26.2.2 课时1 二次函数y=ax2+k的图像和性质 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.2.2第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 22051 二次函数y=ax2+k的图象和性质 图象 1.开口方向由a的符号决定； 2. k决定顶点的位置； 3.对称轴是y轴. 性质 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 与y=ax2的关系 平移规律： k正向上； k负向下. 学习目标 22051 解：先列表： x ··· −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· ··· ··· 在同一直角坐标系中，画出二次函数 ， 的图象． 探究点1： 二次函数y=ax2+k的图象和性质 22051 y x −3 −2 −1 o 1 2 3 1 2 3 4 5 6 描点、连线，画出这两个函数的图象. 7 8 9 10 探究点1： 二次函数y=ax2+k的图象和性质 22051 【思考】上一章是如何通过配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0的？由此，你得到了什么启发？ 一元二次方程ax2+bx+c=0 配方 这样，当分别讨论，的取值时，就可以建立起与的联系了. 用a，b，c表示，这里的h和k分别是什么？ 22051 【问题】用a，b，c表示，这里的h和k分别是什么？ y=ax2+bx+c y=ax2+bx+c=a(x2+​x)+c 步骤 1：提取二次项系数，分组含x的项 步骤 2：括号内配方，构造完全平方 y=a[x2+x+()2−()2]+c 步骤 3：合并完全平方式，展开常数项 步骤 4：化简常数项，得到标准顶点式 y=a(x+)2+ 22051 抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 （0，1） （0，－1） y轴 y轴 想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k(a＞0)的性质是什么？ 探究点1： 二次函数y=ax2+k的图象和性质 22051 例1 关于二次函数y=2x2+4，下列说法错误的是（　　） A．其图象的开口方向向上 B．当x=0时，y有最大值4 C．其图象的对称轴是y轴 D．其图象的顶点坐标为（0，4） B 探究点1： 二次函数y=ax2+k的图象和性质 22051 【问题】用a，b，c表示，这里的h和k分别是什么？ y=ax2+bx+c y=a(x+)2+ 对应可得 h表示 ； k表示 22051 【探究】 （1） 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. （2） 抛物线, 与抛物线 有什么关系？ 下面先来讨论当，时，二次函数的图象和性质 22051 y -2 -2 4 2 2 -4 x 0 做一做： 在同一坐标系内画出 下列二次函数的图象： 探究点1： 二次函数y=ax2+k的图象和性质 22051 根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是 . (2)三条抛物线的开口方向 ； (3)对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________； 抛物线 向下 y轴 ( 0，0)， ( 0，2)， ( 0，−2) 探究点1： 二次函数y=ax2+k的图象和性质 22051 【探究】在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 解：先列表 22051 (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________. (6) 函数的增减性都相同： __________________________ ___________________________. 高 大 y=0 y= −2 y=2 对称轴左侧y随x增大而增大， 对称轴右侧y随x增大而减小 探究点1： 二次函数y=ax2+k的图象和性质 22051 二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的性质 y=ax2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 y轴 y轴 （0，k） （0，k） 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大. 探究点1： 二次函数y=ax2+k的图象和性质 22051 然后描点画图，就得到的图象. 可以看出，抛物线的开口向上，对称轴是轴，顶点是（0，2)；抛物线的开口向上，对称轴是轴，顶点是（0，2)； 1 2 3 O 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -2 4 4 -4 5 6 7 8 9 10 = = 22051 【探究】抛物线, 与抛物线 有什么关系？ 我们可以从形状和开口方向、对称轴、顶点坐标、位置关系四个角度来分析它们的关系. ①形状和开口方向：三条抛物线的形状相同，开口方向都向上(因为) ②对称轴：都是轴(直线 ③坐标：的顶点是(0，0) 的顶点是(0，2) 的顶点是(0，-2) 1 2 3 O 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -2 4 4 -4 5 6 7 8 9 10 22051 例2 关于抛物线y=−x2+1与y=x2−1，下列说法正确的是 （　　） A．开口方向相同 B．顶点相同 C．对称轴相同 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 C 探究点1： 二次函数y=ax2+k的图象和性质 22051 做一做：画出二次函数 y=2x² ， y=2x2+1 ，y=2x2−1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2+1 … … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2-1 … … 3.5 1 −0.5 1 −0.5 −1 3.5 5.5 1.5 3 1.5 1 3 5.5 探究点2： 二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象之间的关系 22051 【探究】抛物线, 与抛物线 有什么关系？ ④位置关系： 把抛物（右图中的虚线图像）向上平移2个单位长度，就得到抛物线； 把抛物向下平移2个单位长度就得到抛物线 1 2 3 O 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -2 4 4 -4 5 6 7 8 9 10 22051 y=ax2 顶点(0, 0) y=ax2+k 顶点(0, k) 当k>0时，向上平移k个单位长度得到 当k<0时，向下平移∣k∣个单位长度得到 二次函数y=ax²+k（a≠0）与y=ax²的图象的关系: 上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减 22051 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 y=2x2+1 y=2x2 y=2x2−1 观察上述图象，说说它们之间的区别与联系. 探究点2： 二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象之间的关系 22051 解析式 y=2x2 y=2x2+1 y=2x2−1 +1 −1 点的坐标 函数对应值表 x … −1.5 −1 0 1 y=2x2-1 … y=2x2 … y=2x2+1 … 4.5 3.5 5.5 2 1 3 2 1 (x， ) (x， ) (x， ) 2x2−1 2x2 2x2+1 从数的角度探究 3 −1 0 1 探究点2： 二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象之间的关系 22051 提示：放映状态下点击图象 也可以利用信息技术工具画函数y=ax²+k的图象（不妨令a分别为和.改变k的值，可以发现，随着k的变化，二次函数y=ax²+k的图象在向上或向下平移，即把抛物线y=ax²向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度，就得到抛物线y=ax²+k 22051 二次函数y=ax²+k的图象特征和性质 3.对称轴 4.顶点坐标 1.开口方向： 时，开口向上； 时，开口向下 2.增减性与最值 时， 有最小值 ； 时， 有最大值 直线 ( 轴) 22051 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1. 下 y=2x2+1 上 从形的角度探究： y = 2x2 探究点2： 二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象之间的关系 22051 二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到. 二次函数y=ax2+k（a≠0）与y=ax2 的图象的关系 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 探究点2： 二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象之间的关系 22051 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 22051 一级标题：黑体， 28 的图象和性质 性质 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 与的关系 图像 开口方向由a的符号决定；2.k决定顶点位置；3.对称轴是y轴 22051 谢谢大家聆听 22051 $