精品解析：四川南充市仪陇中学校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

仪陇中学2025-2026学年度上期第一次月考 高二数学试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】点关于平面对称的点的坐标是. 2. 样本数据的中位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】将数据从小到大排列为：， 故这组数据的中位数为. 3. 某班级有名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这名学生中抽取人进行家访，则同学被抽到的可能性为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】总体有个个体，每个个体被抽到的概率相同，故同学被抽到的可能性为． 4. 如图，在空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算结合条件即得. 【详解】. 故选：B 5. 已知向量与的夹角为钝角，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由向量与的夹角为钝角， 则，且与不反向， 即，解得，且， 所以结合各选项，的值可以是． 6. 一组递增数据的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（ ） A. 的极差为10 B. 的方差为8 C. 的第80百分位数为 D. 的平均数为7 【答案】D 【解析】 【分析】利用数据线性变换的性质，即可由原数据的数字特征计算出新数据的数字特征，逐一验证选项即可. 【详解】对于A，已知原数据的极差， 新数据的最大值，最小值， 则新数据的极差，故A错误， 对于B，新数据的方差，故B错误， 对于C，，故的第80百分位数为，故C错误， 对于D，新数据的平均数，故D正确. 7. 从1，2，3这3个数中随机抽取2个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数记为，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】先列举出全部基本事件，再判断满足的事件个数，利用古典概型概率公式求出概率即可. 【详解】从1，2，3中随机抽取2个不同的数，共有3种等可能的情况： ①抽取1，2，则，剩余数为3，此时； ②抽取1，3，则，剩余数为2，此时； ③抽取2，3，则，剩余数为1，此时； 在总共3种等可能的情况中，满足的情况有2种，因此． 8. 在三棱锥中，，，，则D到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为是对棱相等的棱锥，所以将三棱锥放在长方体更容易求解. 【详解】 令长方体长、宽、高分别为由图的 由图可得：, 令平面法向量， 所以：所以， 点D到平面的距离即在投影向量的模长， ， 所以点D到平面的距离为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件A与事件B互斥 C. 事件A与事件B相互独立 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】A.利用古典概型的概率求解判断；B.利用互斥事件的定义判断；C.利用独立事件的概率求解判断；D.利用并事件的概率求解判断. 【详解】解：依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件， 则，A不正确： 事件B含有的基本事件有8个：，，，，，，，， 其中事件，，，发生时，事件A也发生，即事件A，B可以同时发生，B不正确； 抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，，，即事件A与事件B相互独立，C正确； ，D正确. 故选：CD. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若两个不同平面，的法向量分别是，，且，则 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线 C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 【答案】ACD 【解析】 【分析】由面面垂直的向量表示可判断A；由线面平行的向量表示可判断B；根据向量共线定理，可判断C；由空间向量基底的表示可判断D. 【详解】对于A，，所以，A正确； 对于B， ，所以，则直线或者，,B错误; 对于C，对空间中任意一点O，有，满足，则P，A，B，C四点共面，可知C正确； 对于D，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知正方体外接球的体积为，点满足，其中，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则点轨迹的长度为 B. 若点在线段上（不包括端点），则的最小值为4 C. 当时，三棱锥的体积为定值 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，求得正方体的棱长为，由和，求得，得到点的轨迹为一段圆弧，求得圆弧的长度，可判定A正确；由点在线段上，得到，利用基本不等式，可判定B错误；由，得到点在棱上运动，结合，可判定C正确；由，得到点在线段上运动，建立空间直角坐标系，结合，可判定D错误. 【详解】由正方体外接球的体积为， 设正方体外接球的半径为，则，解得， 设正方体的棱长为，则，解得， 对于A，因为点满足，可得点在平面上， 在直角中，由，可得， 所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆弧， 故点的轨迹的长度为，所以A正确； 对于B，若点在线段上（不包括端点），则，其中， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，所以B错误； 对于C，当时，点在棱上运动， 此时为定值，所以C正确； 对于D，当时，如图，分别是的中点，点在线段上运动， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 可得， 因为， 所以与不垂直，所以不存在点，使得平面，所以D错误. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间两点，，且，则点P的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】设点P的坐标为， ，则， ，解得. 13. 已知，若，则 ______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据数量积的运算法则，代入求解，即可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，则， 所以. 14. 甲、乙两人进行棋类比赛，每局比赛胜者得1个积分，负者得0个积分，记两人积分之差的绝对值为3时比赛结束且积分多者获胜，赛制规定两人最多进行5局棋类比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，则比赛结束时甲获胜的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】分甲3：0获胜和甲4：1获胜两种情况讨论，结合独立事件概率求法运算求解. 【详解】①当甲3：0获胜时，获胜的概率为； ②当甲4：1获胜时，则乙只能在前三局获胜一局，有三种可能， 则甲获胜的概率为； 综上所述：比赛结束时甲获胜的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，内角所对的边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）将等式左边用平方差公式展开，化简后与余弦定理的标准形式对照，可得  的值，从而求出  的大小； （2）由内角和求出角，利用正弦定理求出边，再代入面积公式即可求得三角形面积． 【小问1详解】 由已知， 整理得， 由余弦定理， 所以，因为，所以，又为锐角，所以. 【小问2详解】 因为，，由(1)知，则， 由正弦定理得， 所以． （） 16. 随着自动驾驶技术的发展，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了200辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）．已知样本中评分在内的快递车比评分在内的快递车多40辆． （1）求，的值； （2）现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前30%的车为A等车，其余为B等车，估计A等车的分数线； （3）为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分均不超过90分的概率． 【答案】（1）， （2）85分 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的面积和为1得，再结合频数关系得，解方程即可得答案； （2）求第70百分位数即可得答案； （3）根据分层抽样得组有4辆车，组有1辆车，再根据古典概率模型求解即可. 【小问1详解】 由直方图的数据得①， 由评分在的快递车比内的多40辆，得，解得②， 联立①②，解得，． 【小问2详解】 达到前30%时的分数线，等价于求第70百分位数．从低分段累计频率： ，，第70百分位数落在区间， 设分数线为，则，解得，估计等车的分数线为85分． 【小问3详解】 分层抽样：评分超过80分的车辆组80辆，组20辆辆． 按比例抽取5辆：组：辆，组：辆． 编号：将组4辆车记为，，，；组1辆车记为． 列举所有等可能基本事件（5选2，无序）： 用列表法穷举： — √ √ √ √ — — √ √ √ — — — √ √ — — — — √ 共10种等可能基本事件， 找出“两车评分均不超过90分”的事件（即两车都来自组，不含）： ，，，，，共6种， 两车评分均不超过90分的概率：． 17. 如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)三个不共面的向量作为基底，再用基底表示,再用模长公式. (2)用基底表示,用数量积计算得出结果就行. 【小问1详解】 设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底， 则，，， 因为， 所以 【小问2详解】 由（1）可知， 同理可得， . 所以 . 18. 为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． （1）求甲、乙投篮总次数不超过4次，且乙获胜的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对总次数分三种情况讨论，结合相互独立事件的概率公式计算可得； （2）分甲赢得比赛与乙赢得比赛两类讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【小问1详解】 若甲、乙投篮总次数为次，则乙不可能获胜； 若甲、乙投篮总次数为次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次， 所以； 若甲、乙投篮总次数为次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次， 所以； 记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件，则， 所以甲、乙投篮总次数不超过4次，且乙获胜的概率为； 【小问2详解】 若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中次，则概率； 若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮， ①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，则； ②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中， 则； ④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中， 则； 综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是分析得甲恰好投了2次篮的所有情况，从而结合独立事件的概率公式即可得解. 19. 在三棱锥中，等边三角形的边长为，点为的中点，设二面角的平面角分别为． （1）证明：； （2）当时，求直线与平面夹角的正弦值； （3）求的最小值． 【答案】（1） 设的中点为，连接、，则， 因为三角形PAB为等边三角形，所以， 又因为，所以， 又因为，、平面， 所以平面，又因为平面，所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设的中点为，连接、，借助线面垂直判定定理可得平面，即可利用线面垂直性质定理得到； （2）过点作的垂线，设垂足为，利用线面垂直判定定理可得平面，即可得，则可建立适当空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）过点作的垂线，设垂足为，借助线面垂直判定定理与性质定理可得，即可得，再结合各边长可表示出，结合辅助角公式计算即可得其最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作的垂线，设垂足为， 由（1）得，平面，由平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面，则， 以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，即. ， ，设平面法向量， 则，即， 取，可得，，即得， 设直线与平面夹角为，则； 【小问3详解】 过点作的垂线，设垂足为，连接， 由平面，平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面，又平面，所以，故， 则， ， 故， 因为，所以， 又因为， 所以，当且仅当时等号成立， 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仪陇中学2025-2026学年度上期第一次月考 高二数学试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据的中位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 3. 某班级有名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这名学生中抽取人进行家访，则同学被抽到的可能性为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量与的夹角为钝角，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 6. 一组递增数据的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（ ） A. 的极差为10 B. 的方差为8 C. 的第80百分位数为 D. 的平均数为7 7. 从1，2，3这3个数中随机抽取2个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数记为，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 8. 在三棱锥中，，，，则D到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件A与事件B互斥 C. 事件A与事件B相互独立 D. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若两个不同平面，的法向量分别是，，且，则 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线 C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 11. 已知正方体外接球的体积为，点满足，其中，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则点轨迹的长度为 B. 若点在线段上（不包括端点），则的最小值为4 C. 当时，三棱锥的体积为定值 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间两点，，且，则点P的坐标为__________． 13. 已知，若，则 ______. 14. 甲、乙两人进行棋类比赛，每局比赛胜者得1个积分，负者得0个积分，记两人积分之差的绝对值为3时比赛结束且积分多者获胜，赛制规定两人最多进行5局棋类比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，则比赛结束时甲获胜的概率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，内角所对的边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 16. 随着自动驾驶技术的发展，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了200辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）．已知样本中评分在内的快递车比评分在内的快递车多40辆． （1）求，的值； （2）现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前30%的车为A等车，其余为B等车，估计A等车的分数线； （3）为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分均不超过90分的概率． 17. 如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点. （1）求； （2）求. 18. 为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． （1）求甲、乙投篮总次数不超过4次，且乙获胜的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 19. 在三棱锥中，等边三角形的边长为，点为的中点，设二面角的平面角分别为． （1）证明：； （2）当时，求直线与平面夹角的正弦值； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $