专题04 解三角形（中线问题）专题训练-2027届高三数学二轮复习

专题04 解三角形（中线问题）(典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 1 方法一：向量化(三角形中线向量化） 1 方法二：角互补 6 三、专项训练 11 一、必备秘籍 1、向量化(三角形中线问题） 如图在中，为的中点，(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷） 2、角互补 二、典型题型 方法一：向量化(三角形中线向量化） 【典例1】的内角的对边分别为，且． (1)求A； (2)若，三角形面积，求边上的中线的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，化简可解； （2）先由三角形面积公式求出，再借助，可求的长； 或者利用余弦定理求的长. 【详解】（1）由正弦定理得， 又，则， 化简得． 又，所以，则． 因为，所以． （2）由得， 法一：由得 边上的中线的长为． 法二：由余弦定理得：， 由，得， 解得，，即边上的中线的长为． 【典例2】在中，角的对边分别为，向量且. (1)若是边上的中线，，求三角形的面积. (2)若的平分线交边于点且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解，利用平面向量运算三角形面积公式即可得解； （2）根据面积公式，面积相等法和基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，由正弦定理得，即， 且，则，可得， 因为，所以， 由题意得，则， 即有，且，解得：，所以， 故的面积为. （2）由为的角平分线，得. 又，即. 所以. 即， 当且仅当即时等号成立； 【变式1】在三角形中，角，，的对边长分别为，，，且． (1)求； (2)若，，求三角形的面积； (3)在（2）的条件下，求边上的中线的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由正弦定理得， 展开整理得， 又，所以解得，又因为，所以． （2）由余弦定理可得， 即，又，所以， 所以． （3）因为，所以， 即 ． 故. 【变式2】在中，，，分别是内角，，所对的边，且满足， (1)求角的值： (2)若，边上的中线，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理边角转化结合两角和正弦公式计算求解； （2）方法一：应用角的关系结合余弦定理及面积公式计算求解；方法二：应用向量关系平方得出边长关系结合向量的数量积公式计算求解得，最后应用面积公式求解. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 则， 即，故， 因为，所以，即， 因为，所以，故， 又因为，所以． （2）（方法一） 延长到，使得，又，故四边形为平行四边形， 所以，， 又由得， 所以在中，由余弦定理得， 即， 整理得，即，解得， 所以．    （方法二） 因为是边上的中线，所以． 两边同时平方得：． 已知，，即，， 且． 代入可得． 整理得，即，解得， 所以． 方法二：角互补 【典例1】如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P． (1)求的正弦值； (2)求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法1、由余弦定理求得，得到，分别在和，求得和，结合和互补，求得，再在中，求得，即可求解； 解法2、由题意，求得，根据，结合的面积为面积的，列出方程，即可求解； （2）解法1、由余弦定理求得，得到，，在中，由余弦定理求得，即可求解； 又由，所以． 解法2、由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：解法1、由余弦定理得， 即，所以， 所以， 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 与互补，则，解得， 在中，由余弦定理，得， 因为，所以． 解法2、由题意可得，， 由AM为边BC上的中线，则， 两边同时平方得，，故， 因为M为BC边中点，则的面积为面积的， 所以， 即， 化简得，． （2）解：方法1、在中，由余弦定理，得， 所以， 由AM，BN分别为边BC，AC上的中线可知P为重心， 可得，， 在中，由余弦定理，得， 又由，所以． 解法2： 因为BN为边AC上的中线，所以， ， ，即． 所以． 【典例2】在中，角所对的边长分别为，已知. (1)求； (2)若是中点，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：由，正弦定理得，再由，得，可求； 方法二：已知条件结合余弦定理求出，再由余弦定理求得，可求； （2）方法一：利用向量数量积求； 方法二：由，有，利用余弦定理求的长度 【详解】（1）方法一： 因为，由正弦定理得：， 又，得， 中，，所以， 又因为在中，所以. 方法二： 因为，由余弦定理得：， 解得，所以， 又因为在中，所以. （2）方法一： 在中，是中点，所以， ， ，即的长为. 方法二： 由（1）方法二，知， 又是中点，， 在中由余弦定理有：， 在中由余弦定理有：， 因为， 所以， 即， 解得，即的长为. 【变式1】在中，角所对的边长分别为，已知，且. (1)求； (2)若是中点，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由正弦定理进行边角互化，结合诱导公式可求得； (2)根据平行四边形法则，用表示，由可得的长度. 【详解】（1）因为，由正弦定理,得：. 因为在中，，所以， 所以. 因为，所以，所以. 因为,所以. （2）方法一：在中，由余弦定理，得,所以. 因为，是的中点，所以. 在中，；在中，. 因为，所以， 所以，即. 因为，所以,所以. 方法二：如图，是边上的中线，所以， 所以， 由题知，，所以，所以.    【变式2】在中，点在边上，，． (1)若是的角平分线，求； (2)若是边上的中线，且，求． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）在和中，分别利用正弦定理即可得的值； （2）利用余弦定理即可求解． 【详解】（1）解：点在边上，，．是的角平分线， 在和中，由正弦定理可得，； ，， ． （2）解：因为是边上的中线， 设，， ，， ， ，化简可得，解得或（舍去）， ． 三、专项训练 1．在锐角中，角，，所对的边分别为，，．向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，为边的中点，求线段的长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的数量积为0，结合正弦定理、两角和正弦公式化简即可求解； （2）先利用向量中线公式表示出，再利用余弦定理将关系式转化为仅含的表达式，最后通过正弦定理结合锐角三角形的条件求出的取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】（1）因为向量，，且， 所以， 由正弦定理得：， 即，所以， 因为在中，，所以， 所以，又因为，所以， 又，所以. （2）因为为边的中点，所以， 所以， 即， 由余弦定理：，所以， 所以， 由正弦定理：，所以， 又，为锐角三角形，所以，解得：， 所以 ， 因为，则，则，所以， 所以，即. 2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，E是边的中点，，. (1)求的值； (2)的平分线交于点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用相邻的两邻补角的余弦定理来求中线长； (2)利用等面积法来求角平分线长即可. 【详解】（1） 由余弦定理得：，， 因为,且， 所以有：，解得； （2） 由余弦定理是：， 因为，所以， 又因为是的平分线，所以， 再由面积公式可得：， 代入，可得. 3．在中，角、、所对的边分别为、、，，，，点是上的点． （1）若是的角平分线，求的值； （2）若是边上的中线，求的长． 【答案】（1） ；（2）. 【分析】(1)在，中分别利用正弦定理，结合，可得，从而得出答案. (2)由，利用余弦定理可得到关于的方程，从而解出答案. 【详解】解:（1）在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 由条件知，，， 所以． （2）因为，所以由余弦定理得 所以，． 4．在中，角、、的对边分别为，、，且. （1）求角的大小； （2）若，求边的中线长度的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用正弦定理边化角化简等式，再根据两角差的正弦公式化简，可解出角；（2）因为为边的中线，可得到，即，代入余弦公式可得到，又，由不等式可得到的最小值. 【详解】（1）由正弦定理得， 在中， ∴，即 即， ∵，∴，∴. （2）∵， ∴， ∴， 在中由余弦定理. ∵时取等号 ，∴， ∴，∴，∴， ∴长度的最小值为. 5．在中，，，分别是角，，的对边，且. (1)求； (2)若，求的中线长度的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理可得，结合三角恒等变换可得结果； （2）由题意可得，即，结合余弦定理及均值不等式可得结果. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 整理得， 因为，为三角形内角，所以，，所以，， 所以，即， 又因为，所以； （2）因为，所以， 整理得， 在三角形中，由余弦定理得. 因为，当且仅当时取等号， 所以，即， 所以，即， 即长度的最小值为. 6．已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若， ①求周长的取值范围； ②若为边上的中线，，求的面积． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）法一：利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换可求得，进而可求；法二：利用余弦定理角化边可得，利用余弦定理求得，进而可求； （2）(ⅰ) 法一：由正弦定理可得，，利用三角恒等变换可求得周长的取值范围；法二：利用余弦定理，结合基本不等式与三边关系定理可求得周长的取值范围；(ⅱ)由余弦定理可得，利用，结合余弦定理可得，进而可求面． 【详解】（1）法一：由正弦定理得． 从而，即， 又中，∴， 又，所以． 法二：由余弦定理得， 化简得， 则， 又，所以． （2）(ⅰ)法一：由正弦定理得， 则，，∵，∴． 的周长为 ． 又∵，∴，故， ∴周长的取值范围是． 法二：由余弦定理得， 所以． ∵，∴， ∴(当且仅当时取得等号)． 又∵， ∴周长的取值范围是． (ⅱ)在中，由余弦定理得，即． 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得． ∵，∴，∴． 所以，． 7．在中，内角的对边分别为，且， (1)求角； (2)若，且边上的中线，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理把角转化成边，再利用余弦定理可得答案； （2）法一：把向量关系式平方，联立余弦定理，解方程可得答案；法二：延长中线至点，使得，解可得答案；法三：利用平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和，以及余弦定理列方程，解方程可得答案；法四：以及余弦定理，列方程，解方程可得答案. 【详解】（1）由余弦定理：， 得：， 即：， 整理得：， 又由余弦定理： 故：. （2）法一：（向量法）由余弦定理，即. 而，得， 即，解得. 故. 法二：（倍长中线法）延长中线至点，使得. 在中，， 由余弦定理得， 即，余下同法一. 法三：（平行四边形法则）平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 即，即.余下同法一. 法四：（双余弦法）由，利用余弦定理得， 即，即.余下同法一. 8．在中，角，，所对的边分别为，，.已知. (1)求角的大小； (2)若，设为的中点，且，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）正弦边角关系有，结合三角形内角的性质、三角恒等变换化简得，即可求解； （2）由题意，应用向量数量积的运算律、定义得，由余弦定理得，进而可得，即可得周长. 【详解】（1）∵，由正弦定理得， 即， ∴，又，所以，从而. （2）∵为的中点，∴，两边平方可得， 即①， 在中，由余弦定理得②， 由①②可得，，，所以，即. 所以的周长为. 9．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， (1)求角A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再通过两角和公式与辅助角公式化简即可求解； （2）联立三角形面积公式与余弦定理建立关于的二元方程组即可求解； （3）利用中线向量公式与余弦定理将转化为关于的函数，再通过正弦定理及三角恒等变换，结合锐角三角形的范围限制即可求解. 【详解】（1）， 由正弦定理可得， ∴， 即，， 因为，所以，所以， 即，即， 又，∴，则． （2）由（1）及题设可得，即， 整理得，解得（负值舍去），故． （3）因为D为BC的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，所以，则， 即， 所以，所以中线AD的取值范围是． 10．在三角形中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，设为的中点，且，求三角形的周长. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由正弦定理边角互换结合题意可得，据此可得答案； （2）由题可得，由余弦定理可得，据此可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 则，化简得，， 因为，所以，即. 又因为，所以； （2）因为为中点，所以， 两边平方可得，，即① 在中，由余弦定理得② 联立①②可得，，所以，故. 所以的周长为. 11．在中，，，分别为角，，的对边，已知，. (1)求角的大小； (2)若为的中点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角差的余弦公式展开等式，然后利用正弦定理、诱导公式及辅助角公式化简等式，即可求得； （2）由中点得到向量的数量关系，然后平方后整理为边的关系式，结合余弦定理求出，即可求得的面积. 【详解】（1）∵， ∴， 由正弦定理得， 又∵， ∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴. （2）∵为的中点，∴， ∴， ∴，∴， 在中，由余弦定理可知，∴， ∴， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $专题04解三角形（中线问题）（典型题型归类训练） 目录 一、必备秘籍..· 二、典型题型。..... 方法一：向量化（三角形中线向量化）.......1 方法二：角互补.... 三、专项训练... 一、必备秘籍 1、向量化（三角形中线问题） 如图在△ABC中，D为CB的中点，2AD=AC+AB(此秘籍在解决三角形中线问题 时，高效便捷) B 2、角互补 ∠ADC+∠ADB=π→cOS∠ADC+cOS∠ADB=0 二、典型题型 方法一：向量化（三角形中线向量化） 【典例1】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且V3(b-acosC)=csinA. (1)求A; (2)若b=1,三角形面积S=V3,求BC边上的中线AD的长. 【典例2】在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量p=(a,c-2b),9=(cosC,cos4) 且p+列=p-. 若c=3,AD是BC边上的中线，4D= 2,求三角形ABC的面积 (2)若∠BAC的平分线AM交BC边于点M且AM=1,求3b+C的最小值， 【变式1】在三角形ABC中，角A,B,C的对边长分别为a,b,C,且 (2a-c)cosB bcosC (1)求B； (2)若a+c=5,b=V3,求三角形ABC的面积： (3)在(2)的条件下，求AC边上的中线BD的长度. 【变式2】在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C所对的边，且满足 CosB.b=0 cosC 2a+c (1)求角B的值： 2者。=2”4C边上的中线BD=5 ，求AABC的面积. 方法二：角互补 【典例1】如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=62,∠BAC=45°，BC,AC边上的两 条中线AM,BN相交于点P. B M (1)求∠BAM的正弦值： (2)求∠MPN的余弦值. 【典例2】在A4BC中，角A4B,C所对的边长分别为a,c,已知b=5,e=3,b=acosC- 2 (1)求∠A: (2)若D是BC中点，求AD的长度. 【变式1】在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,已知b=10,c=6,且 b=acosC-c 1 (1)求∠A: (2)若D是BC中点，求AD的长度. 【变式2】在△ABC中，点D在边BC上，AB=3,AC=2」 (I)若AD是∠BAC的角平分线，求BD:DC: 2)若D是边BC上的中线，且4D=Y5】 2,求BC: 三、专项训练 1.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C.向量m=(,cosB), n=(cosA,a-2c),且m⊥i. (1)求角B的大小： (2)若b=V3,D为边AC的中点，求线段BD的长的取值范围.。 2.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,E是BC边的中点，c=3, b=AE=7 (1)求a的值； (2)∠ABC的平分线交AC于点F,求BF的长. 3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,a=V5,b=l,c=V2,点M 是BC上的点 BM (1)若AM是∠BAC的角平分线，求CM的值： (2)若AM是BC边上的中线，求AM的长. 4在a1BC中，角ABc的对边分别为。6e且asin B=sn行小+5动 (1)求角A的大小： (2)若a=V5,求边BC的中线AD长度的最小值. 5.在△ABC中，a,b,C分别是角A,B,C的对边，且 ccos(B-4)+ccosC+23bsin Acos C=0. (1)求C: (2)若C=4,求AB的中线CD长度的最小值. cosCc-26=0 6.已知a'b,c分别为。4BC三个内角A'B?C的对边，且cosA+a (1)求A: (2)若a=6, ①求△ABC周长的取值范围： ②若AD为BC边上的中线，AD=4,求△ABC的面积. 7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a-b=2 ccosB, (1)求角C; (2)若C=6,且AB边上的中线CD=4,求△ABC的面积： 8.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C己知2 ccos B+b=2a (1)求角C的大小： (2)若c=V6,设D为AB的中点，且CD=2,求△ABC的周长. 9.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，acosC+V3 asin C-b-c=0 (1)求角A; (2)若a=2,△ABC的面积为V3,求b,c: (3)若a=V3,且△ABC为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围. 10.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinA-+V3c=V3 bcosA. (1)求角B (2)若b=2W6,设D为AC的中点，且BD=2,求三角形ABC的周长， 11.在△ABC中，a,b,C分别为角A,B,C的对边，已知a=6, 2ac0s-c-b+e. (1)求角A的大小： (2)若D为BC的中点，且AD=-3W5,求△ABC的面积.