3.5 利用导数研究零点和证明类问题【6大考点】专题训练-2027届高三数学一轮复习

3.5 利用导数研究零点和证明类问题 6大考点汇总 考点01 判断函数零点个数 考点02 已知零点个数求参数范围 考点03 证明函数有唯一或多个零点 考点04 利用导数证明不等式 考点05 利用导数研究函数图象及性质 考点06 隐零点的相关问题 题型专练 考点01 判断函数零点个数 1．函数的零点的个数为 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，求出极值，然后判断函数零点的个数． 【详解】因为函数，求导得， 当或时，，所以函数在和上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 由此可知函数的极大值为，极小值为，并且当时，， 因此函数的零点个数为个，故B正确. 2．已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，判断的零点个数并证明； 【答案】(1) (2)3个；证明见解析 【分析】（1）先求得的定义域为，并证得的图像关于中心对称，再确定当时的符号，进而根据对称性得的解集； （2）先通过导数分析的单调性，并根据零点存在性定理确定在上有唯一零点，再根据的图像关于中心对称及，即可得到f（x）的零点个数. 【详解】（1）由得，所以的定义域为， 又 ， 所以函数的图像关于中心对称，且. 因为， 当时， ，所以. 故当时，， 即不等式的解集为. （2）当时，. 因为的图象关于中心对称， 所以只需考虑时，的零点个数. ， 当时，. 令 当时，， 所以在上单调递减. 因为， 所以存在唯一，使得. 所以当时，，即在上单调递增. 当时，，即在上单调递减. 所以在上没有零点， 又， 所以存在唯一实数使得，即在上有唯一零点， 由（1）知. 所以时，有三个零点：. 3．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的零点个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)当或时，1个零点；当或时，2个零点 (3) 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）令，原题意转化为与的交点个数，利用导数判断的图象，即可得结果； （3）整理可得恒成立，结合反函数性质可得，整理可得，结合（2）中结论运算求解. 【详解】（1）当时，则， 可得，， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）因为， 令，可得， 令，则转化为与的交点个数， 因为， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 且，可得： 当或，即或时，与有1个交点； 当，即或时，与有2个交点； 综上所述：当或时，1个零点；当或时，2个零点. （3）因为恒成立，即恒成立， 当时，，因为不恒成立，所以不满足题意； 当时，由得，即恒成立， 等价于恒成立， 因为曲线与关于直线对称，所以， 等价于，可得， 由（2）可得：，则； 综上可得：的取值范围是. 4．设函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间： (3)当时，求零点的个数． 【答案】(1) (2)当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. (3)2个零点. 【分析】（1）求出导数，代入切点坐标，求出对应切点斜率，利用点斜式即可求出切线方程； （2）求出导数零点，分类讨论零点在不同区间时的取值范围，由此求出单调区间； （3）根据导数求出的最大值，再根据零点存在性定理和函数单调性即可判断出零点的个数. 【详解】（1）若，则，则， 因为，所以曲线在处的切线方程为； （2），令，解得， 因为， 所以，当，即时，在区间，，单调递减； 当时，在区间，，单调递增， 在区间，，单调递减； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）由（2）可知，当时，在单调递增，在单调递减， 则， 令，则， 因为，所以，此时单调递减，则， 所以， 因为，且 ，所以在存在一个零点， 因为， 所以在存在一个零点， 故当时，有2个零点. 5．已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)判断函数在的零点个数，并说明理由 【答案】(1) (2)1，理由见解析 【分析】（1）求导后可得函数单调性，即可得其最大值； （2）令，可得，构造函数，借助导数可研究其单调性，利用单调性与零点存在性定理即可得解. 【详解】（1）由题意得，，，令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为. （2）令，则，，整理得， 令，则，， 当时，，所以在上单调递减， 又，，所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点， 当时，，，两个不等式等号无法同时成立， ，此时函数无零点， 综上所述，在上存在唯一零点， 即函数在上的零点个数为. 6．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，判断函数的零点个数. 【答案】(1)当时， 在上单调递减，在上单调递增； 当时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． (2)当时，函数无零点， 当或时，函数的零点个数为1， 当时，函数的零点个数为2． 【分析】（1）先确定的定义域，再求出的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可； （2）对参数范围分类讨论并结合之前的结论得到单调性，再利用零点存在性定理或直接求解零点判断零点个数即可. 【详解】（1）由题意得的定义域为，则 当时，时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，可得或，令，可得， 故在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，令可得或，令可得， 故在和上单调递增，在上单调递减． 综上所述： 当时， 在上单调递减，在上单调递增； 当时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （2）当时，， ①当时，由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，而x趋近正无穷时，趋近正无穷， 故在上只有一个零点； ②当时，，在上单调递增，且连续不间断， 且，故在上只有一个零点． ③当时，令，解得，即在上只有一个零点， ④当时，令可得，令，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当x趋近正无穷时，趋近正无穷，当x趋近0时，趋近正无穷， 若，即时，在上无零点． 若，即时，在上只有一个零点， 若，即时，在上有两个零点， 综上所述： 当时，函数无零点， 当或时，函数的零点个数为1， 当时，函数的零点个数为2． 考点02 已知零点个数求参数范围 7．已知函数有两个零点，则实数的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】将函数求导后，根据的取值进行讨论，判断的单调性，结合零点存在性定理即可逐一判断. 【详解】由条件得，， ①若，则，则在上单调递增，至多有一个零点，不合题意； ②若，则，由得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 在处有极大值，在处有极小值， 因， 而， (i).当时，，且当时，， 则在上只有1个零点，在上均有，不合题意； (ii).当时，，， ，， 则在上有1个零点，在上有1个零点，在上有1个零点，不合题意； (iii).当时，，， 由得或，由得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 且，，， 所以在上有1个零点，在上只有1个零点为1，符合题意. 综上，当时， 若使函数有两个零点，得； ③若，则，由得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 因，则时，， 此时在上至多存在一个零点，不合题意. 综上所述，若使函数有两个零点，则. 8．已知函数.若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则（    ） A． B．0 C．2 D．或2 【答案】D 【分析】根据导函数正负得出函数单调性进而得出极值，再结合边界值应用实根的个数求解. 【详解】函数，， 当单调递增，当单调递减，当单调递增， 所以的极大值为，的极小值为，且，， 所以的最大值为2，的最小值为， 所以若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则或. 9．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在两个零点． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：，． 【答案】(1)时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增. (2)（i） （ii）证明：由（i）知，若存在两个零点，则， 此时有最小值，只需证即可， 因为， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 又因为，所以， 所以， 即当时，存在，使得. 【分析】（1）先求导可得，分别讨论和的情况，进而求解即可； （2）（i）当时由函数在上单调则不符合题意；当时，分析时，都有，存在两个零点只需，可得； （ii）利用作差法证明极小值，即可得证. 【详解】（1）由题意得， ①当时，，所以在上单调递增； ②当时，由，得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 综上，时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）由于有两个零点， 由（1）可知，当时，在上单调递增，不符合题意； 当时，， ， 因为时，，时，，，即， 所以函数存在两个零点，只需， 由，所以， 令，显然在上单调递增， 又，所以由可得. 综上，当时，有两个零点. （ii）略. 10．函数在内存在2个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把极值点问题转化为导数的变号零点问题，分离参数，结合函数图象可得答案. 【详解】，因为在内存在2个极值点， 所以在内存在2个变号零点， 即方程在内有两个不同的实数根， 即在内有两个不同的实数根， 令，则直线与在上有两个不同的公共点， ，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以有最大值， 因为， 所以直线与在上有两个不同的公共点时，. 11．已知函数有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：参变分离，构造函数，求导，得到函数单调性，数形结合得到的取值范围； 法二：求导，分和两种情况，结合函数单调性和最值得到不等式，求出，并验证其满足要求，得到答案 【详解】法一：由得到：； 令，由题意得与有两个交点： 则，其中， 是单调递减的，并且时，； 因此函数存在唯一零点，； 当时，；时，；； 得如下函数图像： 显然当时，与有两个交点： 法二：由题意得，显然恒成立， ①当时，，故恒成立， 故在R上单调递减，至多有一个零点，不符合题意： ②当时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 在处取到最小值．要使有两个零点，需， 解得． 当时，令，则， 故， 又在上单调递减，所以在区间上存在唯一的零点． 接下来证明，记， 当单调递增，所以，故， 令，则， 故 ．而在上单调递增， 所以在区间上存在唯一的零点． 综上，a的取值范围是． 12．已知． (1)求的最小值； (2)若方程有两个不等的实根，求的取值范围． 【答案】(1)的最小值为 (2)的取值范围是 【分析】（1）对函数求导，根据导数符号判断单调性，进而求得最小值； （2）先确定是方程的一个根，将问题转化为时仅有一个实根，构造函数分析其单调性和值域，确定参数范围即可. 【详解】（1）函数的定义域为，. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，. 故的最小值为. （2）方程整理为，显然是方程的一个实根. 要使方程有两个不等实根，只需有且仅有一个非零实根，即时仅有一个实根. 令，则 . 令，则，解得. ①当时，，单调递减，此时， 且时，，时，，此时值域为， 因此当时，在有唯一解； ② 当时，，单调递减，时，，单调递增，所以在处取最小值， 当时，， 因此当时，在上有唯一解； 当时，在上无实数解； 当时，在上有2个解； 因此，满足条件. 综上，的取值范围是. 考点03 证明函数有唯一或多个零点 13．已知函数. (1)讨论单调性 (2)当时，证明：函数有且仅有一个零点； 【答案】(1)时，在单调递减，单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. 时，在上单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. (2)证明见解析 【分析】（1）先对函数求导并因式分解得，以、、、分四类，比较极值点与的大小，逐一确定每种情况下函数的单调增减区间. （2）再分别对、、三种正数情形，代入特殊点函数值、化简极值表达式、分析时函数趋势，结合单调性判断零点数量，最终归纳得到时函数有且仅有一个零点. 【详解】（1）函数的定义域为. 求导得. 令，得或，分情况讨论： 当即时，恒成立. 时，，在上单调递减. 时，，在上单调递增. 当且即且时，方程的解为. ①若，则： 时，，在上单调递增. 时，，在上单调递减. 时，，在上单调递增. ②若，则： 时，，在上单调递增. 时，，在上单调递减. 时，，在上单调递增. 当即时，，恒成立，在上单调递增. 综上所述：时，在单调递减，单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. 时，在上单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. （2）①当时，，由， 及函数单调递增，可得函数有且仅有一个零点. ②当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 又由，可得.当时，，可得函数有且仅有一个零点. ③当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 又由 又由，当时，，可得函数有且仅有一个零点， 综上所述，当时，函数有且仅有一个零点. 14．已知函数． (1)证明不等式：； (2)讨论的单调性； (3)设，证明：在定义域上有两个零点． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，在单调递减，无增区间；当时，在单调递减，在单调递增． (3)证明见解析 【分析】（1）设，利用导数可证故恒成立即； （2）就、分类讨论导数的符号后可得函数的单调性； （3）根据（2）中的单调性结合零点存在定理可证明在定义域上有两个零点 【详解】（1）设，则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故恒成立即. （2）， ， ①当时，在上单调递减； ②当时，令，得， 时，在上单调递增； 时，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递减，无增区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）可得，当时，， 因为均在上为增函数，故在上为增函数， 故，故. 当时，即， 结合（1）中不等式可得，故， 当时，，且， 而，，故， 由零点存在定理可得在上有两个零点． 15．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在存在单调递减区间，求实数的取值范围； (3)当时，证明：函数有且仅有两个零点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求在处的导数和函数值，代入直线方程即可求出切线方程； （2）将问题转化为在上有解问题，再求解即可； （3）根据导数求得单调性，结合零点存在性定理即可证明． 【详解】（1）当时，，则， 所以，所以切线方程为，即． （2）由题意得， 若函数存在单调递减区间，则在上有解， 所以在上有解， 因为函数在上单调递减， 所以，故． （3）由题意得，则， 令，则， 令可得，（舍）或， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 又，，， 所以存在，使得，即， 所以当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 因为时，，， 所以存在，使得， 又， 所以存在，使得， 所以函数有且仅有两个零点． 16．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数的定义域； (3)证明：方程有唯一解. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导后，根据导数几何意义可求得切线斜率，结合切点坐标可得切线方程； （2）令，求导后可求得的单调性和零点，由此可确定的定义域； （3）令，求导后可确定的正负，进而得到单调性；通过分析的图象可证得结论. 【详解】（1），， 又，在点处的切线方程为：，即. （2）令，则定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，有唯一零点， 的定义域为. （3）由（1）知：， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，在上恒成立， 在，上单调递减， 当时，，由（2）知：，； 当时，，由（2）知：，， 又，，当从正方向无限趋近于时，； 当时，， 当时，，，， 即当时，；又在上单调递减， 与有唯一交点，即方程有唯一解. 【点睛】关键点点睛：本题第三问考查利用导数求解方程根的个数问题，解题关键是能够将问题转化为曲线与平行于轴的直线的交点个数问题，从而利用导数分析函数的单调性和图象，进而确定方程根的个数. 17．已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)证明：若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2). 【分析】（1）求导后，根据的正负可得单调区间； （2）将问题转化为方程有且仅有两个不等实根，构造函数，结合导数知识可作出的图象，进而得到，结合单调性可得结果. 【详解】（1）当时，，则定义域为， ， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由题意知：且； 与有且仅有两个交点， 方程有且仅有两个不等实根，即方程有且仅有两个不等实根， 即方程有且仅有两个不等实根； 令，则定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，当时，；当时，； 可得大致图象如下图所示， 令，则， 有且仅有两个不同实数根的充要条件为， 即，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题根据曲线与直线交点个数求解参数范围的关键是能够首先将问题转化为方程根的个数问题，进而采用同构的逻辑，通过构造函数的方式进一步将问题转化为同一函数不同函数值大小关系的比较问题. 18．已知函数． (1)若是的极值点，求的值，并讨论的单调性； (2)当时，证明存在唯一的极小值点，且． 【答案】(1)；在上单调递减，在上单调递增. (2)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，根据极值点求出值，进而确定函数的单调性. （2）先判断函数的单调性和极值点，进而确定极值的范围. 【详解】（1）对函数求导得，因为是的极值点， 所以，解得. 所以，定义域为. 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减； 所以在上单调递减，在上单调递增，满足题设. （2）当时，，求导得. 令，求导得. 因为，所以，所以在上单调递增， 又，所以且唯一，使得. 即且唯一，使得，则， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，所以存在唯一的极小值点， 又，所以. 且，因此. 考点04 利用导数证明不等式 19．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)证明：无零点. (3)若函数，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）根据给定条件，构造函数，再利用导数求出函数最大值即可. （3）求出函数，等价变形不等式，换元并构造函数，再利用导数求出最小值即可得证. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以所求的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，设，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，即，则恒成立， 所以函数无零点. （3）依题意，函数的定义域为， 不等式 ，由（2）得，则， 令，则，令函数，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，因此， 则，所以. 20．已知函数，为的导函数 (1)求的单调增区间； (2)记，.当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，由求解即可； （2）令，通过求导，确定最值即可证明. 【详解】（1）. 令，得， 得， 因此单调递增区间为. （2），记. 由题意知，则，     从而. 当时，，，则，     因此，在区间上单调递减，. 当时， . 21．已知函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最大值； (3)证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设公共点坐标，通过导数几何意义列出等式，进而可求解； （2）设公共点坐标，通过导数几何意义列出等式得到，进而构造函数，求导，确定单调性即可求解； （3）由（2）将问题转换成恒成立，再构造函数，求导确定最值即可. 【详解】（1）当时，，设为与的一个公共点，， 所以， 则，即切点， 所以与在公共点处的切线方程为. （2）设为与的一个公共点， ， 由②得 ，所以 ，即， 将代入①，， 所以，所以. 令，所以， 当时，在区间单调递减； 当时，在单调递增， 当时，， 所以，所以 且， 所以当且仅当时取“”，所以 . （3）由（2）知，. 要证时，，即证， 即证对恒成立. 令，得， 当时，在上单调递减； 当时，在单调递增， 当时，， 故函数在时取最小值， ， 所以， 所以对恒成立. 故当时，成立. 22．已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求； (2)若，求的取值范围； (3)证明：，． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，然后代入方程计算即可； （2）构造新函数，求导，再对分类讨论即可； （3）化简原不等式，再根据（2）结论放缩，利用错位相减法求和. 【详解】（1）由，可得， 由题意可知，则，解得，. （2）由（1）得， 设，则， 当时，， 令，解得，所以在上单调递减， 令，解得，所以在上单调递增， 所以，因此符合题意； 当时，，因此不符合题意． 综上可得，m的取值范围是． （3）要证， 只需证，即证， 由（2）知，当时，， 所以，因此， 令，则， 可得， 两式相减得， 所以，因此，得证． 23．已知函数. (1)证明：当时，恒成立； (2)证明：当时，恒成立； (3)对任意的且，满足，求的取值范围. 【答案】(1)设，因为， 所以在上单调递减，所以当时，， 即当时，恒成立； (2)设，则， 因为时，，时，， 故在上单调递减，上单调递增，于是， 所以 等号当且仅当时成立，于是可得 ，等号当且仅当成立； 结合两不等式可得，且等号不同时成立； 所以当时，恒成立； (3) 【分析】（1）构造函数，利用导数求最大值即可得证； （2）构造函数，利用导数可证明，据此可得，利用不等式传递性得证； （3）由所给不等式可知在单调递增，利用导数求参数取值范围即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）不妨设，原命题等价于对任意的，； 也就是 在单调递增， 而在恒成立，所以在恒成立， 所以，即的取值范围是. 24．函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)当，时， （ⅰ）求的值域； （ⅱ）证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ），， ，偶函数， ，， ，偶函数， 由奇偶性知只要证明时即可． 即证当时，， 当时，由（ⅰ）， 考虑，， ， 单调递增，此时， 于是，即， 故只要证在时成立即可． 设，， 设，则， 由（ⅰ）函数在上单调递增， 所以在上单调递减，故， 故在上单调递减，即单调递减，又， 单调递减，，故， 综上． 【分析】（1）由导数的几何意义确定切线斜率，即可求解； （2）（ⅰ）令，确定为偶函数，求导确定其在上的值域即可求解；（ⅱ）由的单调性，得到，进而证明在时成立即可． 【详解】（1），， 又， 故曲线在处的切线方程为． （2）（ⅰ）设，由于其是偶函数，故只需考虑其在时的情况． ，设，， 单调递增，于是，故在上单调递增， 而，， 可知在上单调递增， 结合偶函数的性质可得在上的值域为． （ⅱ）略 考点05 利用导数研究函数图象及性质 25．已知关于的方程至多有两个不同实数解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为与至多有两个交点，令，利用导数法研究函数性质，利用数形结合即可求解. 【详解】方程至多有两个不同实数解，记， 则与至多有两个交点， 由可得， 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以是函数的极大值点，极大值为， 是函数的极小值点，极小值为， 作出函数图象，如图， 由图可知，与至多有两个交点时，或， 所以实数的取值范围是. 26．已知不等式恰有2个非负整数解，求实数k的取值范围 ___________________ 【答案】 【分析】转化为，构造函数，利用导数研究单调性可作出大致图象，数形结合即可得解. 【详解】原不等式等价于， 设，，所以，得． 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，取极大值，又， 且时，，因此与的图象如下，    直线恒过点. 当时，显然不满足条件； 当时，只需要满足，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 27．已知函数． (1)求的极值，并画出函数的大致图象； (2)求出方程（）解的个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)极小值，无极大值，作图见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）对求导，令，结合导数符号判断极值，并结合的单调性、极值、最值等性质画出函数图象； （2）利用数形结合易得的解的个数； （3）构造函数，将原不等式转化为恒成立的问题，令，结合导数求出在的最小值，即得到的取值范围． 【详解】（1）由题意，由，得；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，无极大值； 由的单调性及，，， 当时，函数的图象在轴下方，随着的减小，的图象无限接近轴， 所以的大致图象如下． （2）由（1）中函数图象可得， 当时，方程的解个数为0个； 当或时，方程的解个数为1个； 当时，方程的解个数为2个． （3）由，可得， 即，进一步变形为， 令，则， 显然在上单调递增，所以恒成立， 即恒成立，令，， ，令，得， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以，则， 即实数的取值范围是． 28．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，有极大值 B．当时， C．，恒成立 D．当有且仅有两个零点时， 【答案】ABD 【分析】求导，根据导函数的符号确定函数的单调区间，再分析函数的极值，可判断A的真假；求导，判断函数在上的单调性，可判断B的真假；举特例，可判断C的真假；利用分离参数法，把问题转化成方程有两解的问题，再设，利用导数分析函数的单调性，求出极值，画出草图，数形结合，可求的值，可判断D的真假. 【详解】对于选项A，当时，．则. 令．解得．则当时．，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在有取得极大值，A正确． 对于选项B，，当，时，， 故在单调递增，则，B正确． 对于选项C，若，当时，，C错误． 对于选项D，令，则， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 且，当时，恒成立． 画出的大致图象，如下： 可知当有两个零点时，，D正确． 故选：ABD 29．若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用导数法研究函数的单调性，再结合特殊点及一次函数的性质画出函数的大致图象，根据图象列不等式组求解即可. 【详解】设， 则不等式即有且只有两个整数解. 因为，且， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减. 当时，，当时，，当时，， 当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于负无穷大， 当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于0. 因为函数在上单调递增，，，， 则， 函数的大致图象如图 由图可知，要使有且只有两个整数解，这两个整数解必然是0，1， 所以解得.又，所以. 故选：C. 30．过点有n条直线与函数的图像相切. (1)若，求n的值并求切线的方程； (2)当n取最大值时，求m的取值范围. 【答案】(1)，切线方程为； (2)n取最大值3时，m的取值范围为. 【分析】（1）在上，为切点时，利用导数几何意义得到切线方程，不是切点时，设出切点为，表达出切线方程，代入切线方程，得到，令，，求导得到其单调性，并得到函数无零点，从而得到，切线方程为； （2）设切点为，表达出切线方程，将代入切线得到，令，求导得到其单调性，画出函数图象，数形结合得到n取最大值3时，m的取值范围为. 【详解】（1）时，在上， ， 若为切点，则， 故切线方程为，即， 若不是切点，设切点为， 则， 故切线方程为， 又在切线方程上， 故，整理得， 令，， 则， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，， 又时，，故恒成立， 故，，无零点， 综上，，切线方程为 （2）设切点为，， 在处的切线方程为， 将代入切线方程中得， 整理得，令， 则， 列表如下： 1 - 0 + 0 - 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由得，解得或， 画出的图象，如下： 由图可知，当时，直线与图象有3个交点，为最大值， 故n取最大值3时，m的取值范围为. 【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数； (2) 已知斜率求切点即解方程； (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 考点06 隐零点的相关问题 31．已知函数 (1)求的单调区间； (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，． (2) 【分析】（1）求出函数的导数，再由导数值的正负情况研究函数的单调性作答. （2）将给定不等式等价转化，构造函数和，分类探讨其单调性及最值作答. 【详解】（1）解：由函数的定义域为，且， 若，令，解得，当时，；当时，， 若，令，解得或， ①若时，即时， 当时，；当时，； ②若时，即时， 当或，；当时，； ③若时，即时，可得，且仅； ④若时，即时， 当或，；当时，； 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，． （2）解：由在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 当时，在内存在唯一的零点， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，，单调递增， 所以，， 因为，所以，， 所以， 因为，所以，所以， 所以实数的取值范围为． 32．已知函数． (1)若，试求在上的最大值； (2)若对于任意的，恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2)的最小值为． 【分析】（1）当时，求得函数的导数，结合导函数的符号，求得函数的单调区间，进而计算求得最大值； （2）求得函数的导数，令，则在上单调递增，求得函数的最大值，转化为求得，即可求解. 【详解】（1）当时，函数，可得， 令，解得， 当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以. （2）由题意，函数，可得， 因为任意的，恒成立， 又由，所以，则， 令，则在上单调递增， 因为当时，，所以， 因为，所以，使得， 且当时，，则； 当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故， 由，可得， 因为恒成立，可得，即， 结合，得，所以， 令，则， 所以在上单调递增，所以，即， 故实数的最小值为. 33．已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)试讨论函数的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1) (2)当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 (3) 【分析】（1）代入得到具体函数后，确定定义域，求导找到极值点，根据导数正负判断单调性，进而求得最小值； （2）先求的导函数，对参数分类讨论，根据导函数在定义域上的符号变化，判断的单调性； （3）将不等式变形分离参数，把恒成立问题转化为小于新函数最小值的问题，通过求导得到新函数最小值的范围，进而得到整数的最大值. 【详解】（1）当时，，定义域为，， 令得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的最小值为； （2）定义域为，， 若，则恒成立，所以恒成立，故在上单调递减； 若，令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）即， 整理得， 因，即，两边除以得， 令，则， 令，则，在单调递增， 因为，，故存在唯一零点，满足， 当时，，则，单调递减； 当时，，则，单调递增； 因此的最小值为， 因为，所以，因为，且，所以的最大值为. 34．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过将不等式问题转化为函数问题，结合导数即可求解函数最值，进而得到的范围. 【详解】由得 因为，所以 令 则问题转化为求在上的最小值． 求导得 令， 因为，所以与同号． 又，所以在上单调递增． 当时，；又，所以存在唯一的，使得． 再看方程， 函数，，则， 则在上单调递增，且当时，， 当时，，所以该方程有唯一正根． 设这个正根为，则， 于是且，说明这个正是的唯一根． 因此，当时，，从而； 当时，，从而． 所以在处取得最小值． 由，得，又， 所以 所以． 要使对任意恒成立，必须且只需． 当时，取，原不等式等号成立，不满足严格大于． 故的取值范围为． 35．已知函数， (1)在区间有唯一零点，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求的最大整数值.（注：） 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据函数导数与函数单调性的关系，对参数进行分类讨论，判定函数单调性，进而得出在区间有唯一零点时的情况，列出方程，根据方程的解，判定参数的范围； （2）根据不等式构造函数，再由函数导数判定函数单调性，进而根据函数值的正负，判定不等式解的情况，求出结果. 【详解】（1）由题意可得，可得，， 当时，可知在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递增，则， 此时在区间没有零点，不符合题意； 当时，，存在实数，使， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 因为，所以时，， 当在区间有唯一零点时，有，即， 因为，所以当时，恒成立； 当时，可知在上，， 所以在上函数恒成立，不符合题意； 综上所述，当在区间有唯一零点时，实数的取值范围为. （2）当时，可得， 对任意，不等式恒成立，等价于恒成立， 令，则， 令，则， 当时，，函数在上单调递增， 因为，所以存在实数，使， 所以在时，，即，函数在上单调递减， 在时，，即，函数在上单调递增， 可知，，， 所以存在，使得，当时，当时， 所以的最大整数值为. 36．已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）当时，利用导数求单调区间即可； （2）易知时不符合题意，时，利用导数结合隐零点问题求解． 【详解】（1）当时，，． 由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）当时，，不满足题意． 所以，此时 ，显然是上的增函数， 且时，时， 所以存在唯一正实数使得，即 ． 此时在上单调递减，在上单调递增． 由题意 ． 将 代入上式整理得：，解得：． 此时，代入后． 化简得： ，解得：． 令 ，其中．则， 所以是区间上的增函数． 所以 ，代入得到a的取值范围是． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5 利用导数研究零点和证明类问题 6大考点汇总 考点01 判断函数零点个数 考点02 已知零点个数求参数范围 考点03 证明函数有唯一或多个零点 考点04 利用导数证明不等式 考点05 利用导数研究函数图象及性质 考点06 隐零点的相关问题 题型专练 考点01 判断函数零点个数 1．函数的零点的个数为 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，判断的零点个数并证明； 3．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的零点个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 4．设函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间： (3)当时，求零点的个数． 5．已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)判断函数在的零点个数，并说明理由 6．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，判断函数的零点个数. 考点02 已知零点个数求参数范围 7．已知函数有两个零点，则实数的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 8．已知函数.若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则（    ） A． B．0 C．2 D．或2 9．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在两个零点． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：，． 10．函数在内存在2个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．已知． (1)求的最小值； (2)若方程有两个不等的实根，求的取值范围． 考点03 证明函数有唯一或多个零点 13．已知函数. (1)讨论单调性 (2)当时，证明：函数有且仅有一个零点； 14．已知函数． (1)证明不等式：； (2)讨论的单调性； (3)设，证明：在定义域上有两个零点． 15．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在存在单调递减区间，求实数的取值范围； (3)当时，证明：函数有且仅有两个零点． 16．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数的定义域； (3)证明：方程有唯一解. 17．已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)证明：若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 18．已知函数． (1)若是的极值点，求的值，并讨论的单调性； (2)当时，证明存在唯一的极小值点，且． 考点04 利用导数证明不等式 19．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)证明：无零点. (3)若函数，证明：. 20．已知函数，为的导函数 (1)求的单调增区间； (2)记，.当时，证明：. 21．已知函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最大值； (3)证明：当时，. 22．已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求； (2)若，求的取值范围； (3)证明：，． 23．已知函数. (1)证明：当时，恒成立； (2)证明：当时，恒成立； (3)对任意的且，满足，求的取值范围. 24．函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)当，时， （ⅰ）求的值域； （ⅱ）证明：． 考点05 利用导数研究函数图象及性质 25．已知关于的方程至多有两个不同实数解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 26．已知不等式恰有2个非负整数解，求实数k的取值范围 ___________________ 27．已知函数． (1)求的极值，并画出函数的大致图象； (2)求出方程（）解的个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 28．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，有极大值 B．当时， C．，恒成立 D．当有且仅有两个零点时， 29．若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 30．过点有n条直线与函数的图像相切. (1)若，求n的值并求切线的方程； (2)当n取最大值时，求m的取值范围. 考点06 隐零点的相关问题 31．已知函数 (1)求的单调区间； (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 32．已知函数． (1)若，试求在上的最大值； (2)若对于任意的，恒成立，求的最小值． 33．已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)试讨论函数的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 34．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 35．已知函数， (1)在区间有唯一零点，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求的最大整数值.（注：） 36．已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $