使得， 则，所以，又因为 即实数a的取值范围是. 【典例2】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)时，设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. (2) 【分析】(1)求导数，分类讨论由和，解得单调区间. （2）问题转化为在的值域和在的值域满足：， 分别求两个函数在区间内的值域，可解得实数的取值范围. 【详解】（1）定义域为，， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，时恒成立，时恒成立， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由已知，问题转化为在的值域和在的值域满足：， 二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴方程为，在上单调递减，在上单调递增，故在的值域. 由(1)可知，当时，在上单调递增，故值域. 所以，解得，即实数的取值范围为. 【变式1】已知函数，，. (1)当时，解不等式； (2)若对任意的，存在，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代值计算并按讨论即可. （2）依据题意可知，进行计算即可. 【详解】（1）当时，， 由，即 当时，不符合题意 当时，则 当时，则 综上所述： （2）由题可知：， 所以在恒成立， 则且在恒成立， 由 ，所以 当时，；当时， 所以在单调递减，在单调递减 所以当时，；当时， 所以的最小值为 又，所以， 当时，；当时， 所以在单调递减，在单调递减 所以当时，；当时， 所以函数在的最大值为3 所以且，即 【变式2】已知函数，. （1）求函数的极值； （2），，使成立，求的取值范围. 【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）. 【分析】（1）求导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性，从而求得函数的极值； （2）由（1）中求得函数的值域，再对函数求导函数，讨论分析导函数的符号，得出函数的单调性和最值，由已知建立不等式，求解可得所求的范围. 【详解】解：（1）因为，所以，且定义域为， 令，解得或， 当变化时，，的变化情况如下表： - + - 极小值 极大值 因此，当，有极小值，极小值为；当，有极大值，极大值为. （2）由（1）知，在上，函数单调递减，所以， 即在上，因为，所以，， 当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增， 所以，当时，取最小值，，当时，，所以，若，，使得成立，等价于，即，所以，解得，，又， 所以的取值范围为. 【变式3】已知函数，． （1）求的单调区间； （2）若，，，求的取值范围． 【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）. 【分析】（1）用导数法求函数的单调性即可； （2）由题意可转化为求与的最值问题，先求出与的最值，再按要求列出式子求解即可 【详解】（1）． 在和上，，单调递增． 在上，，单调递减． 综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）由（1）可知，在和上单调递增，在上单调递减． 又，，，． 所以在上，． 又． 所以在上，，， 即． 因为，，， 所以解得． 故的取值范围是． 第三部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求导研究其单调性，进而求其最小值，使即可. 【详解】令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因不等式有解，则，得， 则实数m的取值范围为. 故选：C 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A 3．已知函数，若，使得成立，则实数a的取值范围是（　　） A．（，+∞] B．（-∞，] C． D．（-∞，） 【答案】C 【分析】原命题等价于，再求 以及解不等式即可. 【详解】，使得成立，则， 由题得， 所以函数在（-∞，-1）单调递减，在（-1，+∞）单调递增， 所以， 由题得， ∴ 故选：C 4．已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原命题等价于，再求和解不等式即得解. 【详解】，使得成立，则， 由题得， 当时，，当时，， 所以函数在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减， 所以， 由题得， ∴ 故选：B. 5．（2025·四川成都·一模）若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把问题转化为：存在，使得成立，再设，，分析函数单调性，求函数的最大值即可. 【详解】由， 设，，则， 因为，，所以，所以在上单调递增， 由， 问题转化为存在，使得成立， 设，， 则， 由；由， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以. 故选：C 6．（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，将问题化为计算两个函数的最大值即可. 【详解】易知，令得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以时，单调递增，即， 而时，， 由题意可知，所以，即. 故选：A 二、多选题 7．（25-26高二下·福建龙岩·期中）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C． D．若在上有解，则 【答案】ACD 【分析】根据导函数确定的单调性极值及最值情况，就能确定选项的正误 【详解】A选项，，定义域为， ，令，解得， 当时，，∴函数在上单调递增， 当时，，∴函数在上单调递减， ∴函数在时取得极大值也是最大值，故A对； B选项，∵时，，，， 当时，，如图所示： ∴函数有且只有唯一一个零点，故B错； C选项，∵当时，为单调递减函数，∴， ∵，所以，故C对； D选项，若在上有解，即在上有解， 由上可知函数在上单调递减，所以， 于是有，故D对. 8．已知函数，，若对任意的，均存在，使得，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由恒能成立的思想可确定：在上的值域与在上的值域满足；利用导数可求得单调性，从而得到； 方法一：根据可知，从而求得；在的条件下，可求得单调递增，由此可得，进而解得的范围； 方法二：求导后，分别在、和的情况下，根据的正负可得单调性，根据可构造不等式组求得的范围. 【详解】设在上的值域为，在上的值域为，则； ，当时，， 在上单调递增，； 方法一：若，则，令对恒成立， 恒成立，即； 当时，在上恒成立， 在上单调递增，，解得：； 综上所述：； 方法二：； 当时，恒成立，在上单调递增， ，，即， ，解得：； 当时，，，在上单调递减， ，，即， ，解得：（舍）； 当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，不合题意； 综上所述：. 故选：BC. 三、填空题 9．（24-25高二下·福建福州·期末）函数，若存在，使有解，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故的取值范围为． 10．（24-25高二下·天津·阶段检测）已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用导数求解两个函数的值域，根据值域的包含关系可得答案. 【详解】，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增，由，可得的值域为. ，， 当时，，单调递增，由，可得的值域为. 因为若对，总，使成立，所以， 即，解得，故实数a的取值范围为. 四、解答题 11．（25-26高二下·河北张家口·阶段检测）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，参变分离，再求函数的最值即得； （2）参变分离，构造新函数，进而求导分析单调性求函数的极值结合条件即得. 【详解】（1）由题可知在上恒成立，所以． 因为，所以， 则，所以的取值范围为． （2）由有解，可得有解． 令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，故的取值范围为． 12．（24-25高二下·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线方程的求解方式求切线方程即可； （2）根据题意，利用导数求函数在的最小值即可. 【详解】（1），，， 所以函数的图象在处的切线方程为. （2）由（1）知， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 又在上有解，所以. 13．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)过原点作图象的切线，求直线的方程； (2)若，使成立，求的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程； （2）由题意，将其等价转化为在有解，即只需求在上的最小值，利用导数分析推理即得的最小值. 【详解】（1）         设切点坐标为，则切线方程为， 因为切线经过原点，所以，解得，     所以切线的斜率为，所以的方程为. （2），，即成立， 则得在有解， 故有时，.         令，，，         令得；令得， 故在单调递减，单调递增， 所以，         则，故的最小值为. 14．（23-24高三上·河南·阶段检测）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为 (2) 【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得； （2）通过代入不等式整理成在上存在实数解问题，故可转化成求函数在得最小值问题，计算即得. 【详解】（1）当时，， ∴，由，得，由，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）原条件等价于：在上存在实数解． 化为在上存在实数解， 令，                    则， ∴在上，，得，故在上单调递增， ∴的最小值为， ∴时，不等式在上存在实数解． B能力提升 15．（25-26高二下·天津西青·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2) 【分析】（1）根据导数求解函数单调区间即可； （2）通过参数分离构造出新函数，求得新函数的最值得到参数范围即可. 【详解】（1）当时，，定义域为，， 令，解得，令，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）原不等式代入整理，由于， 两边同除以得. 要求“存在使不等式成立”，等价于. 设，求导得， 令，得； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 因此的最大值为. 即的取值范围为 16．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若存在，，使得，求a的最大值． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）根据导函数的几何意义求出切线方程； （2）求导，分、两种情况讨论导函数的正负性； （3）等价于，利用参变分离，构造函数，，求其最大值即可. 【详解】（1）当时，，则， 故， 故在点处的切线方程为. （2）由题得，． 若，则在上恒成立，所以在上单调递减； 若，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）得，若存在，使得， 则必有，由得． 所以等价于， 即，化简得：． 设，， 则， 所以在上单调递减，所以， 此时，． 所以当，时等号成立，所以a的最大值为． 17．（25-26高三下·江苏扬州·阶段检测）已知函数，实数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)函数在处的切线方程为． (2)实数a的取值范围为． 【分析】（1）求得时的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程； （2）由题意可得存在，使得成立，令，求得导数和单调性、最值，考虑最小值小于，再构造函数，求得导数和单调性、最大值，可得所求取值范围． 【详解】（1）当时， ，， 所以，， 所以函数在处的切线方程为，即 （2）由，得， 令，， 因为，所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值， 由题意知， 令，， 当时，，当时，， 所以上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值， 所以实数a的取值范围为． 18．（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知函数. (1)设为的导函数，分析的单调性； (2)若存在，满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减. (2) 【分析】（1）对求导，根据导函数的符号判断原函数的单调性即得； （2）由题意可得，利用（1）的结论，结合特值代入，推得方程有一个根为0，另一个根在区间内，进而得到函数在上的单调性，从而求得其最大最小值，进而求出参数的范围. 【详解】（1）由题意知，则.              . 令，解得，                  . 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）存在，满足，等价于 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 又， 故方程有一个根为0，另一个根在区间内，             . 故当时，，即函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增，  . 又因为，                  . 所以在区间内，， 所以， 即的取值范围是. 19．（2025·湖南·三模）已知函数，． (1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若为函数的极值点，求a的值； (3)设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导得函数的单调递增区间，由此即可列出不等式求解； （2）求导得函数单调性，进一步得极值点，由此即可列方程求解； （3）首先求得，从而问题可以转换为存在，使得，故只需，对分类讨论即可求解. 【详解】（1）的定义域为，， 令，得，故函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 故实数a的取值范围是． （2）令，得；令，得；令，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得． （3）由（1）知：当时，函数有最小值， 若，则， 又因为对任意总存在，使得， 则当时，的最小值不大于， 函数的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，则在上单调递增， 故的最小值为， 解得，故； 当，即时，则在上单调递减， 故的最小值为，解得，故； 当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为，解得或． 故或， 综上所述，实数b的取值范围是． 20．（24-25高二下·天津·阶段检测）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. (2) 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性； （2）在上的最大值小于等于在的最大值，在（1）基础上得到的最大值，并求出，从而得到不等式，得到，令，，求导，得到其单调性，并结合特殊点函数值，得到答案. 【详解】（1）由，定义域为， 则， 当时，， 故函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令得，令得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当时，若对于任意，总存在，使得， 即在上的最大值小于等于在的最大值， 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减； 故. 由，，则， 由于，故在上恒成立， 故在上单调递增， 故， 所以，即. 令，， 则， 故在上单调递减， 又， 所以当时，， 故m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $第06讲拓展二：利用导数研究不等式能成立（有解）问题 第一部分知识梳理 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一 个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式： 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量x的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：3x∈D,使得a>f(r)能成立台a>f(x)mim: 3x∈D,使得a<f(x)能成立台a<f(x)max. ③求最值 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成 立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a>0,△<0或a<0,△<0)求解. 3、等价转化法 当遇到f(x)≥g()型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减 右”的函数F(x)=f()-g()或者“右减左”的函数H()=g(x)-f(x),进而只需满 足F()mx之0，或者H(d)mm≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值 的问题， 4、最值定位法解决双参不等式问题 (1)3x∈A,x2∈B,使得.f(x)≥g(2)成立台f(x)mx≥g(化)max (2)x∈A,3x2∈B,使得f()≥g(c)成立台f(x)mn≥g(x)mim (3)3x∈A,3x2∈B,使得f(x)≥g(x)成立台f(x)max≥g(x,)mm (4)x∈A,x∈B,使得.f(x)≥g(化)成立台f(x)mn≥g(x)mx 5、值域法解决双参等式问题 x∈D,x,∈D2,使得.fx)=g(x)成立 ①x∈D,求出f(:)的值域，记为A={f(x)川x∈D} ②3x?2∈D2求出g(x)的值域，记为B={g(x)川x2∈D2} ③则A二B,求出参数取值范围 第二部分题型精讲 方法01分离变量法 【典例1】(2026-陕西榆林模拟预测)已知函数f(x)=x-2r- 2_c(cER). xcOSa x (若函数g(d)=x-f()在[L,o)上单调递增，且“∈（2)，求角。的值： ππ (2)若a=0,且1∈[1，]，使得f()>0,求实数c的取值范围. 【奥例2】（23-24高二上陕西阶段检测)已知f似=xnx,g()= 2，直线 1:y=(k-3)x-k+2 (1)函数f(x)在x=e处的切线与直线I平行，求实数k的值： (2)若至少存在一个∈[1，e]使fx,)<g(x,)成立，求实数a的取值范围. 【变式1】(25-26高三上陕西咸阳阶段检测)已知函数f(x)=a(e-2)+x2-2x(aeR). (1)当a>2时，记函数f(x)的图像在x=0处的切线与坐标轴围成的图形的面积为S,求S 的最小值； (2)若不等式f(x)+x+2a+1>0在[0,3]上有解，求实数a的取值范围. 【变式2】(2425高二下广东广州期中)已知函数f()=)-(a+2)x+2ahx(aeR) (1)若a>0,讨论函数∫(x)的单调性： (2)设函数8(x=-(a+2)x,若至少存在一个∈[e,4,使得f()>g()成立，求实数a 的取值范围. 【变式3】(2025甘肃白银模拟预测)已知函数f(x)=(mr-2)e-l,且f(x)在x=0处 取得极值 (1)求m的值及∫()的单调区间： (2)若存在xeR,使得f()≤2ex-a-l,求实数a的取值范围. 方法02分类讨论法 【典例1】(2025·新疆喀什·二模)已知函数f(x)=e(x2+mx+m) (1)当m=-1时，求f(x)的极值： 2若存在x「20，使得f)究，求m的取值范围。 【奥例2】(20m5河北保定模)已知酒数)=e-ae+20. (1)当a=1时，求f(x)的极值： (2)若关于x的不等式f(x)+a≥0有实数解，求a的取值范围 【变式1】(2025辽宁模拟预测)已知函数f(x)=x+al血x(a≠0)的图象的一条切线方程 是y=2x-1 (1)求a: (2)若关于x的不等式f(x)<mlr有解，求m的取值范围。 【变式2】(24-25高三上湖北阶段检测)己知函数f(x)=lnr-axr2+a. (1)若x=1是f(x)的极值点，求实数a的值，并求f(x)的单调区间： (2)若存在x∈(，+o）,使得f(x)>0,求实数a的取值范围， 【变式3】(23-24高三上浙江期中)己知函数f(x=alnx+-x,a∈R. ()讨论函数f(x)的单调性： 2若存在xecc],使/()(a+》nx成立，求实数，的取值范围 注：e为自然对数的底数. 方法03等价转化法 【典例1】(2024高二下全国专题练习)已知函数f)=x-anxg)=-a+'(a∈R), 若在l,e上存在一点，使得f(o)<g(xo)成立，求a的取值范围. 【典例2】(23-24高三上：北京阶段检测)已知函数f内)=x-lr,8()=-1+(a>0) (1)若f(x)在点(f)处的切线为y=1,求实数a的值： (2)设函数h(x)=f(x)8(),求函数h(x的单调区间与极值： 3)若存在∈1，，使得f()<8(x)成立，求a的取值范围. m-1+2e 【变式1】已知函数∫(x)=x- x,me&,函数g(倒=o0+nc在L四)上 xcos0 为增函数，」 (1)当=0时，求函数∫(x)的单调区间和极值； (2)求8的值； (3)若在1，e]上至少存在一个o,使得xo)>8o)成立，求m的取值范围. 【变式2】已知函数g)=2+nxf)=mr-m-2-nxm∈R x 1)求函数8(x)的极值点； (2四设4=兰，若在L上军少存在-个：使得)g)》)版立，求m的 取值范围。 方法04最值定位法解决双参不等式问题 【典例1】(25-26高二下·云南文山阶段检测)已知函数f(x)=e-x-l,g(x)=anx-x (1)求f(x)的极值： 2)若h()=f()-g(x)在，5]上单调递增，求实数a的取值范围： 当。0时，若对任密的5，思存在5e[很]， 使得f(x)sg(飞)求实数a 的取值范围. 【典例2】(25-26高二下·吉林延边阶段检测)(1)若曲线y=e+x在点(0,1)处的切线 也是曲线y=h(x+l)+a的切线，求a (2)从点A(,)可向曲线y=x-x引三条不同切线，求a的取值范围； (3)已知/创=r-3x+3-三8(-=n(x++a3∈0,2小x[0,2引，使得 f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围 【变式1】(2025安微合肥一模)已知函数了付)=e2x-,g)=r-e-+ar+l. x-1 (1)求f(x)的单调区间： 回若对于任意(， 总存在x,∈[儿，+o)使得f(x)sg(:)求。的取值范围. 【变式2】(25-26高三上北京阶段检测)己知函数f(x)=ax+lnx(aeR). (1)若a=1时，求曲线y=f()在x=1处切线的斜率； 2)求f(x)的单调区间： 3)设8(x)=x2-2x+2,若对任意x∈(0，+o）,均存在∈[0,1，使得f(x)<8(),求 a的取值范围. 【变式3】（25,26商三上宁爱吴电阶段检)测已知函数f()-号r+(a-)x-hxacR (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(f()处的切线方程： (2)讨论f(x)的单调性； 3)设a>1函数g()=nx+ ,对于x∈[l,©，3，∈[2，+o),使得f()≥g(x)求实 数a的取值范围. 方法05值域法解决双参等式问题 【奥例1】已知定义在R上的函数)满足2时+i>0且)=是， e2,其中h)> e2的 解集为A函数f)=-x+1 x-1厂，g)=d(a>l),若x∈，3x,eA使得f(x)=g(x2), 则实数a的取值范围是？ 【典例2】已知函数f(x)=ar+lhx(a∈R). (1)讨论y=f(x)的单调性： 2)a≥-2时，设g()=-2x+2,若对任意x∈[L,2]均存在名0，，使得 f(x)=g(:),求实数a的取值范围. 【变式1】已知函数f()=x,g(x)=x2-mx+4,m∈R. (1)当m=4时，解不等式gx)>f(x)-2引： 2)若对任意的∈[，2]，存在∈[，2]，使得g(x)=fx),求实数m的取值范围 【变式2】已知函数f()二，g()=hx+兰(a>0) (1)求函数f(x)的极值： (2)x∈(-o,0),3x,∈(0，+∞)，使f(x)=g(:)成立，求a的取值范围 【变式3】己知函数f(x)=2x+5x2+4x,g(x)=x2+2x-m-7(meR) (1)求f(x)的单调区间： (2)若x∈[-3,3]，3x∈[-3，，8(x)=f(x),求m的取值范围. 第三部分题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1.(24-25高二下·安徽阜阳期中)若不等式x2-21nx+m≤0有解，则实数的取值范围 为() A.[-l,+oo) B.[e,+00) c.(-o0,-1 D.（-oo,e] 2.(24-25高二上：广东深圳期末)函数f(x)=nr-mx+1,若存在x∈(0，+o）,使 f(x)≥0有解，则m的取值范围为() A.（-o,1] B.（-∞，2] C.[1,+o0) D.[2,+o) 3.已知函数f(x)=e,g(x)=-(x+l)+a,若3x,x∈R,使得f(:)≤g(x)成立，则 实数a的取值范围是() A.（-e+] B.(∞，eJ ,+0 D.(-∞， 4.已知f(x)=(1-xe,g(x)=(x+l)+a,若存在x,eR,使得f(s)≥g(:)成 立，则实数a的取值范围为() A[& c.(0,e) o. 5。(2025四川成都一模)若存在x>0使得不等式心+1-x≤h。成立，则正实数，的 x a 取值范围为() A.(0, B.[e,+o) c时 D.(0,e 6.(25-26高三上贵州阶段检测)已知函数f(x)=x血x-k,g(x)=x,若存在x∈，©] ，对任意五∈，©]，使得f(G)≥g(,)恒成立，则实数k的取值范围是() A.(-0,0] B.（-o,] c.(-o,e) D.[e,+o) 二、多选题 7。(2526高二下福建龙岩期中)对于西数f(倒-。下列说法正确的是() A.f(x)在x=V6处取得极大值2 B.f(x)有两个不同的零点 c.f2)f()<f( D.若r<在[2,3上有解，则k>3 8.已知函数f()=x(血x-a),g()=e(x+),若对任意的x∈，c,均存在∈[-l,刂 ,使得f(x)=8(:),则a的取值可能是() A.32 8.、② 2 三、填空题 9.(24-25高二下福建福州期末)函数f(x)=lnr-mr+1,若存在x∈(0，+oo）,使 f(x)≥0有解，则m的取值范围为一· 10,(2425高二下天律阶段检测)已知(e倒=x+兰，g=-3x+8-a,若对 x∈[l,3],总x∈[，3)，使f(x)=g(:)成立，则实数a的取值范围为 四、解答题 11.(25-26高二下河北张家口阶段检测)已知函数f(x)=ae-x-2」 (1)若f(x)在[0，上单调递增，求a的取值范围： (2)若关于x的不等式f(x)<x-l有解，求a的取值范围. 12.(2425商二下四川旷元期末)已知函数f()兮式-。 (1)求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程： 2)若f(x)≤m在x∈[0,3]上有解，求m的取值范围， 13.(2024-湖北·模拟预测)已知函数f)=lr,g()=:-1其中a为常数 (1)过原点作f(x)图象的切线l,求直线l的方程： 2)若x∈(0，+o),使f(x)≤g(x)成立，求a的最小值. 14,(23-24高三上河南阶段检测)已知函数f(x)=lhx+2(a∈R). (1)当a=-1时，求函数f(x)的单调区间； 2)若g(x)=f(x-2x2,不等式8(x)≥-l在[l,+∞)上存在实数解，求实数a的取值范围. B能力提升 15.(25-26高二下天津西青阶段检测)已知函数f(d)=r-c(aR),8()=r ()当a=1时，求函数f(x)的单调区间： (2)若存在x∈(0，+)，使不等式f(x)≤g(x)-e成立，求实数a的取值范围. 16.(25-26高二下江苏南通阶段检测)已知函数f(x)=ar2-nx, (1)当a=1时，求y=fx)在点(1，f(》处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性： 3)若存在名∈，3]，x-x21,使得f(x)=fx),求a的最大值. 17.(2526高三下江苏扬州阶段检测已知西数f(倒-子+ax+alnx,实数≥0 (1)当a=2时，求函数f()在x=1处的切线方程： (2)若存在x∈(0，+o),使得关于x的不等式f(x)<2+dx成立，求实数a的取值范围. 18.(25-26高三上安徽合肥期中)己知函数f(x)=x2+x-e (1)设g(x)为f(x)的导函数，分析8()的单调性： 2)若存在x,x2∈[-1，，满足f(x)-f(x)之m,求实数m的取值范围 19.(2025湖南三模)已知函数f(x)=x(2lnx+a),a∈R. (1)若函数f(x)在(e,∞)上单调递增，求实数a的取值范围： (2)若x=e为函数f(x)的极值点，求a的值： 3)设函数8(x)=4x2-4br,当a=-2时，若对于任意x∈(0，+∞），总存在x∈[-2,4]，使 得8(：)f(:),求实数b的取值范围. 20.(24-25高二下·天津·阶段检测)已知函数 f(x)-Is-m-(2m-l)x(mcR).g(x)---l. (1)求函数f(x的单调区间： (2)当m>0时，若对于任意x>0,总存在，∈[-2，-可，使得f(:)≤g(:),求m的取值 范围