26.2.1 二次函数y=ax²的图像和性质 课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章 二次函数 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 26.2.1 二次函数y=ax2的 图像和性质 1 学习目标 1. 会用描点法画二次函数y=ax2的图象，认识抛物线；掌握y=ax2的开口方向、对称轴、顶点；理解a对图象的影响，掌握增减性. 2. 经历列表、描点、连线画图象的全过程，体会数形结合、从特殊到一般的研究函数方法；通过对比多个函数图象，归纳性质，提升观察、归纳能力. 2 课程导入 1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是 . 特别地，正比例函数y=kx(k≠0)的图象是 . 2.描点法画出一次函数的步骤： 分别为 、 、 三个步骤. 3.我们把形如 的函数叫作二次函数. 一条经过(0，b)的直线 过原点的直线 列表 描点 连线 y=ax2+bx+c(a≠0) 3 4 新知探究 同学们，上节课我们知道了什么是二次函数，今天我们要进一步研究它长什么样，它的变化规律又是什么. 既然函数学习要从解析式走向图象，那我们就从最简单的二次函数开始，一起画图、观察、归纳，真正读懂抛物线. 5 新知探究 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 画出二次函数y=x2的图象.（列表、描点、连线） 9 4 1 0 1 9 4 1.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： 2.描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点（x，y）. 3.连线：再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象. 3 6 9 y O -3 3 x y=x2 6 新知探究 可以看出，二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，只是这条曲线开口向上. 实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下，我们把二次函数y=ax2+bx+c的图象叫作抛物线y=ax2+bx+c(a≠0). 3 6 9 y O -3 3 x y=x2 7 新知探究 抛物线y=x2是轴对称图形吗？它的对称轴在哪里？ 抛物线y=x2与对称轴交点坐标为________叫做抛物线y=x2的_______, 它是抛物线y=x2的最_______点. 抛物线y=x2是轴对称图形，它的对称轴是y轴. 对称轴 顶点 （0，0） 顶点 低 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 【切记】顶点是抛物线的最低点或最高点. 3 6 9 y O -3 3 x y=x2 8 新知探究 从二次函数y=x2的图象可以看出： 在对称轴的_____，抛物线从左到右下降； 在对称轴的_____，抛物线从左到右上升. 也就是说， 当x＜0时，y随x的增大而_____； 当x＞0时，y随x的增大而_____. 左侧 右侧 减小 增大 3 6 9 y O -3 3 x y=x2 9 新知探究 解：分别列表，再画出它们的图象. x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y = x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 例1 在同一平面直角坐标系中，画出函数y = x2，y = 2x2的图象. 10 新知探究 2 y O -2 x 2 4 -4 4 6 8 y = x2 y =2x2 11 新知探究 不同点：开口大小不同，a值越大抛物线开口越小. 思考 (1) 函数y = x2，y = 2x2的图象与函数y=x2的图像相比，有什么共同点和不同点？ 2 y O -2 x 2 4 -4 4 6 8 y = x2 y =2x2 y =x2 相同点：① 图象开口向上； ② 顶点(0，0)； ③ 图象关于y轴对称； ④ 顶点是抛物线的最低点； ⑤ 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大. 12 新知探究 (2) 利用信息技术工具画二次函数y = ax2(a>0)的图象，改变a的值，函数y = ax2的图象也发生了改变. 随着a的变化，二次函数y = ax2的图象有什么变化? 一般地，当a＞0时，抛物线 y=ax2开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小. 注：播放状态点击跳转网页 13 新知探究 回顾上面研究二次函数y=ax2(a>0)的图象和性质的过程，你能 用类似的方法研究二次函数y=ax2(a<0)的图象和性质吗? 探究 在同一直角坐标系中，画出函数y=-x2，y=-x2， y= -2x2 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点. 14 新知探究 y O -2 x 2 4 -4 -2 y = x2 y =－2x2 y =－x2 -4 -6 -8 不同点：开口大小不同，a值越小抛物线开口越小. 相同点：① 图象开口向下； ② 顶点(0，0)； ③ 图象关于y轴对称； ④ 顶点是抛物线的最高点； ⑤ 当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0时，y随x增大而减小. 15 新知探究 y＝ax2 a>0 a<0 图象 位置开口方向 开口向上，在x轴上方 开口向下，在x轴下方 对称性 关于y轴对称，对称轴是y轴（直线x＝0） 顶点最值 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 增减性 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大. 当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0时，y随x增大而减小. y x O y x O 16 随堂演练 1.下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ） A.它的图象经过点（-1，-2） B.它的图象的对称轴是直线x＝2 C.当x＜0时，y随x的增大而增大 D.当－1≤x≤2时，y有最大值为8，最小值为0 2.若二次函数y=ax2的图象过点P(-2，4)，则该图象必经过点( ) A.(2，4) B.(-2，-4) C.(-4，2) D.(4，-2) D A 17 随堂演练 3.在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象: (1) y =3x2； (2) y =-3x2. y x y =3x2 y =-3x2 O 18 随堂演练 4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况: (1) y =4x2； (2) y = －4x2； (3) y =x2； (4) y =－x2. (1) 开口方向： . 对称轴： . 顶点： . y的变化情况： 向上 y轴 (0，0) 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大. 19 随堂演练 4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况: (1) y =4x2； (2) y = －4x2； (3) y =x2； (4) y =－x2. (2) 开口方向： . 对称轴： . 顶点： . y的变化情况： 向下 y轴 (0，0) 当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0时，y随x增大而减小. 20 随堂演练 4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况: (1) y =4x2； (2) y = －4x2； (3) y =x2； (4) y =－x2. (3) 开口方向： . 对称轴： . 顶点： . y的变化情况： 向上 y轴 (0，0) 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大. 21 随堂演练 4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况: (1) y =4x2； (2) y = －4x2； (3) y =x2； (4) y =－x2. (4) 开口方向： . 对称轴： . 顶点： . y的变化情况： 向下 y轴 (0，0) 当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0时，y随x增大而减小. 22 随堂演练 5. 下列说法中正确的序号是（ ） ①在函数y=-x2中，当x=0时y有最大值0 ②在函数y=2x2中，当x>0时y随x的增大而增大 ③抛物线y=2x2 ，y=-x2 ，y=-x2中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=-x2的开口最大 ④不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点 ①②④ 23 随堂演练 6.函数y=(m－2)为二次函数， (1)若其函数图象开口向上，求函数的解析式； (2)若当x≥0时，y随x的增大而减小，求函数的解析式. 解：∵函数y=(m－2)为二次函数， ∴ m2-3m-2=2，且m-2≠0， 解得m1=4，m2= -1. ∵其函数图象开口向上， ∴ m- 2>0，解得m>2， ∴ m=4. ∴函数关系式为y=2x2； 24 随堂演练 （2）∵当x≥0时，y随x的增大而减小， ∴m﹣2＜0，∴m＜2，∴m＝﹣1， ∴函数关系式为y＝﹣3x2． 6.函数y=(m－2)为二次函数， (1)若其函数图象开口向上，求函数的解析式； (2)若当x≥0时，y随x的增大而减小，求函数的解析式. 25 随堂演练 7. 在平面直角坐标系中，若抛物线 y = 2x² 与直线 y = x + 1 交于点 A (a,b) 和点 B (c,d)，其中 a > c，点 O 为原点，求△ABO 的面积. 解：由题意得： ，解得x = -或 x = 1 ∵点 A (a，b) 和点 B (c，d)，其中 a > c ∴A (1，2)，B (-，) 直线 y = x + 1 与 y 轴的交点坐标为：(0， 1) ∴S△ABO = × × 1 + × 1 × 1 = y x O -1 1 2 -1 1 2 B A 26 课程小结 二次函数y=ax2图象及性质 画法 轴对称图形 图象 描点法 性质 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 以对称轴为中心对称取点 抛物线 27 第二十六章 二次函数 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 26.2.1 二次函数y=ax2的 图像和性质 28 feixianglaoshi.com 立即体验 $