第02讲 5.2导数的运算讲义（知识清单+9类热点题型讲练+分层强化训练）2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第02讲 5.2导数的运算 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 (为常数) 知识点02：导数的四则运算法则 1、两个函数和的和（或差）的导数法则： . 2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . 3、由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 【即学即练1】（2026·广东梅州·模拟预测）下列求导运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以A错误； ，所以B正确； ，所以C错误； ，所以D错误. 知识点03：复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 【即学即练2】（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则. 知识点04：切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【即学即练3】（25-26高二下·广东佛山·期中）若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 对求导： ， 将切点横坐标代入，得切线斜率. 直线整理为，斜率为， 由于两直线平行，则斜率相等，因此. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【即学即练4】（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可. 【详解】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 第三部分 题型精讲 题型01 导数公式与运算法则的简单应用 【典例1】（25-26高二下·北京·期末）下列求导运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数的运算法则求解． 【详解】A项，，故A项错误； B项，，故B项正确； C项，，故C项错误； D项，，故D项错误． 【典例2】（25-26高二下·湖北·期末）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设， 因为定义域为，不等式两边同乘， 得到， 令或. 因为二次函数开口向上， 所以的解为或. 因为的定义域为， 所以最后不等式的解集为. 【变式1】（25-26高二下·山东潍坊·期末）以下求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，A选项错误； 对于B，，B选项错误； 对于C，，C选项正确； 对于D，，D选项错误. 【变式2】（25-26高二下·广西来宾·期末）下面各选项中求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的导数公式逐一验证各选项的求导结果是否正确. 【详解】因为常数的导数为，是常数，因此，选项A错误； 因为（），有，取，可得，选项B正确； 由（），有，因此，选项C错误； 因为，故选项D错误. 【变式3】（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）以下求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A，，故选项A错误； 选项B，，故选项B正确； 选项C，，故选项C正确；     选项D，，故选项D正确. 题型02利用导数公式与运算法则求复合函数的导数 【典例1】（多选）（26-27高三上·黑龙江·阶段检测）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D错误. 【典例2】（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）下列求导运算正确的是（ ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】BD 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，故D正确. 【变式1】（多选）（25-26高二下·新疆喀什·期中）下列求导数的运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】选项A：，错误. 选项B：，错误. 选项C：，正确. 选项D：，正确. 【变式2】（多选）（25-26高二下·安徽池州·期中）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误． 【变式3】（多选）（25-26高二下·江苏无锡·期中）下列函数的导数运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】选项A：. 正确. 选项B：. 原式错误. 选项C：.原式错误. 选项D :. 正确. 题型03解析式中含的导数问题 【典例1】（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【详解】由题意得，， 则， 解得． 【典例2】（25-26高二下·江西赣州·期末）已知是函数的导函数，若，则____． 【答案】 【分析】先对函数求导再赋值可得，进而可得函数值． 【详解】由，得， 所以，得， 所以，，则． 【变式1】（25-26高二下·广东深圳·期中）已知函数，则的值为（     ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【详解】由题设，则， 所以，故，则. 【变式2】（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数，则=（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先利用基本初等函数的导数公式和导数加法运算法则求出导函数，再代入计算即可； 【详解】求导得，将代入导函数，得. 【变式3】（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）已知函数，则__________. 【答案】 【详解】由题设， 则. 题型04求切线斜率(倾斜角） 【典例1】（25-26高二下·湖北武汉·期中）函数在处的切线斜率为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，结合导数的几何意义分析求解. 【详解】因为，则， 可得，所以函数在处的切线的斜率为. 【典例2】（25-26高二下·浙江绍兴·期末）曲线在点处的切线的斜率为____________． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义进行求解. 【详解】因为曲线，所以， 将切点横坐标代入，则导数值： . 所以曲线在点处的切线的斜率为. 【变式1】（25-26高二下·云南德宏·期中）若函数在处的切线斜率为 ，则 ______. 【答案】3 【分析】根据求解即可. 【详解】由题可知，，解得. 【变式2】（2026·四川宜宾·模拟预测）若直线是曲线的一条切线，则__________． 【答案】 【详解】曲线的导数为，设切点坐标为，则该点处切线斜率， 切线方程为，即， 对比已知切线方程得， 则，故，解得， 则． 【变式3】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知函数，直线与曲线相切，则实数a=______． 【答案】 【详解】函数的定义域为，对其求导可得：， 设直线与曲线的切点横坐标为：， 根据导数的几何意义，切线斜率等于切点处的导数值，因此有：，即， 又切点同时在曲线和切线上，因此函数值满足：， 结合两式得，解得， ，解得. 题型05求切线方程（在型） 【典例1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对求导，注意是常数，令代入导函数中，可求得，进而可求，可得在处的切线方程. 【详解】，令，可得， ， 所以在处的切线方程为. 故选：B 【典例2】（25-26高三上·河北承德·期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线方程为___________． 【答案】 【分析】根据两直线垂直的关系得到切线斜率，再利用点在的图象上求出，利用点斜式写出直线方程即可. 【详解】由直线与切线垂直可得切线斜率， 又，即， 所以，解得得， 即切点坐标为， 故切线方程为，整理得：. 故答案为： 【变式1】（25-26高二上·陕西榆林·期末）设函数，则曲线在，处的切线方程为__________. 【答案】 【分析】求出，利用导数的公式求出，从而求出，利用点斜式得到在点处的切线方程. 【详解】， ， ， ， 曲线在点处的切线方程为， 即. 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·湖北·期中）已知，则在处的切线方程为_____. 【答案】 【分析】求出，将代入，解出，利用导数的几何意义求出即为切线的斜率，将代入，求出即为切点的纵坐标，利用点斜式得到切线方程. 【详解】由，得，令，则，解得，所以， 所以在处的切线方程的斜率为， 又， 所以切线方程为：，即. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率； （2）先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程. 【详解】（1）由导数的几何意义可知曲线上任意一点处的切线斜率为， 则由导数的定义，可得 ． 即曲线上任意一点处的切线斜率为． （2），由（1）知，曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即． 题型06求切线方程（过型） 【典例1】（25-26高二下·四川绵阳·期末）过点作曲线的切线，则切线方程为_________． 【答案】 【分析】设出切点坐标，根据坐标表示出切线的斜率，然后把切点的横坐标代入到曲线的导函数中得到切线的斜率，两者相等即可求出切点的横坐标，代入到曲线解析式得到切点的纵坐标和切线的斜率，根据点斜式写出切线方程即可. 【详解】因为点不在曲线上，设切点，且，则，① 又，则切线斜率为，② 由①②解得，，所以，切线的斜率为， 切线方程为，即. 故答案为：. 【典例2】（23-24高二下·河北·开学考试）已知函数（，）的图象过点，且． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）根据题意可得，由， 可得，联立即可得解； （2）由可设曲线上的切点为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，利用点斜式可得切线方程，带入点，即可得解. 【详解】（1）因为函数的图象过点，所以①． 又，，所以②， 由①②解得，． （2）由（1）知， 设所求切线在曲线上的切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 可得， ， ，解得， 所以切点为，切线方程为． 故曲线过点的切线方程为． 【变式1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数，且． (1)求的值； (2)设，求过点的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数求解参数即可. （2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可. 【详解】（1）定义域为，， 而，而已知，可得， 解得，故的值为， （2），设切点为，设切线斜率为， 而，故切线方程为， 将代入方程中，可得，解得(负根舍去)， 故切线方程为， 【变式2】（23-24高二上·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程. 【详解】（1）解：由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 【变式3】（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用点斜式即可得到切线方程； （2）设过点的切线与曲线相切于点，然后根据曲线在点处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可求出结果． 【详解】（1）由题意得，则在点处的切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设曲线与过点的切线相切于点， 设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为， 则，解得或， 则曲线过点处的切线方程为和. 题型07根据切线条件求参数 【典例1】（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再设出切点为，再利用导数的几何意义求解作答. 【详解】由，则， 设直线与曲线相切的切点为， 则根据题意可知且，解得，故B正确. 故选：B. 【典例2】（25-26高二上·福建福州·期末）已知曲线在处的切线方程为，则___________． 【答案】1 【分析】利用切线过点求，求导，利用导数的几何意义求，进而合并求解． 【详解】点在切线上，即， ， 点处的切线为，则斜率为1，函数求导得， ， ． 故答案为：1． 【变式1】（2026·陕西渭南·模拟预测）已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 【答案】/0.5 【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可. 【详解】由直线与曲线相切， 设切点为，由，且切线的斜率为， 所以， 代入曲线方程中得：， 所以切点为，代入直线方程中得：， 因为，所以. 当时取等号，所以的最大值为.则的最大值为. 【变式2】（2026·安徽·模拟预测）若直线是曲线在处的切线，则______________． 【答案】 【分析】利用切线斜率、切点在曲线上及切点在切线上列方程求解. 【详解】曲线，导数为，切线斜率，在处有 切点纵坐标为，切线方程为，切点在该直线上，，故，. 【变式3】（25-26高二下·重庆·期中）若函数的图象在点处的切线与直线互相垂直，则_______． 【答案】2 【详解】由题意得：，则在点处的切线斜率， 又因为在点处的切线与直线互相垂直，且直线的斜率为， 所以，解得：. 题型08公切线问题 【典例1】（25-26高二下·河南郑州·期末）已知直线（，）是曲线与曲线的公切线，则等于（     ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案. 【详解】设是图象上的一点，， 所以在点处的切线方程为， 即，令， 解得，， 所以，， 所以或，当时，，不符合题意，舍去， 所以，此时， 所以. 【典例2】（25-26高二下·江苏·期中）已知直线与曲线和均相切，则直线的方程是________． 【答案】或 【分析】分别设出直线与两条曲线的切点，利用导数的几何意义得到切线斜率，结合同一条切线的斜率、截距对应相等列方程，联立求解即可得到切线方程. 【详解】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，直线的斜率为. ∵ 函数在切点处的导数值等于切线的斜率，，， ∴ ①. 由点斜式得直线过切点的方程为，整理得. 直线过切点的方程为，整理得. 即 ②. 由①得，且， 代入②得， 即，整理得， 解得或. 当时，，直线的方程为，即. 当时，，直线的方程为，即. 经检验，两条直线均与两条曲线相切，均符合要求. 【点睛】方法归纳：求解两条曲线的公切线问题时，通常采用“双切点设元法”，分别设出直线与两条曲线的切点，利用导数的几何意义表示切线斜率，再结合同一直线的斜率、截距对应相等建立方程，求解后验证即可得到所有公切线. 【变式1】（2026·广西河池·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则__________． 【答案】 【分析】先利用公切线斜率求出的切点，代入得的值，再设上的切点，结合导数的几何意义和切点在函数图象上联立方程，利用函数单调性求，进而得，最后代入计算结果. 【详解】设直线与的切点为， 对求导得，由切线斜率为，得，解得， 故切点为，代入得，解得， 设直线与的切点为， 对求导得， 由切线斜率为，得 ， 又切点在图象上，故 ， 则， 设，则，故在上单调递增， 又，故，则，解得， 因此. 【变式2】（2026·河北张家口·二模）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【答案】1 【分析】根据导数的几何意义先求得的切线方程，再设出该切线与的切点，再利用公切线的斜率相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解． 【详解】由，则， 所以曲线在点处的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为． 设直线与曲线相切的切点为，且， 则，解得． 【变式3】（2026·河南焦作·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 【答案】/ 【分析】分别设出两曲线的切点，并写出切线方程，因为公切线，对应斜率以及截距相等得到等式进行消元求解即可. 【详解】设曲线上的切点为， 又因为，所以直线， 即 设曲线上的切点为， 又因为，所以直线， 即 因为是公切线，所以，解得 所以 所以在轴上的截距为 题型09利用相切关系求最小距离 【典例1】（2025·辽宁辽阳·二模）函数图象上一点到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数形结合，得出与直线平行且与曲线相切的直线与曲线的切点处即为到直线的距离最小的点，所以结合导数表示出过点的切线方程，在结合斜率相等求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标为． 因为，所以，解得，则切点坐标为． 最短距离为点到直线的距离，即． 故选：C 【典例2】（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）已知，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】C 【分析】把求最小距离问题转化为曲线上的点与直线上的点两点间的距离的平方的最小值问题,转化为曲线的切线到直线的距离问题，借助平行线间的距离公式求得最小距离. 【详解】由题意，点在曲线上，点在直线上， 的几何意义就是曲线上的点与直线上的点两点间的距离的平方. 当点为曲线平行于直线的切线的切点， 且直线垂直于直线时，两点间的距离才可能最小. 又，令，解得或（舍去）， 所以切点为.切点到直线的距离 就是所要求的曲线上的点与直线上的点之间的最小距离， 故的最小值为. 故选：C. 【变式1】（23-24高二下·山东枣庄·阶段检测）点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】问题转化为过点的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，利用导数的几何意义求得点的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案. 【详解】因为点是曲线上任意一点， 所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小． 因为直线的斜率等于1，曲线的导数， 令，可得或(舍去)， 所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为， 所以点P到直线的最小距离为. 故选：D. 【变式2】（23-24高二下·江苏扬州·阶段检测）已知实数，，，满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将的最小值转化为直线上的点与函数上的点间距离最小值的平方，由导数的几何意义求函数的切线，从而得解. 【详解】由已知， 则，即为直线上的点， 为函数上的点， 则， 设与相切，由， 则，可得，所以切点为，则， 则切点到直线的距离为， 所以最小值为2. 故选：B. 【变式3】（25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测）直线分别与曲线和直线相交于A，B两点，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】如图所示，过点作垂直于直线，垂足为， 因为直线与的斜率均为定值，所以为定值， 设，则，当曲线在点处的切线平行于直线时， 取得最小值，所以当取最小值时，取得最小值， 令，则，所以，解得，即， 所以当直线过点时，取得最小值，此时， 联立，得，此时， 所以的最小值为. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（26-27高三上·广东清远·阶段检测）下列导数的运算中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 2．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以. 3．（26-27高三上·山东泰安·阶段检测）下列求导运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用求导公式和求导法则进行判断即可. 【详解】，故A错误； ，故B正确； 因为是个常数，所以，故C错误； ，故D错误． 4．（26-27高三上·广东·阶段检测）设函数的图象与函数的图象关于直线对称，则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用互为反函数的图象关于对称求出的解析式，再通过求导得到切线斜率，结合切点坐标即可求出切线方程. 【详解】因为与的图象关于直线对称，故是的反函数. 令，由对数运算性质得，即， 将互换得，. 将代入，得，故切点为. 对求导得，将代入得，即切线斜率. 由直线的点斜式方程得，整理得. 5．（26-27高三上·江苏南京·开学考试）已知直线是函数图象的一条切线，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意，切线的斜率为2， 设切点为， 由，得，则，即， 则切点为，代入，得，即. 6．（26-27高三上·湖南·开学考试）已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义，求出在点处的切线斜率，进而写出直线方程，然后计算直线方程与两坐标轴的交点，然后利用直角三角形的面积公式求解即可. 【详解】，所以， ，所以在点处的切线方程为. 当时，；当时，. 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 二、多选题 7．（25-26高二下·吉林长春·期中）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】，所以A错误； ，所以B正确； ，所以C错误； ，所以D正确. 8．（25-26高二下·广东汕头·期中）下列求导不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 三、填空题 9．（26-27高三上·河北承德·阶段检测）已知函数，若过点且与曲线相切的直线的斜率为，则____________． 【答案】1 【分析】设出切点，根据导数的几何意义得到方程，求出切点横坐标，进而由斜率公式得到方程，求出答案 【详解】设切点为，， 则过点且与曲线相切的直线的斜率为，所以，解得， 故切点为，由斜率公式可得，解得. 10．（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知函数，则__________. 【答案】 【分析】根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则求解. 【详解】因为， 所以， 所以，解得. 11．（26-27高三上·河北邢台·阶段检测）已知函数.若曲线在处的切线方程为，则________. 【答案】9 【分析】根据导数的几何意义计算求解即可. 【详解】求导可得， 因为曲线在处的切线方程为， 所以，， 所以，. 12．（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【分析】先对函数进行求导，根据导数的几何意义求得切线的斜率，再根据直线方程的点斜式，即可求得切线方程. 【详解】由题意，令，则， 当时，，所以切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 四、解答题 13．已知.求曲线在点处的切线方程. 【答案】 【分析】根据解析式求出切点坐标，根据在切点处的导函数值为切线斜率求出切线斜率，进而求出切线方程. 【详解】因为，所以 由于， 所以， 则曲线在点处的切线方程为：， 即. 14．（25-26高二下·北京延庆·期末）求满足下列条件的直线的方程． (1)为曲线在点处的切线； (2)的斜率为且与曲线相切； (3)过原点且与曲线相切． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以． 又因为，所以所求切线方程为，即． （2）设切点为，因为，所以切线的斜率为． 所以． 因为，所以切点为． 所以切线方程为，即的方程为． （3）设切点为，因为，所以切线的斜率为． 又因为，所以直线的方程为， 将原点代入上式并整理，可得，解得， 因此切点为，切线方程为，即的方程为． 15．（25-26高二下·江西吉安·期中）已知函数，且，求： (1)的值； (2)曲线在点处的切线方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用列方程求得. （2）根据导数的几何意义结合已知条件可求得切线方程. 【详解】（1）. ，解得：. （2）由（1）知，所以， 曲线在点处的斜率为， 所以切线方程，即，即. 16．（25-26高二下·北京西城·期中）已知函数（），且. (1)求函数的解析式； (2)若曲线的切线与x轴平行，求该切线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求导，再结合可得，进而求解即可； （2）设切点为，根据导数的几何意义求解即可. 【详解】（1）由，得， 则，即， 则. （2）由，得， 设切点为，则，解得或， 则切点为或，切线斜率为0， 所以该切线的方程为或. B能力提升 1．（26-27高三上·安徽·阶段检测）设函数，曲线在处的切线方程为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义求解. 【详解】，， 切线方程为，当时，， 即①， ，， 将代入得到， 切线斜率，故， 将代入 ①，得到，解得，解得，即 则. 2．（25-26高二下·甘肃·期中）已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 【答案】D 【分析】根据切线重合列方程，求得切点的横坐标，进而求得的值. 【详解】设两函数，的图象公共点的坐标为，则有①. 分别对两函数求导可得及， 由两函数在公共点处的切线重合，可得两函数在处的斜率相等， 即，即，解得或. 将代入①可得；将代入①可得，解得， 所以的值为0或1. 3．（24-25高二下·云南丽江·阶段检测）已知函数（为自然对数的底数），，直线既与相切又与相切，则直线的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先设切点，再根据导数几何意义列等量关系，解出切点，即得切线方程. 【详解】设与相切于点，，则切线的斜率为， 切线方程：，即， 设与相切于点，，则切线的斜率为， 切线方程：，即 ∴，解得，或，， 则直线的方程：或．所以满足条件的直线有2条． 故选：C. 4．（2023·吉林通化·模拟预测）点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为______． 【答案】 【分析】分别在点处作曲线的切线平行于直线和，利用导数意义求出点，根据点到直线距离公式即可求解． 【详解】如图所示：分别在点处作曲线的切线平行于直线和 则， 所以点分别到直线和的距离为 ， 的最小值为 故答案为： 5．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知函数和，其中为常数且. (1)过x轴上一点作曲线的切线，若有且只有一条切线，求此时的切线方程; (2)若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的取值范围. 【答案】(1)当时，，此时切线方程为； 当时，，此时切线方程为. (2) 【分析】（1）设切点坐标为，得到切线方程，根据切线过点，得到，转化为只有一个实数解，根据，求得或，进而得到切线方程； （2）根据题意，求得，设曲线和在点处的切线的斜率为，得到和，根据直线的斜率为，得到，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：由函数，可得， 设切点坐标为，可得， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 则关于的方程只有一个实数解， 即只有一个实数解， 由，解得或， 当时，，此时切线方程为； 当时，，此时切线方程为. （2）解：由，且定义域为， 函数的定义域为，且， 设曲线在点处的切线的斜率为， 则，所以，则点， 设曲线在店处的切线的斜率为， 可得，解得，则点， 因为直线的斜率为，所以， 又因为，所以，即的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 5.2导数的运算 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 (为常数) 知识点02：导数的四则运算法则 1、两个函数和的和（或差）的导数法则： . 2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . 3、由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 【即学即练1】（2026·广东梅州·模拟预测）下列求导运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点03：复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 【即学即练2】（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知，则（    ） A． B． C．D． 知识点04：切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【即学即练3】（25-26高二下·广东佛山·期中）若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【即学即练4】（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 第三部分 题型精讲 题型01 导数公式与运算法则的简单应用 【典例1】（25-26高二下·北京·期末）下列求导运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·湖北·期末）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·山东潍坊·期末）以下求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·广西来宾·期末）下面各选项中求导正确的是（   ） A． B． C．D． 【变式3】（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）以下求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 题型02利用导数公式与运算法则求复合函数的导数 【典例1】（多选）（26-27高三上·黑龙江·阶段检测）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）下列求导运算正确的是（ ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【变式1】（多选）（25-26高二下·新疆喀什·期中）下列求导数的运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（25-26高二下·安徽池州·期中）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（25-26高二下·江苏无锡·期中）下列函数的导数运算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型03解析式中含的导数问题 【典例1】（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【典例2】（25-26高二下·江西赣州·期末）已知是函数的导函数，若，则____． 【变式1】（25-26高二下·广东深圳·期中）已知函数，则的值为（     ） A． B． C．6 D． 【变式2】（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数，则=（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）已知函数，则__________. 题型04求切线斜率(倾斜角） 【典例1】（25-26高二下·湖北武汉·期中）函数在处的切线斜率为（  ） A．1 B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·浙江绍兴·期末）曲线在点处的切线的斜率为____________． 【变式1】（25-26高二下·云南德宏·期中）若函数在处的切线斜率为 ，则 ______. 【变式2】（2026·四川宜宾·模拟预测）若直线是曲线的一条切线，则__________． 【变式3】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知函数，直线与曲线相切，则实数a=______． 题型05求切线方程（在型） 【典例1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C．D． 【典例2】（25-26高三上·河北承德·期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线方程为___________． 【变式1】（25-26高二上·陕西榆林·期末）设函数，则曲线在，处的切线方程为__________. 【变式2】（24-25高二下·湖北·期中）已知，则在处的切线方程为_____. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 题型06求切线方程（过型） 【典例1】（25-26高二下·四川绵阳·期末）过点作曲线的切线，则切线方程为_________． 【典例2】（23-24高二下·河北·开学考试）已知函数（，）的图象过点，且． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 【变式1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数，且． (1)求的值； (2)设，求过点的切线方程． 【变式2】（23-24高二上·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【变式3】（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 题型07根据切线条件求参数 【典例1】（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 【典例2】（25-26高二上·福建福州·期末）已知曲线在处的切线方程为，则___________． 【变式1】（2026·陕西渭南·模拟预测）已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 【变式2】（2026·安徽·模拟预测）若直线是曲线在处的切线，则______________． 【变式3】（25-26高二下·重庆·期中）若函数的图象在点处的切线与直线互相垂直，则_______． 题型08公切线问题 【典例1】（25-26高二下·河南郑州·期末）已知直线（，）是曲线与曲线的公切线，则等于（     ） A． B．3 C． D．2 【典例2】（25-26高二下·江苏·期中）已知直线与曲线和均相切，则直线的方程是________． 【变式1】（2026·广西河池·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则__________． 【变式2】（2026·河北张家口·二模）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【变式3】（2026·河南焦作·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 题型09利用相切关系求最小距离 【典例1】（2025·辽宁辽阳·二模）函数图象上一点到直线的最短距离为（    ） A． B． C．D． 【典例2】（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）已知，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．8 【变式1】（23-24高二下·山东枣庄·阶段检测）点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】（23-24高二下·江苏扬州·阶段检测）已知实数，，，满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测）直线分别与曲线和直线相交于A，B两点，则的最小值为__________. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（26-27高三上·广东清远·阶段检测）下列导数的运算中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·山东泰安·阶段检测）下列求导运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·广东·阶段检测）设函数的图象与函数的图象关于直线对称，则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·江苏南京·开学考试）已知直线是函数图象的一条切线，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．（26-27高三上·湖南·开学考试）已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高二下·吉林长春·期中）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·广东汕头·期中）下列求导不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 9．（26-27高三上·河北承德·阶段检测）已知函数，若过点且与曲线相切的直线的斜率为，则____________． 10．（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知函数，则__________. 11．（26-27高三上·河北邢台·阶段检测）已知函数.若曲线在处的切线方程为，则________. 12．（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）曲线在点处的切线方程为__________． 四、解答题 13．已知.求曲线在点处的切线方程. 14．（25-26高二下·北京延庆·期末）求满足下列条件的直线的方程． (1)为曲线在点处的切线； (2)的斜率为且与曲线相切； (3)过原点且与曲线相切． 15．（25-26高二下·江西吉安·期中）已知函数，且，求： (1)的值； (2)曲线在点处的切线方程； 16．（25-26高二下·北京西城·期中）已知函数（），且. (1)求函数的解析式； (2)若曲线的切线与x轴平行，求该切线的方程. B能力提升 1．（26-27高三上·安徽·阶段检测）设函数，曲线在处的切线方程为，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·甘肃·期中）已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 3．（24-25高二下·云南丽江·阶段检测）已知函数（为自然对数的底数），，直线既与相切又与相切，则直线的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 4．（2023·吉林通化·模拟预测）点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为______． 5．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知函数和，其中为常数且. (1)过x轴上一点作曲线的切线，若有且只有一条切线，求此时的切线方程; (2)若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $