专题02 三角函数的图象与性质（五点法作图）专题训练-2027届高三数学二轮复习

专题02三角函数的图象与性质（五点法作图） (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍. 二、典型题型.. .2 题型一：用五点法画出一个周期内的图象，不限制具体范围。.2 题型二：用五点法画出具体某个范围内的图象...7 三、专项训练.... .....11 一、必备秘籍 必备方法：y=Asin(Or+p)五点法步骤 ③ P π-p 3π -P 2π-p e 2 0 e 0 ① ax+p 0 π 3π 2π 2 ② y=Asin(ox+o) 0 A 0 -A 0 对于复合函数y=Asin(or+p), 第一步：将ox+0看做-个整体，用五点法作图列表时，分别令ox+0等于0’2，元 3π ，2,2x,对应的y则取0’A’0’-A’0°，（如上表中，先列出序号①②两 行) 第二步：逆向解出x(如上表中，序号③行。) π 3π 第瓶玉关（会0,2”，巴0之9 0 0 (2π-9,0 0 二、典型题型 题型一：用五点法画出一个周期内的图象，不限制具体范围 【典例1)(2526高一下福建莆田期末)已知函数)-m2x+eR). (1)填写下表，并用“五点法”画出函数f(x)在一个周期内的图象. 2x+ 6 6 x 0 f(x) (2)将y=∫(x)的图象向上平移1个单位长度，横坐标缩短为原来的2，再将得到的图象上 所有点向右平移4个单位长度后，得到g(x)的图象，求g(x)图象的对称轴方程. 【典例2】(2526高一下北京朝阳期中)）已知函数)-2i如2x+写) (1)补全下表，在如图的坐标系中作出（五点法)函数一个周期上的简图： 2x+号 0 2 3π 2π 2如2r+到 环 2 -匹0 6 L- 2 (2)写明该函数的图象可以由函数y=sir的图象经过怎样的变换得到： (3)直接写出该函数的单调增区间，图象对称轴方程： (4)设函数 (x)= 求函数 的值域 g(x) 【变式1】(25-26高-下江西期中)设fx)=2sin(2x+p)(0<p<π)，y=f(x)图象 的一条对称轴是直线x= π 8 y O π } 2 (1)写出函数f(x)的解析式，填写下表并用“五点作图法”画出函数y=f(x)的图象： 2x+ 0 2π x y (2)已知x∈ 求函数8（四）-()+了十2的最小值，并写出取最小值时，的取值. 【变式2】（24-25高-下江西南昌阶段检测)已知函数/-2c0s2x-牙 3元 4 4 7元 9元x 8 8 8 8 8 2x-4 π f(x) (1)填写下表，并在坐标系中用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象； (2)求∫(x)的对称轴与对称中心： 求函数f(x)的值域， 【变式8】(2425高-上甘肃白银期未)已知西数f)=2m2x-日） (1)求f(x)的单调递减区间： (2)用“五点法”作出(x)在一个周期内的简图的过程如下，请先补全表格，然后在下图的 坐标系中作出f(x)在一个周期内的简图. 列表： x 2x-4 f(x)=2cos x-到 画图： 野 3元. 9π. 8 9 35t7元 8888 -2 - 题型二：用五点法画出具体某个范围内的图象 【典例1】已知函数f)=2m（2x+) 利用“五点法”完成下面表格，并画出f(x)在区间[0，π上的图象： 2r+π 2 3π 2 2π 4 0 f(x) O T 2 【典例2】(24-25高一上云南昆明期末)设函数f(x)=2cos(r+p)(0<0<6,0<p<π) ,满足0=1小商数和图家的一个对蒋中心为信 -2 (1)求f(x)的最小正周期： ®月“五点法”面出西爱内在区间骨引上的防阁 【变式1】(25-26高-下北京期中) 已知酒数/（倒=2in2x+君） 2 0元5元7匹2元4元51元元衣 12:643:12 212:3:3612 -2 (1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[O,可]上的图象（要求列表）， 并直接写出y=f()图象的对称中心： 7π 2)将函数y=f(x)的图象向右平移24个单位，得到函数y=g(x)的图象，若x, 6-受]，当>时，g5)恒现立求实数m的录大位 【变式2】(25-26高一下·江西宜春·阶段检测)已知函数f(x)=2sin(2x+p)(0<p<π) 珠 2 1 3 -2 0 π 6 (创若P胥，用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数f句)在[印，小上的图象： (2)若f(x)为偶函数，将函数y=f(x)的图象向左平移6个单位后，再将得到的图象上各 点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=8(x)的图象，求8(x)的单调递 增区间. 【变式3】(24-25高一上河北保定·期末)设x∈R,函数 f)=2cos(ar+pjo>0-子<0的最小正周期为，且/日-5 2 5π 2π：11元充x 61迈312 -1 (1)求0和P的值： (2)在给定坐标系中作出函数f()在[0，网上的图象： 3)若f()>V2,求x的取值范围 三、专项训练 1.(25-26高一上福建厦门阶段检测)函数f(x,)=2si 2x- (1)求函数f(x)的单调递增区间和最小正周期； (2)请用“五点法”画出函数∫(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中 填上所需的数值，再画图)： 28 0 2 2 7π 5元 6 12 -2 π3π (3)利用函数图象， 直接写出函数f(x)在4'4 上的最大值和最小值，并指出相应的，的 值 2.(2026高一…全国专题练习) 已知函数闭=2x+周 2x+ 0 3π 6 2 2元 2 x π6 f(x) -1 YA 3玩 (1)填表并在坐标系中用“五点法”画出函数∫(x)在一个周期内的闭区间上的图象（完成 横、纵坐标列表)： (2)写出函数y=∫(x)图象的对称中心坐标及对称轴的方程. 3.(2026高三·全国专题练习)己知函数f()=2 sinxcosx+V3(2cos2x-） 国将两致化务4snr+po>0问<到形式，填写下表，并后函数/利在区同 [a-2] 上的图象；（如图） 0 元 6 2 @x+p 0 π2 几 2 2元 f(x) (2)求函数f田的单调减区间. 4.(2425高一下四川商充阶度格测已如西数=2sn2x-叠》xGR 2-日 x f(x) (1)在用“五点法”作函数f()的图象时，完成上述表格，并在坐标系中画出函数y=f(x) 的大致图象； (2)根据(1)得到的图象，写出函数(x)的对称轴方程和对称中心的坐标： 3)求不等式f)-V3>0的解集。 5.（2526高一下北京期中)已知函数/)-m2x- -cos2x 2 用“五点铁”百圣致内在个周明内的象，其中x[后名 3远衣 (2)求∫(x)的单调递减区间 创当x网时，求函数的最值及取得最值时的值 6.(2526商-下安徽阜阳期中)已知函数f(似=2sm2x+ 0兀元元：元5元：元7元2元3元5π1元元x -1 1264312:2:12:3..46:12 -2 (1)用“五点法”通过列表在给定的坐标系中，画出函数f(x)在x∈[0，上的大致图象： (2)求出函数(x)的对称中心和递增区间： 3)当xe0,时，求曲线y=sinr与y=2sn2x+ 的交点个数.（请直接写出答案） 7.已知函数f(x)=2V3 sin xcosx+2cos2x(x∈R). K321 部 r衣 12 (1)化简y=f(x)的解析式，并写出函数y=f()的最小正周期： (2)求函数y=∫(x)的单调增区间； 「元1lπ (3)用五点法画出函数y=f(),x12'12]的图象：若函数g()=k+1-f(y)在 [®]内有两个相开的待点，求安数的家红范 8.(2526高-上渐江湖州期末)设函数f()=c0s(@x+p0>0,0<<2)的最小正周 期为f(- (1)求0和9的值； (2)填写下表，并在给定坐标系中作出函数(x)在一个周期内的简图： @x+ π 2 3π 0 2 2 2π f(x) 沉O 6 3 6 求商数8=x+}x-）,x引的指城 9.已知图数f=cos2x-写） (1)填写下表，并用“五点法”画出f()在0，上的图象： 2-号 3 2 2 3 0 5π 2π 11π π 6 1 12 f(x) 1 2 1 0 -1 2 VA ----{-----------{ -r- ------ (2)将f(x)的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移2个单位 长度，得到g)的图象，求()>2的解集， 10,(2526有-下湖北十摆开学考试)已知函数/儿)-2c(2x+君 y 2 -1 -2 (1)求当f(x)取得最大值时，x的取值集合： (2)完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0，π]上的图象 2x+ 6 y 1.（25:26务-下内蒙吉呼和洁特彩中)设函数()=c0s(@r+p@>05p<0)的 及小正周期为，且}9 2 5元 2元11ππx 2 3 2 2 (1)求0和9的值： (2)列表并填入数据，在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，可]上的图象： B)当x∈R时，若f> 2，求的取值范围 12.(25-26高一上福建福州期末)已知函数f(x)=Acos(0r+p)(其中A>0,0>0, 1<)的图象过点P 行0，且图象上与点p近的个最低点的坐标为（径，-2 2 36 --2 (1)求函数∫(x)的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图； (2)将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度得到的函数y=g(x)是偶函数，求m 的最小值，专题02三角函数的图象与性质（五点法作图） (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍. 二、典型题型.. .2 题型一：用五点法画出一个周期内的图象，不限制具体范围。.2 题型二：用五点法画出具体某个范围内的图象.......2 三、专项训练.... 一、必备秘籍 必备方法：y=Asin(Or+p)五点法步骤 ③ P π-p 3π -P 2π-p e 2 0 e 0 ① ax+p 0 π 3π 2π 2 ② y=Asin(ox+o) 0 A 0 -A 0 对于复合函数y=Asin(or+p), 第一步：将ox+0看做-个整体，用五点法作图列表时，分别令ox+0等于0’2，元 3π ，2,2x,对应的y则取0’A’0’-A’0°，（如上表中，先列出序号①②两 行) 第二步：逆向解出x(如上表中，序号③行。) π 3π 落三步到五个关餐点为（号0·(2.2，小20之9 0 0 2π-9,0) 0 二、典型题型 题型一：用五点法画出一个周期内的图象，不限制具体范围 【典例1)(2526高一下福建莆田期末)已知函数)-m2x+eR). (1)填写下表，并用“五点法”画出函数f(x)在一个周期内的图象. 2x+ 6 6 x 0 f(x) (2)将y=∫(x)的图象向上平移1个单位长度，横坐标缩短为原来的2，再将得到的图象上 所有点向右平移4个单位长度后，得到g(x)的图象，求g(x)图象的对称轴方程. 【答案】(1) 2x+ 2 个 13π 6 6 2 2 2π 6 5π 2π 11π 0 2 6 12 3 12 f(x) 4 2 0 0 2 4 画图：在坐标系中描出上述6个点，连接成光滑的正弦曲线即可（一个周期范围为 xe[0,): -21 4 2 5π 12 4 (2)对称轴方程为x= 〔分析】(1)根据五点法作图原理，确定一个周期内相位2x+石的五个关键点对应值，侬 次求解得到对应的x和∫(x),再描点连线得到函数图象： (2)按照三角函数图象平移、伸缩变换的规则逐步推导得到8(x)的解析式，再利用正弦 型函数对称轴的性质，令相位等于2 +km(kEeZ),求解得到g(x)的对称轴方程， 【详解】(1)对于函数f(x)=,sin2x+ 6 结合表格给出的初始值，按五点法计算得 下表： 2x+ π 2 3π 13π 6 6 2 2 2 2n 6 11π 0 2 5π 2π 6 12 3 12 f(x) 1 2 0 0 4 2 4 画图： 在坐标系中描出上述5个点，连接成光滑的正弦曲线即可（一个周期范围为 x∈[0 11π 12 )。 21 4 12 元 .6--12 4 2 (2)按平移变换规则逐步推导： 函数)-n2x+君)向上平移1个年位得%n2x+君引1. 横坐标缩短为原来的得⅓=nm(4x+》十 正弦函数y=sin的对称轴满足u=+km(keZ), 2 令4-g-子a低e2到解得-骨+经ke刀 62 即g(x)图象的对称轴方程为x= (kEZ). 34 【典例2】(2526高一下北京朝用期中)已知西数)-2n2x+ (1)补全下表，在如图的坐标系中作出（五点法）函数一个周期上的简图； x 2x+肾 罗 3π 0 2 2π 2如2x+到 2 6 2 (2)写明该函数的图象可以由函数y=six的图象经过怎样的变换得到： (3)直接写出该函数的单调增区间，图象对称轴方程： (x)= 50 42h (4)设函数 1-f八x+4 ,3π 求函数 的值域 8(x) 【答案】(1) 补全表格如下： π π π-3 7π 6 12 12 6 2+肾 2 3π 0 2 2 2π 2如2+ 0 2 0 -2 0 简图如下： 6 123 -2 (2)将函数y=six的图象纵坐标变为原来的两倍，再向左平移3个单位长度，再将横坐标 变为原来的乞或将函数y=six的图象纵坐标变为原来的两倍，再将横坐标变为原来的乞， 再向左平移6个单位长度 3)单调增区间 [径++e,对方程为+经e列 【分析】(1)借助五点法计算及画图即可得： (2)利用三角函数平移与伸缩变换的性质即可得： (3)结合正弦型函数性质计算即可得： (4)结合三角恒等变换公式将8(x)化简后，结合∫(x)值域计算即可得. 【详解】(1)作图略： (2)将函数y=six的图象纵坐标变为原来的两倍，再向左平移3个单位长度， 再将横坐标变为原来的2，即可得到该函数的图象： 或将函数y=six的图象纵坐标变为原来的两倍，再将横坐标变为原来的2， 再向左平移。个单位长度，即可得到该函数的图象： +2km≤2x+≤+2ka(keZ),解得2 3)令2 3 +k≤x≤+k(keZ), 12 即该函数的单调增区间为一12 ++ke2 令2x+=+km(keZ）,x=5+keZ). 32 122 甲该爱图家的对称销方程为受+冬化eZ。 4f+）-n2x+受+}-a2x+引 r-m2x+写引}-4-4om(2r+引 则8=f44 -4o2x+-442x+) 1-+12m2x+引 1+2co2x+ 当r[0t.2+肾[引则o2r+引eo, 当2x+}-0 时，g(x) 4cos22x+3-0 1+2ar2x+ -4cos22x+π 当 时，8(x)= 2+}0 1+2c0s2x+元 3 -4 -4 2 2 -j cos2 2r+ -1 综上可得：同数g的值装为[兽)] 【变式1】(25-26高-下江西期中)设f(x)=2si血(2x+p)(0<p<π)，y=f(x)图象 的一条对称轴是直线x=g· y 3 :O 2 (1)写出函数f(x)的解析式，填写下表并用“五点作图法”画出函数y=f(x)的图象： 2x+ 0 2π y ②已知x0引，求西数()-（闪+7因+2的最小值，并写出取最小值时，的取值 【答案1afa)=2n2x+到】 2 3π -8 2g()的最小值为0，x= 24 【详解】（④）因为直线x=是函数y=闪的一条对称轴。 所以sim2×+p=士l, 8 则计p三元+kZ解得买akE无 又0<p<:所以o-景，西数解折式为f(-2m2x+日到 由f()=2sin2x+到可知，列表如下 0 π 2 2π x π8 3π 然 y 0 2 0 -2 0 故函数f(x)=2si 2x+)的图象如下： 8 2 (2)当x∈0， 时.2x+e[后可得7倒=2m2x+到[，列 因此f(x)+2∈[2-V2,4]: 令1=f)+2,则原函数g(问可化为A0=1-2+1∈[2-2,4， ,0老本个等式得+3-2 当且仅当1=，即1=1时等号成立，此时满足t=1∈[2-V2,4] 所以40)=1-2+之0，当且仅当，=1时等号成立 时e=2n2x+}-1,即m2x+哥引 结合2r+ π5π 44’4 则2r+”-7元 46解得x=1 24 11π 所以g(x)的最小值为0，此时x=24 【变式2】（24-25高-下江西南吕阶段检测)已知函数/()=2c0s2x-到 2 0 .I 2 f(x) (1)填写下表，并在坐标系中用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象； (2)求f(x)的对称轴与对称中心： 求函数f(x)的值域. 【答案】(1) 2- 0 2 个 2 2π 个 3π 5π 7π 9π 8 8 8 8 8 f(x) 2 0 -2 0 2 ! 3π 4 2 4 O 元 5元 7元 9元元 8 8 :8 2 2)对称轴为x= (+3π，0(keZ): 级+经ke刃，对称中心为（经+贺 8+ 3[-2,2] 【分析】(1)用五点法，列表，描点，连线，作函数(x)在一个周期上的简图： (2)令2x-元 π+机，可得对称轴，令2x- 4 =m+ 2,可得对称中心 [π3π 由三角函数性质可得f(x)的值域 【详解】 (1)列表 2r- 0 2π 4 2 2 3π 7π 9π 8 8 8 8 f(x) 2 0 -2 0 2 函数图像如图所示 3π 4 4 5匹7元 8 8 88 (2)令2.x-元 元+机，得对称轴；x=+(keZ), 82 令2-板+受得-经 km,3 ,所以对称中心为2+8 0(k∈Z): 4 [-2[引 当1-0即x=时.以=f-2 ，即x=牙时.f)=f(到2 当13 所以f(x)的值域为[-V2,2] 【变式3】(2425高一上甘市白银期未)已知两数f)=2x-） (1)求f(x)的单调递减区间： (2)用“五点法”作出f(x,)在一个周期内的简图的过程如下，请先补全表格，然后在下图的 坐标系中作出f(:)在一个周期内的简图. 列表： 2x-交 4 f=2a2x-到 画图： 2 π.3元.9元 4:2:4:8 1 8888 -2 5π 【答案】(8 +kπ， 8 +kπ(k∈Z) (2) o 3π 7π 8 8 2x-π 0 2 2 2π 4 f(x)=2cos 2x- 2 0 -2 0 2 π.3π 9π 4: 4 :8: π：35t7t -1 8 8 【分析】(1)利用余弦函数的单调性可得单调递减区间： (2)填写表格，画出函数图像得到答案。 【胖解L)2kπ≤2x飞元+2 kz:ke7s+2kz≤2x+2kke☑ 4 4 4 +kz≤x P 5π+kπ，keZ' 5π 即f(x)的单调递减区间为8+k红，8+红(k∈Z (2)略 题型二：用五点法画出具体某个范围内的图象 【奥例1】已知西数f(=2如2x+母到 利用“五点法”完成下面表格，并画出f(x)在区间[0，上的图象： 2x+4 3π 2 2 2 2元 0 f(x) 2 π 8 -1 2 【答案】 2x+4 π4 2 3π 2π 9n 2 4 3π 0 5π 7π 8 8 8 f() √2 2 0 -2 0 2 画出f(x)在区间[0，元上的图象如图： 2 1 不 -1 【分析】由题设及特殊角三角函数值可完成表格，由表格可完成图象 【详解】略 【典例2】(24-25高一上云南昆明期末)设函数f(x)=2cos(ox+p)(0<0<6,0<p<π) ,满延了0=1玉数内因象的个对为后小 2 2 (1)求f(x)的最小正周期： 「15 2)用“五点法”画出函数f(x)在区间33上的简图 【答案】(1)2 (2) 101 、116 23 6 -2 【分】④由=1将p-由数f倒图象的一个对称中心为名0 可得 0=π，进而可得T=2; (2)根据“五点法”画图法作图即可. 【详解】(1)由f0)=1得osp-2又0<p<所以p-子，放fy=2c0or+ 商数四图象的个对际中心为后0 则2o+=m+,keZ. 1π 6 3 2 即0=6km+元，k∈Z,又0<0<6，所以0=元， 而7-2石-2，所以)的最小正周期为2 (2)列表： r+ 3 0 2 3π 2 2π 3 1-6 2-3 7-6 5-3 2 0 -2 0 2 画图 6 【变式1】(2526膏-下北京期中)已知函数f()=2in2x+引 2 元5π元7π2元4π5元11元 1264 -1 312:21233612 2 (1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f()在[0，列上的图象（要求列表）， 并直接写出y=f(x)图象的对称中心： 7π 2)将函数y=f(x)的图象向右平移24个单位，得到函数y=g(x)的图象，若x, 当x>:,时，g(x)<g(s)恒成立，求实数m的最大值： 【答案】(1) 环 2 0π匹5元7m2元4元5元 1264 -1 3:12叉12：3：3：62 πx -2 2+120(kez) km,5π 对称中心为 13元 (2)12 【分析】(1)通过列表得函数f(:)在[0，可内的关键点以及端点值，在所给的坐标系中， 描点连线画出草图，并写出其对称中心： (2)根据图象平移可得8(x)=2sin2x- 5π mm 12 分析可知函数g(x)在 -22 内单调递 减，结合正弦函数的周期性和单调性运算求解即可 【详解】(1)列表： 0 6 5π 2π 1lπ 12 3 12 2x+ 3π 2元 13π 6 6 2 2 6 y 1 2 0 -2 0 1 描点，连线，画出f()在[0，可上的大致图像如图： ⅓ 2 元匹ππ5元元7元2元4π5元11无 元 12 6 4312 3361X2 1 2121 2 由图可知函数，=内图您的对称中心为（仔+受0：e。 7π (2)将函数y=f(x)的图象向右平移24个单位， 由题意可知：雨数g以在不受]内年调建减，且g内的授小正周期7-子=x, 则0经（贸），0<m-≤解得<m 3π 2, 且<ms则空m[品）m（ 19%-m≥ 13π 可得12 解得π<m≤ 12 13π 所以实数m的最大值为12 【变式2】 (25-26高一下江西宜春阶段检测)已知函数f(x)=2sin(2x+p)(0<p<)】 2 -1 0 2x-π 6 y 口若P,用“五点法”在给定的坐标系中，画出西数（问在[0，可上的图象： (2)若f(x)为偶函数，将函数y=f(x)的图象向左平移6个单位后，再将得到的图象上各 点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=8(x)的图象，求8(x)的单调递 增区间. 3 【答案】(1) Oπ元 5tπ -11迈 3 12 .6.- 4π (2) 3 +2m-7+2am (k∈Z 3 【分析】(1)根据“五点法”填表，再描点画图 (2)首先根据偶函数的性质和平移规律求函数8(x)的解析式，再代入余弦函数的单调区 间求解 【详解】(4当9背时.)=2sn2x+写，列表 0 π 元-3 7π 12 6 0=2x+7 个 3 3 2 2 2π 3 y 5 2 0 -2 0 5 则函数y=f(x)在区间[0，π]上的图象是： 2 5t元 -1 12. 6. ②了y2s2x+o为偶函数，p=+你EZ f(x)=2sin 2x+2)》 =2cos 2x 将向左平移云个单位，再将候华标变为原来的2信，得到因=2+写 令-元+2m≤x+3≤2m,keZ' 解得： 4红+2m≤x5-于+2，keZ 3 g()的单调递增区间为3 +2a音+2a]e刀 【变式3】(24-25高一上河北保定期末)设x∈R，,函数 f)=2cos(or+p0>0<<0)的最小正周期为x且了(-5 :2远11元t 1-6--1-1-3--1) -1 (1)求0和9的值： 2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，可上的图象： 3)若f(x)>V2,求x的取值范围. 【答案】川。=2p=-3 -- 12 (2) 50 :3π： 6 2 (3){x|kπ+ <x<kπ+ 7π 24 kEZ 24 【分析】)利用最小正周期可求再利用f()5求解p即可 (2)先列表，再描点，最后连线画出∫（图象即可： (3)由(1)得f(x)=2cos 2x- 原不等式化为cos 2} 再由余弦函数的 图象和性质解不等式即可 2π 【详解】(1)：函数f(x)的最小正周期T= =元，·0=2 )-2co-2om)-2sin-3 则sinp=一 2,因为2 <p<0,p=- (2)由(1)知f(x)=2co 2x-3 列表如下： π 5π 2π 11π 0 π 6 12 3 12 0 3π 5π 2 2 3 f() 1 0 -2 0 1 f(x)在[0，可]上的图象如图所示： 环 2 --- 11 12 充5： :3π： 充 6- 12 3 2m吾<2x-晋<2a+原e2. 则2+02x<2x+7径e2, 即kπ+ <x<kπ+ 24 (kEZ). 24 x的取值范围是+元<x<a+江k∈Z乃 24 24 三、专项训练 1.(25-26高一上福建厦门阶段检测）)函数f()=2sin 2-别 (1)求函数∫(x)的单调递增区间和最小正周期； (2)请用“五点法”画出函数∫(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中 填上所需的数值，再画图)： 2x- 0 2 2 1 7π 5π 迈 2 6 12 π3π (3)利用函数图象， 直接写出函数f(x)在4'4 上的最大值和最小值，并指出相应的，的 值 【答案】(1)函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z), 6 最小正周期为元 (2)如图所示： π π 7π 5π 13π 12 3 12 6 12 2x、π 6 0 π 3π 2 2 2x 0 2 0 -2 0 2 7π 5元 13πx 12 -2 3)当x 3时，f(x)有最大值为2，当x=3 4时，f(x)有最小值为-5 【分析】（山）根据y=s血x的单调递增区间，将x替换为2x-石即可得出函数)的单润 递增区间，根据正弦函数周期公式T-2” 。,代入数值即可得出函数f(x)的最小正周期： (2)右图x轴上的坐标即为要取的五点的x坐标，代入2x-石和()，即可得出表中数 值，并用连续光滑的曲线连接即可： π3π π13π (3) 4’41212 判断所在单调区间，即可得到答案 (详解】巴由y$i血的单调递增区何可得，2r-石-+2+2ckeZ 解得x∈ +，+aez. 所以函数f(x)的单调递增区间为一 ++eZ☑： 由正弦硒数周期公式1-石可得，T怎-元 02 所以函数f(x)的最小正周期为π (2)依题意得，题干右图x轴上的坐标即为表格中要取的五点的x坐标， .T2x-=2X260,y=2Sin0=0: 6 126 当-骨2-名-2×骨吾-员=2月 当7径2x名2x 7π 6 126 =π，y=2sinz=0: .2x2gy-2 6 3=2: =.2x-=2×J 当x= 6 x13m-π=2元，y=2sin2m=0: 126 填表，描点，用光滑曲线连接后得到图象如图所示， π 7π 5π 13π 12 3 12 6 12 π 2x π 3π 6 0 2 2 2 2π 0 2 0 -2 0 2 7 5元 12 6 12 元3π]_「元13π (3)因为441212 所以在区[ π13π 上的图象包含于fx)在区间1212] 的图象， 因为行 f)f以=2，所以当x-了时。f问倒有袋大值为2 π<35 π3π 因为34 ， f(x)在3'4 单调递减， 故当=时。有最小) 2.(2026高一·全国专题练习) 已知商数)-m2r+引 2x+6 ,元 π-2 3π 2 2π π 6 f(x) A 匹π3元x 2 2 (1)填表并在坐标系中用“五点法”画出函数f(x)在一个周期内的闭区间上的图象（完成 横、纵坐标列表) (2)写出函数y=f(x)图象的对称中心坐标及对称轴的方程 【答案】(1) 2x+元 0 3 2 3π 2元 6 2 π 元 5π 2π 11π 12 6 12 3 12 f() 0 0 0 5元.2红.11匹 012312 12 6- 2x=+ (kEZ), 62 【分】（④）根据五点法求解作图：即白2x+名分别等干0受经，2江分别求得x值并计 算出函数值，然后描点连线： （2)由2x+元-+a(keZ)求得对称轴方程，由2x+元=-hz(kcZ)求出对称中心横坐 62 标，得对称中心坐标。 【详解1】（四分别s2x+名等于0受2江得x的值为受侣答，然后令2x+君行 π5π2π11π 于0 2π，2π计算出相应函数值分别为01,0,0，填写表格： 2x+6 π 0 π-2 不 2 2π 元 π 5π 2π 11π 12 6 12 3 12 f(x) 0 1 0 -1 0 描点，连线，得图象： Y 5元2红.11π 12 3 12 ② 12 6 2由2x+后-经a(eZ解得x=名+经e2. 所以对将轴方程为：名+经keZ 山2r+吾-a低eZ鲜物=音+经（eZ列。 6 所以对称中心为： 3.(2026高三·全国专题练习)已知函数f(x)=2 sinxcos+V5(2cos2x-. 回将函数儿化为4sm@x+p叭。>0<到形式，填写下表，共面出函数在区间 1m5 66 上的图象；（如图) 0 元衣 6 @x+ 0 z 21 2n f(x) (2)求函数f(x)的单调减区间. 【答案】fa)=2sin(2x+孕， 6 西 7π 5π 3 12 6 3 @x+ 0 π 2 2 2π f(x) 0 2 0 -2 0 图象如图. 2 元O元 7π 5π 6 123 12 6 -1 -2 元 (2)单调减区间为 +设+ (kEZ) 12 2 【分析】(1)先化简函数fy表达式为f)=2sn(2x+孕，填写上图即可： 2)由2a+号2x+骨2a+受e刃，得红+骨xs+径e刀，即可求得西数 3 f(x)的单调减区间. 【详解】(1)f(w=2 sin xcosx+V5(2cos2x-l）=sin2x+V3cos2x=2sin(2.x+5 -π 7π 5π 6 12 元3 @x+ 0 Σ π 2π f(x) 0 2 0 -2 0 图象如图。 2 πOππ 7 6 1231 6 -1 -2 3 12 ,7π 故单调减区间为 121 (k∈Z) 12 7π 注： 12 12 (k∈Z)也可以： 4. (2425商一下四川南充阶段检测已知面数)=2如2x-县，xR 2x- 4 f(x) O (1)在用“五点法”作函数∫(x)的图象时，完成上述表格，并在坐标系中画出函数y=fx) 的大致图象： (2)根据(1)得到的图象，写出函数f(x)的对称轴方程和对称中心的坐标； 3)求不等式f()-V5>0的解集。 【答案】(1) 2- 2 2 2 2元 3π 5 7π 9π 8 8 8 8 8 f(x) 0 2 0 -2 0 2321 y=九x】 12 8 泽 r4T8T-/18 3π.k (2)对称轴方程为：x= 82 ,k∈Z,对称中心为： 5π+k 82 ,kEZ ,11π+kn keZ 《324+k元，24■ 【分析】(1)根据正弦函数y=six“五点法”作图的取点方式，分别求出对应的x和 f(x),进而填表，结合“五点法”画出图象即可： (2)结合图象即可求解： (3)由正弦函数的性质即可求解. 【详解】(1)略 (2)由图象可得： 函数f)的对称轴方程为：x= 3元+k,keZ, 8+2 函数f的对称中心为： +,0,keZ, 82 由7-80：可得2-》孙 由正弦函数的性质可得：号+2m<2x-年<0+2keZ, 43 得+a<x<+kke 24 即不等式f-√5>0的解集为 5。（25-26高一下北京期中)已知函数f)=5im2x-5 os2x 2 (1)用“五点法”画函数f(x)在一个周期内的图象，其中x [ (2)求f(x)的单调递减区间： π (3)当x∈ 2π 时， 求函数f(x)的最值及取得最值时，的值： 【答案】(1) x 元 5 11π 7π 6 12 3 12 6 2x-3 2 3π 0 2 2 2π y 0 0 -1 0 12 -1 2)m+π 12ez) 函数f)的最大值为兰，此时x=受：最小值为1此时x- 3 12 π7π 【分析】(1)化简函数f(x)的解析式，列表、描点、连线，可作出函数f(x)在66 上的图象： (2)根据正弦型函数的单调性可求出函数∫(x)的单调递减区间： π (3)当x∈ 2时，求出2x- 的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可得出f(x)的 最大值和最小值及其对应的x值。 【球】山国为-g如2om2-m引有 2x-5c1a2网， 令2x-号分别取0：至x经2x π3π 当2x号=0时，x=g 6’y=0: 当2x骨时-设。 12,y=1: 当2x-骨=时，=3 3’y=0 11π 当2x-5=2时，x三12，y=1 当2x-=2m时，x= 7π 6,y=0时 填表如下： π一6 段 11π 3 12 6 2x- 3π 0 3 2 2 2π y 0 1 0 -1 0 描点、连线，得图如下： 11元7匹 12 5元2元 6- 123 (②)由正弦画数的性质可知，当2江+受≤2x-了s2版+keZ列时。画数单调适减， 3 所以2版++≤2x≤2km+ 2 3 2+行，解得红+钙sx5血+ 12 12 所以f(x)的单调递减区间为 ki 1 (kEZ) 5,km+ 12 所以2x- π_2π5π (3)因为x∈ 33,3 令t=2x- π3π 3π5π 因为函数y=sin在区间22 上单调递减， 在区间2’2」 上单调递增， 2π5π 所以在区间3，上， ymin sin- 3r-1 2 又当1=2时，sint=sin πV3 3 32 当1时，m1=s 5π3 2 所以-1sys 2,即-1sf)s5 所以当2x-7=2红。 33时即当x时取得最大值3： 当2x73 3 时，即当=时。问取得最小值 所以当尤∈ 2时：函数了)的最大值为2，此时x=至：最小值为此时x= 3 12 6.（(2526高下安数单即期巾)已知离数f倒=2n2x+名 2 O匹：兀九兀5元：兀：7元2元3元5元1元元：x 12:64312:.2:12:3:.4:612 -2 ()用“五点法”通过列表在给定的坐标系中，画出函数∫(x)在x∈[0，网上的大致图象； (2)求出函数∫()的对称中心和递增区间： 3)当x∈0，小时，求曲线y=sinr与y=2sin2x+石)的交点个数。（请直接写出答案） 2 【答案】(1) 兀兀兀兀：5元匹：7π2π：3元5πkπ 12:64312:812:3.4:6Z2 -2 (2)函数的对称中心为 kπ、π 2120 ,kEZ. 递增区间为 kEZ 6 (3)2 【分析】(1)先求出函数的周期，再确定“五点法”作图所需的关键点，列表后作出大致 图象： (2)由正弦型函数的图象变换可求对称中心，再由单调区间的判定求出递增区间： (3)结合第(1)问所作图象，并在同一坐标系中作出函数y=f(x)与y=six的图象，通 过图象判断交点个数 【详解】(1)函数f()=2sin2x+ 2π 6 的振幅为2：角频率为2’所以周期为7= 2 在区间[0，小上取关键点x=0,π，2红，11 612’3’12 ,兀，可得下表： 0 6 5π 2π 11π 2 12 3 12 2x+π π2 π 3π 2π 13π 6 6 2 6 f() 2 0 -2 0 1 据此可作出函数在[0，上的大致图象如下： y Oπ；5元\匹7π2π3元5π11 12643:12:812:34:62 (2)令2x+石-阮，ke乙，解得x=k了ke乙，所以函数的对称中心为 6 2121 经0kez 由2x+元∈ +2a,子+2keZ,解得x(红号a+eZ 6(2 所以函数的通增区何为红-子a+ ,k∈Z 6 (3)在第(1)问所给坐标系内，再补作曲线y=s1x的图象如下： 2 V-sInx 0元元：5元7元：2元3元5元元： 1 12:6:4312:212:3462 2 f() 由图象可知：曲线y=f(x)与y=sinx的交点个数为2： 7.已知函数f(x)=2V3 sin xcosx+2cos2x(xeR）· 3 2 1 πO 元去 12-1 12 (1)化简y=f(x)的解析式，并写出函数y=f()的最小正周期： (2)求函数y=f(x)的单调增区间： π11π (3)用五点法画出函数y=fx),x1212]的图象：若函数g(闪)=k+1-fx)在 [Q]内有两个相异的零点，求实数本的取强范园， 【答案】f()=2sin(2x+爱+l,最小正周期为元 6 a-智+a君+akeZ 6 (3) 3 元O 5π 11元 12 i6-2- 12 [1,2) 【分析】（①）化简函数为f()=2si(2x++1,结合最小正周期的公式，即可求解： 6 (2)结合三角函数的性质，即可求解： (3)根据五点作图法，画出函数y=f(x)的图象，根据题意，转化为y=∫(x)和y=k+1 2π 的图象在 0 3内有两个不同的交点，结合图象，即可求解 【详解】(1)由函数f(x,)=2W3 sinxcosx+2cos2x=V3sin2x+cos2x+1=2sin(2.x+)+1 6 所以函数f)的最小正周期为T==元 +2km≤2x+2s+2km,ke乙，解得-3 (2)令-2 +kmSx≤亚+km,keZ, 62 6 所以函数f()的单调递增区间子+点+akeZ. 6 π11π (3)由xe-1212] 可得2x+元∈[0,2， 6 列表： r 2x 3领 6 0 元-2 下 2π 元 5n 11π 12 12 3 12 f() 1 3 -1 1 描点、连线 3 -2死- 1π主 126 12- 12 2π 由函数g()=k+1-f)在0, 内有两个相异的零点， 即f)=k+1在0 2π 3 内有两个相异的实根， 2π 即y=f(x)和y=k+1的图象在 0, 3 内有两个不同的交点， 由y=)的图象可知，在0 π2π 上单调递增，在63 单调递减， 因为f0=2,f-3,f(2-1 所以结合图象，可得2≤k+1<3,解得1≤k<2,即实数k的取值范围为山，2) 8.(25-26高一上·浙江湖州期末)设函数f()=c0s(ox+p列0>0,0<p< 2 的最小正周 (1)求0和P的值： (2)填写下表，并在给定坐标系中作出函数()在一个周期内的简图： 3π @x+p π 0 π 2 2 2K f(x) 25远 6 6 6 )求函数)=x++(x-智)，x0引的值域 【答案】a0=2p号 (2) 2x+π 3π 0 2π 2 2 π 7π 5π 6 12 12 6 f(x) πO元 7π 6 2 3 12 6 -1 【分析】(1)根据周期公式，可得0值，代入解析式，根据条件，化简计算，可得值 (2)由(1)知，f)=cos 2x+ 根据余弦函数的图象与性质，完成表格，作出图象 即可 (3)根据诱导公式、两角差的余弦公式、辅助角公式，化简整理，可得8(x)的解析式， 根据x的范围，可得2x+3的范围，根据余弦函数的性质，即可得值域： 【详解】4由7-石=x,得0=2 由/)-任+p小-咖。= 2,即simp= 2 又0<p< 所以p=交 3 (2)由(1)知，f)=co 2x+ 表格为 2+肾 0 π-2 3 2π 2 π 12 -3 12 6 f(x) 1 0 0 1 再作出图象 12 7r5πx 126 a)g=+}f-引oar++m2x-到 -s2x+2m2x+5n2x=m2x- 由*周2[ 当2x时m-分 当2x 62时，sin=1, 2 所以2x刮[别单的歧别 9. 已知数=ax-到】 (1)填写下表，并用“五点法”画出f()在0，上的图象； 2x- 乏 2 3 x 0 π 5π 11π 3 2 1 12 f(x) 2 1 0 -1 2 (2)将f(x)的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移2个单位 长度，得到g(x)的图象，求8()>2的解集。 【答案】(1) f(x)=cos 2x π 3: 补全列表如下： 2- 0 元-2 3 0 76 π 11π π 12 3 12 f(x) 2 1 0 -1 0 画出f(x)在[0，π]上的图象如图： 1 1 2 5元 11t 12 12/π 文-6 2匹 2 -1 2 +26g+2 (k∈Z) 【分析】(1)直接根据五点作图法补全表格，然后描点画图： (2)先通过图象变换得到g(x)=cos 6 然后结合图像代入8()>2得到解集， 【详解】(1)(1)略： (2)f(x)的图象上所有点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得y=©os 3的图 象， 再向左平移号个单位长度，得g闭=o+写引=0(+君)的图象。 <π+2kπ，k∈Z, 6 3 解得 z+2kx<xs2kkc 6 即g(x)> 2的解集为一 +2k,g+2ake. 10. (2526高-下海北十樱开学考试)已知函数f(-2os2x+) A 2 元 (1)求当f(x)取得最大值时，x的取值集合： 2)完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0，可]上的图象 x 2x 6 y 【答案】回r=沿keZ (2) 列表如下： 0 π 11π 12 3 12 2x+ π-6 2 个 3π 2π 13π 6 6 f(x) 5 0 -2 0 2 5 则函数f(x)在[0，上的图象，如图： 2 5π 11立π衣 12- -12- -2 【分析】(1)利用余弦函数性质建立方程，求解即可， (2)利用列表、描点法作出函数图象. 【详解】(1)由题意f(x)=2cos2x 6 当f(x)取得最大值时，有2x+亚=2， 6 k∈Z, 所以x=m- 12'k∈Z' 所以，的取值集合为中=加-ke乙 (2)略 11. (2525有-下内藏古呼和浩特舞中)设重数/)-cm(or+po>Q-至<0<0的 最小正周期为且f八4 2 灰 2π 1ππx 6 12 -3- -12 2 (1)求0和9的值： (2)列表并填入数据，在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，上的图象： 当x∈R时，若f)小兰。求，的取值范国 【答案)a0w=29=子： (2)表格见解析，图象见解析： 3)+π <x<kn+- 24 ,keZ 24 √ 【分析】(1)利用最小正周期和f 2，结合给定范围与三角函数性质即可求解： (2)列表描点即可得出答案： (3)由余弦函数的图像与性质解不等式即可得出答案. 【详解】(1)~函数f(x)的最小正周期为元，且ω>0， 2π 0=2, 围 f图w传+p-血p= -<p<0, 2 2)曲a知f(=2x-到） 由0≤x≤π' 可得3 列表如下： 0 兀 5π 2π 1lπ 6 12 3 12 2-号 π 0 3π 3 2 2 3 f(x) 1 2 0 -1 0 2 函数f(x)在[0，π上的图像如下图： 12 0 12 -3 a是，回m2x引马。 π 2-4<2x-3<2km+4,kez 则2m+x<2x<2m+ 7元 12 12’keZ 即m+ <x<kπ+ 7π 24 24'kEZ' x 的取值范围为 k+ <x<kπ+ 4 12. (25-26高一上福建福州期末)已知函数f(x)=Acos(@r+p)(其中A>0,0>0, 州<子的图象过点P 月图家上与点ρR近的一个员低志的华标为侣-2) 2狐5πx 6 6 -2 (1)求函数f(x)的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图； (2)将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度得到的函数y=g(x)是偶函数，求m 的最小值。 【答案】(1) f=2s2x-名 2 6 6 3 1-2 5π 212 【分析】(1)由最低点的坐标得出A,由周期求出ω，利用五点作图法得出P,求出函数 f(x)的解析式，进而画出图象： (2)通过平移得出y=8(x)的解析式，利用函数为偶函数列方程求出m的最小值. 【详解】(1)由题意可得，A=2'且周期7=4 7ππ 123 =元，则0 2=2 f(x)=2cos(2x+p) 又2x径+p=+2a(低e,解得0=吾42a低eZ.受g=君 f-2a2r-8副 2=g6=22-m则--2am个2x-2m8 函数y=g内是锅商数。则2m名如低e2),解有m-女臣e☑) 又m>0:则当k=-1时，m的最小值为12