5.3 导数与函数的单调性 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦“导数与函数的单调性”核心知识点，系统梳理导数符号与函数增减性的关系、已知单调性求参数条件、单调区间求解四步法及导数绝对值与图象陡峭程度的关联，构建导数应用的基础学习支架。 该资料通过分层考点设计（含参讨论分一次、准一次、二次函数型）和基础能力题组，结合例题与变式训练，培养学生逻辑推理与数学思维，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，体现用数学眼光分析问题、用数学语言表达规律的核心素养。

5.3 导数与函数的单调性 知识点一：函数的导数与单调性的关系 一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内， (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。 (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。 (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。 知识点二：已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 知识点三：求函数的单调区间的步骤如下 （1）求的定义域 （2）求出． （3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线． （4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开． 知识点四： 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 注:利用导数判断函数单调性：（口诀：导函数看正负，原函数看增减） 考点一 利用导数求函数的单调区间　　 例1．求下列函数的单调区间. （1）f(x)＝x3－3x＋1 （2）y＝x＋ （3）y＝ln(2x＋3)＋x2 变式1.下列函数中，在上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 变式2.函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 变式3.已知函数．判断的单调性，并说明理由. 考点二 利用导数求函数的单调性（含参） 情形一：函数为一次函数 例2-1．已知函数．讨论的单调性. 变式1：已知函数.讨论函数的单调性. 情形二：函数为准一次函数 例2-2．已知函数.讨论的单调性； 变式1：已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)设，讨论函数的单调性； 情形三：函数为二次函数型 方向1、可因式分解 例2-3．已知函数.讨论函数的单调性； 变式1：设函数． (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求；(2)求的单调区间． 方向2、不可因式分解型 【例8】已知函数．讨论函数的单调性. 考点三 函数单调性的应用 例3-1．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20，且f(x)的导函数满足，则不等式f(x)>2x3+2x的解集为（ ） A．{x|x>-2} B．{x|x>2} C．{x|x<2} D．{x|x<-2或x>2} 变式1．已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 变式2：已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，有，且，则使得成立的的取值范围是___________. 例3-2．设函数，则（ ） A． B． C． D．以上都不正确 变式1：已知函数f(x)=－，则（ ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 变式2：【多选题】已知函数f(x)的导函数为，且，对任意的x∈R恒成立，则（ ） A．f(ln2)<2f(0) B．f(2)<e2f(0) C．f(ln2)>2f(0) D．f(2)>e2f(0) 例3-3．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式1：函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式2：若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是________． 例3-4．函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式1：函数在区间[-1，2]上不单调，则实数a的取值范围是（ ） A．(-∞，-3] B．(-3，1) C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞) 变式2：已知函数f(x)＝kx－ln x． （1） 在区间(1，＋∞)上单调递增，求k的取值范围. （2） 在区间(1，＋∞)上单调递减，求k的取值范围. （3）在区间(1，＋∞)不单调，求k的取值范围. 考点四 函数图象与导数图象的应用 例4．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是________________． 变式1．已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A．B．C． D． 变式2．函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式<0的解集为______________． 题组A 基础过关练 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2、函数在上的单调性是（ ）． A．单调递增 B．单调递减 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在上单调递增，在上单调递减 3、已知函数在上为减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的（ ） A． B． C． D． 6．（多选题）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 7.（多选）已知函数，则（    ） A．在单调递增 B．有两个零点 C．曲线在点处切线的斜率为 D．是奇函数 8、已知函数，则的单调递减区间为______. 9、若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为________． 10、已知函数，求的单调区间。 题组B 能力提升练 11、若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 12、定义在上的函数其导函数恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 13、定义域为R的函数且，且的导函数，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 14.已知函数，求函数的单调增区间。 15.已知函数. （1）若函数在R上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若函数的单调递减区间是，求实数a的值； （3）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 导数与函数的单调性 知识点一：函数的导数与单调性的关系 一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内， (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。 (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。 (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。 知识点二：已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 知识点三：求函数的单调区间的步骤如下 （1）求的定义域 （2）求出． （3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线． （4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开． 知识点四： 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 注:利用导数判断函数单调性：（口诀：导函数看正负，原函数看增减） 考点一 利用导数求函数的单调区间　　 例1．求下列函数的单调区间. （1）f(x)＝x3－3x＋1；（2）y＝x＋.（3）y＝ln(2x＋3)＋x2. 【解析】（1）＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令>0，得x>1，或x<－1.令<0，得－1<x<1. ∴f(x)的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，减区间是(－1，1). （2）＝1－＝，由>0，解得x<－，或x>.由<0，解得－<x<，(x≠0). ∴函数的增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，减区间为(－，0)和(0，). （3）函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为.y′＝＋2x＝＝. 令y′＞0，解得－＜x＜－1或x＞－.所以函数的单调递增区间为，. 令y′＜0，解得－1＜x＜－，所以函数的单调递减区间为. 变式1.下列函数中，在上为增函数的是（ ） A． B． C． D．【答案】B 变式2.函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为. ，则.令，解得 变式3.已知函数．判断的单调性，并说明理由. 【解析】令，在上递增，，， 在上单调递增. 考点二 利用导数求函数的单调性（含参） 情形一：函数为一次函数 例2-1．已知函数．讨论的单调性. 【解析】，， ①当，即时，，在区间单调递增． ②当，即时，令，得，令，得， 所以在区间单调递增；在区间单调递减． ③当，即时，若，则，在区间单调递增． 若，令，得，令，得， 所以在区间单调递减；在区间单调递增． 综上，时，在区间单调递增；在区间单调递减； 时，在区间单调递增 时，在区间单调递减、在区间单调递增． 变式1：已知函数.讨论函数的单调性. 【解析】的定义域为，若，则在单调递增； 若，令，解得（舍去） 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减。 情形二：函数为准一次函数 例2-2．已知函数.讨论的单调性； 【解析】函数的定义域为，． 令，解得，则有当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增． 变式1：已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)设，讨论函数的单调性； 【解析】（1），，，当时，，切点坐标为， 又，切线斜率为，曲线在处切线方程为：. （2），，，， ，， ①当时，成立，的单调递减区间为，无单调递增区间. ②当时，令，所以当时，，在上单调递减 时，，在上单调递增 综上: 时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 情形三：函数为二次函数型 方向1、可因式分解 例2-3．已知函数.讨论函数的单调性； 【解析】因为，该函数的定义域为， . 因为，由得：或. ①当，即时，对任意的恒成立，且不恒为零， 此时，函数的增区间为，无减区间； ②当，即时，由得或；由得. 此时，函数的增区间为、，减区间为； ③当，即时，由得或；由得. 此时函数的增区间为、，减区间为. 变式1：设函数． (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求； (2)求的单调区间． 【解析】（1）因为， 所以. .由题设知，即，解得.此时.所以的值为1 （2）由（1）得． 综上，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是和； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是； 当时，的单调递增区间是和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间是，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是． 方向2、不可因式分解型 【例8】已知函数．讨论函数的单调性. 【解析】函数的定义域为，求导得， ①当，即时，恒成立，此时在上单调递减； ②当，即时，由解得，，由解得，，由解得或，此时在上单调递增，在和上单调递减； ③当，即时，由解得或(舍)，由解得，由解得，此时在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 考点三 函数单调性的应用 例3-1．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20，且f(x)的导函数满足，则不等式f(x)>2x3+2x的解集为（ ） A．{x|x>-2} B．{x|x>2} C．{x|x<2} D．{x|x<-2或x>2} 【答案】B 【解析】令，因，则，即在R上单调递增，因，则不等式f(x)>2x3+2x等价于，于是得x>2， 所以原不等式的解集为{x|x>2}.故选：B 变式1．已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设＝，则＝，∵，∴，∴，∴y＝g（x）在定义域上单调递减∵∴＝，又＝，∴，∴，∴的解集为．故选：A． 变式2：已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，有，且，则使得成立的的取值范围是___________. 【答案】 【详解】∵当时，有，令，∴， ∴在上递增，又∵在上的偶函数∴， ∴在上是奇函数∴在上递增，又∵，∴ 当时，，此时，0＜x＜1，当时，，此时，， ∴成立的的取值范围是．故答案为：﹒ 例3-2．设函数，则（ ） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】B 【解析】由题可知，，又当，则，，故是上的增函数，故.故选：B. 变式1：已知函数f(x)=－，则（ ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【答案】C 【解析】由f(x)=-求导得：，当时，， 于是得f(x)在上单调递减，因，所以，.故选：C 变式2：【多选题】已知函数f(x)的导函数为，且，对任意的x∈R恒成立，则（ ） A．f(ln2)<2f(0) B．f(2)<e2f(0) C．f(ln2)>2f(0) D．f(2)>e2f(0) 【答案】AB 【解析】依题意，令，则，于是得在R上单调递减， 而ln2>0，2>0，则，，即，， 所以f(ln2)<2f(0)，f(2)<e2f(0).故选：AB 例3-3．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 由在上单调递减，得在上恒成立，即在上恒成立.令，在上，∴在上单调递减，即， ∴，故的取值范围.故选：. 变式1：函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数定义域是，由题意，时，时，，所以的减区间是，又，所以，解得．故选：B． 变式2：若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f′(x)＝1－cos 2x＋acos x＝－cos2x＋acos x＋≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x＝t，则g(t)＝－t2＋at＋≥0在[－1,1]恒成立，所以解得－≤a≤. 例3-4．函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，因为函数在区间内存在单调递增区间，所以存在使得成立，即.故选:C 变式1：函数在区间[-1，2]上不单调，则实数a的取值范围是（ ） A．(-∞，-3] B．(-3，1) C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞) 【答案】B 【解析】，如果函数在区间[-1，2]上单调，那么a-1≥0或，即，解得a≥1或a≤-3，所以当函数在区间[-1，2]上不单调时，.故选：B 变式2：已知函数f(x)＝kx－ln x． （1）在区间(1，＋∞)上单调递增，求k的取值范围. （2）在区间(1，＋∞)上单调递减，求k的取值范围. （3）在区间(1，＋∞)不单调，求k的取值范围. 【解析】（1）　由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，等价于f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k≥，而0<<1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞)． （2）　∵f′(x)＝k－，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴f′(x)＝k－≤0在(1，＋∞)上恒成立， 即k≤，∵0<<1，∴k≤0.即k的取值范围为(－∞，0]． （3）　f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－.当k≤0时，f′(x)<0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故不合题意．当k>0时，令f′(x)＝0，得x＝，只需∈(1，＋∞)，即>1，则0<k<1.∴k的取值范围是(0,1)． 考点四 函数图象与导数图象的应用 例4．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是________________． 【答案】(－∞，－1)∪(0,1) 【解析】因为在(0，＋∞)上f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝0，且f(x)在(－∞，0)上单调递减，f(x)的草图如图所示，所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)． 变式1．已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A．B．C． D． 【答案】C 【解析】由函数的图象可知：当时，，即，此时单调递增；当时，，即，此时单调递减；当时，，即，此时单调递减；当时，，即，此时单调递增．故选：C 变式2．函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式<0的解集为______________． 【答案】(－3，－1)∪(0,1) 【解析】由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，f′(x)<0；当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0， 故不等式<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)． 题组A 基础过关练 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2、函数在上的单调性是（ ）． A．单调递增 B．单调递减 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在上单调递增，在上单调递减 【答案】C 【详解】，令，得； 令，得，∴函数在上单调递减，在上单调递增．故选：C 3、已知函数在上为减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，得，又在上恒成立，所以. 而当时，恒为0，此时（），不具有单调性，所以，即实数a的取值范围为. 4.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，因为在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为二次函数的图象的对称轴为，且开口向上 所以的最小值为1，所以.故选：B. 5.已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】（1）由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x∈(0，2)时，导函数f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)的图象如D选项的图象，故选：D． 6．（多选题）（2023·山东潍坊·统考模拟预测）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A, ,故为奇函数， ，故为定义域内的单调递增函数，故A正确，对于B，，故为非奇非偶函数，故B错误，对于C，在定义域内不是单调增函数，故C错误，对于D，，，所以 定义域内既是奇函数又是增函数，故D正确，故选：AD 7.（多选）已知函数，则（    ） A．在单调递增 B．有两个零点 C．曲线在点处切线的斜率为 D．是奇函数 【答案】AC 【解析】对A：，定义域为，则， 由都在单调递增，故也在单调递增， 又，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；故A正确；对B：由A知，在单调递减，在单调递增，又， 故只有一个零点，B错误；对C：，根据导数几何意义可知，C正确； 对D： 定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，D错误.故选：AC. 8、已知函数，则的单调递减区间为______. 【答案】 【解析】由题得的定义域为，由可得， 令，，得，所以的单调递减区间为.故答案为： 9、若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】由可知，其定义域为，则， 易知当时，；当时，；即函数在单调递减，在上单调递增；若函数在区间上不单调，则需满足， 解得；所以实数的取值范围为.故答案为： 10、已知函数，求的单调区间。 【解析】由已知可得，定义域为，. 令，则.当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 所以，在处取得唯一极小值，也是最小值， 所以在上恒成立，所以，在上单调递增． 所以，的单调递增区间为，无递减区间． 题组B 能力提升练 11、若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】解：因为，所以． 要使函数单调递增，则恒成立．即恒成立．所以， 因为所以，所以，即．故选：D ． 12、定义在上的函数其导函数恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】解：设g（x）＝f（x）−3x，则g′（x）＝f′（x）−3，又由f′（x）<3，则g′（x）<0，则g（x）在R上为减函数，又由f（1）＝3，则g（1）＝f（1）−3＝0，则g（x）过点，且在R上为减函数，由得即，由于过点，且在R上为增函数， 则必有。 13、定义域为R的函数且，且的导函数，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】由可知，设，，是R上的单调递增函数．由且，可知且，.故选：B． 14.已知函数，求函数的单调增区间。 【解析】（1），，注意到， ①当时，，在上单调递增； ②当时，令，得，，此时，在及上导数值大于零，所以在及上递增； 15.已知函数. （1）若函数在R上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若函数的单调递减区间是，求实数a的值； （3）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围. （1）易知.因为在R上单调递增，所以恒成立，即恒成立，故.经检验，当时，符合题意，故实数a的取值范围是. （2）由（1），得.因为的单调递减区间是，所以不等式的解集为， 所以-1和1是方程的两个实根，所以. （3）由（1），得.因为函数在区间上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立.又函数在上的值域为，所以.故实数a的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $