26.4.1 实际问题与二次函数——最大高度与最大面积问题 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章 二次函数 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 26.4.1 最大高度与最大面积问题 1 教学目标 1. 能分析实际问题中的变量关系，列出二次函数解析式；会利用二次函数顶点性质求解实际问题的最值；理解实际问题中自变量取值范围对最值的影响. 2. 过程与方法经历 “实际问题→建立二次函数模型→利用函数性质求解→检验结果实际意义” 的完整过程，体会数学建模思想. 3. 情感态度与价值观感受二次函数在生活中的广泛应用，体会数学的实用价值，提升分析解决实际问题的能力. 2 3 新知探究 例1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是h=-4.9t2+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少?(结果保留小数点后一位.) 分析：运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题. 4 新知探究 解：对于二次函数h=-4.9t2+2.8t+11 ， 当t= = ≈ 0.3 时，h有最大值 = = 11.4. 因此，运动员起跳后大约0.3s时，其 重心达到最高点，最大高度为11.4m. h/m O t/s 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 6 7 8 9 10 11 12 h=-4.9t2+2.8t+11 5 新知探究 请将二次函数h=-4.9t2+2.8t+11化成顶点式，并指出其对称轴和顶点坐标； h= －4.9t2+2.8t+11 = －4.9[(t2－t+)－]+11 = －4.9(t－)2+11.4 对称轴： ， 顶点坐标： . 直线t= (，11.4) 6 新知探究 h/m O t/s 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 6 7 8 9 10 11 12 h=-4.9t2+2.8t+11 ( ，11.4) 你能解释该图象顶点横、纵坐标的含义吗？ 7 新知探究 h/m O t/s 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 6 7 8 9 10 11 12 h=－4.9t2+2.8t+11 ( ，11.4) 函数h=－4.9t2+2.8t+11的图象，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗? 8 新知探究 思考1 二次函数y=ax2+bx+c的最值由什么决定? 二次函数y=ax2+bx+c的最值由a的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. y O x x= 最小值 y O x x= 最大值 9 新知探究 思考2 当自变量x为全体实数时，二次函数y=ax2+bx+c的最值是多少? 当a>0时，有y最小值= ，此时x= ； 当a<0时，有y最大值= ，此时x= . 10 新知探究 思考3 当自变量x限定范围时，二次函数y=ax2+bx+c的最值如何确定? 先判断x=是否在限定范围内，若在，则二次函数在x= 时取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则根据二次函数的增减性确定其最值. 11 12 新知探究 例2 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大?最大面积是多少? 分析：菜园面积是一边长的函数，设一边长为x m，由矩形的面积公式可得函数解析式，于是菜园的面积最大问题转化为函数的最大值问题. 菜园 墙 13 新知探究 问题：(1)矩形的面积公式是什么? 矩形的面积=长×宽 (2)如何用x表示另一边？ 面积S关于x的函数解析式是什么? S=－2x2+20x (0<x<10) 菜园 墙 在实际问题中，函数自变量的取值应使问题有现实意义.如菜园的边长应为正数，即x>0，且20-2x>0，于是自变量x的取值范围是0<x<10. 20-2x 14 新知探究 (3)由函数解析式S=－2x2+20x(0<x<10)可知抛物线的开口方向如何? 因为a=－2<0，所以抛物线开口向下. 所以面积S在何时取得最大值? 对称轴： x== = 5， 因为0<5<10 所以当x=5时，面积S取得最大值. 15 新知探究 解：设垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的边长为(20-2x)m， 矩形菜园的面积S=x(20－2x)， 即S=－2x2+20x(0＜x＜10). 当x== = 5，时，S有最大值. = =50. 因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50m2. 菜园 墙 16 新知探究 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式求它的最大值或最小值； 3.当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的范围求函数最值. 17 新知探究 利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： 1. 根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式； 2. 确定自变量的取值范围； 3. 根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； 4. 根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值. 18 随堂演练 1.用一条长为40cm的绳子围成一个面积为S的长方形，S的值不可能为( ) A. 20 B.40 C. 100 D.120 2.某栋建筑物，从10m高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线(抛物线所在平面与墙面垂直)(如图). 如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流下落点B离墙距离OB是( ) A.2m B.3m C.4m D.5m D B A B x y O M 19 随堂演练 3.如果例2中墙的长度为8m，如何围才能使菜园的面积最大?最大面积是多少? 菜园 墙 解：由例2得，S=－2x2+20x. 对称轴为x=5，抛物线开口向下. 因为墙的长度为8m， 所以0<20-2x≤8，即6≤x<10.所以当x=6时，S有最大值. S最大值=－2×62+20×6=48m2.因此当垂直于墙的边长为6m，平行于墙的边长为8m时，菜园面积最大，最大面积是48m2. 20 随堂演练 4.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)的关系近似为h=30t－5t2 (0≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少? 解：抛物线化为顶点式为 h=30t－5t2=－5(t2 －6t+9－9)= －5(t －3)2+45 (0≤t≤6) 因为a=－5<0，所以抛物线开口向下. 对称轴：t=3，顶点坐标：(3，45). 所以小球运动到3秒时达到最高点. 小球运动的最大高度是45米. 21 随堂演练 5. 如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长15m的墙，想用长为40m的网绳围成一个矩形ABCD给奶奶养鸡，怎样使矩形ABCD的面积最大呢？同学淇淇帮她解决了这个问题，淇淇的思路是：设BC的边长为x m.矩形ABCD的面积为S m2，不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题： (1)求S与x的函数关系式.直接写出x的取值范围； (2)x为何值时，矩形ABCD的面积最大? A B D C 15m 22 随堂演练 解：设BC的边长为x m， (1)由题意得，S=x()= x2+20x(0﹤x ≤15) (2) ∵ S= x2+20x = (x －20)2+200， ∴当x<20时，S随x的增大而增大， 而0<x≤15 ∴当x=15时，S有最大值， 即矩形ABCD的面积最大. A B D C 15m x 23 课程小结 1. 运动轨迹最大高度问题 一个关键：分析变量变化关系，建立二次函数模型. 一个注意：自变量受实际运动限制，图像只是抛物线一段；顶点在取值范围内，可直接用顶点求最大高度. 2. 几何面积最值问题 一个关键：利用几何图形面积公式，建立函数关系式.    一个注意：先确定自变量取值范围；顶点不在取值范围内，要利用增减性在区间端点求最值. 24 第二十六章 二次函数 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 26.4.1 最大高度与最大面积问题 25 $