26.2.2.1 二次函数y=ax2+k的图像和性质 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章 二次函数 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 26.2.2.1 二次函数y=ax2+k的 图像和性质 1 学习目标 1. 会用描点法画出y=ax2+k的图象，掌握开口方向、对称轴、顶点坐标； 理解抛物线y=ax2+k与y=ax2之间上下平移关系，掌握平移规律； 掌握y=ax2+k增减性与最值. 2. 经历列表、描点、观察对比图象的探究过程，体会数形结合，感受从特殊到一般的研究方法，理解图象平移与解析式变化的联系. 3. 通过画图探究，感受函数图象变换的美感，激发探究兴趣，养成严谨的观察归纳习惯. 2 课程导入 问题：说说二次函数y=ax2的图象的特征. (1)抛物线y=ax2的对称轴是 ，顶点是 . (2)当a>0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的 ； 当a<0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的 ； |a|越大，抛物线的开口 . y轴 y O x y=x2 原点 向上 最低点 向下 最高点 越小 3 4 新知探究 同学们，常数k并没有改变a，也就是抛物线的开口大小、开口方向不会变化，那它究竟改变了什么？接下来我们通过画图来寻找答案. 5 新知探究 思考 回想一下，上一章是如何通过配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0的？由此，你得到了什么启发? 当分别讨论h，k的取值时，就可以建立起y= ax2+bx+c与y= ax2的联系了. 即y= ax2+bx+c y= a(x-h)2+k ax2+bx+c a(x-h)2+k 配方 先来讨论当h=0，k≠0的时，y= ax2+k的图像和性质. 6 新知探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y = x2+2， y = x2－2 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. (2) 抛物线y = x2+2， y = x2－2与抛物线y = x2有什么关系? 探究 7 新知探究 先列表. x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y = x2 +2 … 10 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 10 … y = x2 -2 6 2.5 0 -1.5 -2 -1.5 0 2.5 6 8 新知探究 然后描点画图，就得到 y = x2+2， y = x2－2 的图象. 2 6 y O -4 2 x 4 8 10 -2 -2 4 y = x2+2 y = x2-2 9 新知探究 开口 方向 对称轴 顶点 y = x2 +2 向上 y轴 （0,2） y = x2 -2 向上 y轴 （0,-2） 2 6 y O -4 2 x 4 8 10 -2 -2 4 y = x2+2 y = x2-2 10 新知探究 抛物线y = x2+2， y = x2－2 与抛物线y = x2 有什么位置关系？ 2 6 y O -4 2 x 4 8 10 -2 -2 4 y= x2 y = x2+2 y = x2-2 把抛物线y = x2 向上平移两个单位长度，就得到抛物线y =x2+2； 把抛物线y = x2 向下平移两个单位长度，就得到抛物线y = x2－2. 11 新知探究 也可以利用信息技术工具画函数y=ax2+k的图象（不妨令a分别为和－）. 改变k的值，可以发现，随着k的变化，二次函数y=ax2+k的图象在向上或向下平移，即把抛物线y=ax2向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度，就得到抛物线y=ax2+k. 注：播放状态点击跳转网页 12 新知探究 上下平移规律：上加下减常数项 当k > 0，向上平移k个单位长度 y=ax2 顶点（0，0） y=ax2+k 顶点（0，k） 当k < 0，向下平移|k|个单位长度 13 新知探究 思考 你能归纳出二次函数y=ax2+k的图象特征和性质吗? y=ax2+k a＞0 a＜0 图象 k＞0 k＜0 开口方向 向上 向下 y x O y x O y x O y x O 14 新知探究 y=ax2+k a＞0 a＜0 对称轴 y 轴(直线x=0) 顶点坐标 (0， k) 增减性 x<0，y随x增大而减小 x>0，y随x增大而增大 x<0，y随x增大而增大 x>0，y随x增大而减小 x<0，y随x增大而增大 x>0，y随x增大而减小 最值 x=0时，y最小值=k x=0时，y最大值=k x=0时，y最大值=k 15 归纳小结 抛物线y=ax2与y=ax2 +k的区别和联系 函数 解析式 顶点 坐标 对称轴 开口方向 增减性 y=ax2 (a≠0) (0，0) y轴 当a>0时，抛物线开口向上； 当a<0时，抛物线开口向下. 如果a>0，那么当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大； 如果a<0，那么当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小. y=ax2 +k (a≠0) (0，k) 16 归纳小结 二次函数y=ax2 +k的图象可由抛物线y=ax2 的图象向上或向下平移 |k| 个单位长度得到. 当k>0时，抛物线y=ax2向上平移k个单位长度得到抛物线 y=ax2 +k； 当k<0时，抛物线y=ax2向下 平移 |k|个单位长度得到抛物线 y=ax2 +k. 17 随堂演练 1. 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： y＝x2， y＝x2+1， y＝x2-1. 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况. 18 随堂演练 2 6 y O -4 2 x 4 8 10 -2 -2 4 y = x2 y = x2+1 y = x2－1 y＝x2 y＝x2+1 y＝x2-1 向上平移1个单位长度 向下平移1个单位长度 19 随堂演练 2 6 y O -4 2 x 4 8 10 -2 -2 4 y = x2 y = x2+1 y = x2－1 y=x2 开口方向 向上 对称轴 y轴 顶点坐标 （0，0） 增减性 x<0，y随x增大而减小 x>0，y随x增大而增大 20 随堂演练 2 6 y O -4 2 x 4 8 10 -2 -2 4 y = x2 y = x2+1 y = x2－1 y = x2+1 开口方向 向上 对称轴 y轴 顶点坐标 （0，1） 增减性 x<0，y随x增大而减小 x>0，y随x增大而增大 21 随堂演练 2 6 y O -4 2 x 4 8 10 -2 -2 4 y = x2 y = x2+1 y = x2－1 y = x2－1 开口方向 向上 对称轴 y轴 顶点坐标 （0，-1） 增减性 x<0，y随x增大而减小 x>0，y随x增大而增大 22 随堂演练 2. 指出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值. (1) y＝ － x2+4； (2) y＝2x2 － 3. (1) 开口方向： . 对称轴： . 顶点： . 最值： . 向下 y轴 (0，4) 当x=0时，有最大值y=4. 23 随堂演练 2. 指出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值. (1) y = － x2+4； (2) y =2x2 － 3. (2) 开口方向： . 对称轴： . 顶点： . 最值： . 向上 y轴 (0，-3) 当x=0时，有最小值y=-3. 24 随堂演练 3.已知抛物线y =4x2+2上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜ x2＜ 0，则y1与y2的大小关系是( ) A. y1 ＜ y2 B. y1 = y2 C. y1 ＞ y2 D.无法确定 4.抛物线y =ax2 +c向下平移2个单位长度得到抛物线y= -3x2 +2 ，则a= ，c= . C -3 4 25 随堂演练 5. 如图，抛物线y=x2-4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB=4，求P点的坐标. 解：抛物线y=x2-4 ，当y=0时，x=±2， 即A点的坐标为(-2,0)，B点的坐标为(2,0). ∴ AB=4. ∵ S△PAB=4 ， y O x A B 26 随堂演练 5. 如图，抛物线y=x2-4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB=4，求P点的坐标. 设P点纵坐标为b， ∴ ×4|b|=4. ∴ |b|=2，即 b=±2. 当b=2时， x2-4 =2，解得x=±. 当b=-2时， x2-4=-2，解得x=±. ∴P点坐标为(，2)，(，2)，(，2)，(，2). y O x A B 27 课程小结 二次函数y=ax2+k图象及性质 与y=ax2的关系 1.开口方向由a的符号决定； 2.k决定顶点位置； 3.对称轴是y轴. 图象 性质 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 平移规律：上加下减常数项 28 第二十六章 二次函数 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 26.2.2.1 二次函数y=ax2+k的 图像和性质 29 feixianglaoshi.com 立即体验 $