5.1.1 平均变化率(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

本高中数学讲义聚焦“平均变化率”核心知识点，从气温日变化曲线等实例引入，抽象出函数在区间上的平均变化率定义，即函数值改变量与自变量改变量之比，梳理从实例感知到概念理解、再到应用计算的学习脉络。 资料以“数学抽象”“数学运算”为核心素养导向，通过气温变化比较、退烧药体温变化率计算等实例，引导学生用数学眼光观察现实，结合图象分析与解析式推导题型训练培养数学思维，课中助力教师引导概念建构，课后练习题帮助学生巩固应用，查漏补缺。

5.1.1　平均变化率 课标 要求 1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义（数学抽象）. 2.体会平均变化率在实际生活中的应用（数学运算）. 　　下面是我国北方某地某日气温日变化曲线图. 【问题】　（1）从图中可以看出，从6时到10时为“气温陡增”的时段，它的数学意义是什么？ （2）如何比较不同时间段内的气温变化的大小？例如：假设6时的气温是25 ℃，10时的气温是29 ℃，12时的气温是30 ℃，那么如何比较从6时到10时与从10时到12时气温变化的大小？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 知识点　函数的平均变化率 1.函数f（x）在区间[x1，x2]上的平均变化率为　　. 2.平均变化率是曲线陡峭程度的“　数量化　”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“　视觉化　”. 提醒：对平均变化率的再理解：①函数在区间[x1，x2]上有意义；②实质：函数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx之比. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平均变化率只能是正数.（　×　） （2）在平均变化率的定义中，自变量x的改变量Δx＝x2－x1可取任意实数.（　×　） （3）利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，效果是“粗糙不精确的”.（　√　） （4）平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f（x）在相应区间上越“陡峭”，反之亦然.（　√　） 2.（2026·无锡月考）已知函数y＝f（x）的图象如图所示.设函数y＝f（x）从－1到1的平均变化率为v1，从1到2的平均变化率为v2，则v1与v2的大小关系为（　　） A.v1＞v2 B.v1＝v2 C.v1＜v2 D.不能确定 解析：C　记v1＝＝tan α1，v2＝＝tan α2，由图易知α1＜α2，所以v1＜v2.故选C. 3.函数f（x）＝x－1－1在区间[2，3]上的平均变化率为　－　. 解析：函数f（x）＝x－1－1在区间[2，3]上的平均变化率为＝－. 题型一　平均变化率的概念 〔多选〕某物体的位移公式为s＝s（t），从t0到t0＋Δt这段时间内，下列理解正确的有（　　） A.（t0＋Δt）－t0为自变量的改变量 B.t0为函数值的改变量 C.Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）为函数值的改变量 D.为s（t）在区间[t0，Δt＋t0]上的平均变化率 解析：ACD　由自变量的改变量、函数值的改变量、平均变化率的概念易得A、C、D正确. 规律方法 平均变化率概念的理解 （1）要注意Δx，Δy的值可正、可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f（x）为常数函数，则Δy＝0； （2）求点x0附近的平均变化率可用表示； （3）平均变化率一定是相对某一区间而言的，一般地，区间不同，平均变化率也不同. 当函数y＝f（x）的自变量x从x1变化到x2时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是（　　） A.f（x）在区间[x1，x2]上的平均变化率 B.f（x）在x1处的变化率 C.f（x）在x2处的变化率 D.f（x）在区间[x1，x2]上的变化量 解析：A　由平均变化率的定义知：当函数y＝f（x）的自变量x从x1变化到x2时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在区间[x1，x2]上的平均变化率，故选A. 题型二　由函数的图象研究平均变化率 （链接教科书第188页例1）某病人吃完退烧药后他的体温变化如图所示： （1）试分别求当x从0 min变化到20 min及x从20 min变化到30 min时体温y相对于时间x的平均变化率； 解：当时间x从0 min变到20 min时，体温y相对于时间x的平均变化率为＝－0.025（℃/min）. 当时间x从20 min变到30 min时体温y相对于时间x的平均变化率为＝－0.05（℃/min）. （2）利用（1）的结果说明哪段时间体温变化较快？ 解：由（1）知｜－0.05｜＞｜－0.025｜，故体温从20 min到30 min这段时间下降得比0 min到20 min这段时间要快.规律方法 由函数图象求函数平均变化率的步骤 第一步：求自变量的改变量Δx＝x2－x1； 第二步：借助图象求函数值的改变量Δy＝y2－y1； 第三步：求平均变化率＝. 函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）在下列区间上平均变化率最大的是（　　） A.[1，2]　　　　　 B.[2，3] C.[3，4]　　　 D.[4，7] 解析：C　函数f（x）在区间上的平均变化率为，由函数f（x）的图象可得，在区间[4，7]上，＜0，即函数f（x）在区间[4，7]上的平均变化率小于0.在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]上时，＞0且Δx相同，故只需找Δy最大的即可，由f（x）的图象可知，函数f（x）在区间[3，4]上的Δy最大，故函数f（x）在区间[3，4]上的最大，所以函数f（x）在区间[3，4]上的平均变化率最大.故选C. 题型三　由函数解析式求平均变化率 （链接教科书第189页例3、例4）已知函数f（x）＝3x2＋5，求f（x）： （1）在区间[0.1，0.2]上的平均变化率； 解：因为f（x）＝3x2＋5， 所以函数f（x）在区间[0.1，0.2]上的平均变化率为 ＝＝0.9. （2）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率. 解：f（x0＋Δx）－f（x0） ＝3（x0＋Δx）2＋5－（3＋5） ＝3＋6x0Δx＋3（Δx）2＋5－3－5 ＝6x0Δx＋3（Δx）2. 函数f（x）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 ＝6x0＋3Δx. 规律方法 求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的改变量Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）； 第三步，求平均变化率＝. 已知函数f（x）＝x＋，分别计算f（x）在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快. 解：自变量x从1变到2时，函数f（x）的平均变化率为＝＝； 自变量x从3变到5时，函数f（x）的平均变化率为＝＝. 因为＜，所以函数f（x）＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快. 1.某物体的运动方程为s（t）＝1－t2，则该物体在[1，2]内的平均速度为（　　） A.2　　 　B.3　　 　C.－2　　 　D.－3 解析：D　＝＝－3. 2.函数y＝f（x）＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 解析：D　根据题意，函数f（x）＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为＝＝m＋1，则m＋1＝3，解得m＝2. 3.（2026·常州月考）如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间[0，2]上的平均变化率为　　. 解析：由折线图可知当x＝0时y＝1.5，当x＝2时，y＝3，所以在[0，2]上的平均变化率为＝. 1.已知函数f（x）＝x2＋1，则当x由2变到2.1时，函数值的改变量为（　　） A.0.40　　 B.0.41　　 C.0.43　　 D.0.44 解析：B　Δy＝f（2.1）－f（2）＝2.12＋1－（22＋1）＝4.41－4＝0.41，故选B. 2.如图，函数y＝f（x）在[1，3]上的平均变化率为（　　） A.1 B.－1 C.2 D.－2 解析：B　＝＝＝－1. 3.（2026·苏州月考）函数f（x）＝x2＋2c（c∈R）在区间[1，3]上的平均变化率为（　　） A.2 B.4 C.2c D.4c 解析：B　∵f（x）＝x2＋2c，∴该函数在区间[1，3]上的平均变化率为＝＝＝4. 4.正方体的棱长从1增加到2时，正方体体积的平均膨胀率为（　　） A.8 B.7 C. D.1 解析：B　设正方体的棱长为a，则V＝a3，则正方体的棱长从1增加到2时，正方体体积的平均膨胀率为＝＝7，故选B. 5.对于以下四个函数，在区间[1，1.3]上函数的平均变化率最大的是（　　） A.y＝x B.y＝x2 C.y＝x3 D.y＝ 解析：C　A中，函数y＝x，则Δy＝f（1.3）－f（1）＝0.3；B中，函数y＝x2，则Δy＝f（1.3）－f（1）＝0.69；C中，函数y＝x3，则Δy＝f（1.3）－f（1）＝1.197；D中，函数y＝，则Δy＝f（1.3）－f（1）≈－0.23.所以平均变化率最大的是C. 6.函数f（x）＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝　5　，f（x）在[t，6]上的平均变化率为　10　. 解析：因为函数f（x）＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，所以＝＝2，即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2（舍去）.所以f（x）在[t，6]上的平均变化率为＝＝＝10. 7.（2026·南通月考）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为　＜＜　（用“＜”连接）. 解析：由平均变化率的几何意义知：＝kOA，＝kAB，＝kBC，由图象知：kOA＜kAB＜kBC，即＜＜. 8.某人服药后，吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度c（单位：mg/mL）来表示，它是关于时间t（单位：min）的函数，表示为c＝c（t），下表给出了c（t）的一些函数值： t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c（t） 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 则此人服药后30 min到70 min血液中药物的质量浓度的平均变化率为　－0.002　 mg/（mL·min）. 解析：易得此人服药后30 min到70 min血液中药物的质量浓度的平均变化率为＝＝－0.002（mg/（mL·min））. 9.已知正弦函数y＝sin x在区间和上的平均变化率分别为k1，k2，则k1，k2的大小关系为　k1＞k2　. 解析：函数y＝sin x在上的平均变化率为k1＝＝＝.函数y＝sin x在上的平均变化率k2＝＝＝，∵＞，∴k1＞k2. 10.为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m/s到0 m/s花了5 s，乙车从18 m/s到0 m/s花了4 s，试判断哪辆车的刹车性能好？ 解：甲车速度的平均变化率为＝－5（m/s2）.乙车速度的平均变化率为＝－4.5（m/s2），平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好. 11.（2026·扬州月考）A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1（t），W2（t）与时间t（天）的关系如图所示，则一定有（　　） A.两机关节能效果一样好 B.A机关比B机关节能效果好 C.A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大 D.A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大 解析：B　由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，在[0，t0]上A机关用电量的平均变化率小于B机关用电量的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好. 12.如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法中正确的是　③　.（填序号） ①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度. 解析：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为v＝，故①②错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2－s0＞s1－s0，t1－t0＞0，所以＞，故③正确，④错误. 13.圆柱形容器，其底面直径为2 m，高度为1 m，盛满液体后以0.01 m3/s的速率放出，则液面高度的平均变化率为　－　m/s. 解析：设放出液体t秒后的液面高度为y m，则π·12·y＝π·12×1－0.01t，∴y＝1－t，则液面高度的平均变化率为＝＝－（m/s），故液面高度的平均变化率为－ m/s. 14.某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s（t）＝sin t，t∈［0，］. （1）分别求s（t）在区间［0，］和［，］上的平均速度； （2）比较（1）中两个平均速度的大小，说明其几何意义. 解：（1）物体在区间［0，］上的平均速度为＝＝＝. 物体在区间［，］上的平均速度为＝＝＝. （2）由（1）可知－＝＞0，所以＜.作出函数s（t）＝sin t在［0，］上的图象，如图所示，可以发现，s（t）＝sin t在［0，］上随着t的增大，函数值s（t）变化的越来越慢. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $