向量法解决空间中线段或点的存在问题小专题训练-2027届高三数学一轮复习（适合全国I卷地区）

**基本信息** 聚焦空间点/线段存在性问题，通过多样化几何体情境系统训练向量坐标法的应用，强化空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间点/线段存在性问题|16题（单选8+多选3+填空3+解答2）|涉及垂直、距离、位置确定等存在性设问，涵盖三棱锥、正方体、阳马等几何体|以向量坐标法为核心，关联空间几何体建系、参数方程求解，体现几何直观到代数运算的转化，培养推理能力与应用意识|

向量法解决空间中线段或点的存在问题小专题训练（适合全国I卷地区） 一、单选题 1.在三棱锥M-ABC中，MA⊥平面ABC,△ABC为正三角形，AB=2,MA=V5,点F在线段MC 上，且C亦=ACM,当BCA=4时，=(） c n 2.在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，若点P是棱上一点（含顶点），则满足·PC,=-1的点 P的个数为() A.8 B.12 C.18 D.24 3.《九章算术》是我国古代数学名著.书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马. 如图，在阳马P-ABCD中，A⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形，E、F分别为PD,PB的中点， PG=入P心'PA=2'AB=1'若AG1平面EFC,则，=（) P A D 2 A. 8.3 7 5-7 D 4.在直三棱柱ABC-ABC中，底面是以B为直角顶点，边长为1的等腰直角三角形，若在棱CC上 有唯一的一点E使得AE⊥EB,那么BB=() A.1 B.2 C. D 5.如图，平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是等边三角形，四边形ABCD是矩形，且AD=2AB,E是 CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时， AE=(） 试卷第1页（共3页） E A.3 B. 2 D.2 6.如图，正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直.点P在正方形ABCD及其内部运动，点Q在矩 形ABEF及其内部运动.设AB=2,AF=1,给出下列四个结论： D ·P A B 2. E ①存在点P,Q,使PQ=3: ②存在点P,Q,使CQI1EP: ③到直线AD和EF的距离相等的点P有无数个： ④若PA⊥PE,则四面体PMQE体积的录大值为号 其中所有正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 7.在长方体ABCD-A1B,CD,中，AA1=2'AB=3'AD=4BM=3MCDN=ND' BP=2PA:过MN,P三点的平面与直线BB,相交于点Q,则BQ等于() 8.0 11 c. 11 n进 8.如图，长方体ABCD-A1BCD中，点E,F分别是棱DD1,BB上的动点（异于所在棱的端点）， 给出以下结论：①在F运动的过程中，直线FC1能与AE平行；②直线AC1与EF必然异面；③设直线 AE,AF分别与平面A1B1C1D1相交于点P,Q,则点C1可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是 () 试卷第2页（共3页） C 4 E R B D A1 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 二、多选题 9.已知正三棱柱ABC-A1BC1的所有棱长为2，E,F分别为棱BC,CC1上的点，则() A.当E为BC中点时，任意点F到平面A1AE的距离均为1 B.当F为CC1中点时，存在点E到直线AF的距离为2 C.对任意给定的点E,存在点F,使得AF⊥B1E D.对任意给定的点F,存在点E,使得AF⊥BE 10.如图，点M是棱长为1的正方体ABCD-A1BC1D的侧面ADD1A1上的一个动点（包含边界）， 则下列结论正确的是() D C B M C A.当CM⊥AD1时，点M一定在线段A1D上 B.当M为A1D的中点时，三棱锥M-ABD的外接球的表面积为2π C.当点M在棱DD,上运动时，MA+MB,的最小值为3+1 上存在点M,使异面直线MB,与CD所成角 11.如图，在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=AA1:空间一点p满足B=ABC+HBB?∈D,1 μ∈0,1，则() 试卷第3页（共3页） C B B A.若入=μ，则点P在线段BC1上 B.若入+μ=1，则点P在线段B1C上 C若入=)则不存在点P,使得AP上册 .1 D.若μ=，则存在点P,使得BP上AB 三、填空题 12.在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，SD⊥平面ABCD,SD=2AD=4,N为SB的中点， 在棱SD上（包括端点）存在点M,使AM⊥CN,则DM=, 13.已知正三棱柱ABC-A1BC1的底面边长为2，M是BC的中点，若线段CC1上有一点N,使得 MN⊥AB1,则侧棱AA1长的取值范围是 14.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形，AB=1,AD=2,PA=2,点M在 线段PC上运动，则点M到AB距离的最小值为 四、解答题 15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD/1BC,∠ADC=90°，平面PAD⊥ 底面ABCD.Q为AD的中点，M是枝PC上的点，PA=PD=2,BC=号AD=1,CD-3 D为 B (1)棱PC上是否存在一点M,使得平面MQB⊥平面PAD,请说明理由. PC的值 ②若三面角M-BQ-C大小为餐龙 16.在直角梯形ABCD中，AD‖BC,BC=2AD=2AB=25,∠ABC=90°，如图(1)，把 试卷第4页（共3页） △ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD. A 图1 图2 (1)求证：CD⊥AB: C的值：若不存在， BN (2)在线段BC上是否存在点N,使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出 说明理由. 试卷第5页（共3页） 向量法解决空间中线段或点的存在问题小专题训练 （适合全国I卷地区） 一、单选题 1．在三棱锥中，平面，为正三角形，，，点在线段上，且，当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解参数即可. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系如图所示，    ∵，， ∴，，，， ∴，， 已知是棱上一点，（）， 则， ∵，∴，解得． 故选：C 2．在棱长为2的正方体中，若点P是棱上一点(含顶点)，则满足的点P的个数为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，则点，，考虑P在上底面的棱上，设点P的坐标为，则由题意可得，，计算，即可得出结论. 【详解】如图所示：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴， 以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系. 则点，，考虑P在上底面的棱上，设点P的坐标为， 则由题意可得，. 所以， 故，即， 因为点P是棱上一点（含顶点），所以与正方形切于4个点， 即上底面每条棱的中点即为所求点； 同理P在右侧面的棱上，也有4个点，设点， ， 即与正方形切于个点， 即右侧面每条棱的中点即为所求点； 同理可得：正方体每条棱的中点都满足题意，故点的个数有个. 故选：C 3．《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，，，，若AG⊥平面EFC，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得结果. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，，，， 设平面的法向量， 则，令，解得，， ， ， 又平面， ，，解得. 故选：C. 4．在直三棱柱中，底面是以B为直角顶点，边长为1的等腰直角三角形，若在棱上有唯一的一点E使得，那么（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设出，根据垂直和唯一的点E得到方程由唯一解，根据二次函数根的分布问题求出. 【详解】如图，以B为坐标原点，BA，BC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，， 则， 则， 因为在棱上有唯一的一点E使得， 所以在上有唯一的解， 令，可知， 故要想在上有唯一的解，只需， 因为，所以解得： 故选：B 5．如图，平面平面是等边三角形，四边形是矩形，且，E是的中点，F是上一点，当时，（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】分别取的中点O，G，连接，以O为坐标原点，的方向别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，，则其数量积为零，得出答案. 【详解】分别取的中点O，G，连接， 以O为坐标原点，的方向别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则．设， 则．因为， 所以，解得，所以． 故选: C 6．如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直.点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动.设，，给出下列四个结论：    ①存在点，，使； ②存在点，，使； ③到直线和的距离相等的点有无数个； ④若，则四面体体积的最大值为. 其中所有正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量研究位置关系，结合距离公式、三棱锥体积公式逐项判断即可得. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、、、， 设，，其中，， 对①：，则， 当，，时，有， 故存在点，使，故①正确； 对②：，， 若，则有， 由，，故当时，，， 此时有，即，即， 此时与重合，与重合，故不存在点，使，故②错误； 对③：点到直线的距离为，点到直线的距离为， 即有，即，由， 故其轨迹为双曲线的一部分，即点有无数个，故③正确； 对④：，， 由，故有，则， 又， 故，故④正确. 故选：C    7．在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设点坐标，利用可得点Q坐标，从而可以计算的值. 【详解】如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. . 又因为，，， 所以 设，则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 因为点在平面上，所以， 即，解得. 所以. 8．如图，长方体中，点E，F分别是棱，上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线能与AE平行；②直线与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面相交于点P，Q，则点可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】当点E，F分别是棱，中点时，可证明四边形是平行四边形，故可判断①②；建立空间直角坐标系，当点E，F分别是棱，中点，且长方体为正方体时，利用空间向量证明三点共线 【详解】长方体中，，连接，，当点E，F分别是棱，中点时，由勾股定理得：，故，同理可得：，故四边形是平行四边形，所以在F运动的过程中，直线能与AE平行，与EF相交，①正确，②错误； 以为坐标原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则当点E，F分别是棱，中点且长方体为正方体时，设棱长为2，则，，，则，，则，又两向量有公共点，所以三点共线，故则点可能在直线PQ上，③正确. 故选：B 二、多选题 9．已知正三棱柱的所有棱长为2，，分别为棱，上的点，则（    ） A．当为中点时，任意点到平面的距离均为1 B．当为中点时，存在点到直线的距离为2 C．对任意给定的点，存在点，使得 D．对任意给定的点，存在点，使得 【答案】ACD 【分析】对于A，先证平面，接着证平面，故点到平面的距离为定值1；对于B，利用点到线的距离公式求解判断即可；对于CD，设，，再由垂直的坐标表示得，再根据的范围即可判断． 【详解】对于A，在正三棱柱中，当为中点时， ，平面，又平面， ，又平面， 平面，即平面，且， 所以点到平面的距离为， 又平面，平面， 平面， 所以，任意点到平面的距离均为1，故A正确； 对于B，在正三棱柱中，设中点为，中点为， ，又平面，平面， ，又平面， 平面，则以为原点建立空间直角坐标系， ， 当为中点时，，， 设，， 故点到直线的距离， 解得，又，所以无解， 即不存在点到直线的距离为2，故B错误； 对于C，设，若， 则， 即，，， 则对任意给定的点，存在点，使得，故C正确； 对于D，，，， 则对任意给定的点，存在点，使得，故D正确． 故选：ACD． 10．如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（   ）    A．当时，点一定在线段上 B．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C．当点在棱上运动时，的最小值为 D．线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 【答案】ABD 【分析】根据线面垂直判定A，应用空间向量法计算角及外接球球心结合表面积公式计算判断B，D，应用展开图及勾股定理计算判断B. 【详解】对于A，若， 又因为平面，平面， 所以，又平面，可得平面， 所以，又因为是正方形，所以，所以点一定在线段上，故A正确；   ， 对于C，如图，旋转平面，使之与平面共面， 连接交于，此时最短为，大小为，故C错误， 对于B，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 当为的中点时，则，，， 设三棱锥的外接球的球心为，则， 即，解得， ∴三棱锥的外接球半径， ∴三棱锥的外接球表面积为，则B正确；    设线段上存在点，设， 则可得，又，，， 则， 设异面直线与所成角为，若正切值为，则， 即，化简得， 解得，故线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为，故D正确. 故选：ABD. 11．如图，在正三棱柱中，，空间一点满足，，，则（    ） A．若，则点在线段上 B．若，则点在线段上 C．若，则不存在点，使得 D．若，则存在点，使得 【答案】ABD 【分析】对于AB，根据向量的线性运算即可判断；对于C，可确定点P所处的位置，找出特殊点，说明，即可判断，对于D，建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，利用向量的数量积的运算求出相应的参数值，即可判断. 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点在线段上，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点在线段上，故B正确； 对于选项：当时，取线段的中点分别为，连接， 因为，即，即，所以， 则点在线段上，当位于D处时，结合为正三角形，知， 即时，存在点，使得，C错误； 取的中点为，取的中点为M，连接， 在正中，易知，在正三棱柱中，易知平面， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图：    设，则，，， 则，，， 由，则，， 当时，即，则， 即，此时， 即时，存在点，使得，D正确. 三、填空题 12．在四棱锥中，底面为正方形，平面，，N为的中点，在棱上（包括端点）存在点M，使，则____. 【答案】1 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，根据向量垂直的数量积公式计算即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， ，则， ， 设，则，， ， ，，， . 13．已知正三棱柱的底面边长为是的中点，若线段上有一点，使得，则侧棱长的取值范围是__________. 【答案】 【分析】，又，根据垂直得到数量积为0，列出等式即可求解. 【详解】    设侧棱长为，则长为, 由题意， 又， 其中， 故，， 又， 故 即， 又， 所以， 所以， 即侧棱长的取值范围是， 故答案为： 14．在四棱锥中，平面，底面为矩形，，点在线段上运动，则点到距离的最小值为______. 【答案】 【分析】在线段上作一点，线段上作一点，使得四边形是矩形，由相关性质可将点到直线距离最小值转化为点到点距离最小，最后计算可得. 【详解】因为点在线段上运动，设，， 在线段上作一点，使得， 在线段上作一点，使得如图所示， 由三角形性质可知，在中，，且， 因为底面是矩形，所以，所以且， 所以四边形是平行四边形， 因为平面，平面， 所以，因为， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以四边形是矩形， 所以点到点的距离即为点到线段的距离 因为，所以当为中点时，最小， 即， 所以点在线段上运动，点到距离最小为. 故答案为：. 四、解答题 15．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，. (1)棱上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由. (2)若二面角大小为，求的值. 【答案】(1)存在，点在棱上，都有平面平面，理由如下： ∵，为的中点， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵，∴，即， 又∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面； (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得线面垂直，即可得出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用面面角的余弦公式建立方程，解得即可得解. 【详解】（1）略 （2）∵，为的中点，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， 如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 在中，， ∴，，，， 设，， ∴，又， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，得， 又平面的一个法向量为， ∵二面角为，∴， 即，解得或（舍去），即，∴. 16．在直角梯形ABCD中，，，，如图（1）．把沿BD翻折，使得平面平面BCD． (1)求证：； (2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)因为，且，， 可得，， 又因为，， 所以，则， 因为平面平面BCD，平面平面，且平面BCD，所以平面ABD， 又因为平面ABD，所以； (2)存在，． 【分析】（1）余弦定理和勾股定理可证明平面ABD，再由线面垂直的性质即可得； （2）以点为坐标原点建立空间直角系，利用空间向量即可求得结果. 【详解】（1）略 （2）因为平面ABD，且平面ABD，所以， 如图所示，以点D为原点，建立空间直角坐标系， 可得，，，，所以，, 设平面ACD的法向量为，则, 令，可得，，所以 假设存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°， 设，(其中)，则，， 所以 , 整理得，解得或(舍去)， 所以在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°，此时． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $