第4章 数列（复习讲义）数学苏教版选择性必修第一册

第4章 数列 复习要点 理解数列的概念与通项公式的意义，掌握等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项和公式； 能运用数列知识解决简单实际应用问题，提升归纳推理与运算求解能力； 渗透函数与方程思想，落实数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养。 复习重难点 重点：等差数列与等比数列的通项公式、前 n 项和公式及其基本性质与基础应用。 难点：数列通项公式的推导方法，等差、等比数列的综合应用，数列与函数的内在联系及实际问题的数学建模。 知识点 数列的概念 数列的有关 概念 数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列. 数列的项 数列中的每一个数叫做这个数列的项． 数列与函数的关系 从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． 数列的通项 数列的第项. 数列的三种表示法 列表法、图象法和通项公式法. 数列的通项公式 数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示 数列的前项和 数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按照项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按照大小分类 数列的前项和为与的关系 【解题方法总结】 在数列中，若最大，则若最小，则 解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 解决数列的单调性问题的3种方法 作差比较法 根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列 作商比较法 根据与1的大小关系进行判断 数形结合法 结合相应函数的图象直观判断 求数列的最大项与最小项的常用方法 （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项． （2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项． （3）比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，所以数列的最小项为；若有或时，则，则数列是递减数列，所以数列的最大项为． 要点速测 （多选题）（2026·高二·海南海口·阶段检测）下列叙述正确的是（     ） A．与是不同的数列 B．是常数列 C．数列的通项公式为 D．数列是递增数列 【答案】AD 【解析】对于A，数列与是不同的数列，故A正确； 对于B，数列是摆动数列，故B错误； 对于C，数列的通项公式为，故C错误； 对于D，数列是递增数列，故D正确． 知识点 等差数列 等差数列及其前n项和 等差数列的 有关概念 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示。 定义表达式 （常数） 等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 通项公式 ．或者 前项和公式 常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． 1.当时，． 特别地，若，则． 2.，…仍是等差数列，公差为． 3.，…也成等差数列，公差为． 4.若，是等差数列，则也是等差数列． 5.若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． 6.若项数为偶数，则；；． 7.若项数为奇数，则；；． 8. 在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值； 若，则满足的项数使得取得最小值． 等差数列的前n项和公式与函数的关系 ．数列是等差数列⇔（为常数）． 等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 其他衍生 等差数列 若已知等差数列，公差为，前项和为，则： ①等间距抽取为等差数列，公差为． ②等长度截取为等差数列，公差为． ③算术平均值为等差数列，公差为． 解题方法总结 （1）等差数列中，若，则． （2）等差数列中，若，则． （3）等差数列中，若，则． （4）若与为等差数列，且前项和为与，则． 解题方法总结 判断数列是等差数列的常用方法 （1）定义法：对任意是周一常数． （2）等差中项法：对任意，湍足． （3）通项公式法：对任意，都满足为常数）． （4）前项和公式法：对任意，都湍足为常数）． 要点速测 （多选题）（2026·高二·内蒙古赤峰·期末）已知等差数列的首项，且，下列说法正确的是（    ） A．数列的公差 B．数列的通项公式 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 【答案】ACD 【解析】选项A：设等差数列的公差为，由，可得： ，代入得，解得，故A正确. 选项B：等差数列通项公式为，故B错误. 选项C：前项和，故C正确. 选项D：令，则，所以数列是公比为2的等比数列，故D正确. 知识点 等比数列 等比数列及其前n项和 等比数列的 有关概念 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示。 定义表达式 （常数） 等比中项 若三个数，，成等比数列，则叫做与的等比中项， 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． 通项公式 ．或者 前项和公式 常用性质 已知为等比数列，q为公比，为该数列的前项和． 1.当时，．特别地，若，则． 2.等间距抽取为等比数列，公比为． 3.等长度截取为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 4.设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． 5.设与为等比数列，则也为等比数列． 等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． 解题方法总结 1.为等比数列，若，则成等比数列． 2.当，时，是成等比数列的充要条件，此时． 3.有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方． 4.若为正项等比数列，则为等差数列． 5.若为等差数列，则为等比数列． 6.若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 解题方法总结 定义法 若（为非零常数，或（为非零常数且，），则是等比数列 中项公式法 若数列中，且，则是等比数列 通项公式法 若数列的通项公式可写成（均为非零常数，），则是等比数列 前项和公式法 若数列的前项和（为非零常数，），则是等比数列 要点速测 已知等比数列 的前 项和为 ，则 ______． 【答案】 【解析】等比数列的前项和，所以常数项与的系数互为相反数，又因为，所以． 验证：时，，，，确为等比数列，所以. 题型一 数列的概念 【典例1】有下列命题； ①数列的通项公式是； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列与数列是同一数列； ④数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【解析】①，若，则，故①错误； ②，因为数列，所以数列的图象是一群孤立的点，故②正确； ③，数列的首项是，数列的首项是， 故不是同一个数列，故③错误； ④，易得逐渐变小，故该数列是递减数列，故④错误. 【变式1-1】下列有关数列的说法正确的是（   ） ①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列、、与数列、、是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关． A．①② B．①③ C．②③ D．③ 【答案】D 【解析】①错误，例如无穷个构成的常数列、、、的各项都是； ②错误，数列、、与数列、、各项的顺序不同，表示不同的数列；③正确． 故选：D. 【变式1-2】下列说法中，正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列可记为 【答案】C 【解析】在A中，表示集合不是数列，所以A不正确； 在B中，数列中的各项是有顺序的，所以B不正确； 在C中，第k项为，所以C正确； 在D中，数列应记为，所以D不正确． 故选：C. 【变式1-3】（2026·高二·湖北十堰·期末）下列说法中正确的是（    ） A．数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列 B．与集合中的元素要求互异类似，数列的项是不相同的 C．数列0，2，4，6，…可记为 D．已知，则数列是递增数列 【答案】D 【解析】选项A：数列是按一定顺序排列的一列数，具有有序性， 数列 与 的顺序完全不同，因此是两个不同的数列，A选项错误； 选项B：集合中的元素具有互异性，而数列的项可以重复。 例如常数列 就是一个合法的数列，B选项错误； 选项C：数列 的通项公式为 （）， 而 对应的数列是 ，首项为2，与题目中的首项0不符，C选项错误； 选项D：函数 是指数函数，底数 ，故 单调递增， 数列 是该函数在正整数点上的取值，所以是递增数列，D 选项正确. 故选：D. 题型二 等差数列的概念 【典例2】若数列是等差数列，则数列，，（    ） A．不是等差数列 B．是递增数列 C．是等差数列 D．是递减数列 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，则， ， 所以数列，，是等差数列. 【变式2-1】（2026·高二·福建漳州·阶段检测）等差数列，，，，，则是这个数列的第（    ）项 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由等差数列前几项可得，该等差数列首项为，公差为， 则该等差数列通项公式， 令，则，则是这个数列的第项. 【变式2-2】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知等差数列满足，，则（   ） A．1 B．0 C．-1 D．2 【答案】C 【解析】由题意可得， 又，所以，解得. 【变式2-3】（2026·高三·河南许昌·开学考试）在等差数列中，若，，则的公差为（   ） A．3 B．-3 C．5 D．-5 【答案】A 【解析】在等差数列中，由性质：，则，解得， 已知，则公差. 题型三 等差中项 【典例3】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）和的等差中项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由等差中项的定义可知，和的等差中项是. 【变式3-1】（2026·高三·辽宁·开学考试）在等差数列中，已知，为方程的两实根，则等于（   ） A．7 B．6 C． D．3 【答案】C 【解析】因为，为方程的两实根，可得， 由等差数列的性质，可得. 【变式3-2】（2026·高二·四川成都·期中）在等差数列中，，，则的值为（   ） A．13 B．14 C．16 D．17 【答案】A 【解析】在等差数列中，， 则. 【变式3-3】（2026·高二·云南玉溪·期末）4与8的等差中项为（   ） A．2 B．6 C．12 D．32 【答案】B 【解析】由等差中项的性质知，4与8的等差中项为. 故选：B 题型四 等差数列前n项和 【典例4】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知是等差数列的前n项和，若，则，求为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】对于等差数列（），其前项和满足公式，因此. 根据等差数列下标和性质：若且，则，因此. 将、代入前项和表达式：， 代入化简： ，解得. 【变式4-1】（2026·高三·北京西城·阶段检测）设等差数列的前项和为，若，，则的公差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为，因为，得到， 所以，又，所以，解得. 【变式4-2】（2026·高二·北京·期末）设是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A．2023 B．776 C．108 D．388 【答案】C 【解析】因为数列是等差数列， 所以，即， 因为，，所以， 由等差中项可知， 所以. 【变式4-3】（2026·高三·重庆·阶段检测）记为等差数列的前项和，，则（    ）． A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解析】因为数列为等差数列，则， 即，且，则， 所以，公差，所以. 题型五 等比数列的概念 【典例5】（2026·高二·福建莆田·阶段检测）“四个非零实数、、、依次成等比数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】充分性验证： 若非零实数、、、依次成等比数列，不妨设该等比数列的公比为， 则，，， 所以，，因此， 故“四个非零实数、、、依次成等比数列”“”； 必要性验证： 若，当，，则此四数无法形成等比数列， 故“四个非零实数、、、依次成等比数列”“”. 因此，“四个非零实数、、、依次成等比数列”是“”的充分不必要条件. 【变式5-1】（2026·上海·三模）已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为等比数列， 所以， 因为，， 令，则，整理得， 所以，，， 所以，该数列的公比为. 【变式5-2】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）在等比数列中，，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得：，，， 所以，即， 因为，且，所以； 同理，所以， 所以. 【变式5-3】（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）已知正项等比数列 的公比为 ，若 ，则公比 （     ） A．4 B．2 C．-2 D．2或-2 【答案】B 【解析】，因为是正项等比数列，所以. 题型六 等比中项 【典例6】（2026·高二·福建莆田·阶段检测）数与的等差中项，等比中项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】根据等差中项定义，若为实数，的等差中项，则满足， 将，代入得，解得， 根据等比中项定义，若为非零实数，的等比中项，则满足， 将，代入得，解得， 综上，2与8的等差中项为，等比中项为. 【变式6-1】（2026·高二·福建莆田·阶段检测）已知是公差不为零的等差数列，，若、、成等比数列，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为， 已知，且、、成等比数列， 由等比中项的性质可得：， 根据等差数列通项公式，可得，， 代入上式得：，展开整理得，解得或（舍）， 因此. 【变式6-2】（2026·高二·江西南昌·期末）若数列，a，b，c，是等比数列，则实数b的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】若数列，a，b，c，是等比数列， 则，可得，即. 【变式6-3】（2026·高二·湖南岳阳·期末）已知数列是公差为的等差数列，若，，依次构成公比为的等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题得，，， 所以， 整理得， 所以，则， 所以． 题型七 等比数列前n项和 【典例7】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知等比数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为，， 根据等比数列前项和的性质： 当时，仍为等比数列，取，则成等比数列， 已知，，设，由等比中项性质可得： ， 展开整理得，解得或，又因为，其中， 故，结合，可得，因此舍去，即. 【变式7-1】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知等比数列公比，前3项和，则其首项的值为（    ） A．7 B． C． D．1 【答案】D 【解析】等比数列公比，前3项和，则， 所以. 【变式7-2】（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）已知等比数列的首项为，其前项和为，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为，， 由得（1） 由（2）， 将式（2）代入式（1）得，，解得， 将代入式（2）得，，解得， 所以. 【变式7-3】（2026·高二·广东茂名·期末）等比数列的前项和为，，，则（    ） A．12 B．15 C．24 D．48 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为， 当时，，所以， 由得， 解得，所以. 题型八 等差数列的性质 【典例8】若等差数列中的，是方程的两个根，则______. 【答案】 【解析】由题意得. 由等差数列的性质可知： ，，…，，， 所以. 【变式8-1】（2026·高二·广东茂名·期末）等差数列的前项和为，，则_____________． 【答案】 【解析】因为为等差数列，所以，所以 因此. 【变式8-2】（2026·高二·云南玉溪·期末）记为等差数列的前项和，若，，则______________． 【答案】 【解析】若为等差数列，其前项和满足：仍成等差数列， 所以，则 解得. 【变式8-3】（2026·高二·江西赣州·期末）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． 【答案】 【解析】. 题型九 等比数列的性质 【典例9】（2026·高三·上海徐汇·开学考试）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则 值是________． 【答案】/ 【解析】因为是等比数列，所以，所以，解得. 又因为是等差数列，所以，所以，解得， 所以 【变式9-1】（2026·高三·北京朝阳·阶段检测）已知正项等比数列满足，，则______________． 【答案】 【解析】设等比数列的公比为，， 所以等比数列的公比为， ， ，得， 因为数列是正项等比数列， 所以由. 【变式9-2】已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 【答案】12 【解析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍， 所以，故， 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以， 因为，可得，因此. 【变式9-3】已知等比数列的前项和为，若，则______． 【答案】 【解析】（方法一）因为， 当时，，可得，， 当时，． 因为数列为等比数列，所以，解得． （方法二）若数列公比为，当，则不可能恒相等, 所以，则，所以． 故答案为：. 题型十 数列中的最值与范围问题 【典例10】（2026·云南·一模）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号）_____. ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 【答案】①②③ 【解析】因为，，， 所以，所以，故①正确. ，故②正确； 又，所以的最大值为，故③正确. 因为，，所以恒有，所以无最大值，故④错误； 故答案为：①②③ 【变式10-1】（2026·高三·江西南昌·阶段检测）已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则下列命题正确的有__________．（填序号） （1）； （2）； （3）的值是中最大的； （4）使成立的最大正整数数的值为． 【答案】（1）（2）（4） 【解析】对于（1），，，， ，，又，， ，（1）正确； 对于（2），，又，，即， ，（2）正确； 对于（3），，不是中最大的，（3）错误； 对于（4），， ， 使成立的最大正整数数的值为，（4）正确. 故答案为：（1）（2）（4） 【变式10-2】（2026·高二·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时的值为_____. 【答案】6 【解析】设等差数列的公差为，则，即， ，其中， 对称轴为，所以当时，取得最大值. 故答案为：6 【变式10-3】（2026·高二·北京怀柔·期中）已知无穷等差数列为递增数列，为数列前项和，则以下结论正确的是 ①     ②     ③数列有最小项 ④数列为递增数列         ⑤存在正整数，当时， 则以下结论正确的是______． 【答案】①③④⑤ 【解析】因为数列为递增数列，所以，故①正确； 当时，，故②错； 因为数列为递增数列，所以公差， ，根据二次函数的性质可知有最小项，故③正确； ，所以数列为递增数列，故④正确； 因为，数列为无穷数列，所以存在正整数，当时，，故⑤正确. 故答案为：①③④⑤. 题型十一 实际应用 【典例11】（2026·高二·河北保定·期中）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则上面6节的容积共________升． 【答案】 【解析】设竹子自上而下各节的容积分别为，，，，且其为等差数列， 根据题意得，， 即①，②， 而②①，得，解得， 把代入①，得，故． 【变式11-1】（2026·高二·吉林长春·期末）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，则该塔第十二层有________座． 【答案】19 【解析】已知从第五层开始，塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列， 将第五层的塔的数目设为，设从第五层开始自上而下，每一层的塔的数目为， 则， 则第十二层对应． 【变式11-2】（2026·高二·河北衡水·开学考试）用元购买某个基金个月，若以月收益率的复利计算收益，则个月后能获得的收益约为_____________元.（参考数据：） 【答案】1590 【解析】因为每个月以月收益率的复利计算收益， 所以n个月后的本息和组成一个等比数列，公比为， 所以的通项公式为. 所以10个月后能获得的收益为 元. 【变式11-3】（2026·高二·辽宁鞍山·阶段检测）小李3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元.当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为0.5%，25个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为________元．（最后结果保留3位有效数字，参考数据：） 【答案】86.9 【解析】设每月还款元，按复利计算2000元贷款经过25期连本带利总共为元， 则， 可得， 整理得. 难点一 数列通项公式 1、累加法 2、累乘法 3、构造法 （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求． 设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 类型Ⅵ 对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 类型Ⅶ 倒数变换法： 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 难点精练 1．（2026·高三·黑龙江辽宁·开学考试）在数列中，，，． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式． 【解析】（1）证明：因为，所以， 又，所以， 所以， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）得， 所以，，，…，， 以上各式左右相加，得， 所以， 又，符合上式，故． 2．（2026·高三·山东日照·开学考试）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； 【解析】（1）因为, 所以有, 又, 所以, 所以数列是以12为首项，4为公比的等比数列. （2）由（1）得，， 所以， 等式两边同除，得， 令，则， 所以，又， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以， 则. 3．已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式； 【解析】因为，，易知， 取倒数得，，即， 因为，所以，所以为常数， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 所以，则， 所以，即数列的通项公式为. 4．已知等差数列的通项公式，数列满足．证明：数列是等比数列，并求的通项公式； 【解析】证明： 因为数列满足，即 所以， 又，，故，， 所以，， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以，即， 所以的通项公式为. 难点二 数列求和 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 难点精练 1．（2026·高二·江西南昌·期末）已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2026项和． 【解析】（1）点均在函数的图象上，， 当时，，即， 当时， ，满足上式，； （2）， ， ，， ①， 又 ②， ①②，得， ． 2．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列中，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)令，求数列的前n项和． 【解析】（1）由，去分母化简得，又， 所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列； ，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1），所以， . （3）因为， 令，，数列的前项和为，数列的前项和为， 所以， ， ， 两式相减得，即， 所以； 又； 所以. 3．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，，数列前项和． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列、的通项公式； (3)设，求的前项和，判断的单调性，并写出的取值范围． 【解析】（1）证明：因为，，易知，. 两边取倒数得，，所以. 又，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列. （2）由（1）知，，所以. 当时，. 当时， . 满足上式， 所以. 综上，， （3）. 所以 . ， 所以单调递增. 单调递增，，， 所以的取值范围为. 综上，，单调递增，的取值范围为. 4．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知各项为正数的等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【解析】（1）设等比数列公比为,首项为.由各项均为正数得,且. 代入条件得.分别取和,得,. 两式相除得,结合得.再代入,得. 因此. （2）由(1)得.当时,. 当时,,即. 于是. 又,其中,,所以. 当为奇数时,设,则. 当为偶数时,设,则. 基础达标 1．（2026·高二·甘肃兰州·阶段检测）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记此等比数列为，设其公比为，由，得， 依题意，，相除得，所以， 所以这个数列的公比等于2. 2．（2026·高二·甘肃兰州·阶段检测）已知数列对于任意，都有，若，则（     ） A．9 B．12 C．16 D．18 【答案】A 【解析】因为，，不妨令，由得：， 即， 所以数列是以为公差的等差数列， 因此. 3．（2026·高二·福建龙岩·阶段检测）已知等差数列满足，，则（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】A 【解析】数列为等差数列，，， ，得. 4．（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）等比数列的首项为，项数是偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等比数列的项数为， 所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为， ： ：， ，， 由题意可得， . 5．（2026·高二·甘肃·阶段检测）已知数列的前n项和，则（    ） A．2025 B．2026 C．2 D．1 【答案】D 【解析】. 6．（2026·高二·甘肃兰州·阶段检测）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且则解下5个圆环需移动的最少次数为（    ） A．7 B．16 C．14 D．21 【答案】D 【解析】由题意，，即解下5个圆环需移动的最少次数为21. 7．（2026·广东广州·模拟预测）已知等比数列中，，则（    ） A．8 B．16 C． D．32 【答案】C 【解析】数列为等比数列，，， ， 则. 8．（2026·高二·福建莆田·阶段检测）已知等差数列的公差为，则（    ） A．2 B． C． D．20 【答案】C 【解析】由题可得， 则， 又因为， 所以. 9．（2026·高二·河北保定·期中）在数列中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【解析】由题知，则，又， 所以，，，， 将各式相加可得：， 即，所以. 10．（2026·高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）正项等差数列的公差为，已知，且，，三项成等比数列，则（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【解析】因为，，三项成等比数列，所以， 故，结合可得 ， 解得 或（负值舍去）. 11．（多选题）（2026·高三·广东·阶段检测）记为正项等比数列的前项和，为的公比，若，，则（    ） A． B． C．是递增数列 D． 【答案】BCD 【解析】因为数列为正项等比数列， 且， 所以，即,故选项A错误. 又因为， 所以,故选项B正确. 所以， ， 所以数列为递增数列，， 故选项C，D正确. 12．（多选题）（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（ ） A．数列的公差 B．数列的通项公式为 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 【答案】ABD 【解析】已知是等差数列，，按步骤计算判断： 选项A： ，，由得： 因此A选项正确 选项B:由等差数列通项公式，代入得： 因此B选项正确 选项C:等差数列前项和公式，代入得： ,因此C选项错误 选项D:令，则公比，因此是公比为2的等比数列，D选项正确 13．（2026·高二·福建宁德·阶段检测）数列中，，则数列的前2026项和______. 【答案】 【解析】因为， 所以 . 14．（2026·高二·上海宝山·期末）设是数列的前项和，且，则的通项公式为________． 【答案】 【解析】由题得，， 所以， 当时，， 所以. 15．（2026·高二·甘肃天水·阶段检测）已知等差数列 的前 项和为 ，，． (1)求 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 ． 【解析】（1）由 得 ， 设公差为 ，则 ，解得 ， 所以 ． （2）由 (1) 得 ， 而 的前 项和为 ， 所以 ． 16．（2026·高二·福建莆田·阶段检测）已知数列为正项等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【解析】（1）设的公比为，正项等比数列满足，由，得，， 由，得，即，解得或，舍， 故，所以. （2）由数列为正项等比数列，，，得. 17．（2026·高二·福建龙岩·阶段检测）在数列中，，，． (1)证明数列为等比数列． (2)求的通项公式． 【解析】（1），，得； ，； 数列是以首项为1，公比为3的等比数列. （2）由（1）得数列是以首项为1，公比为3的等比数列，则； ，即的通项公式为. 18．（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）已知数列 的前 项和为 . (1)写出数列的前项: ； (2)求前 项和 的最小值； (3)求出 的通项公式. 【解析】（1）已知数列 的前 项和为 ， 所以， ， . （2）已知数列 的前 项和为 ， 所以的对称轴为，又因为，所以当或 时，取最小值， 由于，， 所以的最小值为， （3）当时， ， 当时，， 所以. 能力进阶 1．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则n的最小值为4051 【答案】D 【解析】已知等比数列，，，说明与异号，即一项大于1，一项小于1， 又，故同号且，结合，可得， 所以数列单调递减，因此. 对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，由等比数列性质可得，又，所以，故B错误； 对于C，因为，数列单调递减，， 所以当时，，当时，， 所以，， 因此数列的最大项是，故C错误； 对于D，因为，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以使得的的最小值为，故D正确. 2．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）若数列满足，，则该数列的前20项的乘积是（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【解析】因为，所以，则， 所以数列是以为首项，周期为4的一个周期数列， 因为，所以，，， 所以，所以 3．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，设， 则，， 故． 4．（2026·高二·福建漳州·阶段检测）设是等差数列的前项和，是数列的前项和.若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 则， 所以是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 5．（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）各项为正数 等比数列中，，则取最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正数等比数列中，， 则，当且仅当时取等号， 又因为，设公比为，所以， 则取最小值时，. 6．（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）已知为数列 的前 项和，， ，则的值为（     ） A．54 B．162 C．156 D．180 【答案】B 【解析】因为，当时，； 当时，，则，即， 得，所以，，. 7．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）在数列中，，若，，则n的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【解析】，，， 即，，则有，， 又时，成立， 所以，， 又，，，整理得， 解得或（舍）， 则. 8．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，若数列是递减数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知：， 两边除以：， 令，则.当，， ， ， 代入原式：，代入通项，满足. ，是首项，公差的等差数列. 数列递减，即. 9．（多选题）（2026·高二·甘肃天水·阶段检测）已知数列满足，数列的前项和为，则（    ） A． B．数列是等差数列 C．，，构成等差数列 D．数列前2026项和为 【答案】ABD 【解析】A选项， ①， 时， ②， 得：，即：（）， 又 ，故 对一切成立，所以，所以A 选项正确； B选项，由A选项解析得：是首项为2，公差为1的等差数列，所以B选项正确； C选项，由等差数列前项和公式得：，得，，，而 ，所以C 选项错误； D选项，，前 2026 项和为 ，所以D 选项正确． 10．（多选题）（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）在等比数列中，，，则（   ） A．的前项积为 B．的前8项和为 C．是公比为4的等比数列 D．的前n项和为 【答案】ABC 【解析】，，故， ，故的前项积为：，故A正确； ，是首项为2，公比为的等比数列，故，故B正确； ，相邻两项之比，故是公比为4的等比数列，故C正确； ，故首项是，公比是2， 故前n项和为：，故D错误． 11．（多选题）（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（    ） A．为等比数列 B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由，所以，故B正确； ，时，，所以时，，， 所以时，，代入不符合，故A错误； 令，， 时，， ，时， 所以时，，故CD正确； 12．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】，因为时单调递增， 若是递增数列，所以， ， 故，解得. 13．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，则数列的通项公式为_______． 【答案】 【解析】数列中，，当时，； 当时，，两式相减得 ， 整理得，而不满足上式。 所以. 14．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）数列满足递推关系，，则数列的通项公式为_______． 【答案】 【解析】由，得， 令，即，且， 所以是公差为的等差数列， 又，因此， 所以，. 15．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列中． (1)求的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数n． (3)已知数列的前n项和为，若一直线的斜率为，方向向量为，求． 【解析】（1）因为，则， 所以，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则，， 所以. （2）， ， 因为，则，， 故，， 所以满足条件的最大整数. （3）因为直线的方向向量为，所以直线斜率， 由（1）得， ， ， 设， 则， ， 两式相减得， ， 所以， 则， 所以. 16．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知正项等比数列的公比大于1，其前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【解析】（1）设等比数列的公比为，则，由，，得， ，消去得，即，所以． 由，得，从而，故，． （2）由（1）得． 当时，前项均满足，故； 当时，前10项的和为，第11项至第项依次为，故． 综上，，． 17．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）设数列的前n项和为，已知．若． (1)计算，，的值，并猜想数列的通项公式； (2)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (3)设，数列的前n项和为，求． 【解析】（1）， ， 即，，，猜想 （2）证明：当时，，则. 当时，，即， 即，而， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列. 因为，所以. （3），用错位相减法求和法得： ，① ，② ①-②得： = 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 数列 复习要点 理解数列的概念与通项公式的意义，掌握等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项和公式； 能运用数列知识解决简单实际应用问题，提升归纳推理与运算求解能力； 渗透函数与方程思想，落实数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养。 复习重难点 重点：等差数列与等比数列的通项公式、前 n 项和公式及其基本性质与基础应用。 难点：数列通项公式的推导方法，等差、等比数列的综合应用，数列与函数的内在联系及实际问题的数学建模。 知识点 数列的概念 数列的有关 概念 数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列. 数列的项 数列中的每一个数叫做这个数列的项． 数列与函数的关系 从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． 数列的通项 数列的第项. 数列的三种表示法 列表法、图象法和通项公式法. 数列的通项公式 数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示 数列的前项和 数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按照项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按照大小分类 数列的前项和为与的关系 【解题方法总结】 在数列中，若最大，则若最小，则 解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 解决数列的单调性问题的3种方法 作差比较法 根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列 作商比较法 根据与1的大小关系进行判断 数形结合法 结合相应函数的图象直观判断 求数列的最大项与最小项的常用方法 （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项． （2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项． （3）比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，所以数列的最小项为；若有或时，则，则数列是递减数列，所以数列的最大项为． 要点速测 （多选题）（2026·高二·海南海口·阶段检测）下列叙述正确的是（     ） A．与是不同的数列 B．是常数列 C．数列的通项公式为 D．数列是递增数列 知识点 等差数列 等差数列及其前n项和 等差数列的 有关概念 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示。 定义表达式 （常数） 等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 通项公式 ．或者 前项和公式 常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． 1.当时，． 特别地，若，则． 2.，…仍是等差数列，公差为． 3.，…也成等差数列，公差为． 4.若，是等差数列，则也是等差数列． 5.若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． 6.若项数为偶数，则；；． 7.若项数为奇数，则；；． 8. 在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值； 若，则满足的项数使得取得最小值． 等差数列的前n项和公式与函数的关系 ．数列是等差数列⇔（为常数）． 等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 其他衍生 等差数列 若已知等差数列，公差为，前项和为，则： ①等间距抽取为等差数列，公差为． ②等长度截取为等差数列，公差为． ③算术平均值为等差数列，公差为． 解题方法总结 （1）等差数列中，若，则． （2）等差数列中，若，则． （3）等差数列中，若，则． （4）若与为等差数列，且前项和为与，则． 解题方法总结 判断数列是等差数列的常用方法 （1）定义法：对任意是周一常数． （2）等差中项法：对任意，湍足． （3）通项公式法：对任意，都满足为常数）． （4）前项和公式法：对任意，都湍足为常数）． 要点速测 （多选题）（2026·高二·内蒙古赤峰·期末）已知等差数列的首项，且，下列说法正确的是（    ） A．数列的公差 B．数列的通项公式 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 知识点 等比数列 等比数列及其前n项和 等比数列的 有关概念 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示。 定义表达式 （常数） 等比中项 若三个数，，成等比数列，则叫做与的等比中项， 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． 通项公式 ．或者 前项和公式 常用性质 已知为等比数列，q为公比，为该数列的前项和． 1.当时，．特别地，若，则． 2.等间距抽取为等比数列，公比为． 3.等长度截取为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 4.设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． 5.设与为等比数列，则也为等比数列． 等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． 解题方法总结 1.为等比数列，若，则成等比数列． 2.当，时，是成等比数列的充要条件，此时． 3.有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方． 4.若为正项等比数列，则为等差数列． 5.若为等差数列，则为等比数列． 6.若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 解题方法总结 定义法 若（为非零常数，或（为非零常数且，），则是等比数列 中项公式法 若数列中，且，则是等比数列 通项公式法 若数列的通项公式可写成（均为非零常数，），则是等比数列 前项和公式法 若数列的前项和（为非零常数，），则是等比数列 要点速测 已知等比数列 的前 项和为 ，则 ______． 题型一 数列的概念 【典例1】有下列命题； ①数列的通项公式是； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列与数列是同一数列； ④数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【变式1-1】下列有关数列的说法正确的是（   ） ①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列、、与数列、、是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关． A．①② B．①③ C．②③ D．③ 【变式1-2】下列说法中，正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列可记为 【变式1-3】（2026·高二·湖北十堰·期末）下列说法中正确的是（    ） A．数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列 B．与集合中的元素要求互异类似，数列的项是不相同的 C．数列0，2，4，6，…可记为 D．已知，则数列是递增数列 题型二 等差数列的概念 【典例2】若数列是等差数列，则数列，，（    ） A．不是等差数列 B．是递增数列 C．是等差数列 D．是递减数列 【变式2-1】（2026·高二·福建漳州·阶段检测）等差数列，，，，，则是这个数列的第（    ）项 A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知等差数列满足，，则（   ） A．1 B．0 C．-1 D．2 【变式2-3】（2026·高三·河南许昌·开学考试）在等差数列中，若，，则的公差为（   ） A．3 B．-3 C．5 D．-5 题型三 等差中项 【典例3】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）和的等差中项是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高三·辽宁·开学考试）在等差数列中，已知，为方程的两实根，则等于（   ） A．7 B．6 C． D．3 【变式3-2】（2026·高二·四川成都·期中）在等差数列中，，，则的值为（   ） A．13 B．14 C．16 D．17 【变式3-3】（2026·高二·云南玉溪·期末）4与8的等差中项为（   ） A．2 B．6 C．12 D．32 题型四 等差数列前n项和 【典例4】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知是等差数列的前n项和，若，则，求为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4-1】（2026·高三·北京西城·阶段检测）设等差数列的前项和为，若，，则的公差为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高二·北京·期末）设是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A．2023 B．776 C．108 D．388 【变式4-3】（2026·高三·重庆·阶段检测）记为等差数列的前项和，，则（    ）． A．7 B．6 C．5 D．4 题型五 等比数列的概念 【典例5】（2026·高二·福建莆田·阶段检测）“四个非零实数、、、依次成等比数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-1】（2026·上海·三模）已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）在等比数列中，，，则 （   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）已知正项等比数列 的公比为 ，若 ，则公比 （     ） A．4 B．2 C．-2 D．2或-2 题型六 等比中项 【典例6】（2026·高二·福建莆田·阶段检测）数与的等差中项，等比中项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-1】（2026·高二·福建莆田·阶段检测）已知是公差不为零的等差数列，，若、、成等比数列，则 （    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·高二·江西南昌·期末）若数列，a，b，c，是等比数列，则实数b的值为（    ） A． B． C． D．3 【变式6-3】（2026·高二·湖南岳阳·期末）已知数列是公差为的等差数列，若，，依次构成公比为的等比数列，则（    ） A． B． C． D． 题型七 等比数列前n项和 【典例7】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知等比数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【变式7-1】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知等比数列公比，前3项和，则其首项的值为（    ） A．7 B． C． D．1 【变式7-2】（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）已知等比数列的首项为，其前项和为，若且，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·高二·广东茂名·期末）等比数列的前项和为，，，则（    ） A．12 B．15 C．24 D．48 题型八 等差数列的性质 【典例8】若等差数列中的，是方程的两个根，则______. 【变式8-1】（2026·高二·广东茂名·期末）等差数列的前项和为，，则_____________． 【变式8-2】（2026·高二·云南玉溪·期末）记为等差数列的前项和，若，，则______________． 【变式8-3】（2026·高二·江西赣州·期末）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． 题型九 等比数列的性质 【典例9】（2026·高三·上海徐汇·开学考试）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则 值是________． 【变式9-1】（2026·高三·北京朝阳·阶段检测）已知正项等比数列满足，，则______________． 【变式9-2】已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 【变式9-3】已知等比数列的前项和为，若，则______． 题型十 数列中的最值与范围问题 【典例10】（2026·云南·一模）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号）_____. ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 【变式10-1】（2026·高三·江西南昌·阶段检测）已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则下列命题正确的有__________．（填序号） （1）； （2）； （3）的值是中最大的； （4）使成立的最大正整数数的值为． 【变式10-2】（2026·高二·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时的值为_____. 【变式10-3】（2026·高二·北京怀柔·期中）已知无穷等差数列为递增数列，为数列前项和，则以下结论正确的是 ①     ②     ③数列有最小项 ④数列为递增数列         ⑤存在正整数，当时， 则以下结论正确的是______． 题型十一 实际应用 【典例11】（2026·高二·河北保定·期中）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则上面6节的容积共________升． 【变式11-1】（2026·高二·吉林长春·期末）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，则该塔第十二层有________座． 【变式11-2】（2026·高二·河北衡水·开学考试）用元购买某个基金个月，若以月收益率的复利计算收益，则个月后能获得的收益约为_____________元.（参考数据：） 【变式11-3】（2026·高二·辽宁鞍山·阶段检测）小李3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元.当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为0.5%，25个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为________元．（最后结果保留3位有效数字，参考数据：） 难点一 数列通项公式 1、累加法 2、累乘法 3、构造法 （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求． 设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 类型Ⅵ 对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 类型Ⅶ 倒数变换法： 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 难点精练 1．（2026·高三·黑龙江辽宁·开学考试）在数列中，，，． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式． 2．（2026·高三·山东日照·开学考试）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； 3．已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式； 4．已知等差数列的通项公式，数列满足．证明：数列是等比数列，并求的通项公式； 难点二 数列求和 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 难点精练 1．（2026·高二·江西南昌·期末）已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2026项和． 2．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列中，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)令，求数列的前n项和． 3．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，，数列前项和． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列、的通项公式； (3)设，求的前项和，判断的单调性，并写出的取值范围． 4．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知各项为正数的等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 基础达标 1．（2026·高二·甘肃兰州·阶段检测）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·甘肃兰州·阶段检测）已知数列对于任意，都有，若，则（     ） A．9 B．12 C．16 D．18 3．（2026·高二·福建龙岩·阶段检测）已知等差数列满足，，则（   ） A．2 B．0 C． D． 4．（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）等比数列的首项为，项数是偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则（     ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·甘肃·阶段检测）已知数列的前n项和，则（    ） A．2025 B．2026 C．2 D．1 6．（2026·高二·甘肃兰州·阶段检测）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且则解下5个圆环需移动的最少次数为（    ） A．7 B．16 C．14 D．21 7．（2026·广东广州·模拟预测）已知等比数列中，，则（    ） A．8 B．16 C． D．32 8．（2026·高二·福建莆田·阶段检测）已知等差数列的公差为，则（    ） A．2 B． C． D．20 9．（2026·高二·河北保定·期中）在数列中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 10．（2026·高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）正项等差数列的公差为，已知，且，，三项成等比数列，则（    ） A． B．3 C．1 D． 11．（多选题）（2026·高三·广东·阶段检测）记为正项等比数列的前项和，为的公比，若，，则（    ） A． B． C．是递增数列 D． 12．（多选题）（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（ ） A．数列的公差 B．数列的通项公式为 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 13．（2026·高二·福建宁德·阶段检测）数列中，，则数列的前2026项和______. 14．（2026·高二·上海宝山·期末）设是数列的前项和，且，则的通项公式为________． 15．（2026·高二·甘肃天水·阶段检测）已知等差数列 的前 项和为 ，，． (1)求 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 ． 16．（2026·高二·福建莆田·阶段检测）已知数列为正项等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 17．（2026·高二·福建龙岩·阶段检测）在数列中，，，． (1)证明数列为等比数列． (2)求的通项公式． 18．（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）已知数列 的前 项和为 . (1)写出数列的前项: ； (2)求前 项和 的最小值； (3)求出 的通项公式. 能力进阶 1．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则n的最小值为4051 2．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）若数列满足，，则该数列的前20项的乘积是（   ） A． B． C．2 D．1 3．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·福建漳州·阶段检测）设是等差数列的前项和，是数列的前项和.若，则等于（ ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）各项为正数 等比数列中，，则取最小值时，（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）已知为数列 的前 项和，， ，则的值为（     ） A．54 B．162 C．156 D．180 7．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）在数列中，，若，，则n的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 8．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，若数列是递减数列，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高二·甘肃天水·阶段检测）已知数列满足，数列的前项和为，则（    ） A． B．数列是等差数列 C．，，构成等差数列 D．数列前2026项和为 10．（多选题）（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）在等比数列中，，，则（   ） A．的前项积为 B．的前8项和为 C．是公比为4的等比数列 D．的前n项和为 11．（多选题）（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（    ） A．为等比数列 B． C． D． 12．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是______． 13．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，则数列的通项公式为_______． 14．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）数列满足递推关系，，则数列的通项公式为_______． 15．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列中． (1)求的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数n． (3)已知数列的前n项和为，若一直线的斜率为，方向向量为，求． 16．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知正项等比数列的公比大于1，其前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 17．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）设数列的前n项和为，已知．若． (1)计算，，的值，并猜想数列的通项公式； (2)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (3)设，数列的前n项和为，求． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $