专题02 勾股定理逆定理（专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02勾股定理逆定理 内容概览 目常考题型精准突破 题型1勾股树（数）问题（高频） 题型2判断三边能否构成直角三角形（高频） 题型3在网格中判断直角三角形（重） 题型4利用勾股定理的逆定理求解（重） 题型5勾股定理逆定理的实际应用（重） 题型6勾股定理逆定理的拓展问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1勾股树（数）问题 1.下列各组数据是勾股数的是() 11,1 A.3,4,5 B.68'10 C.9,16,25 D.1.2,1.6,2 2.下列各组数中，是勾股数的是（) A.6,8,10 B.1,1,2 C.4,5,9 D.0.3,0.4,0.5 3.凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为“勾股数”. (1)请你写出两组勾股数：6， ；5, (2)清朝的数学家罗士琳提出了如下两个构造勾股数的法则： ①如果k是大于1的奇数，那么k, k2-1k2+1 2,2 是一组勾股数： ②如果k是大于2的偶数，那么k, +1是一组勾股数. 根据上面两个法则，若一组勾股数中有一个数为24，求出符合上述法则的所有勾股数. 4.给出下列四组数：①8,15,17：②/2，V2,2:③12,16,20：④0.5,1.2,1.3.其中，是勾股数的有 (). 1/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 5.下列四组数中，是勾股数的一组是() 45 A.1,1,2 B.V2,3,5 c.133 D.8,15,17 ◆题型2判断三边能否构成直角三角形 6.以下列各数为边长，能构成直角三角形的是() A.1,1,V2 B.1,4,V5 C.3,4,6 D.1,3,4 7.下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是() A.a=15,b=20,c=25 B.a:b:c=3:4:5 C.∠A+∠B=∠C D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 8.四根木棒的长度（单位：Cm)分别为10,25,7,24，现从中选择三根，将它们首尾相接摆成三角形， 其中能摆成直角三角形的是() A.7,10,24 B.7,10,25 C.10,24,25 D.7,24,25 9.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是() A.∠C=90° B.AC2+BC2=AB2 C.∠A+∠B=∠C D.∠A=∠B=∠C 10.已知△ABC的三边长分别为V2,2,6,则△ABC的面积为 ◆题型3在网格中判断直角三角形 11.如图，在5×5的正方形网格中，点A,B,C,D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是 直角三角形的有 个 A B。-- --●C D 12.如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以AB为一边作直角三角形ABC,要求顶 点C在格点上，则图中不符合条件的点是() 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆C4 C C3 A.CI B.C2 C.C3 D.C4 13.如图，△BCD的三个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1. B (1)BC= CD= (2)判断△BCD的形状，并说明理由， 14.如图，点A、B、C都在格点上，连接AB、BC,则∠ABC的度数是 15.图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.点A、 B均在格点上，分别在给定的网格中按要求作图. 图① 图② (I)在图①中，找一格点C,连接AC和BC,使△ABC是锐角等腰三角形： (2)在图②中，找一格点C,连接AC和BC,使∠BAC=45° ◆题型4利用勾股定理的逆定理求解 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.在△ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,则下列说法正确的是() A.∠A=90° B.∠B=90° C.∠C=90° D.以上都有可能 17.已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3,AD=4,BC=12,CD=13,求四边形ABCD的面积. ⊙ C D 18.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°（∠A,∠C,∠D均为锐角），AB=3,BC=4, CD=13,AD=12,求四边形ABCD的面积. B D 19.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=3,CD=5,AD=V7,且∠B-=90°. D C (I)求∠BAD的度数： (2)求四边形ABCD的面积. 20.如图，在△ABD中，AB=13,BC=5,AC=CD=12,试求线段AD的长. ◆题型5勾股定理逆定理的实际应用 21.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD),经测量，在四边形 ABCD中，AB=3m,BC=4m,CD=12m,DA=13m,∠B=90°，连接AC. 4/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B (1)△ACD是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 22.图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图.现测得AB=8dm,BC=9dm,CD=12dm, AD=17dm,其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD=90°） B 图1 图2 (1)求线段BD的长度： (②)安全标准规定：需满足BC⊥CD,请判断该车是否符合安全标准，并说明理由. 23.如图，某景区内有一个露营区C,河边AB上原有两个观景台A和B,且AB=BC.为了方便游客观赏， 现计划在河边新建一个观景台P(A、P、B在同一直线上)，并铺设了步道CP,同时测量了AC=200m, AP=120m,CP=160m,请解决以下问题： (I)试判断步道CP与AB的位置关系，并说明理由： (2)求观景台P与观景台B之间的距离PB的长， 24.如果只给你一根长绳子，那么你如何利用它得到一个直角？ 25.某校校园规划了一片劳动基地△ABC用来种植两种不同品种的花卉.现将△ABC中间用小路AD隔 开，且点D在BC边上.经测量，AB=15m,AC=13m,AD=12m,CD=5m.则空地△ABD的面积 是多少？ 5111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 军平 ◆题型6勾股定理逆定理的拓展问题 26. 若正整数a,b,c满足方程a2+b2=c2,则称这一组正整数a,b,c为“商高数”.下面列举5组“商 高数”：3,4,5,5,12,13,6,8,10,7,24,25,12,16,20，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 4=2×2×1, 12=2×3×2. 6=2×3×1. 24=2×4×3. 16=2×4×2 3=22-12 5=32-22 8=32-12 7=42-32 12=42-22, 5=22+12; 13=32+2; 10=32+12; 25=42+32; 20=42+22. 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”： (2)用两个正整数m,n(m>n)表示一组“商高数”，并证明你的结论， 27.如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的高， D 横梁 图1 图2 图3 (1)若CD=2,AD=4,BD=8,求证：AB⊥AC; (2)根据(1)中的结论，小明发现：当满足AD=BD·CD时，△ABC一定为直角三角形.小明的判断 正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已 知斜梁BD⊥AC于点D.经测量，斜梁AC=5m,BD=2.4m,横梁BC=4m.若横梁BC与竖梁AB垂 直则为安全房梁.请判断该房梁是否安全，并说明理由： 28.定义：若a,b,c是△ABC的三边，且a2+b2=2c2,则称△ABC为“方倍三角形”. (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是_ A.①一定是“方倍三角形” B.②一定是“方倍三角形” C.①②都一定是“方倍三角形” D.①②都一定不是“方倍三角形” (②)如图，△ABC中，∠ABC=120°，∠ACB=45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠， 点A落在点D处，连接CD,AD.若△ABD为“方倍三角形”，且AP=2,求△PDC的面积. 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P B 29.在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,设C为最长边，当a2+b2=c时，△ABC是直角三角形：当 a2+b≠c2时，利用代数式a+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）. (1)当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为 三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时， △ABC为 三角形： (2)猜想：当a2+b2 c2时，△ABC为锐角三角形：当a2+b2c2时，△ABC为钝角三角形： (填“>”或“<”或“=) (3)判断：当a=5,b=12时， 当△ABC为直角三角形时，则C的取值为 当△ABC为锐角三角形时，则c的取值范围 当△ABC为钝角三角形时，则c的取值范围 30.如图，在笔直的公路AB旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路AB上的D处建一座桥梁到达C 处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为9km,与公路上另一停靠站B的直线距离为12km,公路 AB的长度为15km,且CD⊥AB. A D B (I)求证：AC⊥BC: (2)求修建的桥梁CD的长. 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.下列各组数中，不是“勾股数”的是() 7111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5,3,4 B.7,24,25 C.30,40,50 D.0.3,0.4,0.5 2.如图，某社区要在三角形健身区AB边上安装一个饮水点P,经测量AC=8米，BC=6米，AB=10米， 则饮水点P到三角形顶点C的最小距离为() B A.6米 B.4.8米 C.4米 D.9.6米 3.下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是() A.2,2,2V2 B.6,8,10 C.5,7,8 D.7,24,25 4.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上，则△ABC的边长不 是有理数的边有() B A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 5.如图，在△ABC中，AC=8,BC=6,AB=10,D为边BC延长线上一点，BE⊥AD.若CD=6, 则BE的长为() A.4.8 B.9.6 C.10 D.19.2 6.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=V10,AD=4,CD=2,则四边形ABCD的面 积是() 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.9 B.13 C.14 D.18 二、填空题 7.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min,甲客轮用15min到达点A,乙客轮用 20min到达点B,若A,B两点的直线距离为1000m,甲客轮沿着北偏东60°的方向航行，则乙客轮的航 行方向可能是 8.如图，在△ABC中，∠B=20°，AB-AC=BC2,则∠A的度数为 B C 9.如图，△ABC的三边分别为AC=8,BC=15,AB=17,将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，折痕 AD的长为 B D 10.如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形E的边长是 B D E 三、解答题 11.在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1. 9111 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)在图1中分别画出长度为V10和2V2的线段AB和CD,要求线段的端点在格点上： (②)在图2中画出一个三条边长分别为2,13，V17的三角形，使它的顶点都在格点上，并求出这个三 角形的面积。 12.如图，△ABC是某广场的一个休闲区的示意图，小路AD(宽度忽略不计)将△ABC分成面积相等 的两部分，已知AB=50m,CD=60m,AC=130m,求小路AD的长度， 0 13.按要求解答问题： ()已知直角三角形的三边长均为正整数，其中一直角边长为8，求这个直角三角形的另两边长： (2)根据求解(1)的经验，尝试探索出更多的勾股数组. 14.美国哥伦比亚大学收藏有一块古巴比伦时代的泥板，其中有3列15行数字.经研究，这块泥板第二列、 第三列的数字实际上相当于下表第二列、第三列的数字，而且每一行的第二列数字、第三列数字与下表中 同一行的第一列数字都存在着同一种关系。你知道这些数字间的关系吗？借助计算器进行探索 第一列 第二列 第三列 120 119 169 3456 3367 4825 4800 4601 6649 13500 12709 18541 72 65 97 360 319 481 2700 2291 3541 960 799 1249 10/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 600 481 769 6480 4961 8161 60 45 75 2400 1679 2929 240 161 289 2700 1771 3229 90 56 106 15.如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，它的三边上各有一个正方形.执行下面的操作：分 别以两个小正方形的边为斜边，向外作一个锐角为0°的直角三角形；再分别以所得到的直角三角形的直 角边为边，向直角三角形外作正方形.图②是1次操作后得到的图形 图① 图② (1)试画出2次操作后得到的图形. (2)己知最初的直角三角形斜边长c为1Cm,写出2次操作后得到的图形中所有正方形的面积和， (3)如果一直画下去，你能想象出它的样子吗？请借助数学软件进行探索。 (④)重复上述步骤若干次后得到的图形称为“毕达哥拉斯树”·如果最初的直角三角形是等腰直角三角形， 那么此时“毕达哥拉斯树”会是什么形状？ 11/11 专题02 勾股定理逆定理 常考题型·精准突破 题型1 勾股树（数）问题（高频） 题型2 判断三边能否构成直角三角形（高频） 题型3 在网格中判断直角三角形（重） 题型4 利用勾股定理的逆定理求解（重） 题型5 勾股定理逆定理的实际应用（重） 题型6 勾股定理逆定理的拓展问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1勾股树（数）问题 1．A 2．A 3．(1)8，10；12，13 (2)勾股数为7，24，25或24，143，145或10，24，26 4．B 5．D ◆题型2判断三边能否构成直角三角形 6．A 7．D 8．D 9．D 10． ◆题型3在网格中判断直角三角形 11．3 12．D 13．(1)； (2)解：是等腰直角三角形，理由如下： 由题意得，， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， 又∵， ∴是等腰直角三角形． 14．45 15．(1) (2) ◆题型4利用勾股定理的逆定理求解 16．A 17． 18． 19．(1) (2) 20． ◆题型5勾股定理逆定理的实际应用 21．(1)解：是直角三角形，理由如下： 在中， ，，， ∴， ∴． 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且． (2)元 22．(1) (2)该车符合安全标准，理由如下： 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴该车符合安全标准． 23．(1)解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴. (2) 24．将绳子平均分成12等份，以3份、4份、5份的长度为三边长拉直围成三角形，则5份长的边所对的角即为直角． 证明：设每等份绳子的长度为，则三角形三边长分别为、、． ∵ ， ， ∴ ， ∴ 该三角形为直角三角形，5份长的边所对的角为直角． 25． ◆题型6勾股定理逆定理的拓展问题 26．(1)两组数为：   (2) 解：用两个正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组， 设， 证明：， ， ， . . 即：“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组”． 27．(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 28．(1)A (2) 29．(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 30．(1) 证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． (2) 综合攻坚·知能拔高 1．D 2．B 3．C 4．C 5．B 6．A 7．北偏西 8． 9．/ 10． 11．(1)如图所示，线段和线段为所求线段（答案不唯一）： (2)如图所示，图中三角形为所求三角形（答案不唯一）： 三角形面积为． 12．小路的长度为 13．(1) 另两边长为6和10或15和17 (2) 可通过以下方法构造勾股数组，例如3,4,5；5,12,13；7,24,25；10,24,26；9,12,15等： ① 大于1的奇数对应勾股数：，，； ② 大于2的偶数（为大于1的正整数）对应勾股数：，，； ③ 勾股数的正整数倍仍为勾股数 14．设每一行第一列数字为，第二列数字为，第三列数字为，则三者满足，即第一列与第二列数字的平方和等于第三列数字的平方． 15．(1) (2) (3)如果一直画下去，它会呈现出具有自相似性的分形结构，整体形态非常像一棵繁茂的大树（或西兰花）． (4)如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，那么此时得到的“毕达哥拉斯树”会是一个左右完全对称、树冠均匀展开的漂亮大树形状． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理逆定理 常考题型·精准突破 题型1 勾股树（数）问题（高频） 题型2 判断三边能否构成直角三角形（高频） 题型3 在网格中判断直角三角形（重） 题型4 利用勾股定理的逆定理求解（重） 题型5 勾股定理逆定理的实际应用（重） 题型6 勾股定理逆定理的拓展问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1勾股树（数）问题 1．下列各组数据是勾股数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股数的定义（满足的三个正整数a、b、c，叫做一组勾股数）逐项判断即可． 【详解】解：选项B、D中的数均不是正整数，不是勾股数，不符合题意； A选项：满足，是勾股数，符合题意； C选项：，不是勾股数，不符合题意． 2．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】先排除非正整数的选项，再验证剩余选项是否满足两较小数的平方和等于最大数的平方． 【详解】解：A．∵该选项中的数均为正整数，且， ∴，，是勾股数，符合题意； B．∵， ∴，，不是勾股数，不符合题意； C．∵， ∴，，不是勾股数，不符合题意； D．∵，，均为小数， ∴，，不是勾股数，不符合题意． 3．凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为“勾股数”． (1)请你写出两组勾股数：6，________，________；5，________，________． (2)清朝的数学家罗士琳提出了如下两个构造勾股数的法则： ①如果是大于1的奇数，那么，，是一组勾股数； ②如果是大于2的偶数，那么，，是一组勾股数． 根据上面两个法则，若一组勾股数中有一个数为24，求出符合上述法则的所有勾股数． 【答案】(1)8，10；12，13 (2)勾股数为7，24，25或24，143，145或10，24，26 【分析】（1）根据勾股数的定义解决此题； （2）分别根据题干中法则①、②分类讨论，解决本题即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据法则①，因为是大于1的奇数，所以， 则或， 所以或（不是奇数，舍去）， 所以， 所以， 所以勾股数为7，24，25； 根据法则②，若是大于2的偶数， 则或或， 所以或10或（舍去）， 当时，，， 所以勾股数为24，143，145， 当时，，， 所以勾股数为10，24，26； 综上所述，勾股数为7，24，25或24，143，145或10，24，26． 4．给出下列四组数：①；②；③；④．其中，是勾股数的有（     ）． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】先判断各组数是否均为正整数，排除不符合的组后，再验证剩余组的平方和关系． 【详解】解：①均为正整数，，是勾股数； ②不是正整数，不是勾股数； ③均为正整数，，是勾股数； ④均不是正整数，不是勾股数， 综上，是勾股数的有2组． 5．下列四组数中，是勾股数的一组是（     ） A．1，1，2 B． C． D．8，15，17 【答案】D 【详解】解：A．，不是勾股数． B、C．选项中的数不全是正整数，不是勾股数． D．，是勾股数． ◆题型2判断三边能否构成直角三角形 6．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．1，1， B．1，4， C．3，4，6 D．1，3，4 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理对每个选项进行判定即可． 【详解】解：A选项：∵，， ∴，能构成直角三角形； B选项： 最长边为4，∵，， ∴，不能构成直角三角形； C选项： ∵，， ∴，不能构成直角三角形； D选项： ∵，不满足三角形三边关系，不能构成三角形． 7．下列条件中，不能判断为直角三角形的是（     ） A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】从边与角两个维度，结合勾股定理的逆定理、三角形内角和定理逐项判断． 【详解】解：A选项，∵，， ∴， ∴能判断为直角三角形，不符合题意． B选项，设，，， ∵，， ∴， ∴能判断为直角三角形，不符合题意． C选项，∵，， ∴， ∴， ∴能判断为直角三角形，不符合题意． D选项，设，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不能判断为直角三角形，符合题意． 8．四根木棒的长度（单位：）分别为10，25，7，24，现从中选择三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（     ） A．7，10，24 B．7，10，25 C．10，24，25 D．7，24，25 【答案】D 【分析】先根据三角形三边关系筛选出能构成三角形的组合，再利用勾股定理的逆定理，判断两条短边的平方和是否等于最长边的平方，以此确定直角三角形即可求解． 【详解】解：A．，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B．，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故本选项不符合题意； C．，，，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D．，，，根据勾股定理的逆定理，该组线段可以构成直角三角形，故本选项符合题意； 9．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从角、边两方面的直角三角形判定条件出发，结合三角形内角和定理验证各选项． 【详解】解：A、 ，是直角三角形，不符合题意； B、 ，是直角三角形，不符合题意； C、 ，，，即，是直角三角形，不符合题意； D、 ，，，即，不是直角三角形，符合题意． 10．已知的三边长分别为，，，则的面积为______． 【答案】 【分析】验证三边长的平方关系，利用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再代入面积公式计算． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， ∴ 的面积为． ◆题型3在网格中判断直角三角形 11．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有__________个． 【答案】3 【分析】利用勾股定理求出每条边的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：如图，连接， 借助网格和勾股定理得： ， ， ， ， ， ， ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∴直角三角形有3个． 12．如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点在格点上，则图中不符合条件的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在正方形网格中，找出所有符合条件的点．根据直角三角形的判定进行判定即可． 【详解】解： ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 不是直角三角形， ∴是直角三角形，但不是直角三角形． ∴不符合条件的点是． 13．如图，的三个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． (1)________，________； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)解：是等腰直角三角形，理由如下： 由题意得，， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， 又∵， ∴是等腰直角三角形． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，可证明，，据此可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，； ； （2）略 14．如图，点A、B、C都在格点上，连接、，则的度数是 _______． 【答案】45 【分析】 连接，由勾股定理求出、、的长，再由勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】 解：如图，连接， 设每个小网格的边长为1， 由勾股定理得： ，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴． 15．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，找一格点，连接和，使是锐角等腰三角形； (2)在图②中，找一格点，连接和，使． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以B为顶点，找一格点，使，即可得出是锐角等腰三角形． （2）找一格点，使得，连接，， 则，则，又，则． 【详解】（1）略； （2）略； ◆题型4利用勾股定理的逆定理求解 16．在中，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴最长边所对的为直角，即． 17．已知在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】根据勾股定理可以求出，根据勾股定理的逆定理可以证明是直角三角形，，根据三角形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：如下图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形，， 四边形的面积为． 18．如图，在四边形中，（，，均为锐角），，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理可得，再利用割补法求解即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 19． 如图，在四边形中，，，，且． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可知，根据勾股定理的逆定理可证，再根据角之间的关系求出的度数； （2）根据即可求出结果． 【详解】（1）解：如下图所示，连接， ，， ， 在中，， 在中， ，   ， ， ；     （2）解： ． 20．如图，在中，，，，试求线段的长． 【答案】 【分析】由勾股定理逆定理得出是以的直角三角形，再利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解： ，，， ，， ， 是以的直角三角形， ， 在中，， ． ◆题型5勾股定理逆定理的实际应用 21．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中， ，，，，，连接． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下： 在中， ，，， ∴， ∴． 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且． (2)元 【分析】（1）根据勾股定理可知的长度，进而根据勾股定理的逆定理即可证明； （2）求出总面积乘以100即可求得总花费． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 费用为：（元）； ∴铺满这块空地共需花费3600元． 22．图是某品牌手推车，图为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】(1) (2)该车符合安全标准，理由如下： 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴该车符合安全标准． 【分析】（）利用勾股定理解答即可； （）利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）略 23．如图，某景区内有一个露营区C，河边上原有两个观景台A和B，且．为了方便游客观赏，现计划在河边新建一个观景台P（A、P、B在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题： (1)试判断步道与的位置关系，并说明理由； (2)求观景台P与观景台B之间的距离的长． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴. (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理进行求解即可； （2）设，利用勾股定理列出方程进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∴， 设，则， 由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴. 24．如果只给你一根长绳子，那么你如何利用它得到一个直角？ 【答案】将绳子平均分成12等份，以3份、4份、5份的长度为三边长拉直围成三角形，则5份长的边所对的角即为直角． 证明：设每等份绳子的长度为，则三角形三边长分别为、、． ∵ ， ， ∴ ， ∴ 该三角形为直角三角形，5份长的边所对的角为直角． 【分析】利用勾股定理的逆定理，将长绳子通过分段标记得到长度对应的三段绳长． 随后将三段绳的端点两两拼接拉紧，形成的三角形中长度为3等份、4等份的两段绳的夹角就是直角． 【详解】略 25．某校校园规划了一片劳动基地用来种植两种不同品种的花卉．现将中间用小路隔开，且点在边上．经测量，，，，．则空地的面积是多少？ 【答案】 【分析】先由勾股定理逆定理得出是直角三角形，且，再由勾股定理求出，最后再由三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，，， 是直角三角形，且， ， 在中，由勾股定理得， ， 故空地的面积是． ◆题型6勾股定理逆定理的拓展问题 26．若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 【答案】(1)两组数为：   (2) 解：用两个正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组， 设， 证明：， ， ， . . 即：“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组”． 【分析】（1）根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，取适当的值代入即可； （2）由（1）总结的“商高数”规律，直接证明即可. 【详解】（1）解：根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，通过选择合适的使用均大于； 第一组：取，即. 第二组：取，即. （2）略 【点睛】本题考查了新定义问题中的规律问题，实质上是勾股数的规律问题，找出数列规律是解题的关键. 27． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 28．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 29．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 30．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 【答案】(1) 证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．下列各组数中，不是“勾股数”的是（     ） A．5，3，4 B．7，24，25 C．30，40，50 D．0.3，0.4，0.5 【答案】D 【分析】勾股数需为正整数，可先据此快速排查选项． 【详解】解：满足的三个正整数称为勾股数． ∵ A、B、C中的数均为正整数，且分别满足，，， ∴ A、B、C均是勾股数， ∵ D中的数为，，，不是正整数， ∴ D不是勾股数． 2．如图，某社区要在三角形健身区边上安装一个饮水点P，经测量米，米，米，则饮水点到三角形顶点C的最小距离为（     ） A．6米 B．4.8米 C．4米 D．9.6米 【答案】B 【分析】首先根据勾股定理的逆定理证明，当时，的值最小，然后利用等面积法求解． 【详解】解：∵米，米，米， ∴， ∴， ∵点P在上， ∴当时，的值最小， ∴此时， ∴， ∴， ∴饮水点到三角形顶点C的最小距离为4.8米． 3．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A：，，能作为直角三角形三边长度． B：，，能作为直角三角形三边长度． C：，，不能作为直角三角形三边长度． D：，，能作为直角三角形三边长度． 4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，则的边长不是有理数的边有（     ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【分析】利用勾股定理，根据网格中每条边对应的水平、竖直格数，求出三角形三条边的长度，再依据有理数的定义进行判断． 【详解】解：网格中小正方形边长为1，由勾股定理： ，是整数，属于有理数； ，是无理数，不是有理数； ，是无理数，不是有理数． ∴不是有理数的边有2条． 5．如图，在中，，，，为边延长线上一点，．若，则的长为（     ） A．4.8 B．9.6 C．10 D．19.2 【答案】B 【分析】判定 为直角三角形，利用等面积法求解． 【详解】解：， ， ， ， 在 中，， ， 且 ， ， ． 6．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（     ） A．9 B．13 C．14 D．18 【答案】A 【分析】连接，先由勾股定理求出，再由勾股定理逆定理证明是直角三角形，，然后根据四边形的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴四边形的面积 ． 二、填空题 7．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮用到达点A，乙客轮用到达点B，若A，B两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是_________． 【答案】北偏西 【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案． 【详解】解：如图， 由题意得，甲的路程：， 乙的路程：， ，即 ∴ 甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系， 甲客轮沿着北偏东，即 ∴ 乙客轮的航行方向是北偏西． 8．如图，在中，，，则的度数为______________． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理求出，再根据三角形内角和得到． 【详解】解：， ， ， 又在中，， ． 9．如图，的三边分别为，将沿折叠，使落在上，折痕的长为___________． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理的逆定理，即，判断出是直角三角形，设折叠后点与上的点重合．在中，根据勾股定理即可得到一个关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形． 设折叠后点与上的点重合，如图， 设，则，，，， ， 在中，， 解得， ． 10．如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的边长是、、、，则最大正方形的边长是___________ 【答案】 【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为 ，由勾股定理得出，即可求得最大正方形的边长． 【详解】设中间左，右两个正方形的边长分别为 ，最大正方形的边长为 ， 则由勾股定理得： ， ， ， 即最大正方形的边长是． 三、解答题 11．在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； (2)在图2中画出一个三条边长分别为，，的三角形，使它的顶点都在格点上，并求出这个三角形的面积． 【答案】(1)如图所示，线段和线段为所求线段（答案不唯一）： (2)如图所示，图中三角形为所求三角形（答案不唯一）： 三角形面积为． 【分析】（1）利用方格的特点和勾股定理确定线段即可； （2）利用方格的特点和勾股定理确定线段即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是直角边分别为和的直角三角形的斜边； ∵， ∴是直角边均为的直角三角形的斜边． ∴线段只要满足条件即可． （2）解：∵， ∴是直角边均为的直角三角形的斜边， 确定好该线段后，选择该线段的其中一点作长的边或者长的边， 顺次连接三点即可． 由图可知，三角形的面积． 12．如图，是某广场的一个休闲区的示意图，小路（宽度忽略不计）将分成面积相等的两部分，已知，，，求小路的长度． 【答案】小路的长度为 【分析】根据题意可得，是的中线，即点D是的中点，进而求得，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据勾股定理求得． 【详解】解：将分成面积相等的两部分， 是的中线，即点D是的中点．     ， ，．     ，，， ，     是直角三角形，且．     在中，， 小路的长度为． 13．按要求解答问题： (1)已知直角三角形的三边长均为正整数，其中一直角边长为8，求这个直角三角形的另两边长； (2)根据求解（1）的经验，尝试探索出更多的勾股数组． 【答案】(1) 另两边长为6和10或15和17 (2) 可通过以下方法构造勾股数组，例如3,4,5；5,12,13；7,24,25；10,24,26；9,12,15等： ① 大于1的奇数对应勾股数：，，； ② 大于2的偶数（为大于1的正整数）对应勾股数：，，； ③ 勾股数的正整数倍仍为勾股数 【分析】（1）先设这个直角三角形的另两边长为a，c，（），根据题意，得 ，再根据平方差公式可得，然后结合题意可得二元一次方程组，并求出解； （2）分奇数和偶数，及勾股数的正整数倍也是勾股数解答． 【详解】（1）解：设这个直角三角形的额另两边长为a，c，（），根据题意，得 ， ∴，即． ∵a，c都是正整数，且， ∴， 当或， 解得或， 所以这个直角三角形的另两边长为17,15或10,6； （2）略 14．美国哥伦比亚大学收藏有一块古巴比伦时代的泥板，其中有3列15行数字．经研究，这块泥板第二列、第三列的数字实际上相当于下表第二列、第三列的数字，而且每一行的第二列数字、第三列数字与下表中同一行的第一列数字都存在着同一种关系。你知道这些数字间的关系吗？借助计算器进行探索． 第一列 第二列 第三列 120 119 169 3456 3367 4825 4800 4601 6649 13500 12709 18541 72 65 97 360 319 481 2700 2291 3541 960 799 1249 600 481 769 6480 4961 8161 60 45 75 2400 1679 2929 240 161 289 2700 1771 3229 90 56 106 【答案】设每一行第一列数字为，第二列数字为，第三列数字为，则三者满足，即第一列与第二列数字的平方和等于第三列数字的平方． 【分析】通过计算多行三个数的平方，验证平方和关系，归纳得到通用规律． 【详解】解：设每行第一列数为，第二列数为，第三列数为， 选取第一行数据验证： ∵，，， ∴， ∵， ∴； 选取第十一行数据验证： ∵，，， ∴， ∵， ∴； 选取第十五行数据验证： ∵，，， ∴， ∵， ∴； 同理可验证其余行数据均满足该关系； 综上所述，每行第一列数字与第二列数字的平方和等于第三列数字的平方． 15．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，它的三边上各有一个正方形．执行下面的操作：分别以两个小正方形的边为斜边，向外作一个锐角为的直角三角形；再分别以所得到的直角三角形的直角边为边，向直角三角形外作正方形．图②是1次操作后得到的图形． (1)试画出2次操作后得到的图形． (2)已知最初的直角三角形斜边长c为，写出2次操作后得到的图形中所有正方形的面积和． (3)如果一直画下去，你能想象出它的样子吗？请借助数学软件进行探索． (4)重复上述步骤若干次后得到的图形称为“毕达哥拉斯树”．如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，那么此时“毕达哥拉斯树”会是什么形状？ 【答案】(1) (2) (3)如果一直画下去，它会呈现出具有自相似性的分形结构，整体形态非常像一棵繁茂的大树（或西兰花）． (4)如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，那么此时得到的“毕达哥拉斯树”会是一个左右完全对称、树冠均匀展开的漂亮大树形状． 【分析】（1）理解操作规则，2次操作后，需要在图②中新生成的4个小正方形上，重复之前的操作，即每个小正方形上再生成两个更小的正方形． （2）利用勾股定理（）推导出每次操作新增的正方形面积之和等于上一级正方形的面积之和，从而求出总面积． （3）观察图形的生长趋势，结合“毕达哥拉斯树”的特征进行描述． （4）当初始三角形为等腰直角三角形时，利用对称性判断最终图形的形状． 【详解】（1）略 （2）解：由勾股定理可知，直角三角形两直角边向外所作正方形的面积之和等于斜边向外所作正方形的面积． 初始图形中所有正方形面积之和为：， 第1次操作新增正方形面积之和为：， 第2次操作新增正方形面积之和为：， 故2次操作后得到的图形中所有正方形的面积和为： 当时，（）． （3）一直画下去，图形会不断向上分叉，分支越来越细、越来越密，整体呈一棵“树”的形状，它具有自相似性，任意取出它的一部分并放大，会发现这部分与原来的整体形状相同，这正是分形图形的特征． 借助数学软件（如几何画板、分形绘图软件）可以动态地一步步生成图形，直观观察它的生长与自相似规律． （4）若最初的直角三角形是等腰直角三角形，则两直角边相等，即，于是图形关于过斜边中点的垂线左右对称． 重复操作时，左右两个分支按完全相同的规则生长且互为镜像，因此整棵树始终保持左右对称，最终形成一棵左右对称的树状图形（形似对称的树或羽毛）． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $