26.3 课时1 二次函数与一元二次方程的联系 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

我们以前学习过一次函数与一元一次方程的关系，你还记得一次函数 的图象与轴的交点和一元一次方程的根有什么关系？ 一次函数的图象与 轴交点的横坐标就是一元一次方程=0的根 【练习】若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)，(1，0)，则方程kx＋b＝0的解是_______. x＝1 二次函数与一元二次方程之间是否也存在类似的联系呢？ 复习导入 22051 课时1二次函数一元二次方程的联系 26.3二次函数与一元二次方程 22051 1.理解二次函数与一元二次方程（不等式）之间的联系. 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集. 学习目标 22051 【探究】如图，下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当取公共点的横坐标时，函数值是多少？ (1)； (2) 𝑦=𝑥²−8𝑥+16 ； (3) 𝑦=𝑥²−𝑥+1. 由此，你能说说方程 𝑥²+𝑥−2=0，𝑥²−8𝑥+16=0，𝑥²−𝑥+1=0的根的情况吗？ 新知讲解 22051 (1) 𝑦=𝑥²+𝑥−2 通过图中的函数图象可以看出： 抛物线𝑦=𝑥²+𝑥−2与𝑥轴有两个公共点，它们的横坐标分别是-2，1．当𝑥取公共点的横坐标时，函数值是0．由此可知，方程𝑥²+𝑥−2=0有两个不相等的实数根一2，1. (2) 𝑦=𝑥²−8𝑥+16 抛物线𝑦=𝑥²−8𝑥+16与𝑥轴只有一个公共点，它们的横坐标分别是4．当𝑥=4时，函数值是0．由此可知，方程𝑥²−8𝑥+16=0有两个相等的实数根4. 新知讲解 22051 (3) 𝑦=𝑥²−𝑥+1. 通过图中的函数图象可以看出： 抛物线𝑦=𝑥²−𝑥+1与𝑥轴没有公共点．由此可知，方程𝑥²−𝑥+1 =0没有实数根. 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与 x 轴的公共点的情况。 新知讲解 22051 二次函数图象与轴的公共点和一元二次方程根的关系. （1）如果抛物线𝑦=𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐与x轴有公共点，公共点的横坐标是xo，那么当x= xo时，函数值是0，因此x= xo是一元二次方程𝑦=𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐的一个根. 归纳 22051 （2）二次函数𝑦=𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐的图象与x轴公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，分别对应着一元二次方程𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. 二次函数图象与轴的公共点和一元二次方程根的关系. 归纳 22051 【例1】如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击 出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度ℎ （单位：m）与飞行时间𝑡（单位：s）的关系近似为 ℎ=20𝑡−5𝑡².小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多长时间？ 分析：问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数ℎ=20𝑡−5𝑡²的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程20=20𝑡−5𝑡²的根的问题. 典例精析 22051 解：当h=20时，由函数关系h=20𝒕−5𝒕²，列得方程 20=20𝒕−5𝒕² ， 即 𝒕²−𝟒𝒕+𝟒=𝟎. 解方程，得 𝒕𝟏=𝒕𝟐=𝟐. 这说明，当自变量t=2时，二次函数h=20𝒕－5𝒕²的函数值为 20，即当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m. 典例精析 22051 【思考】二次函数𝑦=𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐何时为一元二次方程？ 一般地，当取定值且≠0时，二次函数为一元二次方程 如：y=20时，则20=𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)就是一个一元二次方程 所以二次函数与一元二次方程关系密切： 例如，已知二次函数𝑦=−𝑥²+4𝑥的值为3，求自变量𝑥的值，可以解一元二次方程−𝑥²+4𝑥=3（即𝑥²−4𝑥+3=0) 反过来，解方程𝑥²−4𝑥+3=0又可以看作已知二次函数𝑦=𝑥−4𝑥+3的值为0，求自变量的值. 新知讲解 22051 已知抛物线与轴没有交点，则的取值范围是_________． 解：抛物线与轴没有交点， ∴， 解得， 的取值范围是． ． 分析：本题考查抛物线与轴的交点问题，抛物线与轴没有交点，则，进而求解． 巩固练习 22051 二次函数=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与𝑥轴交点 一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的根 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 二次函数𝑦=𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐=0根的关系: 课堂小结 22051 1.下列抛物线中，与轴有两个交点的是(　　） A．B． C．D． A 2.已知二次函数𝑦=𝑥2−3𝑥+𝑚（为常数）的图象与轴的一个交点为(1, 0)，则关于的一元二次方程𝑥2−3𝑥+𝑚=0的两实数根是( ). A. 1=1, 2=−1 B. 1=1, 2=2 C. 1=1, 2=0 D. 1=1, 2=3 B 当堂检测 基础 22051 3.若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解为x1＝3，另一个解为x2＝_______，不等式－x2＋2x＋k＜0的解集为______________. －1 x＜－1或x＞3 当堂检测 基础 22051 4.已知：抛物线𝑦=𝑥²+𝑎𝑥+𝑎−2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线𝑦=𝑥²+𝑎𝑥+𝑎−2与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(1，0)，B(2，0)，且1、2的平方和为3，求的值. (1)证明：∵4=𝑎²−4(𝑎−2)=(𝑎−2)²+4>0, ∴不论取何值时，抛物线𝑦=𝑥²+𝑎𝑥+𝑎−2与轴都有两个不同的交点； ∴x12+x22=(x1+x2)²−2x1x2=𝑎²−2𝑎+4=3, ∴𝑎=1. (2)∵1+2=−𝑎， 2=𝑎−2 当堂检测 提升 22051 $