26.3 二次函数与一元二次方程 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十六章 二次函数 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 26.3 二次函数与一元二次方程 1 教学目标 1. 理解二次函数图象与x轴交点和一元二次方程根之间的关系. 2. 会利用一元二次方程根的判别式判断抛物线与x轴的交点个数；能利用二次函数图象估计一元二次方程根的近似值. 3.经历观察、猜想、归纳、探究的过程，体会数形结合思想，感受函数与方程之间相互转化的数学方法，提升观察、分析、归纳能力. 2 3 课程导入 1. 若一次函数y=kx+b的图象经过点(0，1)，(1，0)，则方程kx+b=0的解是 . 2. 一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=-3的解是 . -2 x O y (-2，-3) -3 x=1 x=-2 4 课程导入 以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系.类似地，可以从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系. 5 新知探究 思考 如图，下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数值是多少? (1) y=x2+x-2； (2) y=x2-8x+16； (3) y=x2-x+1. 由此，你能说说方程 x2+x-2=0，x2-8x+16 =0 ，x2-x+1 =0 的根的情况吗? O 2 x y 4 2 6 4 6 -2 -2 y=x2+x-2 y=x2-8x+16 y=x2-x+1 6 新知探究 (1) 由图可以看出抛物线y=x2+x-2与x轴有 个公共点. 它们的横坐标分别是 、 . 当x取公共点的横坐标时，函数值是 . 由此，得出方程x2+x-2=0的根为多少？ O 2 x y 4 2 6 4 6 -2 -2 y=x2+x-2 x1=-2，x2=1. 两 -2 1 0 7 新知探究 (2) 由图可以看出抛物线y=x2-8x+16与x轴有 个公共点. 公共点的横坐标是 . 当x= 时，函数值是0. 由此，得出方程y=x2-8x+16的根为多少？ x1=x2=4. 一 4 4 O 2 x y 4 2 6 4 6 -2 -2 y=x2-8x+16 8 新知探究 (3) 由图可以看出抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点. 由此，得出方程y=x2-8x+16没有实数根. O 2 x y 4 2 6 4 6 -2 -2 y=x2-x+1 9 新知探究 方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标.当抛物线与x轴没有公共点时，对应的方程无实数根. 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与x轴的公共点的情况. 10 新知探究 二次函数y=ax2+bx+c与x轴公共点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0根 Δ=b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 Δ＞0 有一个交点 有两个相等的实数根 Δ＝0 没有交点 没有实数根 Δ＜0 若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，则b2-4ac≥0. 11 新知探究 例1 如图，以40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，小球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)的关系近似为h= 20t–5t2 .小球的飞行高度能否达到20m? 如果能，需要多少时间? 12 新知探究 分析：问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数h=20t－5t2的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程20=20t－5t2的根的问题. h=20t-5t2 h t o 13 新知探究 解：当h=20时，由函数关系h=20t一5t2，列得方程20=20t－5t2. 即t2－4t+4=0. 解方程，得t1=t2=2. 这说明，当自变量t=2时，二次函数h=20t一5t2的函数值为20， 即当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m. 20m h=20t-5t2 h t o 2 20 14 新知探究 追问： (1)小球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? 解：当h=15时，15=20t－5t2， 解得，t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. h=20t-5t2 h t o 1 15 3 15 新知探究 追问：(2)小球的飞行高度能否达到 20.5 m？如果能，需要多长时间？ 解：20.5=20t－5t2， t2-4t+4.1=0 因为(-4)2-4×4.1<0，所以方程无实数根.即球的飞行高度达不到20.5 m. h=20t-5t2 h t o 20.5 16 新知探究 追问：(3) 小球从飞出到落地，需要多长时间? 0=20t-5t2 t2-4t=0 解得t1=0，t2=4. 当小球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m.这表明小球从飞出到到落地要用4 s，即0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面. 解：小球飞出时和落地时的高度都为0 m. h t o 17 新知探究 从以上可以看出： 已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的值，就是求相应一元二次方程的解. 例如，已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值.就是求方程3=-x2+4x的解. 例如，解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值. 18 新知探究 从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程. 二次函数与一元二次方程的关系： y=ax2+bx+c 一元二次方程 y取定值 且a ≠0 已知二次函数中因变量的值，求自变量的值 求相应的一元一次方程的根 19 新知探究 【归纳】 一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象，可得如下结论： (1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标为x0，那么当x = x0时，函数值是0，因此x = x0是一元二次方程ax2+bx+c =0的一个根； 20 新知探究 (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点的情况有三种： 没有公共点，有一个公共点，有两个公共点. 分别对应着一元二次方程ax2+bx+c =0的根的三种情况： 没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. 21 新知探究 例2 利用函数图象求方程 x2-2x-2 = 0的根的近似值(结果保留小数点后一位). 解：画出函数y = x2-2x-2的图象，如图所示： 它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7. 所以方程 x2-2x-2 =0的实数根 为x1≈-0.7，x2≈2.7. y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 y=x2-2x-2 由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的. 22 新知探究 我们还可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根. 观察函数y = x2-2x-2的图象，可以发现： y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 y=x2-2x-2 点(2，-2)在x轴的下方，即当自变量为2时的函数值小于0； 点(3，1)在x轴的上方，即当自变量为3时的函数值大于0. (2，-2) (3，1) 23 新知探究 因为抛物线y = x2-2x-2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y = x2-2x-2 在2<x<3这一段经过x轴. 也就是说，当自变量取2，3之间的某个值时，函数值为0，即方程 x2-2x-2 =0在2，3之间有根. y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 y=x2-2x-2 (2，-2) (3，1) 24 新知探究 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. 例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为－0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间. 再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间. 25 新知探究 重复上述步骤，我们逐步得到： 这个根在2.625，2.75之间，在2.6875，2.75之间......可以看到： 根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值. 例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于|2.6875－2.75|=0.062 5<0.1，我们可以将2.7(精确到 0.1)作为根的近似值. 26 新知探究 思考：你能用这种方法得出方程x2-2x-2 =0的另一个根的近似值吗(要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1)? 观察函数y=x2-2x-2的图象，可以发现： 点(-1，1)在x轴的上方，即当自变量为-1时的 函数值大于0，点(0，-2)在x轴的下方，即当 自变量为0时的函数值小于0. 因为抛物线y=x2-2x-2是一条连续不断的曲 线，所以抛物线在-1＜x＜0这一段经过x轴. 也就是说，方程x2-2x-2 =0在-1和0之间有根. y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 y=x2-2x-2 27 新知探究 通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. 取-1和0的平均数-0.5，用计算器算得自变量为-0.5时的函数值为-0.75<0，与自变量为-1时的函数值异号， 所以根在-1与-0.5之间. 再取-1与-0.5的平均数-0.75，计算自变量 为-0.75时的函数值为0.0625>0，与自变量 为-0.5时的函数值异号， 所以根在-0.75与-0.5之间. y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 y=x2-2x-2 28 新知探究 重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在 -0.75，-0.625 之间，在-0.75，-0.6875之间...... 例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于 |-0.6875-(-0.75)|=0.0625<0.1，我们可以将 -0.6875作为根的近似值. 最终，根要求精确到0.1，故取x2≈-0.7. y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 y=x2-2x-2 这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程. 29 随堂演练 1.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过A(x1，m)，B (x1+n，m)两点，则m，n的关系为( ) A. m = n B. m = n C. m = n2 D. m = n2 2.下列抛物线中，与x轴有两个交点的是( ) A.y=3x2 -5x+3 B. y=4x2 -12x+9 C. y=x2 -2x+3 D. y=2x2 +3x-4 D D 30 随堂演练 3.二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则其对称 轴是 ，方程x2+bx+c＝0 的解是 ． 4.下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值： 那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是 。 x＝-1 x1＝-3，x2＝1 x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 1.2 -3 1 x y O 31 随堂演练 5. 利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根. 解：画出函数y= 2x2+x-15的图象，如图所示. 它与x轴的公共点的横坐标大约是-3，2.5. 所以方程2x2+x-15=0的实数根为 x1≈-3，x2≈2.5. y O x -5 -10 -15 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 5 10 15 y= 2x2+x-15 32 随堂演练 6.如图，已知直线y=-与抛物线y=-+6交于A，B两点. (1)求A，B两点的坐标； (2) -+6 ＞ -的解集为 ； (3) -+6 ＜ -的解集为 ； 解：(1)A(6，-3)，B(-4，2). (2)-4<x<6. (3)x<-4或x>6. x y O 3 B A 33 随堂演练 7.利用函数图象求下列方程根的近似值(结果保留小数点后一位): (1) x2-3x+1=0； 设y=x2-3x+1 开口向上，对称轴：x = =1.5，顶点(1.5，- ) 求抛物线与x轴交点横坐标，就是方程的根： x1= ≈2.6，x2= ≈0.4. 34 随堂演练 (2) -x2-x+1=0. 设 y = -x2-x+1 开口向下，解方程： -x2-x+1=0 x2+x-1=0 x1≈-0.6，x2≈1.6. 35 随堂演练 8.如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数 y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象上． (1)求m的值和二次函数的解析式； 解：将点A(－1，0)的坐标代入y+1＝－x＋m，得m＝－1； 将点A(－1，0)，B(2，－3)的坐标分别代入y2＝ax2＋bx－3，得 解得 ∴y2＝x2－2x－3. -1 x y O -3 3 A C B y2＝ax2＋bx－3 y1＝－x＋m 36 随堂演练 (2)设二次函数的图象交y轴于点C，求△ABC的面积． 易知C点的坐标为(0，－3)， 又∵B点的坐标为(2，－3)， ∴BC∥ x轴． ∴S△ABC＝×(2－0)×[0－(－3)] ＝ ×2×3＝3. -1 x y O -3 3 A C B y2＝ax2＋bx－3 y1＝－x＋m 37 随堂演练 9.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围． 解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数． ∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点， ∴k＝3； 当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数． ∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点， ∴Δ＝b2－4ac≥0. ∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16， ∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3. 综上所述，k的取值范围是k≤4. 38 随堂演练 10.已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值． (1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点； (2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， ∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3， ∴a＝1. 39 课程小结 判别式Δ=b2-4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况 有两个不相等的实数根x1，x2 有两个不相等的实数根x1=x2=- 无实数根 抛物线与x轴的三种位置关系 有两个公共点 (x1，0)，(x2，0) 有两个不相等的实数根(- ，0) 没有公共点 O y x1=x2 x O y x1 x2 x O y x 40 第二十六章 二次函数 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 26.3 二次函数与一元二次方程 41 $