第05讲 4.3.2等比数列的前n项和公式讲义（知识清单+7类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第05讲 4.3.2等比数列的前项和公式 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：等比数列前项和公式 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 【即学即练1】（26-27高三·全国·一轮复习）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．64 B． C．32 D． 【答案】D 【详解】等比数列中，，，则，，则. 知识点02:等比数列前项和的性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 【即学即练2】（24-25高二上·江苏连云港·阶段检测）等比数列的首项为，项数是偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的前项和公式奇数项之和等于偶数项之和的，可求，由通项公式求得的值． 【详解】设等比数列的项数为， 所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为， ： ：， ，， 由题意可得， . 知识点03：错位相减法求数列的和 推导等比数列前项和的方法叫做错位相减法,一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项的积所构成的数列的前项和. 第三部分 题型精讲 题型01等比数列前项和的基本量计算 【典例1】（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）在正项数列中，已知. (1)证明：为等比数列； (2)若，，求的前项和. 【答案】(1) 因为，所以，所以， 因为，所以，，所以为等比数列. (2). 【分析】（1）利用对数性质将等式转化为，然后利用等比数列定义证明等比数列； （2）由已知求出公比和首项，再用等比数列求和公式得. 【详解】（1）略 （2）设公比为，因为，，所以， 所以，所以，所以， 所以的前项和为. 【典例2】（24-25高二上·河南周口·期末）设为正项等比数列的前项和，已知，. (1)求数列的公比； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，即可解出的值； （2）求出的值，代入等比数列的通项公式可求得数列的通项公式； （3）利用等比数列的求和公式可求得的表达式. 【详解】（1）因为数列是正项等比数列，则， 由题意得，， 整理得，即， 解得或（舍去）. （2）因为，所以， 故. （3）. 【变式1】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）设等比数列的前项和为，若，，求. 【答案】 【分析】设等比数列的公比为,根据条件先判断，再利用等比数列的通项与求和公式计算即得. 【详解】设等比数列的公比为, 由可知,则得, 化简得,因，则, 故. 【变式2】（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据题意得到关于的方程，解出即可得解； （2）根据等比数列求和公式列方程求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，， 由，得， 整理得， 即. 又，则，解得或. 由题知，所以， 所以数列的通项公式. （2）由题知， 令，得， 故. 【变式3】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知等比数列满足：，，且公比． (1)求数列的通项公式； (2)若该数列的前项和，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比，即可求数列的通项公式． （2）利用等比数列的前项和公式求解. 【详解】（1）， 由条件知，是方程的两根， 解得或． 又，所以，， 所以，， 从而． （2）令，得，故. 题型02等比数列前项和的片段和性质 【典例1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设等比数列的前n项和为，已知，，则（     ） A．18 B．26 C．34 D．42 【答案】B 【分析】利用等比数列连续相同项数的和仍成等比数列的性质，分别求出三组连续三项的和，相加即可. 【详解】由题，， 根据等比数列的性质，，成等比数列， 故， ， 所以. 【典例2】（2026·贵州遵义·模拟预测）记为等比数列的前n项和．若，，则______． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质得成等比数列，从而得到关于的方程，求解即可. 【详解】因为为等比数列的前项和，且，， 由等比数列的性质可知：成等比数列， 即成等比数列，所以，解得：. 【变式1】（2026·湖北鄂州·模拟预测）记为等比数列的前项和．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由等比数列的性质，依然构成等比数列， 由等比数列的中项可得：， 代入得：，解得：. 【变式2】（26-27高三上·辽宁·阶段检测）记为正项等比数列的前项和，已知，，则（   ） A．11 B．15 C．19 D．23 【答案】B 【详解】由等比数列的性质可知，，，，组成等比数列， 则，即，整理得， 解得或，又数列的各项为正数，所以，则， 所以，由1，2，4，组成等比数列，可得，解得. 【变式3】（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．12或-15 B．15或-12 C．15 D．12 【答案】B 【详解】因为等比数列的前项和为，且，， 所以，且，两式相除得， 解得或， ，故或. 题型03等比数列奇、偶项和的性质 【典例1】（25-26高二下·四川雅安·阶段检测）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则（ ） A．-2 B．2 C．1 D．3 【答案】B 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则，所以，解得， 所以，则. 【典例2】（2026高二·全国·专题练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 【答案】12 【详解】求出等比数列的公比，结合等比数列的性质可求出及，即可求得的值. 【分析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍， 所以，故， 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以， 因为，可得，因此. 【变式1】（24-25高三上·重庆·阶段检测）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【分析】设数列共有项，设所有奇数项之和为，由题意表求出和，利用求出公比，再结合求出即可. 【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以. 故选：D 【变式2】（2026高二·全国·专题练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是_____. 【答案】120 【分析】设该数列奇数项之和为、偶数项之和为，则可得，，解出即可得. 【详解】设该数列奇数项之和为、偶数项之和为， 则， 故，故、， 则数列的所有项之和是. 【变式3】（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，前6项中偶数项和是奇数项和的2倍，则______． 【答案】2 【分析】根据已知有，结合等比数列的性质得，再应用等比数列的通项公式求首项. 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则， 所以，则. 故答案为：2 题型04 分组求和法求数列的前项和 【典例1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知是各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设公比为 ，由 ，，可得 ，即 ；由数列各项均为正数知 ，解出 ，再由 求首项，代入 即得通项公式. （2）由 及对数运算性质得 ，由 为常数判定 是等差数列；由 ，用分组求和法把 拆成等比数列 与等差数列 的前 项和，分别用求和公式计算. 【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，由 ， 得 ，即 . 所以 . 因为数列各项均为正数，所以 ，故 . 又 ，所以 . （2）由 得 . 因为 ，所以 是首项 、公差 的等差数列. 又 ，故 . 其中 . . 所以 . 【典例2】（26-27高三上·黑龙江·阶段检测）已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 当时，， 当时，， 所以， 所以（）， 所以. （2）由题可知， 所以， 令，则， 时，， 又时，，所以，， 因为， 所以. 【变式1】（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）等差数列的前项和，等比数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据已知条件及与的关系求出，再利用等比数列的通项公式即可求解； （2）根据（1）的结论得出，再利用分组求和、裂项相消法求解即可. 【详解】（1）由，当时，， 当时，， 显然满足上式，则. 设等比数列的公比为， 因为，所以，解得， 所以. （2）由， 则 . 【变式2】（26-27高二上·甘肃白银·阶段检测）已知是等差数列，是等比数列，且，，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的通项公式及前项和. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）等比数列的公比，所以，. 设等差数列的公差为. 因为，， 所以，解得， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，，. 因此数列的通项公式为. 从而数列的前项和 . 【变式3】（26-27高三上·重庆九龙坡·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足：，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设结合和的关系化简可得数列是等比数列，进而求解即可； （2）先得到，再利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）由， 当时，， 两式相减得，，即，， 当时，，即，则， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则. （2）由， 则 . 题型05 错位相减法求数列的前项和 【典例1】（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求的前项和； (3)若，求的前项和． 【答案】(1) ， (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程求解即可； （2）根据分组求和法，结合等差数列及等比数列的求和公式求解； （3）根据错位相减法求和即可. 【详解】（1）令的公比为，则，令的公差为， 由，整理，解得，或（舍去）， 故， 又由可得， 即，解得， 故； （2） ∴ ； （3）由（1）可得， 则① ② ①-②，得， 所以. 【典例2】（26-27高三上·广东江门·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，；等比数列的首项为1且，，成等差数列． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) ，； (2) 【分析】（1）列方程组求解等差数列的首项和公差得通项，利用等差中项求等比数列的公比得通项； （2）将拆分为等差乘等比的结构和等差数列结构，分别用错位相减法、等差数列求和公式求和后合并. 【详解】（1）设等差数列首项为，公差为，由得 ，化简得 ①， 由，令得，即 ②， 联立①②解得，故， 设等比数列公比为，由题意，且成等差数列，由等差中项性质得， 代入得，解得，故， 所以，； （2） 由题意，故，设的前项和是， 设的前项和是，则， ， ③ ，两边同乘得 ④， ③-④得： ， 由代入得 ， 化简得， 故. 【变式1】（2026高二·全国·专题练习）已知数列满足，且（）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由等比数列的定义及通项公式求解； （2）结合题意并利用错位相减法求和即可． 【详解】（1）因为，， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，故． （2）由（1）得， 所以①， 两边同乘2，得②， ①②得 ， 所以． 【变式2】（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列满足，． (1)证明：数列是常数列，并求数列的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1)证明：设数列的通项为， 则，则． 将代入递推式， 得， 化简得，则． 因为，所以． 由此可知，对任意正整数，都有，即， 故数列是常数列，且． (2)． 【分析】（1）令，将其代入递推式，求出数列的通项公式，即可求证； （2）由（1）求得数列的通项公式，再利用错位相减法即可求得其前项和． 【详解】（1）略 （2）由（1）得，故， 设①， 则②， 用，得， 则，由此得． 【变式3】（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）已知数列是公差不为0的等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求满足的最大正整数． 【答案】(1)， (2)6 【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求出公差及公比，再利用通项公式求解. （2）由（1）求出，利用错位相减法求出，再利用单调性求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，，得，解得，     所以，．     （2）由（1）得，则单调递增，     ， ， 两式相减得， ，因此，     而，，则，     所以满足的最大正整数为6． 题型06 等差数列与等比数列的综合问题 【典例1】（24-25高二上·江苏连云港·阶段检测）已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列． (1)求数列、的通项公式； (2)设的前项和为，求 (3)设，求的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）分别设等差数列的首项、公差和等比数列的公比，利用基本量运算即可求出数列的通项公式； （2）由（1）得到，用错位相减法求前项和； （3）先由（1）求得，化简并裂项，再利用裂项相消求． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为． 由，得，即 由，得，即，解得，， 故 设递增等比数列的公比为，因，则． 由成等差数列，得，即， 解得或，因，则． 故 （2）由（1）得 于是 得 两式相减得. 又， 代入可得 从而 （3）由（1）可知，所以 又，故 因此 所以 【典例2】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）等差数列的前项和为，且，，数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)证明：数列是等比数列； (3)已知数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)，所以， 又因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列， (3) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得首项和公差，即可由通项公式求解， （2）根据等比数列的定义即可求证， （3）利用分组求和，结合等比等差数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）由，可得，，解得， 故 （2）略 （3）所以，所以．可得， 所以 【变式1】（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）已知数列，其前项和为，，且，．数列是等差数列，其前项和为，，． (1)求证：是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)，，，两式相减得， 化简得，即，，， 因为，即，解得，则 又，是首项为3，公比为3的等比数列， ，即. (2) 【分析】（1）利用并结合等比数列的定义即可求解； （2）先求出数列的通项公式，再利用裂项相消求和即可. 【详解】（1）略 （2）数列是等差数列，其前项和为，，，，， 公差，，， ， . 【变式2】（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知等差数列，若，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，设，求数列的前项和. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，且，，成等比数列这两个条件列出和的方程组可求解出，从而可得数列的通项； （2）把（1）解得的代入中，化简得，然后利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ∵，∴① ∵，，成等比数列，∴， ∴化简得，即. 若，； 若，②，由①②可得，，. 所以数列的通项公式是或. （2）因为，由（1）结论可知不符合题意， 则，， 所以， ∴ . 【变式3】（26-27高二上·福建莆田·阶段检测）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. (3)求数列的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）使用等比中项的性质求解，再计算数列的通项公式； （2）先计算数列的通项公式，再使用错位相减法求解； （3）使用作差法分析数列的增减性求解最大值. 【详解】（1）由题意知，即，解得，则. （2）因为， 则， 可得， 两式相减得 即， 所以. （3）由（2）知 当为奇数时，， 当为偶数时，令，，令， ， 时，因为，所以，即是递减函数， 则是递减数列，， 综上，数列的最大值为：. 题型07 等比数列求和在传统文化中的应用 【典例1】（25-26高二下·青海西宁·期末）在重大节日里，从古至今我国有悬挂灯笼增加节日气氛的习俗．据文献记载，古代有一座层的塔共挂了盏灯笼，相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的倍，顶层有盏灯笼，问共有多少层塔？（     ） A．层 B．层 C．层 D．层 【答案】C 【详解】设从上至下，第层的灯笼数为盏， 由题意可知，数列是首项为，公比为的等比数列， 设该数列的前项和为，则，即，解得. 故共有层塔. 【典例2】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列的前4项，则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象规律，归纳各项，通过数列放缩结合等比数列求和公式可算范围. 【详解】由图可知，，即，所以B错误； 所以， 所以数列是以为首项，8为公比的等比数列， 所以，所以，所以，所以A错误； ，所以C正确； 因为，所以， 所以 ， 所以，所以D错误. 【变式1】（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）《九章算术》中有“女子善织”问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的倍，天共织尺，若该女子欲织满尺，则至少需要（   ）日 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该女子每天的织布量形成一个等比数列，利用等比数列的前项和即可求解. 【详解】设女子第天织布尺，由于每天织布量是前一天的倍， 因此第天的织布量为尺，前天织布量的总和为尺， 由题意得， 要使织布总尺数达到尺，即， 代入得，所以最小的是， 因此该女子欲织满尺，则至少需要日，故C正确. 【变式2】（25-26高二上·广东·期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：一座七层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍．则该塔中间层（即第四层）悬挂灯的盏数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知灯数构成等比数列，用等比数列的通项公式及前n项和公式解得. 【详解】设每层塔的灯数从上到下构成数列，则数列是公比的等比数列，且， 由等比数列的前n项和公式，得， 由等比数列的通项公式得. 故选：B. 【变式3】（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）中国古代数学著作《算法统宗》中有一道数学题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关.”其大意为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第3天、第4天、第5天一共走的路程为（   ） A．里 B．里 C．里 D．里 【答案】B 【分析】由题意可知此人6天中每天走的路程构成公比为的等比数列，进而根据前6项和为列方程求出首项，再根据等比数列的通项公式及性质求出即可. 【详解】由题意可得，此人6天中每天走的路程构成公比为的等比数列， 设这个数列为，前n项和为，则，解得， 所以，，， 即此人第3天、第4天、第5天一共走的路程为里， 故选：B. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（2026·黑龙江大庆·一模）已知正项等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．7 B．15 C．31 D．63 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，且， 因为，则， 又因为，则，可得，即， 所以. 2．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知等比数列公比，前3项和，则其首项的值为（    ） A．7 B． C． D．1 【答案】D 【详解】等比数列公比，前3项和，则， 所以. 3．（青海西宁市青海师范大学附属第二实验中学2024-2025学年高三年级十一月月考数学试卷）已知等比数列 的各项均为正数，且 ，则其前 项和 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设公比为 （）. 由 得 ，所以 ，则. 于是 ，. 4．（26-27高三上·天津和平·开学考试）已知数列的前项和为，且满足，则的值为（     ） A．9 B．21 C．45 D．93 【答案】C 【分析】先利用与的关系，得到，即可证明是公比的等比数列，再利用等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】因为，所以当时，， 则，化简得到， 所以是公比的等比数列， 当时，，即，得到， 所以. 5．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球.已知该地某芯片企业近个月的月产量构成等比数列，其中前个月总产量为万片，前个月总产量为万片，则该企业这个月的总产量为（    ） A．万片 B．万片 C．万片 D．万片 【答案】C 【详解】设该芯片企业近个月的月产量构成等比数列，公比为，前项和为， 则，，， ，， 即该企业这个月的总产量为万片. 6．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，所以， 当时，， 所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以. 7．（2026·河南·模拟预测）设等差数列的首项和公差均为m，等比数列的首项和公比也均为m，其中，若数列的前6项和与数列的前3项和都等于S，则（   ） A．84 B．63 C．42 D．21 【答案】A 【分析】先根据题意，利用求和公式分别表示出等差数列的前6项和与等比数列的前3项和，再由二者相等建立关于的方程，进一步求解出. 【详解】依题意可知，，显然， 又， 则． 又，故， 所以，解得，所以． 8．（2026·辽宁朝阳·三模）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 二、多选题 9．（26-27高三上·广东·阶段检测）记为正项等比数列的前项和，为的公比，若，，则（    ） A． B． C．是递增数列 D． 【答案】BCD 【分析】根据正项等比数列及可得数列的公比，再根据数列通项公式及求和公式即可求解. 【详解】因为数列为正项等比数列， 且， 所以，即,故选项A错误. 又因为， 所以,故选项B正确. 所以， ， 所以数列为递增数列，， 故选项C，D正确. 10．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列满足，其前项和为，且，则（   ） A． B．是递减数列 C． D．是等差数列 【答案】ACD 【分析】求出的值，分析可知数列为等比数列，确定该数列的公比，可得出数列的通项公式，可判断AB选项；利用等比数列的求和公式可判断C选项；利用等差数列的定义可判断D选项. 【详解】因为数列满足，所以，， 所以，故，A对， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 故数列是单调递增数列，B错， ，C对， ，故数列是等差数列，D对. 故选：ACD. 三、填空题 11．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）在各项均为正数的等比数列中，，已知，则 _________ 【答案】15 【分析】根据等比数列的通项公式和前项和公式计算即可. 【详解】由已知可设等比数列的首项为，公比为，则，， 由，有，化简得，解得，. 又，解得. 所以. 12．（2027高三·全国·专题练习）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，则________，________． 【答案】 8 【详解】由题知数列为等比数列，公比且，由，得， 解得，故． 13．（26-27高三上·福建莆田·开学考试）已知是等比数列的前项和，且，，则________． 【答案】 【分析】计算出公比后使用等比数列前项和公式求解. 【详解】等比数列的公比为：， 则. 14．（25-26高二下·广东潮州·期末）设等比数列的前项和为，已知，，则________． 【答案】5 【分析】根据等比数列的通项公式以及前项和公式，将题中所给条件用表示，然后建立方程求出的值，最后再利用等比数列前项和公式求出即可. 【详解】，解得.所以. 四、解答题 15．（26-27高二上·甘肃庆阳·阶段检测）（1）已知数列是等比数列，若，求及； （2）在（1）的条件下，若数列的通项公式为，求它的前n项和． 【答案】(1) ，. (2) . 【分析】（1）利用等比数列通项公式列出关于公比的方程求出，再代入通项公式和前项和公式求解； （2）将数列拆分为等差数列与等比数列，利用分组求和法分别求和后相加. 【详解】(1)设等比数列的公比为，由等比数列通项公式得，代入得，解得， 因此通项公式，前项和; (2)由，前项和可分组为等差数列的和与等比数列的和之和， 即. 16．（26-27高二上·福建龙岩·阶段检测）等比数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和及． 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，解得， 所以. （2）由（1）可知：， 所以，且. 17．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知数列是等比数列，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）数列是等比数列，，，得数列的公比满足，解得. 则的通项公式为. （2）将数列的前项和分成等比数列和等差数列分别求和. 则. 18．（25-26高二下·广东广州·期末）已知等差数列的前项和为，且满足，，数列满足，． (1)求和； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)，. (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 由等差数列求和公式得， 化简得， 因为且,所以是常数， 因此是等比数列，设其公比为，则， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 由等比数列通项公式得， 所以，. （2）因为， 设数列的前项和为，则         所以数列的前项和为. B能力提升 1．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．256 B．255 C．129 D．127 【答案】B 【分析】用替换可得，，再与相减可得，，再用累加迭代即可求解. 【详解】令，得 ， 用替换可得，，再与相减可得，，那么 . 2．（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）已知正项等比数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C．15 D．40 【答案】C 【分析】根据等比数列前项和公式，结合已知条件求出公比，再计算. 【详解】对于正项等比数列，其首项为，公比为， 前项和公式为，已知， 假设，则，那么，， 因为，所以，由可得： ，化简可得：， 根据立方差公式可得：， 因为且，所以，等式两边除以可得： ，化简可得：， 进一步化简得：，即，求解可得： 或，因为，所以，根据等比数列的前项公式可得： . 3．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知等比数列的首项为，其前项和为，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先联立等比数列的通项条件与前3项和条件求解公比和首项，再代入前6项和公式计算结果. 【详解】设等比数列的公比为，， 由得（1） 由（2）， 将式（2）代入式（1）得，，解得， 将代入式（2）得，，解得， 所以. 4．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知数列的通项公式为，数列是首项为1、公比为2的等比数列，则___________． 【答案】 【详解】由等比数列通项公式，得 ，所以 . 因为 ，所以 . 于是 . 5．（2027高三·全国·专题练习）已知数列满足，则_________． 设，其中[x]表示不超过x的最大整数，为数列的前n项和，若，则n的取值范围为______ 【答案】 【分析】根据递推关系可得是以3为首项，4为公比的等比数列，利用累加法求出通项，据此求出，再化简可得，利用裂项相消法求解. 【详解】 ，而, 是以3为首项，4为公比的等比数列， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，，． C综合素养 6．（2025高三上·全国·竞赛）在下图中，最外面的正方形内包含无限多个正方形，每个正方形都有相同的中心，且边与最外面正方形的边平行．每个正方形与其相邻的内部正方形的边长之比为，其中．如图所示，正方形之间的区域交替涂色（图形未必按比例绘制）．若图形中阴影部分的面积是原正方形面积的，问是多少？（    ）    A． B． C． D． E． 【答案】D 【分析】设最外层正方形面积为，利用等比数列求和公式表示出阴影部分的总面积，结合已知比例建立方程即可求解. 【详解】设最外侧的正方形（第1个正方形）的边长为，则其面积为. 由题意可知，正方形边长构成公比为的等比数列， 即第个正方形的边长为， 相应地，第个正方形的面积为. 观察图形可知，阴影部分由最外层正方形与第2个正方形之间的区域、第3个正方形与第4个正方形之间的区域……以此类推组成， 即阴影部分的面积可以表示为：， 代入面积公式，得， 则括号内是一个首项为1，公比为的无穷等比数列， 因为，所以，该级数收敛，利用无穷等比数列求和公式，，可得， 根据题意，阴影部分的面积是原正方形面积的，即， 所以，因为，，解得： 7．（24-25高二上·湖南株洲·期末）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；……，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使余下的各区间长度之和小于，则操作的次数的最小值为（     ）（参考数据：，，，） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】用1减去次操作去掉的线段总长度即为余下的各区间长度之和，然后利用等比数列求和公式结合已知数据即可求解． 【详解】记表示第次操作后余下的各区间长度之和， 由于第一次操作去掉的线段长为，第二次操作去掉的线段长为，，第次操作去掉的线段长度为， 因此， 则由题意得， 而，，所以的最小值为6． 8．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知数列中，，． (1)证明：数列是等比数列； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)由题意证明如下，， 在数列中，，， ， 即， . 是以为首项，为公比的等比数列； (2) 【分析】（1）将题设条件转化为即可证明； （2）由已知可得，利用错位相减法即可求和. 【详解】（1）略. （2）由题意及（1）得，， ， 又， 得， ， 两式作差， 得． 所以． 9．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知等差数列的公差为，且． (1)求数列的通项公式与其前项和； (2)将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列的前3项，记的前项和，若存在，使得对任意，总有，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，，． (2)的取值范围为． 【分析】（1）由已知结合等差数列的性质，求出，可求得数列的通项公式，利用等差数列的前项和公式求得； （2）由已知求出数列的通项公式，利用等比数列求和公式求，再求的范围，利用等差数列求和公式求，再求其最大值，根据题意可得，进而求解可得实数的取值范围． 【详解】（1）因为为等差数列，且， 所以，即． 又因为公差， 所以，， ，． （2）由（1）知数列的前项为，，，， 所以等比数列的前项为，，， 所以， ， ， 所以， 因为， 因为存在，使得对任意，总有成立， 所以，． 所以实数的取值范围为． 10．（26-27高三上·山东青岛·阶段检测）已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中. (1)求证：数列是等比数列，并求； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前n项的和. 【答案】(1)因为点在直线上，所以， 因为点在直线上，所以， 将代入上式得：， 又因为，所以， 又已知，由得，解得， 由得， 因此数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，故. (2) 【分析】（1）由点在直线上得到，由点在直线上得到，将代入结合，通过计算得到数列是等比数列，利用等比数列的通项公式得解； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成等差数列，则这个等差数列的公差为，由等差数列通项公式知，将代入解出，求出，利用错位相减法求出数列的前n项和 【详解】（1）略 （2）在与之间插入n个数，使这个数组成等差数列， 则这个等差数列的公差为，由等差数列通项公式知， 将代入得， 解得，从而得到， 则数列的前n项和为：①， 将①两边同乘得②， 用①式减去②式（错位相减法）得③， 将代入③得 ④， ④两边同乘2得， 故数列前n项的和. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 4.3.2等比数列的前项和公式 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：等比数列前项和公式 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 【即学即练1】（26-27高三·全国·一轮复习）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．64 B． C．32 D． 知识点02:等比数列前项和的性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 【即学即练2】（24-25高二上·江苏连云港·阶段检测）等比数列的首项为，项数是偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则（     ） A． B． C． D． 知识点03：错位相减法求数列的和 推导等比数列前项和的方法叫做错位相减法,一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项的积所构成的数列的前项和. 第三部分 题型精讲 题型01等比数列前项和的基本量计算 【典例1】（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）在正项数列中，已知. (1)证明：为等比数列； (2)若，，求的前项和. 【典例2】（24-25高二上·河南周口·期末）设为正项等比数列的前项和，已知，. (1)求数列的公比； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【变式1】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）设等比数列的前项和为，若，，求. 【变式2】（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 【变式3】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知等比数列满足：，，且公比． (1)求数列的通项公式； (2)若该数列的前项和，求的值． 题型02等比数列前项和的片段和性质 【典例1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设等比数列的前n项和为，已知，，则（     ） A．18 B．26 C．34 D．42 【典例2】（2026·贵州遵义·模拟预测）记为等比数列的前n项和．若，，则______． 【变式1】（2026·湖北鄂州·模拟预测）记为等比数列的前项和．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27高三上·辽宁·阶段检测）记为正项等比数列的前项和，已知，，则（   ） A．11 B．15 C．19 D．23 【变式3】（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．12或-15 B．15或-12 C．15 D．12 题型03等比数列奇、偶项和的性质 【典例1】（25-26高二下·四川雅安·阶段检测）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则（ ） A．-2 B．2 C．1 D．3 【典例2】（2026高二·全国·专题练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 【变式1】（24-25高三上·重庆·阶段检测）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【变式2】（2026高二·全国·专题练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是_____. 【变式3】（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，前6项中偶数项和是奇数项和的2倍，则______． 题型04 分组求和法求数列的前项和 【典例1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知是各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，，求数列的前项和． 【典例2】（26-27高三上·黑龙江·阶段检测）已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式1】（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）等差数列的前项和，等比数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式2】（26-27高二上·甘肃白银·阶段检测）已知是等差数列，是等比数列，且，，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的通项公式及前项和. 【变式3】（26-27高三上·重庆九龙坡·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足：，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求． 题型05 错位相减法求数列的前项和 【典例1】（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求的前项和； (3)若，求的前项和． 【典例2】（26-27高三上·广东江门·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，；等比数列的首项为1且，，成等差数列． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【变式1】（2026高二·全国·专题练习）已知数列满足，且（）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【变式2】（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列满足，． (1)证明：数列是常数列，并求数列的通项公式； (2)设，求的前项和． 【变式3】（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）已知数列是公差不为0的等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求满足的最大正整数． 题型06 等差数列与等比数列的综合问题 【典例1】（24-25高二上·江苏连云港·阶段检测）已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列． (1)求数列、的通项公式； (2)设的前项和为，求 (3)设，求的前项和． 【典例2】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）等差数列的前项和为，且，，数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)证明：数列是等比数列； (3)已知数列满足，求数列的前项和． 【变式1】（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）已知数列，其前项和为，，且，．数列是等差数列，其前项和为，，． (1)求证：是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【变式2】（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知等差数列，若，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，设，求数列的前项和. 【变式3】（26-27高二上·福建莆田·阶段检测）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. (3)求数列的最大值. 题型07 等比数列求和在传统文化中的应用 【典例1】（25-26高二下·青海西宁·期末）在重大节日里，从古至今我国有悬挂灯笼增加节日气氛的习俗．据文献记载，古代有一座层的塔共挂了盏灯笼，相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的倍，顶层有盏灯笼，问共有多少层塔？（     ） A．层 B．层 C．层 D．层 【典例2】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列的前4项，则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）《九章算术》中有“女子善织”问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的倍，天共织尺，若该女子欲织满尺，则至少需要（   ）日 A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·广东·期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：一座七层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍．则该塔中间层（即第四层）悬挂灯的盏数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）中国古代数学著作《算法统宗》中有一道数学题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关.”其大意为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第3天、第4天、第5天一共走的路程为（   ） A．里 B．里 C．里 D．里 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（2026·黑龙江大庆·一模）已知正项等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．7 B．15 C．31 D．63 2．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知等比数列公比，前3项和，则其首项的值为（    ） A．7 B． C． D．1 3．（青海西宁市青海师范大学附属第二实验中学2024-2025学年高三年级十一月月考数学试卷）已知等比数列 的各项均为正数，且 ，则其前 项和 （    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·天津和平·开学考试）已知数列的前项和为，且满足，则的值为（     ） A．9 B．21 C．45 D．93 5．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球.已知该地某芯片企业近个月的月产量构成等比数列，其中前个月总产量为万片，前个月总产量为万片，则该企业这个月的总产量为（    ） A．万片 B．万片 C．万片 D．万片 6．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河南·模拟预测）设等差数列的首项和公差均为m，等比数列的首项和公比也均为m，其中，若数列的前6项和与数列的前3项和都等于S，则（   ） A．84 B．63 C．42 D．21 8．（2026·辽宁朝阳·三模）设，则（   ） A． B． C．D． 二、多选题 9．（26-27高三上·广东·阶段检测）记为正项等比数列的前项和，为的公比，若，，则（    ） A． B． C．是递增数列 D． 10．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列满足，其前项和为，且，则（   ） A． B．是递减数列 C． D．是等差数列 三、填空题 11．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）在各项均为正数的等比数列中，，已知，则 _________ 12．（2027高三·全国·专题练习）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，则________，________． 13．（26-27高三上·福建莆田·开学考试）已知是等比数列的前项和，且，，则________． 14．（25-26高二下·广东潮州·期末）设等比数列的前项和为，已知，，则________． 四、解答题 15．（26-27高二上·甘肃庆阳·阶段检测）（1）已知数列是等比数列，若，求及； （2）在（1）的条件下，若数列的通项公式为，求它的前n项和． 16．（26-27高二上·福建龙岩·阶段检测）等比数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和及． 17．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知数列是等比数列，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 18．（25-26高二下·广东广州·期末）已知等差数列的前项和为，且满足，，数列满足，． (1)求和； (2)若，求数列的前项和． B能力提升 1．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．256 B．255 C．129 D．127 2．（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）已知正项等比数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C．15 D．40 3．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知等比数列的首项为，其前项和为，若且，则（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知数列的通项公式为，数列是首项为1、公比为2的等比数列，则___________． 5．（2027高三·全国·专题练习）已知数列满足，则_________． 设，其中[x]表示不超过x的最大整数，为数列的前n项和，若，则n的取值范围为______ C综合素养 6．（2025高三上·全国·竞赛）在下图中，最外面的正方形内包含无限多个正方形，每个正方形都有相同的中心，且边与最外面正方形的边平行．每个正方形与其相邻的内部正方形的边长之比为，其中．如图所示，正方形之间的区域交替涂色（图形未必按比例绘制）．若图形中阴影部分的面积是原正方形面积的，问是多少？（    ）    A． B． C． D． E． 7．（24-25高二上·湖南株洲·期末）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；……，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使余下的各区间长度之和小于，则操作的次数的最小值为（     ）（参考数据：，，，） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知数列中，，． (1)证明：数列是等比数列； (2)记，求数列的前项和． 9．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知等差数列的公差为，且． (1)求数列的通项公式与其前项和； (2)将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列的前3项，记的前项和，若存在，使得对任意，总有，求实数的取值范围． 10．（26-27高三上·山东青岛·阶段检测）已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中. (1)求证：数列是等比数列，并求； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前n项的和. 学科网（北京）股份有限公司 $