第四章 数列（单元分层自测·能力提升卷）高二数学人教A版选择性必修第二册

2026-2027学年选择性必修二数学单元自测 第四章　数列·能力提升卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B C C B C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC AC ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 100 13． 14． 45 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，.......1分 当时，，.......5分 时满足上式，所以；.......6分 （2）当为奇数时，；当为偶数时，；.......7分 所以 .......13分 16．（本小题满分15分） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，.......1分 所以，.......2分 所以，即．.......4分 又当时，，所以，.......5分 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以．.......7分 （2）由（1）得，.......9分 所以，.......11分 即，.......13分 所以．.......15分 17．（本小题满分15分） 【答案】(1)略.(2)略. 【详解】（1）已知 ，，显然 ，.......1分 两边同时取倒数得，所以，.......4分 所以数列为首项，公差是的等差数列，.......5分 所以，所以，即的通项公式是；.......7分 （2）由（1）知，所以 ，......8分 则①.......8分 所以②.......9分 由①②得.......10分 .......12分 ， 所以，.......13分 因为，所以单调递增，.......14分 所以, 因为，所以 综上，，得证. .......15分 18．（本小题满分17分） 【答案】(1)(2)(3). 【详解】（1）因为点位于直线上，所以. 于是，，故........1分 当时，，故，由此可得，.......3分 从而为首项是2，公比是2的等比数列，则，且时也成立........4分 因此........5分 （2），.......6分 易知，， ， ， ， 事实上，当时，由可知，.......8分 当时，数列为一个递减数列，........9分 因此，当时，........10分 于是，，即对任意均有........11分 故........12分 （3）因为，.......13分 所以.......14分 ........15分 故单调递增且，所以........16分 因此，即的最小值为. .......17分 19．（本小题满分17分） 【答案】(1)是(2)①；②. 【详解】（1）是，理由如下： 因为，所以 ，.......2分 所以，故数列为等差数列，......4分 故数列为二阶等差数列........5分 （2）①根据题意可得，， 因为数列为等差数列，故数列的公差为, 所以等差数列的首项为，故， 所以，.......7分 当时，，，，， 上述等式相加得，......9分 故，.......10分 也满足，故对任意的，；.......11分 ②由题意可知，，即，可得，.......12分 令，则，.......13分 当且时，，可得； 当时，； 当且时，，可得，.......15分 所以数列的最大项为，故，.......16分 所以实数的取值范围是........17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年选择性必修二数学单元自测 第四章　数列·能力提升卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在数列中，若（为常数），且，则（   ） A． B． C． D． 2．已知等比数列满足，，则的公比为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 4．已知数列的前项和，则下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“粟米问题”．现有9人分粟米，每人所得粟米质量（单位：铢）从小到大构成数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9人所得粟米质量和的铢数为（    ） A．284 B．381 C．384 D．484 6．已知正项等比数列满足，设，则数列的前2027项和为（    ） A． B． C． D． 7．已知等差数列与等比数列的首项均为，公差与公比均为.将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列：，，，，，，，，，，，，，…，其中与之间插入项中的项，该新数列记作，则（    ） A． B． C． D． 8．已知等差数列，的前项和分别为和，若，且是整数，则n的值为（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的通项公式，则其前项和取最小值时，（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 10．已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（    ） A．是等比数列 B． C．是递减数列 D．中存在连续三项成等差数列 11．如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个剪掉半圆的半径）得图形，，…，，…，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列满足，（），则__________． 13．已知数列满足，，若数列满足，则数列的前n项和=____________ 14．如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且，．记，如，即，，即，，即，…，以此类推．设数列的前n项和为，则________    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 16.（本小题满分15分）已知数列的前项和是，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 17．（本小题满分15分）已知数列满足，且， (1)求证：数列为等差数列，并求出的通项公式. (2)若数列满足，记的前项和为，证明：． 18．（本小题满分17分）已知数列的前项之和为，且点位于直线上. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项之和，求正整数，使得对任意均有； (3)设是数列的前项之和，若对任意均有成立，求的最小值. 19．（本小题满分17分）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修二数学单元自测 第四章　数列·能力提升卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在数列中，若（为常数），且，则（   ） A． B． C． D． 2．已知等比数列满足，，则的公比为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 4．已知数列的前项和，则下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“粟米问题”．现有9人分粟米，每人所得粟米质量（单位：铢）从小到大构成数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9人所得粟米质量和的铢数为（    ） A．284 B．381 C．384 D．484 6．已知正项等比数列满足，设，则数列的前2027项和为（    ） A． B． C． D． 7．已知等差数列与等比数列的首项均为，公差与公比均为.将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列：，，，，，，，，，，，，，…，其中与之间插入项中的项，该新数列记作，则（    ） A． B． C． D． 8．已知等差数列，的前项和分别为和，若，且是整数，则n的值为（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的通项公式，则其前项和取最小值时，（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 10．已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（    ） A．是等比数列 B． C．是递减数列 D．中存在连续三项成等差数列 11．如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个剪掉半圆的半径）得图形，，…，，…，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列满足，（），则__________． 13．已知数列满足，，若数列满足，则数列的前n项和=____________ 14．如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且，．记，如，即，，即，，即，…，以此类推．设数列的前n项和为，则________    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 16.（本小题满分15分）已知数列的前项和是，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 17．（本小题满分15分）已知数列满足，且， (1)求证：数列为等差数列，并求出的通项公式. (2)若数列满足，记的前项和为，证明：． 18．（本小题满分17分）已知数列的前项之和为，且点位于直线上. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项之和，求正整数，使得对任意均有； (3)设是数列的前项之和，若对任意均有成立，求的最小值. 19．（本小题满分17分）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修二数学单元自测 第四章　数列·能力提升卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在数列中，若（为常数），且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，则． 2．已知等比数列满足，，则的公比为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为（）， 因为，，所以，所以， 所以，所以，解得或. 3．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【分析】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 4．已知数列的前项和，则下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】 当， 时，，也满足，所以。 令， 时，，故， 时，，故， 因此. 5．《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“粟米问题”．现有9人分粟米，每人所得粟米质量（单位：铢）从小到大构成数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9人所得粟米质量和的铢数为（    ） A．284 B．381 C．384 D．484 【答案】C 【分析】结合等差、等比数列性质，先求前三项，再求等比数列公比，最后分组求和得到总粟米铢. 【详解】已知 ， 成等差数列，则 ， 所以又 ， 所以得，， 后7项成等比数列，设公比为，则， 由 ，得，得解得 或 ， 因为粟米质量从小到大，数列递增，舍去负根，得， 所以， 所以， 则这9人所得粟米质量和的铢数为. 6．已知正项等比数列满足，设，则数列的前2027项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助等比数列的性质，利用裂项相消法进行求和运算. 【详解】已知正项等比数列满足， 当时，根据等比数列的性质，若，则， 所以，即， 因为数列为正项数列，所以， 因为，所以，即 设数列的前项和为，则. 7．已知等差数列与等比数列的首项均为，公差与公比均为.将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列：，，，，，，，，，，，，，…，其中与之间插入项中的项，该新数列记作，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意计算对应的位置，再确定对应的中的项的下标，结合等比数列的通项公式即可求解. 【详解】等差数列首项为1、公差为2，故， 等比数列首项为1、公比为2，故 ， 因为与之间插入项， 所以数列前个间隔插入数列的总项数为， 令，有，即，，即 ​， 因此第184到210项全部为中的项， 又因为，， 所以对应的下标为， 因此. 8．已知等差数列，的前项和分别为和，若，且是整数，则n的值为（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】先得到，设等差数列的公差分别为，利用和得到方程组，求出，进而表达出为整数，设，求出，由求出的取值范围，从而得到答案. 【详解】由题意得， 设等差数列的公差分别为， ，，故， 故，又， 故，即， ，又， ，即， 联立，化简得，解得 又是整数，即是整数， 设，故，即，解得， 令，解得，且， 当时，满足要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 综上，的值为15. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的通项公式，则其前项和取最小值时，（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】BC 【详解】由于可知是递增数列， 当时，，当时，，当时，， 所以，即的最小值为或， 则的前项和取最小值时，或12. 10．已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（    ） A．是等比数列 B． C．是递减数列 D．中存在连续三项成等差数列 【答案】AC 【详解】对于A，由，得，是等比数列，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，是递减数列，C正确； 对于D，假定中存在连续三项成等差数列，分别为， 则，即，整理得，矛盾， 因此中不存在连续三项成等差数列，D错误. 11．如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个剪掉半圆的半径）得图形，，…，，…，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意可得到，累加即可求出，可判断AC，根据题意可得到，可判断D，累加求出可判断B. 【详解】根据题意可得纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆， 故，即， 故，，，， 当时，累加可得 ， 当时，符合上式， 所以，C错误. 所以.故A正确. 又，故，即.故D正确. 又，，， 当时，累加可得， 当时，符合上式， 所以， 故.故B正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列满足，（），则__________． 【答案】100 【详解】由可得， 两式相减得， 则对于奇数项数列，首项为，公差， 得， 令. 13．已知数列满足，，若数列满足，则数列的前n项和=____________ 【答案】 【分析】先对递推式变形构造等差数列求出的通项，进而得到的通项，再分段计算的前15项和即可. 【详解】由题意得：，所以， 所以，即，， 所以数列是以首项为，公差为的等差数列， 所以，所以， 所以， 所以， 所以. 14．如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且，．记，如，即，，即，，即，…，以此类推．设数列的前n项和为，则________    【答案】45 【分析】根据每层点的个数规律和每层点的坐标和规律得到周期数列，对周期数列求和讨论周期进行求和． 【详解】观察数列可知： 第0层，中心：1个点，； 第1层，8个点，起点为，这8个点都关于坐标轴对称，可知这一层和为0； 第2层，16个点，起点为，同理关于坐标轴对称，这一层和为0； …… 第k层，8k个点，起点坐标为，和为0； 则前m层（含第0层）总点数： ； 则当时，总点数为； 故 则第23层的起点；则； 故． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 时满足上式，所以； （2）当为奇数时，；当为偶数时，； 所以 16.（本小题满分15分）已知数列的前项和是，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为， 所以， 所以，即． 又当时，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以． （2）由（1）得， 所以， 即， 所以． 17．（本小题满分15分）已知数列满足，且， (1)求证：数列为等差数列，并求出的通项公式. (2)若数列满足，记的前项和为，证明：． 【答案】(1)略.(2)略. 【详解】（1）已知 ，，显然 ， 两边同时取倒数得，所以， 所以数列为首项，公差是的等差数列， 所以，所以，即的通项公式是； （2）由（1）知，所以 ， 则① 所以② 由①②得 ， 所以， 因为，所以单调递增， 所以, 因为，所以 综上，，得证 18．（本小题满分17分）已知数列的前项之和为，且点位于直线上. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项之和，求正整数，使得对任意均有； (3)设是数列的前项之和，若对任意均有成立，求的最小值. 【答案】(1)(2)(3). 【详解】（1）因为点位于直线上，所以. 于是，，故. 当时，，故，由此可得， 从而为首项是2，公比是2的等比数列，则，且时也成立. 因此. （2）， 易知，， ， ， ， 事实上，当时，由可知， 当时，数列为一个递减数列，. 因此，当时，. 于是，，即对任意均有. 故. （3）因为， 所以 . 故单调递增且，所以. 因此，即的最小值为 19．（本小题满分17分）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)是(2)①；②. 【详解】（1）是，理由如下： 因为，所以 ， 所以，故数列为等差数列， 故数列为二阶等差数列. （2）①根据题意可得，， 因为数列为等差数列，故数列的公差为, 所以等差数列的首项为，故， 所以， 当时，，，，， 上述等式相加得， 故， 也满足，故对任意的，； ②由题意可知，，即，可得， 令，则， 当且时，，可得； 当时，； 当且时，，可得， 所以数列的最大项为，故， 所以实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $