专题13 数列新定义问题专题训练-2027届高三数学二轮复习

专题13 数列新定义问题（典型题型归类训练） 一、单选题 1．（2026高一·全国·专题练习）斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．其指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…从第3项开始，每一项都等于前两项之和．删去0后，以第一个1作为该数列的第一项，其中第i项记为，如，，…，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法1：根据题意，得到，分别求得的表示，结合累加法，即可求解； 法2：根据题意，分别求得，猜想得到，结合数学归纳法，作出证明，即可求解. 【详解】法1：由题意得，数列的递推公式，可得 所以， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 上式累加，可得 又因为，可得，所以． 法2：由，且满足从第3项开始，每一项都等于前两项之和， 可得， 猜想：， 用数学归纳法证明： 设命题， ①当时，可得，即成立； ②假设当时，命题成立，即， 当时，， 在斐波那契数列中，可得，所以， 所以， 即当时，成立． 由①②知，对于任意的，命题都成立， 所以． 2．（26-27高三上·北京·开学考试）已知是各项均为正数的无穷数列，记集合，则“数列是等差数列”是“对于任意正整数，集合都是单元素集，且该元素为正数”的（     ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】利用集合新定义，等差数列的定义以及充分条件、必要条件的判断分析即可. 【详解】由可知，所以对任意的均有意义， 充分性：若数列是等差数列，设公差为，首项为，且， 则， 因为，所以，所以对于任意正整数，集合都是单元素集， 当时，满足已知条件，但是不满足集合中元素为正数，故充分性不成立， 必要性：若对于任意正整数，集合都是单元素集，且该元素为正数， 则对任意正整数，所有对应的为同一个正数，记为， 取，则， 根据等差数列的定义可知：数列是等差数列，故必要性成立， 所以“数列是等差数列”是“对于任意正整数，集合都是单元素集，且该元素为正数”的必要不充分条件. 3．（26-27高三上·北京·开学考试）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用．已知斐波那契数列满足，，则下列结论中错误的是（    ） A．存在，使得，，成等差数列 B．存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列 C．存在，使得，，成等比数列 D．存在正整数，，…，，且，使得 【答案】C 【分析】根据题意，利用斐波那契数列的递推公式，结合等差数列和等比数列的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由数列满足，， 可得，， 则满足，即构成等差数列，所以A正确； 对于B，由， 可得，即，即， 所以构成等差数列， 所以存在使得对于任意的，都有，，成等差数列，所以B正确； 对于C，若，，成等比数列，可得， 因为，可得， 所以，解得， 由题意可知、，故， 另一方面，若，则，这与矛盾， 所以不存在，使得，，成等比数列，所以C错误； 对于D，由数列满足，， 可得数列的前项分别为， 其中， 所以存在正整数，，…，，且，使得，所以D正确. 4．（25-26高二下·山东日照·期末）古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的一个数列．该数列将满月等分为240份，记数列为第n天（其中且），月球被太阳照亮部分占满月的份数组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．若在数列中，前5项构成公比为q的等比数列，第5项到第15项构成公差为d的等差数列，且q，d均为正整数，则第9天月球被太阳照亮部分占满月的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用等比数列通项公式求出，结合等差数列通项公式得到与的关系式，根据为正整数的条件确定参数值，再计算并求对应占比． 【详解】由题意，数列前项为首项，公比为的等比数列， 第5项到第15项为公差为d的等差数列， 所以，， 所以，即， 若，则，解得，不符合题意， 若，则，解得，符合题意， 若，则，无符合条件的解， 因此，，，， 所以第天月球被太阳照亮部分占满月的比例为． 5．（25-26高二下·安徽淮南·期末）已知数列的前项和为，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先利用和的关系，求得数列的通项公式，由，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】因为数列的前项和为，满足， 当时，可得， 两式相减，可得，即，所以， 又因为，可得，所以， 因为，所以， 所以数列的所有“和谐项”的平方和为： . 6．（25-26高二下·上海青浦·期末）设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得．那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，给出下列三个命题： ①若为等差数列，则为内和数列； ②若为等比数列，则为内和数列； ③若内和数列为严格增数列，则其伴随数列为严格增数列； 其中真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】对于命题①和命题②，取，结合内和数列的定义即可判断正误；对于命题③，内和数列为严格增数列，结合定义可求得，从而判断命题③. 【详解】对于命题①和命题②，设，可知正数数列既为等差数列也为等比数列， 则，但不存在，使得， 所以不为内和数列，①和②均为假命题； 对于命题③，因为，对任意，，可知存在， 使得，，则， 即，且内和数列为严格增数列，可知， 所以其伴随数列为严格增数列，命题③正确. 二、多选题 7．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）二进制数是电子计算机常用的进制，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制数的13.已知m，，且,若把m位n进制中的最大数记为，且为十进制的数，则下列说法正确的是（    ） A．将二进制数化成四进制数的结果是 B． C．已知，，满足，，，…，中有且只有3个1的所有二进制数对应的十进制数的和为1280 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，先将二进制数化成十进制数，再化成四进制数即可；对于B，根据的定义计算即得；对于C，利用二进制定义将二进制数表示为，分析得出，出现次，，，…，，均出现次，求和即得；对于D，根据定义推得 ，，构造函数，，求导判断单调性，推得，化简得，即得结论. 【详解】对于A，由二进制数， 再将十进制数27化为四进制：故结果为，故A正确； 对于B，因，故B正确； 对于C，，其中，，，…，中有且只有2个1，有种可能， 所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现次，，，…，，均出现次， 所以对应的十进制数的和为，故C错误； 对于D， ， ， 函数，，可得，所以在上单调递减， 当时，，则，即， 则，即，故， 则，故D正确. 8．（2026·湖南湘潭·一模）某种昆虫存在特殊世代交替繁殖规律：受精卵发育为雌虫，兼具父本和母本；未受精卵细胞发育为雄虫，雄虫仅有母本、无父本．下图是该类昆虫雄性的家系图，假定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推．记表示一只该类雄性昆虫上溯第代祖辈数量，例如，，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C．记，满足的最小 D． 【答案】ABD 【分析】根据繁殖规律推导递推关系，结合初始值逐项计算即可得到对应项的值即可判断A选项，利用递推关系将偶数项转化为相邻奇数项的差，裂项相消后求和即可判断B选项，对前项和进行裂项相消，得到，将不等式转化为，通过查找数列项的值确定最小即可判断C选项，用数学归纳法证明平方和等式，关键是利用递推关系 完成从到的递推即可判断D选项． 【详解】首先根据题目给出的特殊繁殖规律： 雄虫由未受精的卵细胞发育而来，只有母亲；雌虫由受精卵发育而来，有父亲和母亲，由此可以推导祖辈数量的递推关系： 第代的雄虫（祖辈），它的上一代（第代）祖辈数量 = 它的母亲的祖辈数量； 第代的雌虫（祖辈），它的上一代（第代）祖辈数量 = 它的父亲的祖辈数量 + 它的母亲的祖辈数量； 最终可以得到递推公式：，这是斐波那契型数列， 结合已知的，，可以依次算出前几项： ， 接下来逐个验证选项： 选项A：根据递推结果，，所以A正确； 选项B：利用递推关系 ， 对偶数项求和：，故B正确； 选项C：计算前项和， ， 要求，即， 已知， 因此，，最小是10不是11，所以C错误； 选项D：当时，，成立； 假设当时等式成立，即， 当时， ， 所以等式对也成立，由数学归纳法，等式对所有正整数成立，即D正确． 9．（25-26高二下·云南大理·期中）已知数列是首项为1的正项数列，前项和为，若对任意的正整数都有，则称是“数列”．下列结论正确的为（    ） A．若是公差为2的等差数列，则是“3数列” B．若是“2数列”，则不存在正整数，满足 C．若是“数列”，且，则的最小值为4 D．任给，若，且，则是“数列” 【答案】ABC 【分析】对A，等差数列的通项公式和前项和，直接验证；对B，得到，再用数学归纳法估计，进而估计；对C，证明时定义中的不等式对任意正整数都成立，再证明任意都不能满足定义，从而确定最小值；对D，选取符合题设条件的，构造反例判断． 【详解】A：因为，公差为，所以 于是 又 所以对任意正整数，都有，故是“数列”，A正确． B：因为是“数列”，所以对任意正整数，都有 因此 下面证明 当时，，结论成立． 假设当时，，则 所以由数学归纳法可知，对任意正整数，都有． 当时， 所以不存在正整数，使，B正确． C：由可得 由等比数列前项和公式，得 又 先取． 此时 化简得 所以时，对任意正整数都成立，即是“数列”． 下面证明任何都不符合条件． 由于且，若是“数列”，则必有． 若，则当时，不符合定义． 若，令 因为数列可以无限增大，所以存在正整数，使 于是 而 由，得 所以对这个，有，与“数列”的定义矛盾． 因此任何都不符合条件，而符合条件，故的最小值为，C正确． D：取 则，且 但是而 所以，即定义中的不等式在时不成立，故不是“数列”，D错误． 三、填空题 10．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）在数列中，如果，都有（K为常数），那么这个数列叫做等积数列，K叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则______． 【答案】3377 【详解】由题可知，即，， 可知，可得， 所以， ， ， 所以. 11．（26-27高二上·江苏镇江·阶段检测）对于数列，，若（为常数），则称是的“和数列”.已知为等差数列，，且是的“和数列”，则，数列的前项和________. 【答案】 【分析】先求等差数列的通项公式，结合“和数列”的定义推导的通项，判断为等比数列后利用等比数列前项和公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为，. 根据等差数列通项公式，有，代入，，解得， 因此. 由“和数列”的定义可知，故，即. 因此是首项为，公比为的等比数列，代入等比数列前项和公式得： 12．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）如果数列满足：，对任意，都有，，则称为“自然速增数列”．若数列为“自然速增数列”（，，，…，），且，，，则正整数的最大值为______，使取得最大值的数列有______个． 【答案】 70 42 【分析】对于第一个空总差值固定为2494，要项数最多就让相邻差尽可能小；差必须严格递增，最小从2开始依次加1，计算总和不超2494的最大项数即可；对于第二个空确定70项后，总差值比最小情况多出10；将这10分配到各差值中且保持差递增，本质就是10的整数分拆数，对应满足条件的数列个数. 【详解】设（）， 由且，得；由， 变形得，即，因此是严格递增的正整数列， ，，得，由， 代入，，得， 要使项数最大，需差数列的总和尽可能小，严格递增且首项的正整数列， 总和最小的形态是公差为1的等差数列：， 此时最小总和为， 令，即， 时，，满足， 时，，不满足， 故的最大值为； 当时，差数列共69项，满足，，且， 严格递增且首项的正整数列满足， 令，则，且由可推得， 即是非负单调不减数列，即 总和， 因此剩余可分配的增量和为， 因为总和只有10，所以非零的数最多有10个（每个至少为1），剩余位置都是0； 又因为数列单调不减，0全部排在前面，非零数按从小到大排在后面， 这就等价于：把10拆成若干个正整数的和，不计顺序（按从小到大书写），有多少种拆法. 每一种拆分，对应“把拆分的数放到数列尾部、前面补0”，得到唯一符合条件的数列； 反过来每个合法的数列，也对应一种10的拆分，两者一一对应. 我们按拆分的正整数个数，从1项到10项依次枚举计数： 拆成几项 所有拆分方式（从小到大排列） 拆法数 1项 1 2项 5 3项 8 4项 9 5项 7 6项 5 7项 3 8项 2 9项 1 10项 10 个1相加 1 将所有拆法数相加得(个)， 由于总共有69个位置，远大于最多需要的10个非零位置，所有拆分都可以完整放入， 因此满足条件的数列共有个. 四、解答题 13．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）若数列满足，则称是“紧密数列”．已知数列的前项和为，且． (1)试判断是否为“紧密数列”，并说明理由． (2)若数列是“紧密数列”，已知（为常数），且，求的前项和． 【答案】(1)是“紧密数列”．理由如下： 因为， 当时，， 所以， 当时，，满足上述关系式， 所以，则， 又，所以是紧密数列． (2) 【分析】(1)由得到通项公式，根据“紧密数列”定义可得到结果； (2)根据第一问结果，可得到数列的通项公式，根据它是“紧密数列”以及，可得到，进而得到，然后根据等比数列求和公式可得结果. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 因为数列是“紧密数列”，所以， 又因为，即，整理得， 解得（舍去）或，则，， 因此， 故数列的前项和为． 14．（22-23高三·全国·中职高考）对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中 (1)若数列的通项公式，求的通项公式； (2)若数列的首项是1，且满足，证明数列为等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据及的通项公式直接计算可得； （2）依题意可得，再结合等差数列的定义证明即可. 【详解】（1）依题意，且， （2）因为，所以，所以． ，且， 故是首项为，公差为的等差数列. 15．（2027高三·全国·专题练习）定义：设某数列的前项和为，若为常数，则称此数列为“吉祥数列”．已知等差数列的首项为1，公差不为0，且数列为“吉祥数列”；非零数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，根据“吉祥数列”的定义，利用 为常数建立关于 的恒等式，求出 ，进而得到 ；再由 判断 为等比数列，结合首两项求其通项公式． （2）由 ，将 的前 项和拆成等差数列 与等比数列 的前 项和，分别求和后相加即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为，．因为， 则， 整理得， 因为对任意上式均成立， 所以解得， 所以数列的通项公式为． 因为，又， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列． 所以． （2）由（1）知． 因为，数列的前项和为， 所以 ． 所以数列的前项和． 16．（25-26高二下·河南信阳·期末）若数列共有项，对任意都有（为常数，且），则称数列是关于的一个积对称数列．已知数列是关于的一个积对称数列． (1)若，，，求的值； (2)已知是首项为9，公差为的等差数列，若，，求和． (3)已知是等比数列，若，，，对于（2）中的数列，求数列各项的和． 【答案】(1)9 (2)，． (3) 【分析】（1）根据题意中的条件计算可得答案； （2）先根据等差数列求得通项公式，再结合题中条件列出等式，解得参数的值； （3）先根据等比数列求得通项公式，结合题中条件利用错位相减法求得各项和； 【详解】（1）依题意，， （2）因为是首项为9，公差为的等差数列，所以， 由，知，对任意都有， 即， 所以，， 即， 所以， 上式对任意成立，所以， ， 因为，，所以，， 即，． （3）因为是等比数列，设公比为，则， 依题意，，即，． ，． 由（2），． ，． ，① ，② ②－①，得． 17．（25-26高二下·黑龙江·期末）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”．已知正项数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)判断数列是不是“速增数列”？请说明理由； (3)若数列是“速增数列”，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)数列是“速增数列”． 因为 所以数列是“速增数列”． (3) 【分析】（1）将递推关系因式分解，得到，利用累乘法求解； （2）根据速增数列定义得，即可证明； （3）由（2）问及是“速增数列”得，代入得到关于的不等式，进而求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以， 由此可得，即， 所以时，， 又当时，也满足， 所以数列的通项公式． （2）略 （3）若是“速增数列”， 则对于恒成立， 即， 整理得对于恒成立， 所以，即． 18．（25-26高二上·广东潮州·期末）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：． 【答案】(1)是，理由如下： 已知，根据定义得： 则， 因此是首项为、公差为的等差数列， 故是二阶等差数列. (2)①， ②证明：将， 代入得：， （裂项验证：，成立） 前项和用裂项相消： ， 所以. 因为，所以； 又，故是递增数列，最小值为， 因此. 【分析】（1）根据定义计算，结合等差数列定义判断即可； （2）①：结合等差数列定义求出的通项公式，再利用累加法结合等差数列求和公式求出的通项公式；②：结合求解的表达式，再利用裂项相消法求出的表达式；分析的单调性，结合单调性确定其取值范围. 【详解】（1）略 （2）① 由题意，，， 因为是等差数列，所以公差， 得的通项为：， ，，， ，，， 由累加法得，当时：， 代入得：， 验证时，满足上式，故. ②略 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 数列新定义问题（典型题型归类训练） 一、单选题 1．（2026高一·全国·专题练习）斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．其指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…从第3项开始，每一项都等于前两项之和．删去0后，以第一个1作为该数列的第一项，其中第i项记为，如，，…，则=（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·北京·开学考试）已知是各项均为正数的无穷数列，记集合，则“数列是等差数列”是“对于任意正整数，集合都是单元素集，且该元素为正数”的（     ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（26-27高三上·北京·开学考试）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用．已知斐波那契数列满足，，则下列结论中错误的是（    ） A．存在，使得，，成等差数列 B．存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列 C．存在，使得，，成等比数列 D．存在正整数，，…，，且，使得 4．（25-26高二下·山东日照·期末）古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的一个数列．该数列将满月等分为240份，记数列为第n天（其中且），月球被太阳照亮部分占满月的份数组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．若在数列中，前5项构成公比为q的等比数列，第5项到第15项构成公差为d的等差数列，且q，d均为正整数，则第9天月球被太阳照亮部分占满月的（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·安徽淮南·期末）已知数列的前项和为，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为． A． B． C．D． 6．（25-26高二下·上海青浦·期末）设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得．那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，给出下列三个命题： ①若为等差数列，则为内和数列； ②若为等比数列，则为内和数列； ③若内和数列为严格增数列，则其伴随数列为严格增数列； 其中真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、多选题 7．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）二进制数是电子计算机常用的进制，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制数的13.已知m，，且,若把m位n进制中的最大数记为，且为十进制的数，则下列说法正确的是（    ） A．将二进制数化成四进制数的结果是 B． C．已知，，满足，，，…，中有且只有3个1的所有二进制数对应的十进制数的和为1280 D． 8．（2026·湖南湘潭·一模）某种昆虫存在特殊世代交替繁殖规律：受精卵发育为雌虫，兼具父本和母本；未受精卵细胞发育为雄虫，雄虫仅有母本、无父本．下图是该类昆虫雄性的家系图，假定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推．记表示一只该类雄性昆虫上溯第代祖辈数量，例如，，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C．记，满足的最小 D． 9．（25-26高二下·云南大理·期中）已知数列是首项为1的正项数列，前项和为，若对任意的正整数都有，则称是“数列”．下列结论正确的为（    ） A．若是公差为2的等差数列，则是“3数列” B．若是“2数列”，则不存在正整数，满足 C．若是“数列”，且，则的最小值为4 D．任给，若，且，则是“数列” 三、填空题 10．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）在数列中，如果，都有（K为常数），那么这个数列叫做等积数列，K叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则______． 11．（26-27高二上·江苏镇江·阶段检测）对于数列，，若（为常数），则称是的“和数列”.已知为等差数列，，且是的“和数列”，则，数列的前项和________. 12．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）如果数列满足：，对任意，都有，，则称为“自然速增数列”．若数列为“自然速增数列”（，，，…，），且，，，则正整数的最大值为______，使取得最大值的数列有______个． 四、解答题 13．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）若数列满足，则称是“紧密数列”．已知数列的前项和为，且． (1)试判断是否为“紧密数列”，并说明理由． (2)若数列是“紧密数列”，已知（为常数），且，求的前项和． 14．（22-23高三·全国·中职高考）对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中 (1)若数列的通项公式，求的通项公式； (2)若数列的首项是1，且满足，证明数列为等差数列. 15．（2027高三·全国·专题练习）定义：设某数列的前项和为，若为常数，则称此数列为“吉祥数列”．已知等差数列的首项为1，公差不为0，且数列为“吉祥数列”；非零数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 16．（25-26高二下·河南信阳·期末）若数列共有项，对任意都有（为常数，且），则称数列是关于的一个积对称数列．已知数列是关于的一个积对称数列． (1)若，，，求的值； (2)已知是首项为9，公差为的等差数列，若，，求和． (3)已知是等比数列，若，，，对于（2）中的数列，求数列各项的和． 17．（25-26高二下·黑龙江·期末）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”．已知正项数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)判断数列是不是“速增数列”？请说明理由； (3)若数列是“速增数列”，求实数的取值范围． 18．（25-26高二上·广东潮州·期末）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $