第五章 三次函数的图像与性质、切线情况、零点问题、切割线定理讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学讲义通过表格对比与知识框架系统梳理三次函数内容，涵盖图像与导函数性质、单调性、极值、对称中心，用表格呈现零点个数判断条件，结合切线区域划分及切割线定理，构建从基础性质到综合应用的知识脉络。 亮点在于分层练习设计，如多选题判断零点与切线条数、填空题求参数范围，培养数学思维与模型观念。通过具体函数案例引导学生用导数推理切线情况，基础学生掌握性质，优秀学生探究综合问题，助力教师实施精准教学。

第5章 三次函数的图像与性质、切线情况、零点问题、切割线定理 1. 三次函数的图象及性质 图像 原函数 导函数 单调性 增区间为，减区间为， 恒成立，在R上单调递增 增区间为，减区间为 恒成立，在R上单调递减 极值 有两个极值点，极大值为，极小值为 无极值点 有两个极值点，极大值为，极小值为 无极值点 对称中心 对称中心为 2. 三次函数的零点个数的判断 条件 或 零点个数 1个 2个 3个 3. 三次函数的切线情况 过图像的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数的图像分割为四个区域，有以下结论： (1) 过区域II或IV内的点作图像的切线，有且仅有3条； (2) 过区域I或III内的点或图像的对称中心作图像的切线，有且仅有1条； (3) 过切线或的图像（除去对称中心）上的点作图像的切线，有且仅有2条。 4. 三次函数的切割线定理 在三次函数图像上选一点（不是对称中心），过 画一条割线交图像于 两点，再画一条切线切图像于点，则点的横坐标正好位于两点横坐标的正中间，即. 推论：设三次函数的极大值为，极小值为，方程的两根为，方程的两根为，则区间被和极小值点三等分；区间被和极大值点三等分. 【例1.】 （多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有3个零点 B．的图象关于点对称 C．既有极大值又有极小值 D．经过点且与的图象相切的直线有3条 【例2.】 （多选）已知函数，则（    ） A．曲线在处的切线方程为 B． C．当时， D．点是函数图象的对称中心 【例3.】 （多选）若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（    ） A．有3个不同的零点 B．在区间上单调递增 C．， D．， 【例4.】 已知函数，若过点可作曲线的3条切线，则实数的取值范围为______． 【例5.】 （多选）已知曲线，则（   ） A．直线与的公共点数不等于直线与的公共点数 B．所有斜率为的直线都与有且仅有一个公共点 C．直线与的所有公共点的横坐标的平方和等于 D．上横坐标的差为的两点中至少有一个点的纵坐标的绝对值大于2 【例6.】 （多选）已知函数，则（    ） A．的图象关于对称 B．若有三个不同的零点，则 C．当时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 D．若恰有9个不同的实数根，则的取值范围关于原点对称 【例7.】 （多选）已知函数，，则（   ） A．当时，存在极值点 B．若有三个不同零点，，，则 C．过点且与曲线相切的直线有且仅有1条 D．若有三个不同零点，，且在三个零点处的切线斜率分别为，，，则 【例8.】 （多选）已知函数，其中实数，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有两个极值点 B．若函数有3个零点，则实数 C．有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的最小值为2 D．若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则 【例9.】 函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例10.】 （多选）已知函数，则（ ） A．是的极小值点 B．当时， C．函数为奇函数 D．若方程有三个解，且这三个解从小到大依次成等差数列，则 【例11.】 设函数仅有两个零点和一个极大值点，且，若是公比为的等比数列，则________． 【例12.】 （多选）已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有实数根，，，则（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 三次函数的图像与性质、切线情况、零点问题、切割线定理 1. 三次函数的图象及性质 图像 原函数 导函数 单调性 增区间为，减区间为， 恒成立，在R上单调递增 增区间为，减区间为 恒成立，在R上单调递减 极值 有两个极值点，极大值为，极小值为 无极值点 有两个极值点，极大值为，极小值为 无极值点 对称中心 对称中心为 2. 三次函数的零点个数的判断 条件 或 零点个数 1个 2个 3个 3. 三次函数的切线情况 过图像的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数的图像分割为四个区域，有以下结论： (1) 过区域II或IV内的点作图像的切线，有且仅有3条； (2) 过区域I或III内的点或图像的对称中心作图像的切线，有且仅有1条； (3) 过切线或的图像（除去对称中心）上的点作图像的切线，有且仅有2条。 4. 三次函数的切割线定理 在三次函数图像上选一点（不是对称中心），过 画一条割线交图像于 两点，再画一条切线切图像于点，则点的横坐标正好位于两点横坐标的正中间，即. 推论：设三次函数的极大值为，极小值为，方程的两根为，方程的两根为，则区间被和极小值点三等分；区间被和极大值点三等分. 【例1.】 （多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有3个零点 B．的图象关于点对称 C．既有极大值又有极小值 D．经过点且与的图象相切的直线有3条 【答案】ACD 【难度】0.55 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、求函数的零点 【分析】根据函数零点的定义、函数对称性的性质，结合函数极值的定义、导数的几何意义和性质进行逐一判断即可. 【详解】A：令，或， 因为方程的判别式， 所以方程有两个不相等的实数根，显然不是该一元二次方程的实数根， 因此有3个零点，所以本选项说法正确； B：因为 所以的图象关于点对称，因此本选项说法不正确； C：， 令，解得，或，所以函数在区间，上单调递增； 令，解得，所以函数在区间上单调递减， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以本选项说法正确； D：设函数的切点为， 所以过该切点的切线斜率为， 切线方程为，把代入，得 ，化简，得 ， 解得，或，所以经过点且与的图象相切的直线有3条，因此本选项说法正确. 【例2.】 （多选）已知函数，则（    ） A．曲线在处的切线方程为 B． C．当时， D．点是函数图象的对称中心 【答案】ACD 【难度】0.55 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数对称性的应用、利用导数证明不等式 【分析】对于A，求函数的导函数，再求，结合导数的几何意义求切线方程即可判断；对于B，取代入不等式即可判断；对于C，利用导数判断函数的单调性，结合单调性比较的大小即可判断；对于D，证明为奇函数，结合奇函数性质即可判断. 【详解】对于A：， ，曲线在点处的切线方程为，即，故A正确； 对于B：因为当时，，B错误； 对于C：因为 令，得或；令，得， 在和上单调递减，在上单调递增， 当时，，结合在上单调递增， 可得，故C正确； 对于D：函数的定义域为， 令，则函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数，即函数为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称， 故函数的图象关于中心对称， 故点是函数图象的对称中心，D正确. 【例3.】 （多选）若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（    ） A．有3个不同的零点 B．在区间上单调递增 C．， D．， 【答案】BC 【难度】0.6 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】先根据切线斜率条件求导，由得，确定，再分析其零点、导数与单调性，结合函数在各区间的增减性，逐一判断选项． 【详解】，， 因为函数的图象在点处的切线的斜率为， 所以，解得， 所以，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增， 对于A，由，得，，A错误； 对于B，区间，即是， 因为在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，B正确； 对于C，当时，，所以， 因为在区间上单调递减，所以，C正确； 对于D，， ，所以恒成立， 即对所有成立，D错误． 【例4.】 已知函数，若过点可作曲线的3条切线，则实数的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究方程的根 【分析】设出切点，写出切线方程，将点代入，参变分离，将原问题转化为直线与函数有三个交点，画出的草图，即可得出答案. 【详解】设切点为，因为函数，所以，则， 所以切线方程为：，又切线方程过点， 所以，化简得：， 令，所以 所以当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极小值为，极大值为， 的草图如下： 过点可作曲线的3条切线等价于直线与函数有三个交点，则， 所以. 【例5.】 （多选）已知曲线，则（   ） A．直线与的公共点数不等于直线与的公共点数 B．所有斜率为的直线都与有且仅有一个公共点 C．直线与的所有公共点的横坐标的平方和等于 D．上横坐标的差为的两点中至少有一个点的纵坐标的绝对值大于2 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、利用导数研究函数图象及性质 【分析】利用导数求出的单调性和极值，结合图象，分析即可判断A的正误；设，利用导数求得的单调性，分析可得的零点个数，即可判断B的正误；由题意得直线与有3个公共点，根据解析式，化简计算，可判断C的正误；根据特殊值，分析即可判断D的正误. 【详解】选项A：设，则， 令，则或， 当或时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值是，极小值是， 故直线与有2个公共点，直线与也有2个公共点，故A错误； 选项B：设， 则，则单调递增， 且当时，，当时，， 故有且仅有一个零点，即所有斜率为的直线都与有且仅有一个公共点，故B正确； 选项C：由上可知直线与有3个公共点，设它们的横坐标分别为，，， 则， 展开得， 故有，且， 所以，故C正确； 选项D：因为，且，此时这两点的纵坐标的绝对值均为2， 不符合题意，故D错误. 故选：BC 【例6.】 （多选）已知函数，则（    ） A．的图象关于对称 B．若有三个不同的零点，则 C．当时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 D．若恰有9个不同的实数根，则的取值范围关于原点对称 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、函数对称性的应用、求过一点的切线方程 【分析】首先要根据题目中的函数方程，通过求导的方式得出函数的单调性，极值，然后再根据每一个选项的条件，分别进行解答. 【详解】对于A，， 所以的图象关于对称，A正确； 对于B，， 当时，，当时，，当时，， 所以当时取极大值为， 当时取极小值为， 当时，，当时，， 若有三个不同的零点，则，即， 解得，B错误； 对于C，当时，，， 设切点坐标为，则，即， 又，所以，解得， 所以过原点且与曲线相切的直线为：，只有一条，C正确； 对于D，令，要使有9个不同的实数根，则要求有三个不同的实数根，且每个有三个不同的实数根， 设满足题意，则方程的三个实数根均满足， 当参数为时，方程变为，三个实数根为， 此时要求根满足，该条件等价于， 由于和满足题意的条件完全相同，故的取值范围关于原点对称. D正确. 【例7.】 （多选）已知函数，，则（   ） A．当时，存在极值点 B．若有三个不同零点，，，则 C．过点且与曲线相切的直线有且仅有1条 D．若有三个不同零点，，且在三个零点处的切线斜率分别为，，，则 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、函数极值点的辨析、求过一点的切线方程 【分析】对于A，可得，由判别式可判断极值点个数；对于B，将函数表达式写成，与原式比较常数项即可判断；对于C，设切点为，写出切线方程，根据切线过点建立等式，整理得到关于的方程，根据解的个数即可判断；对于D，将函数表达式写成，根据导数的运算法则求导，代入得到对应点的导数也即切线斜率，最后通分计算. 【详解】对于A，可得，当时，有， 此时恒成立，不存在极值点，故A错误； 对于B，若有三个不同零点，，， 则， 取，得，即，B正确； 对于C，设切点为，则切线方程为， 因为切线过点，可得， 即，整理得， 解得，则过点且与曲线相切的直线有且仅有1条，C正确； 对于D，若有三个不同零点，，，则， 求导得， 所以， ， 从而 ，D正确. 【例8.】 （多选）已知函数，其中实数，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有两个极值点 B．若函数有3个零点，则实数 C．有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的最小值为2 D．若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则 【答案】AD 【难度】0.42 【知识点】已知切线（斜率）求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、利用导数研究函数图象及性质 【分析】对于A，根据极值的定义即可判断；对于B，根据函数单调性和极值情况列出不等式求解即可判断；对于C，由题意根据结合判别式和韦达定理即可求解判断；对于D，根据导数和函数对称性即可求解判断. 【详解】对于A，由题得， 所以时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有两个极值点，故A正确； 对于B，由A知函数有一个极大值，有一个极小值， 又时，，时，， 所以若函数有3个零点，则，解得，故B错误； 对于C，由题意可得有两个不同的解，， 即有两个不同的解，， 所以，且，解得， 所以，故C错误； 对于D，令， 则，令，解得， 所以函数的图象关于点中心对称， 又直线l与曲线有3个不同的交点，，， 且， 则点A和点C关于点B对称，点B为函数图象的对称中心， 所以，， 所以，故D正确. 【例9.】 函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】求函数零点或方程根的个数、利用导数研究函数的零点 【分析】求导，令，继续求导可得有唯一解，且，进而可得的单调性和最值，结合单调性及最值判断零点个数即可． 【详解】，令， ，解得或， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， ，， 又， 有唯一解，且，即， 则时，，即，单调递减， 时，，即，单调递增， ， 又，， 即，又， 所以在和分别存在一个零点，即零点个数为2． 【例10.】 （多选）已知函数，则（ ） A．是的极小值点 B．当时， C．函数为奇函数 D．若方程有三个解，且这三个解从小到大依次成等差数列，则 【答案】AD 【难度】0.38 【知识点】求函数值、利用导数研究函数的零点、等差中项的应用、函数极值点的辨析 【分析】求出函数的导数确定极小值点判断A；取特殊值计算判断B；求出的值，结合奇函数性质判断C；求出范围，再利用待定系数法求解判断D. 【详解】函数的定义域为，求导得， 对于A，当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，因此是的极小值点，A正确； 对于B，当时，，即，B错误； 对于C，令，而，函数，即不是奇函数，C错误. 对于D，由选项A得极小值为，极大值为， 由方程有三个解，得， 令方程的三个解为， 则 ，因此，而， 联立解得，因此，即，D正确. 【例11.】 设函数仅有两个零点和一个极大值点，且，若是公比为的等比数列，则________． 【答案】2 【难度】0.35 【知识点】利用导数研究函数的零点、等比数列通项公式的基本量计算、函数单调性、极值与最值的综合应用、等比数列的定义 【分析】由三次函数有两个零点，得出其中一个为二重根，求导并求出极值点，结合已知条件得出，结合等比中项的性质构造方程得出，进而求出等比数列的公比． 【详解】三次函数有两个零点，则其中有1个为二重根， 导数是开口向上的二次函数， 有两个极值点，左零点为极大值点，右零点为极小值点， 由可知，极小值点为，极大值点为， 是二重零点，是单零点， 则，求导得， 令，解得或， ， 已知是公比为的等比数列， ，展开整理得， 解得或（舍去）， ， ． 【例12.】 （多选）已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有实数根，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.45 【知识点】由函数的单调区间求参数、利用导数研究方程的根、根据极值点求参数 【分析】由函数的单调性得到，解得；由得，令，解得或，结合函数单调性得到，解得；从而；由方程的根得到，整理后，对照系数得到，，从而得到，从而求出． 【详解】，， 因为在上是增函数，在上是减函数， 故为的极大值点，所以，所以，故A正确； 此时，则， 依题意可得，即，故， 令，解得或， 因为在上是增函数，在上是减函数，所以，解得，故B正确； ，故C错误； 因为，，是方程的三个实数根， 所以， 所以， 所以，所以， 所以 ， ，，， ， ，即，故D正确. 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