26.2.2.3 二次函数y=a（x-h)2+k的图像和性质 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章 二次函数 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 26.2.2.3 二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质 1 教学目标 1. 掌握二次函数y=a(x-h) 2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值；理解抛物线y=ax2经过左右、上下平移得到y=a(x-h) 2+k的规律；能利用顶点式解决简单实际问题. 2. 经历画图观察、对比猜想、小组归纳的过程，完整理解二次函数图像变换，体会数形结合、数学建模思想. 3. 借助图像平移动画感受几何变换的规律，感受数学在生活中的应用，提升学习兴趣. 2 旧知回顾 1. 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 y = 4x2 向上 y轴或x=0 (0，0) 最小值0 y = -2x2 +3 向下 y轴或x=0 (0，3) 最大值3 y =3x2 -5 向上 y轴或x=0 (0，-5) 最小值-5 y = 0.6(x-5)2 向上 x=5 (5，0) 最小值0 y = -5(x+3)2 向下 x=-3 (-3，0) 最大值0 3 旧知回顾 2.把抛物线y=3x2向右平移 2 个单位长度得到的抛物线是（ ）A. y=3(x+2)2 B. y=3(x-2)2 C. y=3x2+2 D. y=3x2-2 B 4 5 新知探究 (1) 画出二次函数y = (x+1)2－1的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点. (2) 抛物线y = (x+1)2－1与抛物线y = x2有什么关系? 探究 6 新知探究 先列表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y = (x+1)2－1 … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … 7 新知探究 然后描点画图，就得到 y = (x+1)2－1的图象. y = (x+1)2－1 y O -4 2 x -2 -2 4 -4 -6 8 新知探究 y = (x+1)2－1 y O -4 2 x -2 -2 4 -4 -6 y = (x+1)2－1 开口 方向 向下 对称轴 x=－1 顶点 (－1, －1) 9 新知探究 抛物线y=(x+1)2－1是由抛物线 y=x2经过怎样的变换得到的？ y O -4 2 x -2 -2 4 -4 -6 y = -(x+1)2 y = (x+1)2－1 y = -x2 y = -x2 y = -(x+1)2 y = (x+1)2－1 向左平移一个单位 向下平移一个单位 10 新知探究 请依据上述发现，说说抛物线y=a(x－h)2+k是由抛物线y=ax2(a≠0)通过怎样的平移而得到的? y=ax2 y=a(x－h)2 向右(h> 0)或向左(h < 0)平移|h|个单位长度 y=ax2+h y=a(x－h)2+k 向右(h> 0)或向左(h < 0)平移|h|个单位长度 向上(k> 0)或向下(k < 0)平移|k|个单位长度 向上(k> 0)或向下(k < 0)平移|k|个单位长度 向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度 再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度 11 新知探究 h<0，将抛物线y=ax2向左平移， h>0，将抛物线y=ax2向右平移； k>0，将抛物线y=ax2向上平移； k<0，将抛物线y=ax2向下平移. y O -4 2 x -2 -2 4 -4 -6 y =a(x-h)2+k y = ax2 h k 简记为： 上下平移，括号外上加下减； 左右平移，括号内左加右减. 二次项系数a不变. 12 新知探究 y=a(x－h)2+k a＞0 a＜0 图象 h＜0 h＞0 开口方向 向上 向下 二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质： y x O k ＞ 0 k ＜ 0 y x O k ＞ 0 k ＜ 0 y x O k ＞ 0 k ＜ 0 y x O k ＞ 0 k ＜ 0 13 新知探究 y=a(x－h)2+k a＞0 a＜0 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h， k) 增减性 x<h，y随x增大而减小 x>h，y随x增大而增大 x<h，y随x增大而增大 x>h，y随x增大而减小 x<0，y随x增大而增大 x>0，y随x增大而减小 最值 x=h时，y最小值=k x=h时，y最大值=k x=0时，y最大值=k 14 新知探究 例2 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3.6m，水管的长应为多少? 解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. y/m O 2 x/m 4 1 3 1 2 3 (1.6，3） 3.6 15 新知探究 点(1.6，3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为 y=a (x-1.6)2+3 (0≤x≤3.6). 由这段抛物线经过点(3.6，0)，可得 0=a (3.6-1.6)2+3. 解得a= . 因此y =(x-1.6)2+3 (0≤x≤3.6). 当x=0时，y=1.08， 也就是说，水管的长应为1.08m. y/m O 2 x/m 4 1 3 1 2 3 (1.6，3） 3.6 16 随堂演练 1.已知点(-2，y1)，(3， y2)，(7， y3)都在二次函数y=-(x-2)2+c的图象上，则y1 ， y2 ， y3的大小关系是( ) A. y1 ＞ y2 ＞ y3 B. y1 ＞ y3 ＞ y2 C. y2 ＞ y1 ＞ y3 D. y3 ＞ y2 ＞ y1 C 2. 在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2x2不动，把x轴、y轴分别向上、向右都平移3个单位长度，那么在新坐标系中，抛物线的解析式是( ) A.y=2(x+3)2-3 B. y=2(x-3) 2+3 C.y=2(x-3) 2-3 D. y=2(x+3) 2+3 A 17 随堂演练 3.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况: (1) y =2(x+3)2+5； (2) y =-3(x-1)2-2； (3) y =4(x-3)2+7； (4) y =-5(x+2)2-6. (1) 开口方向： . 对称轴： . 顶点： . y的变化情况： 向上 x=-3 (-3，5) 当x<h时，y随x增大而减小； 当x>h时，y随x增大而增大. 18 随堂演练 3.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况: (1) y =2(x+3)2+5； (2) y =-3(x-1)2-2； (3) y =4(x-3)2+7； (4) y =-5(x+2)2-6. (2) 开口方向： . 对称轴： . 顶点： . y的变化情况： 向下 x=1 (1，-2) 当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小. 19 随堂演练 3.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况: (1) y =2(x+3)2+5； (2) y =-3(x-1)2-2； (3) y =4(x-3)2+7； (4) y =-5(x+2)2-6. (3) 开口方向： . 对称轴： . 顶点： . y的变化情况： 向上 x=3 (3，7) 当x<h时，y随x增大而减小； 当x>h时，y随x增大而增大. 20 随堂演练 3.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况: (1) y =2(x+3)2+5； (2) y =-3(x-1)2-2； (3) y =4(x-3)2+7； (4) y =-5(x+2)2-6. (4) 开口方向： . 对称轴： . 顶点： . y的变化情况： 向下 x=-2 (-2，-6) 当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小. 21 随堂演练 4.说出下列二次函数的最大值或最小值: (1) y= (x+2)2-2； (2) y= (x-1)2+2. 解：(1)a = >0，抛物线开口向上，有最小值， 当x=-2时，最小值y=-2，无最大值. (2) a = <0，抛物线开口向下，有最大值， 当x=1时，最大值y=2，无最小值. 22 随堂演练 5.如图，点P(a，3)在抛物线C：y=4-(6-x)2上，且在对称轴的右侧. (1)写出抛物线C的对称轴和y的最大值，并求出a的值； 解： ∵抛物线C： y=4-(6-x)2 =-(x-6)2+4， ∴抛物线C的对称轴为直线x=6， y的最大值为4. 当y=3时，3=-(x-6)2+4， 解得x=5或x=7. ∵点P在对称轴的右侧， ∴ a=7. y O x 1 1 C -1 -1 P 23 随堂演练 (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′.平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数解析式恰好为y=-(x-3)2.求点P′移动的最短路程. ∵平移后的抛物线的解析式为y=-(x-3)2， ∴平移后的点坐标为(3，0). ∵平移前抛物线的顶点坐标为(6，4)， ∴点P′移动的最短路程为 =5. y O x 1 1 C -1 -1 P 24 课程小结 二次函数y=a(x－h)2+k图象及性质 平移规律 1. a＞0，开口向上； a＜0，开口向下. 2.对称轴：直线x=h. 3.顶点坐标（h，k）. 图象 上下平移，括号外上加下减； 左右平移，括号内左加右减. 二次项系数a不变. 25 第二十六章 二次函数 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 26.2.2.3 二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质 26 $