26.2 .2二次函数y=ax2+k的图像和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

新人教版·九年级上册 第二十六章 二次函数 26.2二次函数的图象和性质 26.2.2二次函数y=ax²+k的图象和性质 回顾旧知 开口方向 ； 对称轴 ，即 ； 顶点坐标分别是 ；是抛物线最 点； 当x 时，函数有最 值 当x 时， y随着x的增大而减小； 当x 时， y随着x的 而增大； 二次函数y=2x²的图象 ； 二次函数y=2x²的图象是什么形状？开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当x取何值时，函数有最值？增减性如何？ y =2x2 向上 y轴 （0，0） 直线x=0 一条抛物线 <0 >0 =0 小 增大 低 探究新知 想一想 如何y=ax²+bx+c转化为类似y=ax²+k的简单形式? ax²+bx+c = 0 配方 (x-h)²=k 二次函数y=ax²+bx+c 类似方程配方 转化 y =a(x-h)²+k 探究新知 提取a 配方 整理化简 k≠0 探究新知 画出二次函数 y=x² , y=x2+1 ，y=x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. x … －2 －1 0 1 2 … y＝x2 … 4 1 0 1 4 … y＝x2＋1 … 5 2 1 2 5 … y＝x2－1 … 3 0 －1 0 3 … 4 1 0 1 4 5 2 1 2 5 3 0 －1 0 3 探究新知 （1）三个函数图象的形状、开口方向、对称轴是否相同？ （2）三个图象的顶点坐标分别是什么？有什么区别？ 图象的形状 开口方向 对称轴 抛物线 向上 y轴 函数 y =x² y = x²+1 y = x²-1 顶点坐标 （0，0） （0，1） （0，－1） （3）有没有最值？最值分别是多少？增减性是否相同？ 顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下分别为 、____、 ； 低 小 1 0 -1 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 探究新知 y1 = x² y2 = x²+1 二次项相同 +0 常数项不同 相同的自变量x对应的函数值相差1，即y2比y1多1 y 1= x² y 3= x²-1 二次项相同 +0 常数项不同 相同的自变量x对应的函数值相差1，即y3比y1少1 y2=x²+1、y3=x²-1与y1=x²函数图象形状相同，位置沿y轴上下平移 （4）y=x²+1、y=x²-1的图象可由y=x²的图象如何平移得到？ y=x²的图象 向上平移1个单位 y=x²+1的图像 向下平移1个单位 y=x²－1的图像 y=x²的图象 探究新知 观察图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = x2 y =x2＋1 y = x2－1 向上 向上 向上 y轴 y轴 y轴 (0,1) (0,-1) (0,0) 思考：(1)抛物线y＝x2向 平移 ⁠个单位长度可得到抛物线y＝x2＋1；向 平移 个单位长度可得到抛物线y＝x2－1. (2)对于二次函数y＝x2＋1，当x＝ 时，y取最 ⁠值为 ． 上 1 下 1 0 小 1 探究新知 画出二次函数 y=-x² , y=-x2+1 ，y=-x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. x … －2 －1 0 1 2 … y＝－x2 … －4 －1 0 －1 －4 … y＝－x2＋1 … －3 0 1 0 －3 … y＝－x2－1 … －5 －2 －1 －2 －5 … －4 －1 0 －1 －4 －3 0 1 0 －3 －5 －2 －1 －2 －5 探究新知 （1）三个函数图象的形状、开口方向、对称轴是否相同？ （2）三个图象的顶点坐标分别是什么？有什么区别？ 图象的形状 开口方向 对称轴 抛物线 向下 y轴 函数 y =x² y = x²+1 y = x²-1 顶点坐标 （0，0） （0，1） （0，－1） （3）有没有最值？最值分别是多少？增减性是否相同？ 顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下分别为 、____、 ； 高 大 1 0 -1 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小. 探究新知 观察图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y =- x2 y =-x2＋1 y =- x2－1 向下 向下 向下 y轴 y轴 y轴 (0,1) (0,-1) (0,0) 思考：(1)抛物线y＝x2向 平移 ⁠个单位长度可得到抛物线y＝x2＋1；向 平移 个单位长度可得到抛物线y＝x2－1. (2)对于二次函数y＝x2＋1，当x＝ 时，y取最 ⁠值为 ． 上 1 下 1 0 大 1 思考 抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？ y O x y = ax2 +k(k<0) y = ax2+k (k>0) y = ax2 k k a>0，开口向上 a<0，开口向下 y O x y = ax2 +k(k<0) y = ax2+k (k>0) y = ax2 (a<0) k k 当k>0时， 向上平移k个单位长度得到 当k<0时， 向下平移∣k∣个单位长度得到 上下平移规律：上加下减常数项 y=ax2 顶点(0, 0) y=ax2+k 顶点(0, k) 归纳小结 二次函数 y = ax2 + k (a ≠ 0) 的性质 y = ax2 + k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 y 轴（直线x=0） (0，k) 当 x = 0 时，y最小值 = k 当 x = 0 时，y最大值 = k 当 x＜0 时， y 随 x 的增大而减小； x＞0 时， y 随 x 的增大而增大 x＜0时， y 随 x 的增大而增大； 当 x＞0 时， y 随 x 的增大而减小 注意：k带前面的符号！ 思考 1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？ 2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？ 第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k ︱单位. 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线. (1)a决定开口方向：a＞0，开口向上，a＜0，开口向下； |a|决定开口大小： |a| 越大，开口越小， |a| 越小，开口越大； (2)k决定顶点的纵坐标,对称轴为y轴,顶点坐标为（0，k）. 易错提醒 （1）作图易错：抛物线必须用光滑曲线连接，不能画折线、直线；取值务必对称，保证图象对称； （2）性质易错：二次函数增减性必须分对称轴左右两侧讨论，不能笼统描述； （3）规律易错：开口宽窄只看|a|，与a的正负无关； （4）最值易错：a>0有最小值、a<0有最大值，最值均为0，切勿记反. 课堂练习 3. 例2(2025广州市二模)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝－x2－2上，且0<x1<x2，则y1 y2.(填“<”“>”或“＝”) 4. (2025珠海市三模)若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2＋1图象上，则（　A　） ＞ A A． y1<y2<y3 B． y2<y3<y1 C． y3<y1<y2 D． y2<y1<y3 典例精析 例 关于二次函数 y = 2x2 + 4，下列说法错误的是 ( ) A．其图象的开口方向向上 B．当 x = 0 时，y 有最大值 4 C．其图象的对称轴是 y 轴 D．其图象的顶点坐标为 (0，4) B 分析：当 x = 0 时，y 有最小值 4 典例精析 例 在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(　　) 方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键． D 典例精析 如图，抛物线y=x2-4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB=4，求P点的坐标. 解：当y=0时，0=x2-4 解得：x=±2 即A点的坐标为(-2,0)， B点的坐标为(2,0). ∴AB=4. ∵S△PAB=4，设P点纵坐标为b ∴｜b｜=2 即b=±2 当b=2时，x2-4=2 解得x= 当b=-2时，x2-4=-2 解得x= 课堂小结 二次函数y=ax2+k的图象和性质 图象 1.开口方向由a的符号决定； 2. k决定顶点的位置； 3.对称轴是y轴. 性质 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 与y=ax2的关系 平移规律： k正向上； k负向下. 拓展 1、对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____. 2、已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=____. 3、抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______. 2 -2 8 拓展 4、已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________. 解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c. c 【方法总结】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数． $