第4章 数列 章末复习课（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

一、等差与等比数列的基本运算和性质

1.数列的基本运算以小题居多，但也可作为解答题第一问，主要考查利用等差、等比数列的通项公式及求和公式，进行数列基本量的计算，一般试题难度较小，但是需要我们熟练掌握并选择合适的公式.

2.通过等差、等比数列的基本运算，培养数学运算、逻辑推理等核心素养.

例1　在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.

解　(1)设数列{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，

解得q＝2，所以an＝2×2n－1＝2n，n∈N*.

(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.

设数列{bn}的公差为d，

则

解得

所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，n∈N*.

所以数列{bn}的前n项和

Sn＝＝6n2－22n，n∈N*.

反思感悟　在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d或q，Sn，其中a1和d或q为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d或q，an，Sn，n的方程组，利用方程思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.

跟踪训练1　已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.

(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；

(2)在(1)的条件下，若a1>0，求Sn.

解　(1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以＝1×(a1＋2)，

即－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2.

(2)因为a1>0，所以a1＝2，

所以Sn＝2n＋，n∈N*.

二、等差、等比数列的判定与证明

1.判断等差或等比数列是数列中的重点内容，经常在解答题中出现，对给定条件进行变形是解题的关键所在，经常利用此类方法构造等差或等比数列.

2.通过等差、等比数列的判定与证明，培养逻辑推理、数学运算等核心素养.

例2　已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.

(1)求b1，b2，b3；

(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；

(3)求数列{an}的通项公式.

解　(1)由条件可得an＋1＝an，a1＝1，

将n＝1代入得，a2＝4a1＝4.