第13章 勾股定理全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第13章勾股定理全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1用勾股定理解三角形 题型2以弦图为背景的计算 题型3判断三边能否构成直角三角形 题型4利用勾股定理逆定理求解 题型5勾股定理与无理数 题型6勾股数问题 目核心提升重难题型归纳 题型1勾股定理与网格问题 题型2勾股定理与折叠问题 题型3勾股定理的证明方法 题型4勾股定理逆定理的实际应用 题型5勾股定理的应用 目题型专练高频重难特训 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1用勾殷定理解三角形 1.A 2.D 3.V13 4.15 5.D ◆题型2以弦图为背景的计算 6.D 1/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.D 8.A 9.e,2b:a-b (2)证明：由题意，第一种方法： S梯形ACED=S△ABC+S△ABD+S△BED 2 b号c 第二种方法： SA号aAC+DECB+BE --a+bla+bl iabp, .a2+2ab+b2=2ab+c2, a2+b2=c: (3)393 10.()证明：：大的正方形的面积可以表示为a+b,大的正方形的面积又可以表示为c2+4x号b, .c+4xab=la+bl, ∴c2+2ab=a2+b2+2ab, a2+b2=c2. (2)28 (3)24 ◆题型3判断三边能否构成直角三角形 11.D 12.C 13.C 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.D 15.C ◆题型4利用勾股定理逆定理求解 16.(1)15 (2)解：∠ACD是直角，理由如下. 由(1)得AC=15,已知CD=8,AD=17. AC2+CD2=152+82=225+64=289, AD2=17=289 ..AC2+CD2=AD2, 根据勾股定理的逆定理，△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°， (3)114 17.这块地的面积为36m2 18.10 19.△ABD区域的面积为150m2, 20.(1)∠ABC=90° 169 (②这架无人机向下飞行的距离AD的长为2米 ◆题型5勾股定理与无理数 21.V2 22.D 23.-9V13+1 24.B 25.B ◆题型6勾股数问题 26.B 27.12,35,37 28.A 29.D 30.B 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1勾股定理与网格问题 △ABC B C 31.(1)如图1， 即为所求： 图1 (答案不唯一) A △ABC 7-2 B (2)如图2， 即为所求： 图2 (答案不唯一)； D ABCD B a=5 C (3)如图3，大正方形 即为所求： 图3 (答案不唯一)： 32.(1) B D (2) (3)71 33.解：根据题意，图中黑色虚线段的长度为有理数，黑色实线段的长度为无理数 4/11 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 34.(1)三角形的任意两边之和大于第三边 (2)D 3)V17-V2<V13:理由如下： 如图， 图2 在△DEF中，DF-EF<DE(三角形任意两边之差小于第三边)， 由勾股定理得：DE=2+32=V13,EF=12+1=V2,DF=V12+42=V17, .V17-V2<V13: (4)如图3，点E即为表示714的点： D -5-4-3-2-10 图3 作图方法如下： 设0为O点，2为A点，3为C点， ①过A作数轴的垂线，以A为圆心，1为半径画圆，与该垂线交于B点，连接OB,由勾股定理得： 0B=V12+22=V5: ②过C作数轴的垂线，以C为圆心，OB=V5为半径画圆，与该垂线交于D点，连接OD,由勾股定理得： 0D=32+5=V14: ③以0为圆心，OD=14为半径画圆，与数轴正半轴交于E点，则E点对应的数即为V14 5111 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABC P 5+V17 7-2 35.(1)①如图， 即为所求：②如图，点即为所求： ;③： D B (2) ◆题型2勾股定理与折叠问题 36.5V5 37.D 3 38.am 4 39. 53或5，-12 V10 40. 2 ◆题型3勾股定理的证明方法 41.解：5ea+bla+h-号++b,Ss方b+岁b+c 1 2 2 2 a2+b2=c2, 联系：这一方法和课堂上的探索方法思路一样，都是构造一个图形，利用两种方法计算该图形的面积，从 而得到一个关于三条边a,b,c之间的等式. 42.90°，2 1 (2w cn+号，Sta:-号b-之b+分，E明如下： 1 2 2 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、1 1.21 2 :S月边形ACBE左b -. ab 2 1 2 2 ∴.a2+b2=c2. 43.()解：，'AB=DE=a,AC=AE=b,BE=AB-AE=a-b,BC=AD=c,BC1AD, AC+DE AE ∴.S梯形ACDE2 (b+ab 2 =b+号b 2 S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD =CB·AF+CBDF 2 =CB·AD 56a-号DE:BE 号a-b :S四边形ABDC=S梯形ACDE+S△BDE, :c6+b+血， 2 2 2 2 .a2+b2=c2: x 4 44.(1)证明：直角三角形的两直角边长分别为4，b, 1 六一个直角三角形的面积为：2b, 7111 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 大正方形的面积为：4xab+c号 大正方形的面积也可以表示为：a+b2 .4x-ab+c2=la+bP, .2ab+c2=a2+2ab+b2, a2+b2=c2. (2)AP=16km (3)20 45.解：选图1 :S大正方形二4S直角三角形+S小正方形， ∴c2=4*2b+b-a, ∴.c2=2ab+b2-2ab+a2, c2=b2+a2: 或选图2 :S大正方形=4S直角三角形+S小正方形， (a+b)-4xb+c ∴.a2+2ab+b2=2ab+c2, a2+b2=c2: 或选图3 ,S直角梯形=2S直角三角形+S等腰直角三角形， b*a-23b*号 ∴.(b+a)2=2ab+c2, .'.a2+2ab+b2=2ab+c2, a2+b2=c2. ◆题型4勾股定理逆定理的实际应用 46.(1)90° (2)小狗跑8秒时与小明的距离最近 47.每生产一个这种零件需要投入720元 8/11 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 48.(1)学校C受噪声影响，理由如下： 过点C作CD⊥AB,垂足为D, A D B 已知AC=150m,BC=200m,AB=250m, .AC2+BC2=AB2, ∴.△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， 由三角形面积公式：S△ABC= -z.AC.BC-z.AB-CD. ∴.AC·BC=AB·CD, 代入数值：150×200-250.CD, 解得：CD=250x200-1201m. 250 120<13C, 即点C到公路AB的距离小于噪声影响范围130m, .拖拉机由A向B移动过程中，学校C受噪声影响. (2)拖拉机噪声影响学校持续的时间为2分钟， 49.该车符合安全标准. 50.(1)50m (2)解：∠DAB+∠BCD=180°.理由如下： 在△ABC中，，AB2+BC2=40+30=2500,AC2=2500, .'.AB2+BC2=AC2, .∴.∠B=90°. 又.'∠B+∠D+∠DAB+∠BCD=360°，∠ADC=90°， 90D9B+∠BCD=360°， ∴.∠DAB+∠BCD=180° ◆题型5勾股定理的应用 51,(1)勾股定理；如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a2十b2=c2 (2)4.55尺 52. 9111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15 53.(1)观测点A会受到台风的影响，理由如下： 如图，作AD⊥BC于点D, 北 >A.AB⊥AC D ∴.∠BAC=90°： .'AB=400 km,AC=300 km, .'BC=VAB2+A C2=500 km 由等面积可如，左BCAD-号ABAC, AD=ABAC=240 km<250km, BC ·观测点A会受到台风的影响： 7 (②观测点A受台风影响的时间为h 54.11≤1≤12 55.能听到，总共能听到6.4分钟的广播 56.(1)18 (2)5cm≤h≤9cm 题型专练 高频重难特训 1.B 2.B 3.D 4.D 5.D 6.B 7.B 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.25 9.5 n4号 73 11. 32 12.(1)锐角 (2)x2的值为1681或1519 13.(1)证明： a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2. 由勾股定理的逆定理可知，以a、b、c为三边的三角形是直角三角形，且c边所对的角是直角. (2)周长：30：面积：30 14.(1)625 (2)225 15.(1)y.... (2)1 11/11函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第13章勾股定理全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1用勾股定理解三角形 题型2以弦图为背景的计算 题型3判断三边能否构成直角三角形 题型4利用勾股定理逆定理求解 题型5勾股定理与无理数 题型6勾股数问题 目核心提升重难题型归纳 题型1勾股定理与网格问题 题型2勾股定理与折叠问题 题型3勾股定理的证明方法 题型4勾股定理逆定理的实际应用 题型5勾股定理的应用 目题型专练高频重难特训 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1用勾殷定理解三角形 1.根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是() A.∠A=90°，AB=4,BC=5 B.∠A=50°，AB=4,BC=3 C.AB=5,BC=13,AC=6 D.∠C=90°，AB=8,BC=10 2.已知一个直角三角形的两条直角边之和为14，斜边长为10，则它的面积为() A.20 B.48 C.30 D.24 3.已知x-2+y-3=0,则以x、y为两条直角边的直角三角形的斜边长为 1/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.大庆市某中学的旗杆在正午的影子长12m,旗杆高9m,则旗杆顶端与影子末端的距离是 m. 5.大庆市一处工地搭设的三角支架由两根等长的斜杆和一根底杆组成，斜杆长13m,底杆长10m,在底 杆中点处立一根竖杆，竖杆长hm,则h的值是() 13m 13m B D 10m A.5m B.6.5m c.13m D.12m ◆题型2以弦图为背景的计算 6.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案（如图），它是2002年 北京国际数学家大会会微的基础图案.若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则每个直角三角形 的两直角边之和为() A.8 B.7 C.6 D.5 7.下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三 角形的两条直角边长分别为m,nm>n.若小正方形面积为7，m+n2=31,则大正方形的边长为 A.14 B.19 C.14 D.V19 8.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦 图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形较长的直角 边长是8，大正方形的面积是100，则小正方形的面积是() 2/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.6 C.9 D.16 9.数学活动课上，学习小组开展实践活动 【探究发现】三国时期的赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，四边形ABED和四边形 CFGH都是正方形，巧妙地用面积法验证了勾股定理. 图1 图2 图3 (1)已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c.求证：a+b2=c2 证明：由图可知S正方形ABED=4S△ABC+S正方形CFGH. ,S正方形ABED=,S△ABC=一，S正方形CFGH= c2=42b+a-b,化简得a2+b2=c己 (2)【深入思考】如图2，用两个(1)中的直角三角形拼成一个梯形ACED.求证：a+b2=c2. (3)【实际应用】将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，形成如图3所示的 风车.若a=12,b=9,风车外围轮廓（实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积. 10.如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形.己知直角三角形的两 直角边长分别为α，b,斜边长为c.课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了 勾股定理a2+b2=c2. 图1 图2 图3 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程. (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2.若a=4,b=6,求空白部分的面积. 3/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3. 已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3,求该风车状图案的面积。 ◆题型3判断三边能否构成直角三角形 11.已知一个三角形的三边长分别为a、b、C,且a2+b2=c2,则这个三角形是() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 12.下列各组数据为边，不能组成直角三角形的是() A.5,12,13 B.3,4,5 C.1,2,V7 D.2,2,22 13.下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是() A.2,2,22 B.6,8,10 C.5,7,8 D.7,24,25 14.四根木棒的长度（单位：cm)分别为10,25,7,24，现从中选择三根，将它们首尾相接摆成三角形， 其中能摆成直角三角形的是() A.7,10,24 B.7,10,25 C.10,24,25 D.7,24,25 15.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是() A.1、2、3 B.3、5、6 C.5、12、13 D.6、7、8 ◆题型4利用勾股定理逆定理求解 16.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=9,BC=12,CD=8,AD=17, 17 D 12 (1)连接AC,求AC的长； (2)判断∠ACD是否为直角，并说明理由： (3)求四边形ABCD的面积. 17.如图所示的一块地，∠D=90°，AD=3m,CD=4m,BC=12m,AB=13m,求这块地的面积. 4/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B l8.已知△ABC的中线BD将AC分为两段，若AB=6,BC=8,BD=5,则AC的长度为 19.如图，△ABC是王奶奶家的一块菜地，中间用小路AD隔开，分别种植不同的蔬菜，经测量， AB=25m,AC=17m,AD=15m,CD=8m,求△ABD区域的面积.（小路AD的宽度忽略不计） 20.如图，一架无人机悬停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB=24米，点A与地面上点C (点B,C处于同一水平面上)的距离AC=26米，且BC=10米. (1)求∠ABC的度数： (2)现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，连接CD,当点D恰好在边AC的垂直平分线上时，求 这架无人机向下飞行的距离AD的长， ◆题型5勾殷定理与无理数 21.在如图所示的数轴上，先以单位长度为边长画一个正方形，再以实数0对应的点为圆心，正方形的对 角线为半径画弧，弧与数轴相交于A,B两点（点A在点B的右边)，则点A所表示的实数是 B -2 0 22.如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把V2表示在数轴上点A1处，记A1右侧最近的整数点为 B,以点B为圆心，AB1为半径画半圆，交数轴于点A2,记A2右侧最近的整数点为B2,以点B2为圆心， 5/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A2B2为半径画半圆，交数轴于点A3,如此继续，则AgBg的长为() 0 1 A B A2 B2 A3 A.V2-1 B.2 C.2+1 D.2-V2 3如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90,BC-子AC,边AC在数轴上.点A表示的数为1， C表示的数为4，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴负半轴于点B,则点B表示的数是 B A 012345 24.如图，数轴上点O表示数0，点A表示数1.以OA为边长作正方形0ACB,再以O为圆心、OC长为半 径画弧，交数轴正半轴于点P,则点P表示的数是() B C 0A1 A.3 B.2 C.1+V2 2 D.2 25.如图，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点C,则点C表示的数为() B -3-2-1 0 1C23 A.V5+1 B.V5-1 C.-V5+1 D.-95-1 ◆题型6勾股数问题 26.下列各组数中，是勾股数的一组是() A.0.3,0.4,0.5B.5,12,13 c.3,2,5 D.6,7,8 27.如果把a2+b=c看作关于a,b,c的方程，那么满足这个方程的正整数解a,b,c通常叫作勾股数组. 古希腊哲学家柏拉图发现了蕴含某种共性规律的勾股数组：①4,3,5；②6,8,10；③8,15,17；④ 10,24,26;…,分析其中的规律，第⑤个勾股数组为 28.下列各组数为勾股数的是() 6/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.8,15,17 B.1.5,2,2.5 C.0.3,0.4,0.5 D.7,11,13 29.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各 组数据中，是勾股数的是() A.0.3,0.4,0.5B.1,2,3 C.4,5,6 D.3,4,5 30.下列各组数据是勾股数的一组是() A.V8、V15、V17 B.7、24、25 C.0.3、0.4、0.5D.2、 3、5 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1勾股定理与网格问题 31.如图所示，在4×4的正方形网格中的每个小正方形边长都是1.每个小正方形的顶点称为格点， 图1 图2 图3 (1)请在网格图1中以格点为顶点画出一个有两边长为无理数的三角形： (2)请在网格图2中以格点为顶点画出一个三边长分别为5，V10,V13的三角形，并直接写出它的面积 (3)如图是5个边长为1的正方形，把它分割拼成一个边长为α的大正方形，在网格图3中以格点为顶点作 出分割后拼成的大正方形，并直接写出α的值 32.如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，按要求完 成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）. B 图① 图② 图③ (I)在图①中找一点P,使得PC⊥BC: (2)在图②中作BC中点H,然后在△ABC内部找一点P,使得S△ABP=S△BCP=S△ACP: (3)在6×6的方格纸中与△ABC全等的格点三角形（不含△ABC)共有】 个 33.如图，4×4的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接任意两个格点便可得到一条线段.试分别找出 7/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段， 34.在实数学习的过程中，同学们发现利用正方形网格，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题. 例如，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1）如图1，构造△ABC,比较5+1与10的大小， 其理由如下： ,△ABC,点A,B,C都为小正方形的顶点， ∴.AB+BC>AC() AB=V2+12=5,AC=32+12=10,BC=1, .V5+1>V10 图1 图2 (①)上述说明理由的过程中横线上应填写 (2)在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是 A.类比思想B.整体思想 C.分类讨论思想 D.数形结合思想 (3)参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较V17-V2与V13的大小，并说明理由. (④)以上述构图过程为思路，在下面的数轴上找出表示14的点， -5-4-3-2-1012345 35.按要求作图 图1 图2 8/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C均在小正方形的顶点上. ①在图中画出与△ABC关于直线1成轴对称的△ABC: ②在直线1上画出一点P,使得△APC的周长最小，最小周长为_： ③△ABC的面积为： (2)如图2，在网格中画出一个面积为10的正方形. ◆题型2勾股定理与折叠问题 36.已知，四边形ABCD为长方形，AB=8,BC=10,点E由点D向DA运动，点F由点D向DC运动. 将△CBF沿BF折叠，点C恰好落在点E处时，求此时BF的长 4 D B 图1 37.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点D在AC上，点E在AB上，将△ADE沿直线 DE翻折，点A的对称点A落在BC上，若CD=1,则AB的长是(). D A.2 B.V2+2 c.V2-2 D.4-2V2 38.如图，折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知AB=4cm,BC=5cm,求EC的长. 39.长方形OBCD的OB边在x轴上，OD边在y轴上，OB=5,OD=3,点E是直线BC上的一个动点，若 将△CDE沿DE折叠后，点C的对应点F落在了x轴上，则点E的坐标为一， 9/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C FB 40.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,点D是BC上一点，连接AD,将△ACD沿着 AD折叠，使点C落在AB上的点E处，过点B作BF⊥AD,交AD的延长线于点F,则BF的长为 E ◆题型3勾股定理的证明方法 41. 请用如图所示的图形验证勾股定理，并说一说这一方法与课堂上的方法之间的联系， a b 42.勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给 出了如下拼图：两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF,项点D在BC边上，顶点B、F重合，连 接AD、AE.设AB、DE交于点G,若∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=a,AC=DF=b(a>b), AB=DE=C.请你回答以下问题： E D B(F) (①)填空：∠AGE=,S四边形ADBE=C2: (2)请用两种方法计算四边形ACBE的面积，并以此为基础证明勾股定理. 10/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 43.综合与实践.如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思 路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于℃2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之 和，即吃山x4+b-a,从而得到等式c-号bx44b-a,化简便得结论子+b2=c.这里用两种求法 来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”· h a-b A b C D 图① 图② 图③ 图④ 【知识迁移】 (1)把两个全等的△ABC和△DEA如图②放置，其三边长分别为a,b,c,∠BAC=∠DEA=90°，显然 BC⊥AD,用a,b,c分别表示出四边形ABDC、梯形AEDC、△BDE的面积，再探究这三个图形面积 之间的关系，验证勾股定理a2+b=c2: 【方法运用】 (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得 △ABC,则AB边上的高为一： 【拓展延伸】 (3)如图④，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4,AC=5,BC=6,设BD=x,请直接写出x的值. 44.综合与实践 在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略. a b D B 图1 图2 备用图 (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角 三角形的两直角边长分别为α，b,斜边长为c,观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积 即可完成勾股定理的证明.请你结合图形尝试证明：a2+b=c2; (②)【结论运用】如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两 个点)，AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为A、B,AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一个 供应站P,使得PC=PD,求出AP的距离 11/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)【应用拓展】借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式x+9+16-xP+81的最小值 0<x<16 45.综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具，中国是 最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史，勾股定理目前约有五百多种证明方法，是 数学定理中证明方法较多的定理之一， b b 5 b 图1 图2 图3 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程， ◆题型4勾股定理逆定理的实际应用 46.中秋假日，小明带着自己的小狗来到湿地公园玩要.公园内有一块四边形草坪ABCD,草坪内有一条 小路AC.经测量，∠D=90°，AD=7m,DC=24m,AB=20m,CB=15m. (1)求草坪拐角∠ABC的度数. (2)小明来到草坪站在点B处，小狗从点A开始以2m/s的速度沿A一C的方向奔跑，跑到C点时停止奔跑， 则小狗跑多少秒时与小明的距离最近？ 47.如图，某精密仪器的零件的平面图呈“飞镖”状，其中∠B=90°，若AB=3cm,BC=4cm, CD=12cm,AD=13cm,若制作该零件的成本为30元/cm2,则每生产一个这种零件需要投入多少元？ D B 48.拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响.如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶， 己知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为150m和200m,又AB=250m,拖拉 机周围130m以内为受噪声影响区域， 12/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)拖拉机由A向B移动过程中，学校C受噪声影响吗？为什么？ (2)若拖拉机的速度为50米/分，则拖拉机噪声影响学校持续的时间有多久？ 49.图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图.根据安全标准需满足BC⊥CD,现测得AB=8dm, CD=12dm,BC=9dm,AD=17dm,其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即 ∠ABD=90°)，判断该车是否符合安全标准并说明理由. 图1 图2 50.近日，经国务院批复同意，文化和旅游部印发《旅游强国建设“十五五”规划》，郑州入选旅游枢纽 城市，洛阳、开封入选重点旅游城市，开封万岁山武侠城热度不断，如图为景区附近新开发的一个停车场 已知AB=40m,BC=30m,AD=48m,CD=14m,∠ADC=90°. (1)在停车场ABCD中开辟一条通道AC,求AC的长： (2)猜想∠DAB与∠BCD的数量关系，并说明理由. ◆题型5勾股定理的应用 51.《九章算术》中记载了“折竹求高”问题：“今有竹高一丈，末折着地，去本三尺，问折者高几 何？”意思是：一根竹子原高一丈(1丈=10尺)，竹梢被折断后，顶端恰好落在地面上，落地点与竹根的 距离为三尺. (1)这个问题可以运用哪一定理来解决？请写出这一定理的内容： (2)求竹子折断处到地面的高度. 52.如图，长方体的长，宽，高分别为6,6,12，点D是棱BC的中点，在长方体下底面的顶点A处有一 13/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 只蚂蚁，它想吃到上底面点D处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程为 B 12 6 53.2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到 达深圳附近时，风力减小为七级.已知七级风圈半径约250km(即以台风中心为圆心，250k为半径的 圆形区域都会受到台风影响)，如图，线段BC表示台风中心在深圳附近从C地向西北方向移动到B地的路 径，A是深圳市某观测点，且AB⊥AC.已知A、C之间相距300km,A、B之间相距400km, (1)判断观测点A是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由， (2)若台风中心的移动速度为40km/h,则观测点A受台风影响的时间有多长？ 54.如图，将一根长24cm的筷子，'置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中.设筷子露在杯子 外面的长度为lcm,求l的取值范围. 55.为了积极宣传防疫，区政府采用了移动车进行广播宣传，如图，小明家在笔直的道路MN的一侧A处， 小明家到道路MN的距离AB为600米，假使广播车P周围1000米内能听到广播.广播车以250米/分的速 度在道路MN行驶时，小明在家能否听到广播？若能，请求出他总共能听到多长时间？若不能，请说明理 由. 14/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B 56.寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶，现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径 为12cm,高为l6cm.老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部. 图① 图② (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口2cm才合适.请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少 需要_cm; (2)如图②，老师新买的一根长为25cm的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为hcm,你能求出h的取值 范围吗？ 题型专练 高频重难特训 一、单选题 1.如图，某款自动感应水龙头的水管AB竖直安装，B端在洗手台台面上，点C在AB上且到台面的距离为 24cm.出水口D通过横管CD与水管相连，CD⊥AB.红外感应装置安装在AB上的点E处，且点E位于 点C与台面之间.已知CD=16cm,DE=20cm,则红外感应装置到洗手台台面的距离BE为() B 洗手台面 A.8cm B.12cm C.16cm D.20cm 2.△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 () A.∠A+∠B=∠C B.a:b:c=1:1:2 C.(b+c)(b-c)=a2 D.a=1,b=2,c=3 3.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量 15/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=3米，则树高为() A.V5米 B.10米 C.4米 D.只V10+1米 4.在直角三角形中，两条直角边的长分别为6和8，则斜边上的高为() A.10 B.2.4 C.5 D.4.8 5.如图，数轴上点O表示的数为-1，Rt△AOB的直角边OB落在数轴上，且OB长为3个单位长度，AB 长为1个单位长度，若以点O为圆心，以斜边OA长为半径画弧交数轴于点D,则点D表示的数为() A 543-2012 A.-10 B.10-1 c.1-10 D.-V10-1 6.如图是一个无盖的长方体形盒子，长AB为9cm,宽BC为3cm,高CD为5cm,点M在棱AB上，并且 AM=3cm.一只蚂蚁在盒子外部，想从盒底的点M爬到盒顶的点D,则蚂蚁要爬行的最短路程是() cm B A.8 B.10 C.13 D.V106 7.已知，如图，AD平分∠BAC,E是BC的中点，DE L BC,DM⊥AB,DN⊥AC,若AB=10, AC=6,则CN的长为() N M B D A.1 B.2 C.4 D.3 二、填空题 8.如图，两个较小正方形的面积分别为9,16，则字母A所代表的正方形的面积为 16/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 16 9 9.如图，长方体的底面边长分别为1cm和2cm,高为4cm,点P在边BC上，且BP=BC,如果用一根 4 细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P,那么所用细线最短需要 cm. 4cm 2cm 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，将△BDC沿CD折叠，点B的对应点E恰 好落在AC边上.已知BC=6,AE=2,则DE的长为一 D 11.如图，长方形ABCD中，AD=3,CD=4,点M,N分别在边AB,CD上，沿着MN折叠长方形 ABCD,使点B,C分别落在G,F处， G B...M B(M) C N 图1 图2 (1)如图1，当F落在线段AD的中点位置时，则CN=: (2)如图2，若点M与点B重合，连接DF,当线段DF+BF的值最小时，CN的长度为一· 三、解答题 l2.阅读下列内容：设a,b,c分别是一个三角形的三边长，且a是最长边长，我们可以利用三条边长度的 平方之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2=b2+c2,则该三角形是直角三角形：②若a>b2+c2, 则该三角形是钝角三角形：③若a<b+c2,则该三角形是锐角三角形.例如，一个三角形的三边长分别 17/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是4,5,6，则最长边是6.因为62=36<4+52，所以由③可知该三角形是锐角三角形.请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是6,7,8，则该三角形的形状是 三角形： (2)若一个三角形的三边长分别是9,40，x且这个三角形是直角三角形，求x的值 l3.如果一个三角形三条边的长分别为a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m,n为整数，且m>n>0), 那么人们把这样的三个数称为一组“勾股数通式”· (1)请说明以a、b、c为三边的三角形一定是直角三角形： (2)当m=3,n=2时，求这个三角形的周长和面积 14.求图中字母所代表的正方形的面积. 225 (1) 400 64 B 289 (2) 15.如图，在8×8的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上. (I)仅用无刻度的直尺，画出一个与△ABC全等的△ABP(不包含△ABC); (2)在直线AB上找一点P,使PC+PD最小. 18/18 第13章 勾股定理全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 用勾股定理解三角形 题型2 以弦图为背景的计算 题型3 判断三边能否构成直角三角形 题型4 利用勾股定理逆定理求解 题型5 勾股定理与无理数 题型6 勾股数问题 核心提升·重难题型归纳 题型1 勾股定理与网格问题 题型2 勾股定理与折叠问题 题型3 勾股定理的证明方法 题型4 勾股定理逆定理的实际应用 题型5 勾股定理的应用 题型专练·高频重难特训 ◆题型1 用勾股定理解三角形 1．根据下列已知条件，能唯一画出的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】先根据三角形三边关系、直角三角形斜边最长的性质排除不能构成三角形的选项，再判断剩余选项的三角形是否唯一． 【详解】解：A、若，，，如下图， ∵， ∴为斜边，，符合直角三角形三边关系， 由勾股定理得， 三边长度确定，三角形形状大小唯一，故能唯一画出，本选项符合题意； B、若，，， ∵不是与的夹角，为两边及其中一边的对角， ∴不能唯一确定三角形，本选项不符合题意； C、若，，， ∵，不满足三角形三边关系， ∴不能构成三角形，本选项不符合题意； D、 若，，， ∵， ∴为斜边，，与斜边最长矛盾， ∴不能构成三角形，本选项不符合题意． 2．已知一个直角三角形的两条直角边之和为14，斜边长为10，则它的面积为（     ） A．20 B．48 C．30 D．24 【答案】D 【分析】设两直角边长为a、b，斜边长为c，根据勾股定理得到，根据完全平方公式求出的值，再由三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设两直角边长为a、b，斜边长为c， 则，， 由勾股定理有， ∴， ∴， ∴该直角三角形的面积为． 3．已知，则以x、y为两条直角边的直角三角形的斜边长为________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出x，y的取值，再结合勾股定理计算斜边长． 【详解】解：∵ 绝对值和算术平方根的运算结果均为非负数，且满足. ∴ ，. ∴ ，. ∵ 题目明确x、y为该直角三角形的两条直角边， ∴ 根据勾股定理，斜边长为． 4．大庆市某中学的旗杆在正午的影子长，旗杆高，则旗杆顶端与影子末端的距离是_______． 【答案】15 【详解】解：旗杆、影子与地面构成直角三角形， ∴顶端到影子末端． 5．大庆市一处工地搭设的三角支架由两根等长的斜杆和一根底杆组成，斜杆长，底杆长，在底杆中点处立一根竖杆，竖杆长 ，则 h 的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用等腰三角形三线合一得到直角三角形，再用勾股定理计算高． 【详解】解：是中点，， ，， 在中，，， 由勾股定理得： ． ◆题型2 以弦图为背景的计算 6．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案（如图），它是2002年北京国际数学家大会会徽的基础图案．若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边之和为（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】根据题意，结合图形求出与的值，利用完全平方公式化简得到，再代入计算求出的值即可． 【详解】解：设直角三角形较长直角边长为a， 较短直角边长为b， 根据题意得，，， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， 即每个直角三角形的两直角边之和为5． 7．下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】小正方形的边长为，根据正方形的面积公式可得，结合已知条件求出的值，由勾股定理即可得到答案． 【详解】解：由题意得，小正方形的边长为， ∵小正方形面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得大正方形的边长的平方为19，即大正方形的边长为． 8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形较长的直角边长是8，大正方形的面积是100，则小正方形的面积是（     ） A．4 B．6 C．9 D．16 【答案】A 【分析】设直角三角形的斜边长为c，较短的直角边长为b，较长的直角边长为a，根据题意，得，，小正方形的边长为，计算的值即可． 【详解】解：设直角三角形的斜边长为c，较短的直角边长为b，较长的直角边长为a， 根据题意，得，，，小正方形的边长为， ∴， 解得或负值舍去； 故，即小正方形的面积是4． 9．数学活动课上，学习小组开展实践活动 【探究发现】三国时期的赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法验证了勾股定理． (1)已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图可知． ______，______，______， ，化简得． (2)【深入思考】如图2，用两个（1）中的直角三角形拼成一个梯形．求证：． (3)【实际应用】将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，形成如图3所示的风车．若，，风车外围轮廓（实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)；； (2)证明：由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (3) 【分析】（1）依据题意得，，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得，又设 ，故，又在中,由列式计算得解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意,如图, ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为, ， 设则， 在中, ， ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 10．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． ◆题型3 判断三边能否构成直角三角形 11．已知一个三角形的三边长分别为、、，且，则这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：由可知这个三角形是直角三角形． 12．下列各组数据为边，不能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】比较各选项中两较短边的平方和与最长边的平方，判断是否相等． 【详解】解：选项A，，能构成直角三角形，不符合题意； 选项B，，能构成直角三角形，不符合题意； 选项C，最长边为，，，，不能构成直角三角形，符合题意； 选项D，最长边为，，，能构成直角三角形，不符合题意． 13．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A：，，能作为直角三角形三边长度． B：，，能作为直角三角形三边长度． C：，，不能作为直角三角形三边长度． D：，，能作为直角三角形三边长度． 14．四根木棒的长度（单位：）分别为10，25，7，24，现从中选择三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（     ） A．7，10，24 B．7，10，25 C．10，24，25 D．7，24，25 【答案】D 【分析】先根据三角形三边关系筛选出能构成三角形的组合，再利用勾股定理的逆定理，判断两条短边的平方和是否等于最长边的平方，以此确定直角三角形即可求解． 【详解】解：A．，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B．，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故本选项不符合题意； C．，，，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D．，，，根据勾股定理的逆定理，该组线段可以构成直角三角形，故本选项符合题意； 15．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（     ） A．1、2、3 B．3、5、6 C．5、12、13 D．6、7、8 【答案】C 【分析】先确定各选项中最长线段，验证两条较短线段的平方和是否等于最长线段的平方即可． 【详解】解：A、∵，不能组成三角形，∴不能组成直角三角形； B、∵，，，∴不能组成直角三角形； C、∵，，∴，故能组成直角三角形； D、∵，，，∴不能组成直角三角形． ◆题型4 利用勾股定理逆定理求解 16．如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，求的长； (2)判断是否为直角，并说明理由； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)15 (2)解：是直角，理由如下． 由（1）得，已知，． ， ． ， 根据勾股定理的逆定理，为直角三角形，且． (3)114 【分析】（1）在中，已知两条直角边，直接利用勾股定理求出斜边长度． （2）算出之后，在中，计算三边的平方，验证是否满足勾股定理的逆定理，以此判断是不是直角． （3）四边形的面积拆成与两个三角形面积之和，分别算出两个三角形面积再相加． 【详解】（1）解：，，， 在中，由勾股定理得： ， ． （2）略 （3）解：， ， ． 17．如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积． 【答案】这块地的面积为． 【分析】连接，将这块地分割为和，先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，最后求出和的面积之和，即为这块地的面积． 【详解】解：如图，连接，将这块地分割为和． ， 是直角三角形， 由勾股定理，， ． 在中，，，， ， 是直角三角形． ． 答：这块地的面积为． 18．已知的中线将分为两段，若，，，则的长度为________． 【答案】10 【分析】延长到点E，使，连接，证明，利用全等的性质得到对应边的长度和关系，根据勾股定理的逆定理和勾股定理求解． 【详解】解：延长到点E，使，连接， ， ， ∵是的中线， ， ∵在和中， ， ， ∴，， ， ， ∴， ， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴． 19．如图，是王奶奶家的一块菜地，中间用小路隔开，分别种植不同的蔬菜，经测量，，，，．求区域的面积．（小路的宽度忽略不计） 【答案】区域的面积为． 【分析】先判定是直角三角形，根据勾股定理求出的长，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴． 20．如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当点恰好在边的垂直平分线上时，求这架无人机向下飞行的距离的长． 【答案】(1) (2)这架无人机向下飞行的距离的长为米 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，在中，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是直角三角形，． （2）解：设米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米，米，                         在中，， ，                                 解得， 答：这架无人机向下飞行的距离的长为米． ◆题型5 勾股定理与无理数 21．在如图所示的数轴上，先以单位长度为边长画一个正方形，再以实数对应的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，弧与数轴相交于，两点（点在点的右边），则点所表示的实数是______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出圆的半径，再根据数轴解答即可． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的对角线长为， 即圆的半径为， 又∵点在原点右侧， ∴点所表示的实数是． 22．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，分别确定，，，；，进一步归纳即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵记右侧最近的整数点为， ∴点表示的数为2， ∴， 则表示的数为， ∵， ∴， ∴， 表示的数为， ， 则表示的数为， ∵， ∴， 表示的数为， 则 同理可得； ， 综上：当为正奇数时，， ∴. 23．如图，在直角三角形中，，，边在数轴上．点A表示的数为1，点C表示的数为4，以点A为圆心，为半径画弧交数轴负半轴于点，则点表示的数是__________． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出的长，根据，求出即可解答． 【详解】解： 根据题意可知，， ， 在直角三角形中，， 根据勾股定理可得， ， ， ， 点在数轴负半轴， 点表示的数是， 即． 24．如图，数轴上点表示数，点表示数．以为边长作正方形，再以为圆心、长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出的长，根据半径相等得出的长，结合点的位置即可求解． 【详解】解：∵点表示数，点表示数， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∵以为圆心、长为半径画弧交数轴正半轴于点， ∴， ∴点表示的数是． 25．如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出的长，再根据圆的半径相等得出的长，最后根据点的坐标及点的位置求出点表示的数． 【详解】解：由图可知，直角三角形的两直角边长分别为和， ， 以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点 ， 点表示的数为，且点在点的右侧， 点表示的数为． ◆题型6 勾股数问题 26．下列各组数中，是勾股数的一组是（     ） A．0.3，0.4，0.5 B．5，12，13 C．，2， D．6，7，8 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、C选项中的数不全是正整数，不是勾股数，故A、C选项不符合题意； ∵，是勾股数，故B选项符合题意； ∵，不是勾股数，故D选项不符合题意． 27．如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组．古希腊哲学家柏拉图发现了蕴含某种共性规律的勾股数组：①，，；②，，；③，，；④，，；…，分析其中的规律，第⑤个勾股数组为________． 【答案】，， 【分析】先观察已知四组勾股数组，分别归纳三个数的变化规律，再根据规律计算得到第⑤个勾股数组． 【详解】解：观察已知勾股数组第一个数的规律： 第①组第一个数： 第②组第一个数： 第③组第一个数： 第④组第一个数： 可得第组勾股数组的第一个数为，因此第⑤组第一个数为； 观察第二个数和第三个数的规律，可得：第二个数为，第三个数为， 验证规律： 第①组：，，符合； 第②组：，，符合； 第③组：，，符合； 第④组：，，符合； 将第⑤组第一个数代入得： 第二个数： 第三个数： 故答案为 ． 28．下列各组数为勾股数的是（     ） A．8，15，17 B．1.5，2，2.5 C．0.3，0.4，0.5 D．7，11，13 【答案】A 【详解】解：勾股数定义为：三个正整数，，（为最大数），满足． 选项A，，，均为正整数，且，，∴，因此，，是勾股数； 选项B，，，不是正整数，不是勾股数； 选项C，，，不是正整数，不是勾股数； 选项D，，，均为正整数，但，，，因此，，不是勾股数． 29．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数据中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：A、，，都为小数，不是正整数，不是勾股数； B、不是正整数，不是勾股数； C、，，，不是勾股数； D、，且3，4，5均为正整数，是勾股数． 30．下列各组数据是勾股数的一组是（     ） A． B．7、24、25 C．0.3、0.4、0.5 D．2、3、5 【答案】B 【分析】勾股数的定义：勾股数是能构成直角三角形三边的一组正整数；需同时满足三个数均为正整数、两个较小数的平方和等于最大数的平方两个条件，据此逐一判断即可． 【详解】解：选项A中的、、都不是正整数，选项C中的0.3、0.4、0.5都不是正整数， ∴A、C都不是勾股数，不符合题意； 选项B：，且7、24、25都是正整数， ∴ 7、24、25是勾股数，符合题意； 选项D：，，， ∴ D不是勾股数，不符合题意． ◆题型1 勾股定理与网格问题 31．如图所示，在的正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小正方形的顶点称为格点， (1)请在网格图1中以格点为顶点画出一个有两边长为无理数的三角形； (2)请在网格图2中以格点为顶点画出一个三边长分别为，，的三角形，并直接写出它的面积________． (3)如图是5个边长为1的正方形，把它分割拼成一个边长为a的大正方形，在网格图3中以格点为顶点作出分割后拼成的大正方形，并直接写出a的值________． 【答案】(1)如图1，即为所求：（答案不唯一） (2)如图2，即为所求：（答案不唯一）； (3)如图3，大正方形即为所求： （答案不唯一）； 【分析】（1）结合网格与勾股定理作图即可； （2）根据，，，结合网格作图即可；其面积等于一个大正方形的面积减去三个小直角三角形的面积，据此计算即可； （3）先根据面积关系可得，则可得的值，再结合网格与勾股定理作图即可． 【详解】（1）略． （2）解：在网格图2中以格点为顶点画出一个三边长分别为，，的三角形：略． 它的面积为． （3）解：由题意得：， 由平方根的性质得：或（不符合题意，舍去）， 在网格图3中以格点为顶点作出分割后拼成的大正方形：略． 32．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． (1)在图①中找一点P，使得； (2)在图②中作中点H，然后在内部找一点P，使得； (3)在的方格纸中与全等的格点三角形（不含）共有________个． 【答案】(1) (2) (3)71 【分析】（1）取格点，连接，点的位置即为所求，理由为在网格中可利用边边边证明，即有，结合网格的特点可知即可； （2）取格点和，连接与的交点即为点，利用矩形的性质即可知为的中点，再取格点，连接与的交点即为点，根据点和点的位置可知点为的重心，结合重心的性质可知； （3）结合三角形全等的性质可知平移和旋转、翻转均满足全等的要求，首先将移至左上角点可以向下平移2格，向右平移2格，此时有8个与全等的三角形（排除）；同理将的全等三角形化为的形状可得到9个全等三角形；同理将的边旋转与边重合后，可得到9个与全等的三角形，得到与的形状可得到9个全等三角形；同理将的边旋转与边重合后，可得到9个与全等的三角形，得到与的形状可得到9个全等三角形；同理将的边旋转与边重合后，可得到9个与全等的三角形，得到与的形状可得到9个全等三角形，进一步求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：将移至左上角点可以向下平移2格，向右平移2格，此时有8个与全等的三角形（排除）；同理将的全等三角形化为的形状可得到9个全等三角形； 同理将的边旋转与边重合后，可得到9个与全等的三角形，得到与的形状可得到9个全等三角形； 同理将的边旋转与边重合后，可得到9个与全等的三角形，得到与的形状可得到9个全等三角形； 同理将的边旋转与边重合后，可得到9个与全等的三角形，得到与的形状可得到9个全等三角形； 则共有． 33．如图，的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接任意两个格点便可得到一条线段．试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段． 【答案】解：根据题意，图中黑色虚线段的长度为有理数，黑色实线段的长度为无理数． 【分析】根据共线格点中任意两个格点的连线长度都是有理数，也可利用勾股定理，计算斜边长为正整数；利用勾股定理，计算，斜边长为开方不尽的数即为无理数，解答即可． 【详解】解：略． 34．在实数学习的过程中，同学们发现利用正方形网格，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 例如，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1）如图1，构造，比较与的大小，其理由如下： ，点，，都为小正方形的顶点， （_____）． ． (1)上述说明理由的过程中横线上应填写___________． (2)在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是___________． A．类比思想        B．整体思想        C．分类讨论思想        D．数形结合思想 (3)参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由． (4)以上述构图过程为思路，在下面的数轴上找出表示的点． 【答案】(1)三角形的任意两边之和大于第三边 (2)D (3)；理由如下： 如图， 在中，（三角形任意两边之差小于第三边）， 由勾股定理得：， ； (4)如图3，点即为表示的点； 作图方法如下： 设0为点，2为点，3为点， ①过作数轴的垂线，以为圆心，1为半径画圆，与该垂线交于点，连接，由勾股定理得：； ②过作数轴的垂线，以为圆心，为半径画圆，与该垂线交于点，连接，由勾股定理得：； ③以为圆心，为半径画圆，与数轴正半轴交于点，则点对应的数即为． 【分析】（1）根据三角形三边关系即可解答； （2）结合图形解决代数问题，这是数形结合思想； （3）构造三角形，使得三边分别为，利用三角形三边关系即可解答； （4）先利用勾股定理，结合画出对应的长度，再结合即可画出数轴上找出表示的点． 【详解】（1）解：横线上应填写三角形的任意两边之和大于第三边； （2）解：结合图形解决代数问题，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想； （3）略 （4）略 35．按要求作图 (1)如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上． ①在图中画出与关于直线l成轴对称的； ②在直线l上画出一点P，使得的周长最小，最小周长为 ； ③的面积为 ； (2)如图2，在网格中画出一个面积为10的正方形． 【答案】(1)①如图，即为所求；②如图，点即为所求；；；③； (2) 【分析】（1）①分别作出A、B、C关于直线的对称点，顺次连接得到对称三角形；②周长，为定长，作关于直线对称点，连接交得到，利用勾股定理求线段，算出最小周长；③使用矩形割补法，包围三角形的矩形减去周围直角三角形面积； （2）面积为10，边长，由构造斜边绘制正方形． 【详解】（1）解：①作图：略； ②作图：略；的周长，线段长度固定，只需最小化． 作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，点即为所求． 由轴对称性质，， ． 根据两点之间线段最短，当、P、C三点共线时，取得最小值，最小值等于线段的长． 网格中由勾股定理得： ， ． 周长最小值． ③ ； （2）解：正方形面积等于10，则正方形边长为． ， ∴在网格中取直角边分别为和的直角三角形斜边作为正方形的边长，依次画出四条边，即得到面积为10的正方形． 作图：略． ◆题型2 勾股定理与折叠问题 36．已知，四边形为长方形，，，点E由点D向运动，点F由点D向运动．将沿BF折叠，点C恰好落在点E处时，求此时的长； 【答案】 【分析】根据折叠可得，在中利用勾股定理列方程求出，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠知，，， 四边形为长方形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， ，解得， ， 在中，由勾股定理得：． 37．如图，在中，，，点D在上，点E在上，将沿直线翻折，点A的对称点落在上，若，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠性质得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解： ，， ， 由折叠得， ， ． 38．如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，，求的长． 【答案】 【分析】根据折叠以及长方形的性质可得，先对运用勾股定理求解，再设，由折叠可得，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的长为． 39．长方形的边在轴上，边在轴上，，，点是直线上的一个动点，若将沿折叠后，点的对应点落在了轴上，则点的坐标为 __． 【答案】或 【分析】分两种情况①当点E在线段上时，设，则，由勾股定理求出x的值即可得出答案．②当点E在线段的延长线上时，设，则，由勾股定理求出x的值即可得出答案． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， 由折叠得可知：， 分以下两种情况讨论： ①当点E在线段上时， ， ， 由折叠可知：， 设，则， ， 解得， 点； ②当点E在线段的延长线上时， ， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴点． 故答案为：或． 40．如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 【答案】 【分析】首先利用勾股定理求出，由折叠得，，，，设，则，利用勾股定理求出，，然后利用等面积法求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． ◆题型3 勾股定理的证明方法 41．请用如图所示的图形验证勾股定理，并说一说这一方法与课堂上的方法之间的联系． 【答案】解：∵，， ∴， ∴， 联系：这一方法和课堂上的探索方法思路一样，都是构造一个图形，利用两种方法计算该图形的面积，从而得到一个关于三条边a，b，c之间的等式． 【详解】略． 42．勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、．设、交于点，若，，，．请你回答以下问题： (1)填空：___，___； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【答案】(1)， (2)，，证明如下： ， ， ． 【分析】（1）根据全等的性质得到，然后利用互余的性质求出，再根据求解即可； （2）结合（1）小问的结论用两种面积算法证明即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：方法一∶ ， 方法二： ， 证明略． 43．综合与实践．如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【知识迁移】 (1)把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为a，b，c，，显然，用a，b，c分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理； 【方法运用】 (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为　　； 【拓展延伸】 (3)如图④，在中，是边上的高，，，，设，请直接写出x的值． 【答案】(1)解：， ； ； ， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）先表示出各个图形的面积，进而可得出，化简之后即可证明； （2）先运用勾股定理求出，再用两种求三角形面积的方法求解高即可； （3）根据勾股定理得，分别表示后，建立等式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，； ， 边上的高为； （3）解：在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 解得． 44．综合与实践 在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (3)【应用拓展】借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)证明：∵直角三角形的两直角边长分别为a，b， ∴一个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：， ∵大正方形的面积也可以表示为： ∴， ∴， ∴． (2) (3)20 【分析】（1）用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明． （2）设，则，利用勾股定理以及即可得出，解方程即可求出． （3）变形后的式子可表示在长为16的线段上找一点，使其到两端点垂线（长度分别为3和9）顶点的距离之和最小，根据几何模型，最小值为以16和为直角边的直角三角形的斜边长，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得：， 即． （3）解：原式可变形成， 变形后的式子可表示在长为16的线段上找一点，使其到两端点垂线（长度分别为3和9）顶点的距离之和最小， 根据几何模型，最小值为以16和为直角边的直角三角形的斜边长， 即最小值为：． 45．综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一． 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 【答案】解：选图1 ， ， ， ； 或选图2 ， ， ， ； 或选图3 ， ， ， ， ． 【分析】观察图形，通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，建立等量关系，化简即可． 【详解】略 ◆题型4 勾股定理逆定理的实际应用 46．中秋假日，小明带着自己的小狗来到湿地公园玩耍．公园内有一块四边形草坪ABCD，草坪内有一条小路AC．经测量，，，，，． (1)求草坪拐角的度数． (2)小明来到草坪站在点B处，小狗从点A开始以的速度沿A—C的方向奔跑，跑到C点时停止奔跑，则小狗跑多少秒时与小明的距离最近？ 【答案】(1) (2)小狗跑8秒时与小明的距离最近 【分析】（1）由勾股定理求出的长，证明，可得； （2）设小狗的位置为点E，由垂线段最短可知当时，有最小值，由等面积法求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即； （2）解：设小狗的位置为点E， 由垂线段最短可知当时，有最小值， 此时有， ∴， ∴， ∴， ， 答：小狗跑8秒时与小明的距离最近． 47．如图，某精密仪器的零件的平面图呈“飞镖”状，其中，若，，，，若制作该零件的成本为30元，则每生产一个这种零件需要投入多少元？ 【答案】每生产一个这种零件需要投入720元 【分析】连接，由勾股定理可得，证明是直角三角形，且，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴一个这种零件的面积， （元）， ∴每生产一个这种零件需要投入720元． 48．拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路由点向点行驶，已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，拖拉机周围以内为受噪声影响区域． (1)拖拉机由向移动过程中，学校受噪声影响吗？为什么？ (2)若拖拉机的速度为米/分，则拖拉机噪声影响学校持续的时间有多久？ 【答案】(1)学校受噪声影响，理由如下： 过点作，垂足为， 已知，，， ， 是直角三角形，， 由三角形面积公式：， ， 代入数值：， 解得：， ， 即点到公路的距离小于噪声影响范围， 拖拉机由向移动过程中，学校受噪声影响． (2)拖拉机噪声影响学校持续的时间为2分钟． 【分析】（1）过点作于，先利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，再用等面积法求出点到公路的距离，将与噪声影响半径130m比较，若，则学校受噪声影响． （2）以为圆心，130m为半径画圆，交于、两点，拖拉机在段行驶时学校受噪声影响；利用勾股定理算出长度，得到受影响路段总长，再结合速度公式求出持续时间． 【详解】（1）略 （2）解：设以为圆心，为半径画弧，交直线于、两点， 当拖拉机在、之间行驶时，学校会受到噪声影响，， 在中，由勾股定理： ， 在中，由勾股定理： ， ． 又拖拉机速度为米/分， 持续时间：（分钟）． 49．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），判断该车是否符合安全标准并说明理由． 【答案】该车符合安全标准． 【分析】利用勾股定理求出，由，可得，则和垂直，该车符合安全标准． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 在中，，， ∵， ∴， ∴，即和垂直， ∴该车符合安全标准． 50．近日，经国务院批复同意，文化和旅游部印发《旅游强国建设“十五五”规划》，郑州入选旅游枢纽城市，洛阳、开封入选重点旅游城市．开封万岁山武侠城热度不断，如图为景区附近新开发的一个停车场．已知． (1)在停车场中开辟一条通道，求的长； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：．理由如下： 在中，， ， ． 又， ， ． 【分析】（1）根据勾股定理解答； （2）根据勾股定理逆定理说明，再结合四边形内角和定理得出答案． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得； （2）略． ◆题型5 勾股定理的应用 51．《九章算术》中记载了“折竹求高”问题：“今有竹高一丈，末折着地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子原高一丈（丈尺），竹梢被折断后，顶端恰好落在地面上，落地点与竹根的距离为三尺． (1)这个问题可以运用哪一定理来解决？请写出这一定理的内容； (2)求竹子折断处到地面的高度． 【答案】(1)勾股定理；如果直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，那么 (2)尺 【分析】（1）从实际问题中抽象出直角三角形，利用勾股定理解决即可； （2）设折断后的竹子的高为x尺，则折断部分的长为尺，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：这个问题可以运用勾股定理来解决，该定理的内容：如果直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，那么； （2）解：如图，在中，，设折断后的竹子的高为x尺，则折断部分的长为尺，尺， 依题意，得：， 解得：， 答：竹子折断处到地面的高度为尺． 52．如图，长方体的长，宽，高分别为6，6，12，点是棱的中点，在长方体下底面的顶点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程为__________． 【答案】 【分析】将长方体侧面展开，利用两点之间线段最短及勾股定理计算不同路径的长度，比较后得出最小值． 【详解】解：将长方体表面展开，从点到点主要有两种路径情况， 第一种情况：将长方体的前面和右侧面展开在同一平面内，此时构成一个直角三角形， 一条直角边为长方体的高，另一条直角边为长方体的长加上的长， ∵是的中点，， ∴， ∴另一条直角边长为， 根据勾股定理，路径长为； 第二种情况：将长方体的前面和上底面展开在同一平面内，此时构成一个直角三角形， 一条直角边为长方体的长，另一条直角边为长方体的高加上的长， 另一条直角边长为， 根据勾股定理，路径长为； 第三种情况：将长方体的左面和上底面展开在同一平面内，此时构成一个直角三角形， 一条直角边为长方体的高加上长方体上底面的边长， 另一条直角边长， 根据勾股定理，路径长为； ∵， ∴， ∴沿着表面需要爬行的最短路程为． 53．2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知、之间相距，、之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1)观测点会受到台风的影响，理由如下： 如图，作于点， ， ； ，， ， 由等面积可知，， ， 观测点会受到台风的影响； (2)观测点受台风影响的时间为 【分析】（1）作，在中，根据勾股定理，求出长，由面积关系求得的长，即可求解； （2）以点为圆心以为半径画弧交于点，，，可知台风在段移动时受到影响，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图，以点为圆心以为半径画弧交于点，， 则， 台风在段上移动时受到影响， ， ， ， ， 观测点受台风影响的时间有． 54．如图，将一根长的筷子，置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长度为，求l的取值范围． 【答案】 【分析】先求出当筷子与底面垂直时，露在筷子外面的长度 ，再求出当筷子如图放置时，在杯子里的筷子部分长度，即可求解． 【详解】解：当筷子与底面垂直时，（）， 当筷子如图放置时，在杯子里的筷子部分长度为（）， 此时（）， ． 55．为了积极宣传防疫，区政府采用了移动车进行广播宣传，如图，小明家在笔直的道路的一侧A处，小明家到道路的距离为600米，假使广播车P周围1000米内能听到广播．广播车以250米/分的速度在道路行驶时，小明在家能否听到广播？若能，请求出他总共能听到多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】能听到，总共能听到分钟的广播 【分析】先根据垂线段最短，判断小明家是否能听到广播，再利用勾股定理求出能听到广播的路段，用这个路段的长度除以广播车的速度即可求出对应的时间． 【详解】解：能，理由如下： ∵， ∴能听到， 如图，假设点C，D处恰好广播车与小明家的距离为，则当广播车在段时，与小明家的距离小于等于， 由题意，可知，， ∴由勾股定理，得， 同理，， ∴， （分钟）， ∴小明总共能听到分钟的广播． 56．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 一、单选题 1．如图，某款自动感应水龙头的水管竖直安装，端在洗手台台面上，点在上且到台面的距离为．出水口通过横管与水管相连，红外感应装置安装在上的点处，且点位于点与台面之间．已知，，则红外感应装置到洗手台台面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，由勾股定理得，再根据求出的长度即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形 ， ∵在中，，， ∴ ， ∵， ∴ ， 红外感应装置到洗手台台面的高度的长为． 2．中，，，的对边分别为，，，下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 【答案】B 【详解】解：选项A：根据三角形内角和为可知，代入条件，可得，解得，是直角三角形； 选项B：设三边长分别为、、（），此时，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”的基本性质，根本无法构成三角形，更不可能是直角三角形； 选项C：展开等式左边得，整理后为，符合勾股定理逆定理，为直角，是直角三角形； 选项D：计算三边平方：，即，符合勾股定理逆定理，是直角三角形． 3．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，则树高为（     ） A．米 B．米 C．4米 D．米 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， 故树高为米. 4．在直角三角形中，两条直角边的长分别为6和8，则斜边上的高为（     ） A．10 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理，求出斜边长，再根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由勾股定理，得斜边长为， 由面积法得斜边上的高为． 5．如图，数轴上点表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出的长，从而得到的长，再结合数轴可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵数轴上点表示的数为，且点D在点O的左侧， ∴点表示的数为． 6．如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点M在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子外部，想从盒底的点爬到盒顶的点，则蚂蚁要爬行的最短路程是（    ） A．8 B．10 C．13 D． 【答案】B 【分析】将长方体不同侧面展开，分别用勾股定理计算路径长度，比较后得出最短距离即可． 【详解】解：将“点所在的面”与“顶点所在的面” 展开成平面， 情况1：如图， 由题意得，， ∴， ∴， ∴此时蚂蚁要爬行的最短路程是； 情况2：如图， 由题意得，， ∴， ∴， ∴此时蚂蚁要爬行的最短路程是； ∵， ∴蚂蚁要爬行的最短路程是． 7．已知，如图，平分，是的中点，，，，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】B 【分析】连接、，根据垂直平分线的性质，得；根据角平分线的性质，得，,，通过证明，得；设，根据勾股定理，列一元一次方程并求解，得，从而完成求解． 【详解】解：连接、，如下图： ∵是的中点，， ∴， ∵平分，，， ∴，,， 在和中 ， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ∴． 二、填空题 8．如图，两个较小正方形的面积分别为9，16，则字母A所代表的正方形的面积为_______． 【答案】25 【分析】以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母A所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积之和． 【详解】解：字母A所代表的正方形的面积． 9．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，且，如果用一根细线从点开始经过3个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要___________． 【答案】5 【分析】将长方体展开，连接，根据勾股定理解答即可； 【详解】解：将长方体展开，连接， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，且， ， 根据两点之间线段最短得，． 10．如图，在中，，D是上一点，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在边上．已知，，则的长为______． 【答案】/ 【分析】过作于点M，作于点N，由折叠性质可知，，，由角平分线的性质得出，再由勾股定理得，设，点到的距离为，再通过等面积法得出，，由列出方程即可求解． 【详解】解：如图，过作于点M，作于点N， ∴， ∵将沿折叠，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，点到的距离为，则， ∴，， ∴，， 即，， ∴， 解得：， ∴． 11．如图，长方形中，，，点M，N分别在边，上，沿着折叠长方形，使点B，C分别落在G，F处． （1）如图1，当F落在线段的中点位置时，则___； （2）如图2，若点M与点B重合，连接，当线段的值最小时，的长度为___． 【答案】 【分析】（1）由折叠的性质可得．设，则．在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； （2）当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得．设．由折叠的性质得，．从而得到．在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 【详解】解：（1）在长方形中， 为线段的中点， ． 由折叠的性质，得． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得． ； （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，如图． ， 在中，由勾股定理得． 设． 由折叠的性质得，． ． 在中，由勾股定理得， ． 解得 线段的值最小时，的长度为． 三、解答题 12．阅读下列内容：设，，分别是一个三角形的三边长，且是最长边长，我们可以利用三条边长度的平方之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如，一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6．因为，所以由③可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是6，7，8，则该三角形的形状是________三角形； (2)若一个三角形的三边长分别是9，40，且这个三角形是直角三角形，求的值． 【答案】(1)锐角 (2)的值为1681或1519 【分析】（1）判断最大数的平方与两个较小数平方和的大小即可； （2）分当最长边为时和当最长边为40时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：因为，所以该三角形是锐角三角形． （2）解：由题意可知，这个三角形的三边长分别是9，40，，且这个三角形是直角三角形． ①若斜边长为，则； ②若斜边长为40，则，， 所以的值为1681或1519． 13．如果一个三角形三条边的长分别为（为整数，且），那么人们把这样的三个数称为一组“勾股数通式”． (1)请说明以a、b、c为三边的三角形一定是直角三角形； (2)当时，求这个三角形的周长和面积． 【答案】(1)证明： ． 由勾股定理的逆定理可知，以a、b、c为三边的三角形是直角三角形，且c边所对的角是直角． (2)周长：30；面积：30 【分析】（1）因为要判断三角形为直角三角形，所以先计算三条边长的平方，验证较小两边的平方和是否等于最大边的平方，用到完全平方公式展开计算． （2）因为已知m、n的取值，所以先将数值代入三个边长的表达式求出a、b、c的具体值，再将三边相加得到周长，根据直角三角形直角边乘积的一半计算面积． 【详解】（1）略 （2）解：当时， ． ∴ 周长． ∵ 该三角形是直角三角形，两条直角边分别为5和12， ∴ 面积． 14．求图中字母所代表的正方形的面积． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：观察图形，正方形A和其它两个正方形的边长构成一个直角三角形，由勾股定理可得正方形A的面积：． （2）解：观察图形，正方形B和其它两个正方形的边长构成一个直角三角形，由勾股定理可得 正方形B的面积：． 15．如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上． (1)仅用无刻度的直尺，画出一个与全等的（不包含）； (2)在直线上找一点P，使最小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形全等的判定方法和勾股定理解答即可； （2）利用轴对称的性质先确定点F，得，再根据两点之间线段最短，可得答案． 【详解】（1）解：如下图，取格点P，连接，即为所求， 由勾股定理得：，， 又， ； （2）如下图，作点D作的对称点F，连接，交于点P，连结，点P即为所求， 点D和点F关于对称， ， ， 两点之间线段最短， 最小． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $