第04讲 4.3.1等比数列的概念讲义（知识清单+6类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第04讲 4.3.1等比数列的概念 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 知识点02：等比中项 如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔. 【即学即练1】（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）数与的等差中项，等比中项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】根据等差中项定义，若为实数，的等差中项，则满足， 将，代入得，解得， 根据等比中项定义，若为非零实数，的等比中项，则满足， 将，代入得，解得， 综上，2与8的等差中项为，等比中项为. 知识点03：等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列的第项有公式.这就是等比数列的通项公式，其中为首项，为公比． 知识点04：等比数列的单调性 已知等比数列的首项为，公比为 1、当或时，等比数列为递增数列； 2、当或时，等比数列为递减数列； 3、当时，等比数列为常数列（） 4、当时，等比数列为摆动数列. 【即学即练2】（26-27高三上·山东滨州·开学考试）已知正项等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及数列的单调性、等比数列的通项公式即可求解. 【详解】取，显然数列不是递增数列，即“”不是“是递增数列”的充分条件； 若是递增数列，则，即，由知，即“”是“是递增数列”的必要条件. 综上，“”是“是递增数列”的必要不充分条件. 知识点05：等比数列的判断（证明） 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 知识点06：等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). (4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 【即学即练3】（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知等比数列各项均为正数，，则______． 【答案】 【详解】因为是等比数列，所以，因为,所以,所以. 第三部分 题型精讲 题型01等比数列通项公式的应用 【典例1】（26-27高三上·湖北黄石·开学考试）等比数列的公比为2，且，，成等差数列，则数列的通项公式__________． 【答案】 【分析】根据等比数列通项公式，将用首项表示，由等差数列中项性质建立方程，求解首项，进而写出通项公式. 【详解】因为等比数列的公比为2， 所以， 因为，，成等差数列， 所以， 即，解得， 所以. 【典例2】（25-26高一下·上海徐汇·期末）已知等差数列不是常数列，其前四项和为10，且成等比数列： (1)求数列的通项公式； (2)设，求证数列是等比数列. 【答案】(1) (2)由（1）知，则， 所以， 所以数列是等比数列，且等比数列的首项为，公比为. 【分析】（1）设等差数列的公差为，，依题意建立关于的方程组，求解后代入通项公式化简即得； （2）在求出的通项后，再利用等比数列的定义证明是等比数列. 【详解】（1）设等差数列的公差为，， 因为数列的前四项和为10，且成等比数列， 则，， 即，化简得，解得. 故数列的通项公式为. （2）略 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）设为数列的前项和，若，则________． 【答案】 【分析】根据与的关系，结合等比数列的定义求解即可. 【详解】当时，，解得． 当时，，作差得，整理得． 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以． 又符合上式，故． 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）设数列的前n项和为，且．求数列的通项公式． 【答案】 【分析】利用递推式，取，求出，当时，得出，进而求出数列的通项公式． 【详解】当时，，解得， 当时，，， ，， ， 数列是以2为首项，4为公比的等比数列，则， 数列的通项公式为． 【变式3】（25-26高二下·广东中山·阶段检测）在等比数列中． (1)若它的前三项分别为，求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在等比数列中，，，，而， 所以． （2）因为，又，，，则， 解得． （3）因为，，则 题型02等比中项 【典例1】（25-26高二下·陕西安康·期末）3与9的等比中项为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查等比中项的定义，若成等比数列，则. 【详解】设与的等比中项为 由等比数列的等比中项定义可知，，解得. 【典例2】（2026·广西南宁·模拟预测）若数列1，b，9是等比数列，则实数b的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若数列1，b，9是等比数列， 则， 所以. 【变式1】（25-26高二下·广西百色·阶段检测）已知实数是3与9的等比中项，则（   ） A． B． C． D．6 【答案】A 【详解】已知是3与9的等比中项， ，解得． 【变式2】（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）两个数和的等比中项为（   ） A．6 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】设两个数的等比中项为，，解得． 【变式3】（25-26高二下·北京海淀·期中）已知为4与9的等比中项，则的值为（    ） A．6 B．-6 C． D．36 【答案】C 【分析】由等比数列中项性质求解即可. 【详解】因为4与9的等比中项，即，解得. 题型03等比数列的判断与证明 【典例1】（多选）（24-25高二下·湖北·期中）设数列，均为等比数列，则下列选项一定为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据等比数列的定义，逐项判断即可. 【详解】设等比数列，的公比分别为，， 则对于A，当时，不合题意； 对于B，，数列一定是等比数列； 对于C，，数列一定是等比数列； 对于D，取，则，不合题意. 故选择：BC. 【典例2】（2025高二上·湖南长沙·专题练习）数列的前n项和记为，已知，（），求证：数列是等比数列； 【答案】 ∵，， ∴. 即，∴，而， 故是以2为公比的等比数列. 【分析】由化简已知条件，得到，从而证得数列是等比数列. 【详解】略 【变式1】（多选）（24-25高三下·安徽·阶段检测）记数列的前项和为，则下列条件使一定为等比数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用等比数列定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，由等比数列定义知，一定为等比数列，A是； 对于B，当时，成立，不成等比数列，B不是； 对于C，由，得，不成等比数列，C不是； 对于D，由，得，是公比为1的等比数列，D是. 故选：AD 【变式2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列的前项和为，且．求证：数列为等比数列； 【答案】 证明：当时，可得，又，所以，解得， 当时 ，由，可得， 则， 整理得：， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 【分析】利用与的关系式，求出递推公式，再结合等比数列的定义即可证明. 【详解】略 【变式3】记为数列的前项和．已知．证明：是等比数列． 【答案】因为，所以当时，． 两式相减得，即． 当时，由题可知，此时满足． 则，故数列是首项为2，公比为3的等比数列． 【分析】根据的关系式写出的关系式得等式进行转化，证明为定值，验证是否满足，根据等比数列的定义可得结论； 【详解】略 题型04等比数列性质的应用 【典例1】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知数列{}为等比数列，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列中下角标成等差数列的对应项成等比数列的性质，代入已知值计算即可求得. 【详解】 在等比数列中，若（），则满足. 由于，因此， 将，代入得：，解得. 【典例2】（福建省泉州市惠安县2027届高中毕业班7月质量检测数学试题）在正项等比数列中，，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】因为数列为正项等比数列，则，即， 又因为，即， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 【变式1】（25-26高二下·辽宁·期末）若等比数列中的，是方程的两个根，则（    ） A． B．1015 C． D．1014 【答案】C 【分析】由等比数列的性质得到，进而得到，再根据对数的运算性质计算即可. 【详解】由韦达定理可知，由等比数列的性质可知 ，所以， 所以 . 【变式2】（2027高三·全国·专题练习）正项等比数列的公比恰好等于函数的零点，且，则________． 【答案】 【详解】令，得，解得， 所以函数的零点为，因此等比数列的公比. 因为，所以或（舍去，因为）， 又因为，所以. 【变式3】（25-26高二下·广东广州·期末）已知等比数列，公比，且，则______． 【答案】256 【分析】根据题意，得到，，成等比，且公比为，结合等比数列的性质，即可求解. 【详解】因为等比数列中，且公比， 可得，，成等比，且公比为， 又因为，所以可得， 可得． 题型05构造等比数列求通项公式（构造法求通项） 【典例1】（25-26高三·全国·一轮复习）设数列的前n项和为，已知，，，则通项公式______． 【答案】 【详解】在数列中，由，得， 则，而，则， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，即， 当时，，也满足此式， 所以． 【典例2】（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列满足，且，则__________. 【答案】 【分析】由递推关系结合，确定，再对递推关系取倒数可得，再证明数列为等比数列，结合等比数列通项公式求数列的通项公式，再求结论. 【详解】因为，， 所以，，，，， 即，， 所以， 所以，又因为， 所以，， 所以， 所以数列为首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以，故， 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·山东德州·阶段检测）已知数列满足关系：，当时，，则数列的通项公式为_________________. 【答案】 【分析】由递推关系构造等比数列，再由等比数列的通项公式求解即可. 【详解】由题意可得当时，，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）在数列中，，且，则通项公式_______． 【答案】 【分析】利用构造法来求通项公式，如由构造为，从而用等比通项来求解即可. 【详解】递推式的两边同时除以，得到． 令，则． 显然有，， 故是以为首项，为公比的等比数列． 因此，可得． 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·江苏镇江·期中）在数列中，，则______． 【答案】 【分析】利用构造法构造数列，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以数列是一个等比数列， 所以， 所以． 故答案为：． 题型06等比数列在传统文化中的应用 【典例1】（2026·北京朝阳·模拟预测）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（     ） A．284 B．381 C．384 D．484 【答案】C 【详解】设由前3项构成的等差数列的公差为，后7项构成的等比数列的公比为， 则，，两式相除得，解得或（舍去）， ，故， 又，， . 【典例2】（24-25高三上·甘肃白银·阶段检测）如图，这是战国时楚国标准度量衡器，于1954年出土于湖南长沙的木衡铜环权，包括木质秤杆、两个铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，用于测量物体质量．已知九枚铜环权中质量最小的为1铢，最大的为8两（古制1两=24铢，1斤=16两），且按从小到大的顺序排列后前3项构成等差数列，后7项构成公比为2的等比数列，若某物体的质量恰为第2，5，7枚铜环权的质量和，则该物体的质量为（   ）    A．2两4铢 B．2两14铢 C．3两2铢 D．3两12铢 【答案】B 【分析】根据等差数列、等比数列的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设九枚铜环权按从小到大的顺序排列后的质量为， 由题意知，，，得， 则，，，铢两14铢． 故选：B 【变式1】（25-26高二上·贵州贵阳·期末）朱载堉（1536年-1611年），中国明代一位杰出的音乐家、律学家、历法学家，他的著作《律学新说》阐述了最早的“十二平均律”，是目前世界上通用的把一组音分成十二个半音音程的律制．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音开始，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音频率是第一个单音频率的2倍．已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（    ） A．494Hz B．349Hz C．311Hz D．277Hz 【答案】C 【分析】将13个单音的频率依次组成等比数列，利用题目条件求出公比，再通过已知的第10个单音频率，结合等比数列的性质求出第4个单音的频率. 【详解】设13个单音的频率依次组成等比数列，公比为， 已知，所以，得，即； 第十个单音，第四个单音，两式相除得， 所以，与最接近的是. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·江苏镇江·期中）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（    ） A．1010 B．2024 C．1012 D．2020 【答案】C 【分析】利用高斯算法可推出，再利用等比数列性质即可类比得出. 【详解】根据可得， 所以； 由等比数列性质可得， 因此可得. 故选：C 【变式3】（25-26高二下·陕西·阶段检测）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，6，15，28，…称为六边形数，将六边形数按从小到大的顺序排成数列，则（    ） A． B． C．不是等比数列 D． 【答案】BC 【分析】分析可知，，即可判断C；利用累加法可得，即可判断AB；再利用作差法判断D. 【详解】在数列中，有， 进一步，得， 所以可以得到递推关系：，即， 因为，显然不是常数， 所以数列不是等比数列，故C正确； 当时， ， 显然也成立，所以， 可得，，故A错误，B正确； 因为， 即，故D错误. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（23-24高二上·北京·期末）已知等比数列满足，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列通项公式将已知等式转化为关于首项和公比的方程组，联立求解即可. 【详解】因为，，即，解得 . 2．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）“四个非零实数、、、依次成等比数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性验证： 若非零实数、、、依次成等比数列，不妨设该等比数列的公比为， 则，，， 所以，，因此， 故“四个非零实数、、、依次成等比数列”“”； 必要性验证： 若，当，，则此四数无法形成等比数列， 故“四个非零实数、、、依次成等比数列”“”. 因此，“四个非零实数、、、依次成等比数列”是“”的充分不必要条件. 3．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知是公差不为零的等差数列，，若、、成等比数列，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等比中项的性质结合等差数列的基本量运算求出公差，再计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 已知，且、、成等比数列， 由等比中项的性质可得：， 根据等差数列通项公式，可得，， 代入上式得：，展开整理得，解得或（舍）， 因此. 4．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）正项等差数列的公差为，已知，且，，三项成等比数列，则（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】利用等比中项性质可知，，再应用等差数列的性质即可求解. 【详解】因为，，三项成等比数列，所以， 故，结合可得 ， 解得 或（负值舍去）. 5．（2027高三·全国·专题练习）在各项均为正数的等比数列中，，则下列结论中正确的是（   ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．数列是常数列 D．数列有可能是递增数列也有可能是递减数列 【答案】C 【分析】由已知等式展开，利用等比数列的性质将各项统一用首项和公比表示，化简后得到关于公比的方程，解得（ 舍去），从而判断该数列为常数列． 【详解】各项均为正数的等比数列中，因为成立，即成立． 利用等比数列的定义和性质化简可得，进一步化简得． 设公比为，则得，化简可得，即， 所以，故（由于各项均为正数的等比数列，故舍去）． 故此等比数列是常数列． 6．（26-27高三上·广东汕头·开学考试）已知数列是等差数列，是等比数列，且，则数列（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设数列的公差为，数列的公比为， 因为，则，所以，， 又，则，，解得， 所以. 7．（26-27高三上·广西·阶段检测）设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正数等比数列的公比为， 由等比数列通项公式： ，已知， ， 因为，所以， 由基本不等式可得，， 当且仅当时取等号（取得最小值）， 解方程：，，舍去负根， 再利用等比数列性质，， ，. 8．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知函数，且等比数列满足，则（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．1013 【答案】A 【分析】由及等比数列下标和定理即可求解． 【详解】， 则， 因为为等比数列，所以， 所以． 9．（多选）（25-26高二下·浙江丽水·期中）已知数列满足，则下列结论正确的有（   ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．的通项公式为 D．数列是递增数列 【答案】AC 【详解】由，得，则， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，故A正确，B错误； 则，即，即数列是递减数列，故C正确，D错误. 10．（多选）（25-26高二上·重庆·期末）已知等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，得到，结合等比数列的性质，得到，即可求解. 【详解】因为是方程的两根，可得， 又由等比数列的性质，可得，所以. 显然存在（还有其它情况）满足题设. 故选：AD 11．（26-27高二上·全国·课后作业）在等比数列中，，，则______． 【答案】 【分析】根据等比数列性质求解. 【详解】由等比数列的性质，可知，，，也成等比数列，设其公比为， 则，得，． 12．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）若数列是等比数列，且其前项和为，则实数________． 【答案】3 【分析】通过推导出时的通项公式，结合条件可得时也满足该通项公式，进而可求得的值. 【详解】由题意得， 当时，， 因为数列是等比数列，所以时也满足， 即，解得. 13．（25-26高二下·北京·期末）数列满足，，则_________． 【答案】 【分析】根据题意得到，再结合等比数列的定义即可得到的通项公式． 【详解】由， 得，即， 则是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． 14．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)因为 所以 , 则， 又. 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， (2) 【分析】(1)根据已知证明为一个常数，即可得证； (2)由(1)求出数列的通项，从而得到答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 所以． 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）在等比数列中． (1)已知，，求； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由等比数列的通项公式得． （2）设等比数列的公比为，则，解得， 所以． B能力提升 1．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． (1)分别求数列，的通项公式． (2)若对任意，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出公比，得到的通项公式，进而可得公差，得到的通项公式； （2）变形得到，令，作差法得到的最大值，从而得到答案 【详解】（1）数列为等比数列，设其公比为， ，，故，解得， 所以数列的通项公式为； 则，， 为等差数列，设其公差为，则，解得， 所以的通项公式为； （2），故，即， 令，则， 故当时，，当时，， 当时，， 所以，所以的最大值为， 故，实数的最小值为1. 2．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式； 【答案】 【分析】由已知及构造法得，再由等比数列的定义可得答案. 【详解】因为，，易知， 取倒数得，，即， 因为，所以，所以为常数， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 所以，则， 所以，即数列的通项公式为. 3．（25-26高二下·湖北武汉·期中）在数列中，，； (1)求，，的值； (2)设，求证数列是等比数列； (3)求数列的通项公式及前n项和的通项公式． 【答案】(1) (2) 已知，当时，， ， ，即， ， 是首项为3，公比为2的等比数列． (3)； 【分析】（1）利用前项和的性质及递推式，运用赋值法计算求解； （2）结合已知条件，利用作差法求出的递推关系，进而证明结论； （3）结合（2）结论，结合等差数列的性质求出，利用递推关系求出． 【详解】（1）已知， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ． （2）略 （3）由（2）得， ， 是以为首项，为公差的等差数列， ， ，成立， ； 已知，把替换为得， ， 当时，，成立， 故． 4．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知数列的首项，且满足.求证:是等比数列. 【答案】 根据题意，， 则， 且， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 【详解】略 5．（2026·湖北黄石·一模）已知数列满足. (1)设，证明是等比数列，并求的通项公式； (2)判断数列的单调性. 【答案】(1)由，得： ， 故，即， 又， 故是以为首项，为公比的等比数列，且. (2)递增数列 【分析】（1）先得的表达式，即可得求解，根据等比数列的通项求解， （2）代入的通项，进而利用作差法，即可判断单调性. 【详解】（1）略 （2）由，解得 ， 即，故数列为递增数列. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 4.3.1等比数列的概念 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 知识点02：等比中项 如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔. 【即学即练1】（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）数与的等差中项，等比中项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 知识点03：等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列的第项有公式.这就是等比数列的通项公式，其中为首项，为公比． 知识点04：等比数列的单调性 已知等比数列的首项为，公比为 1、当或时，等比数列为递增数列； 2、当或时，等比数列为递减数列； 3、当时，等比数列为常数列（） 4、当时，等比数列为摆动数列. 【即学即练2】（26-27高三上·山东滨州·开学考试）已知正项等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点05：等比数列的判断（证明） 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 知识点06：等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). (4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 【即学即练3】（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知等比数列各项均为正数，，则______． 第三部分 题型精讲 题型01等比数列通项公式的应用 【典例1】（26-27高三上·湖北黄石·开学考试）等比数列的公比为2，且，，成等差数列，则数列的通项公式__________． 【典例2】（25-26高一下·上海徐汇·期末）已知等差数列不是常数列，其前四项和为10，且成等比数列： (1)求数列的通项公式； (2)设，求证数列是等比数列. 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）设为数列的前项和，若，则________． 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）设数列的前n项和为，且．求数列的通项公式． 【变式3】（25-26高二下·广东中山·阶段检测）在等比数列中． (1)若它的前三项分别为，求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 题型02等比中项 【典例1】（25-26高二下·陕西安康·期末）3与9的等比中项为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·广西南宁·模拟预测）若数列1，b，9是等比数列，则实数b的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·广西百色·阶段检测）已知实数是3与9的等比中项，则（   ） A． B． C． D．6 【变式2】（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）两个数和的等比中项为（   ） A．6 B． C．2 D． 【变式3】（25-26高二下·北京海淀·期中）已知为4与9的等比中项，则的值为（    ） A．6 B．-6 C． D．36 题型03等比数列的判断与证明 【典例1】（多选）（24-25高二下·湖北·期中）设数列，均为等比数列，则下列选项一定为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025高二上·湖南长沙·专题练习）数列的前n项和记为，已知，（），求证：数列是等比数列； 【变式1】（多选）（24-25高三下·安徽·阶段检测）记数列的前项和为，则下列条件使一定为等比数列的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列的前项和为，且．求证：数列为等比数列； 【变式3】记为数列的前项和．已知．证明：是等比数列． 题型04等比数列性质的应用 【典例1】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知数列{}为等比数列，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（福建省泉州市惠安县2027届高中毕业班7月质量检测数学试题）在正项等比数列中，，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式1】（25-26高二下·辽宁·期末）若等比数列中的，是方程的两个根，则（    ） A． B．1015 C． D．1014 【变式2】（2027高三·全国·专题练习）正项等比数列的公比恰好等于函数的零点，且，则________． 【变式3】（25-26高二下·广东广州·期末）已知等比数列，公比，且，则______． 题型05构造等比数列求通项公式（构造法求通项） 【典例1】（25-26高三·全国·一轮复习）设数列的前n项和为，已知，，，则通项公式______． 【典例2】（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列满足，且，则__________. 【变式1】（24-25高二下·山东德州·阶段检测）已知数列满足关系：，当时，，则数列的通项公式为_________________. 【变式2】（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）在数列中，，且，则通项公式_______． 【变式3】（23-24高二上·江苏镇江·期中）在数列中，，则______． 题型06等比数列在传统文化中的应用 【典例1】（2026·北京朝阳·模拟预测）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（     ） A．284 B．381 C．384 D．484 【典例2】（24-25高三上·甘肃白银·阶段检测）如图，这是战国时楚国标准度量衡器，于1954年出土于湖南长沙的木衡铜环权，包括木质秤杆、两个铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，用于测量物体质量．已知九枚铜环权中质量最小的为1铢，最大的为8两（古制1两=24铢，1斤=16两），且按从小到大的顺序排列后前3项构成等差数列，后7项构成公比为2的等比数列，若某物体的质量恰为第2，5，7枚铜环权的质量和，则该物体的质量为（   ）    A．2两4铢 B．2两14铢 C．3两2铢 D．3两12铢 【变式1】（25-26高二上·贵州贵阳·期末）朱载堉（1536年-1611年），中国明代一位杰出的音乐家、律学家、历法学家，他的著作《律学新说》阐述了最早的“十二平均律”，是目前世界上通用的把一组音分成十二个半音音程的律制．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音开始，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音频率是第一个单音频率的2倍．已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（    ） A．494Hz B．349Hz C．311Hz D．277Hz 【变式2】（24-25高二上·江苏镇江·期中）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（    ） A．1010 B．2024 C．1012 D．2020 【变式3】（25-26高二下·陕西·阶段检测）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，6，15，28，…称为六边形数，将六边形数按从小到大的顺序排成数列，则（    ） A． B． C．不是等比数列 D． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（23-24高二上·北京·期末）已知等比数列满足，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）“四个非零实数、、、依次成等比数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知是公差不为零的等差数列，，若、、成等比数列，则 （    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）正项等差数列的公差为，已知，且，，三项成等比数列，则（    ） A． B．3 C．1 D． 5．（2027高三·全国·专题练习）在各项均为正数的等比数列中，，则下列结论中正确的是（   ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．数列是常数列 D．数列有可能是递增数列也有可能是递减数列 6．（26-27高三上·广东汕头·开学考试）已知数列是等差数列，是等比数列，且，则数列（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·广西·阶段检测）设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知函数，且等比数列满足，则（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．1013 9．（多选）（25-26高二下·浙江丽水·期中）已知数列满足，则下列结论正确的有（   ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．的通项公式为 D．数列是递增数列 10．（多选）（25-26高二上·重庆·期末）已知等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 11．（26-27高二上·全国·课后作业）在等比数列中，，，则______． 12．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）若数列是等比数列，且其前项和为，则实数________． 13．（25-26高二下·北京·期末）数列满足，，则_________． 14．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)求的通项公式． 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）在等比数列中． (1)已知，，求； (2)已知，，求． B能力提升 1．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． (1)分别求数列，的通项公式． (2)若对任意，恒成立，求实数的最小值． 2．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式； 3．（25-26高二下·湖北武汉·期中）在数列中，，； (1)求，，的值； (2)设，求证数列是等比数列； (3)求数列的通项公式及前n项和的通项公式． 4．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知数列的首项，且满足.求证:是等比数列. 5．（2026·湖北黄石·一模）已知数列满足. (1)设，证明是等比数列，并求的通项公式； (2)判断数列的单调性. 学科网（北京）股份有限公司 $