专题06 圆（知识&考点&公式&11高频&3易错&6重难&3模型，期中知识清单）九年级数学上学期新教材冀教版

专题06 圆 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(11类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(6类) 答题类 解题模型清单(3类) 答题技巧清单 知识点01 圆的概念与基本元素 1.圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 ，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做 ，线段OA叫做 ． 2.圆的表示：以点O为圆心的圆记作 ，读作“圆O”． 3.圆的有关概念：连接圆上任意两点的线段叫做 ；经过圆心的弦叫做 （直径是圆中最长的弦）；圆上任意两点间的部分叫做 ． 4.圆既是轴对称图形（对称轴是任意一条过圆心的直线），又是中心对称图形（对称中心是 ）． 知识点02 垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且平分弦所对的 ． 2.推论：平分弦（不是直径）的直径 弦，并且平分弦所对的两条弧． 3.常见辅助线：过圆心作弦的垂线（或连接半径），利用勾股定理求弦长、半径或弦心距． 知识点03 弧、弦、圆心角之间的关系 1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等． 3.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 ，所对的弦也相等；如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角、弧也都相等． 知识点04 圆周角定理及其推论 1.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ． 3.推论1：同弧或等弧所对的圆周角 ． 4.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 ． 知识点05 点和圆的位置关系 1.设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：点P在圆内⟺ ；点P在圆上⟺ ；点P在圆外⟺ ． 2.不在同一直线上的三个点确定 圆． 3.三角形的外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心是三角形三边 的交点，叫做三角形的外心． 知识点06 弧长与扇形面积 1.弧长公式：半径为R、圆心角为n°的弧长l＝ ． 2.扇形面积公式：圆心角为n°的扇形面积S＝ ＝ ． 3.圆锥的侧面积：S侧＝ （r为底面半径，l为母线长）． 考点01 圆的基本概念与对称性 考点内容：圆、圆心、半径、直径、弦、弧等概念；圆的轴对称性与中心对称性． ①判断圆中的线段、弧等概念，理解直径是最长的弦； ②利用圆的对称性找相等的线段、弧； ③识别优弧、劣弧、等弧． 考点02 垂径定理及其应用 考点内容：垂径定理及其推论；垂径定理结合勾股定理求弦长、半径、弦心距． ①利用垂径定理求弦长、半径、弦心距； ②作辅助线（过圆心作弦的垂线）构造直角三角形； ③利用垂径定理证明或求弧、弦相等． 考点03 弧、弦、圆心角之间的关系 考点内容：同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系． ①利用等圆心角证明弧或弦相等； ②利用等弧、等弦求角度或线段； ③“圆心角—弧—弦”三者互化． 考点04 圆周角定理及其推论 考点内容：圆周角定理；推论（同弧所对圆周角相等、直径所对圆周角为直角）． ①求圆周角或圆心角的度数； ②利用直径所对圆周角是直角解题； ③利用圆周角相等找角或证线段关系． 考点05 点和圆的位置关系 考点内容：点和圆的三种位置关系（d与r）；不在同一直线上的三点确定一个圆． ①由d与r判断点与圆的位置关系； ②由位置关系确定参数范围； ③三角形外接圆、外心的概念与作图． 考点06 弧长与扇形面积的计算 考点内容：考查弧长公式：已知半径和圆心角，求弧长． 考查扇形面积：已知半径和圆心角，求扇形面积． 考查弓形面积：扇形面积减去对应三角形面积． 常见考法： ①已知圆心角和半径求弧长； ②已知圆心角和半径求扇形面积； ③求弓形面积（扇形面积减去三角形面积） 1 圆的性质与位置关系 序号 名称 结论（几何语言） 说明 1 圆的相关概念 圆心、半径、直径、弦、弧 直径是圆中最长的弦 2 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦及其所对的两条弧 作弦心距构造直角三角形 3 弧弦圆心角 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦相等 三者可互相转化 4 圆周角定理 同弧所对圆周角等于圆心角的一半 同弧所对圆周角相等 5 圆周角推论 直径所对圆周角是直角； 90°的圆周角所对弦是直径 构造直角三角形 6 点与圆位置关系 d＜r在圆内，d＝r在圆上， d＞r在圆外 d为点到圆心的距离 2 弧长与面积 序号 名称 结论（几何语言） 说明 7 弧长公式 l＝ n为圆心角度数，R为半径 8 扇形面积 S＝ ＝·l R 与弧长公式相互联系 辨析01 弦与直径的区别 弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦．直径是最长的弦，但弦不一定是直径．只有经过圆心的弦才是直径． 辨析02 圆心角与圆周角的关系 圆周角定理中必须强调"同弧"这一条件．同弧上的圆周角才等于圆心角的一半．不同弧上的圆周角与圆心角之间没有这种关系． 辨析03 等弧必须在同圆或等圆中 能够重合的两条弧叫做等弧．只有在同圆或等圆中，相等的弧才是等弧；不在同圆或等圆中的两条弧，即使长度相等也不能说相等． 辨析04 垂径定理及其推论的条件 垂径定理的推论“平分弦的直径垂直于弦”中，弦必须不是直径，否则结论不一定成立． 辨析05 圆心角、弧、弦的关系限于同圆或等圆 在同圆或等圆中，圆心角、所对弧、所对弦三者之间可互相转化；不在同圆或等圆中不能直接套用． 辨析06 圆周角的两边必须与圆相交 圆周角是顶点在圆上、两边都与圆相交的角．顶点在圆上但有一边不与圆相交，或顶点不在圆上，都不是圆周角． 辨析07 直径所对圆周角是直角 直径所对的圆周角是90°，反过来，90°的圆周角所对的弦是直径．这条推论常用于在圆中构造直角三角形解题． 辨析08 点和圆的位置关系由d与r决定 点到圆心的距离d与半径r比较：d＜r在圆内、d＝r在圆上、d＞r在圆外．确定圆需不在同一直线上的三个点，只有一个点不能确定圆． 辨析09 外心是垂直平分线的交点 三角形的外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做外心，它到三角形三个顶点的距离相等．锐角三角形外心在三角形内，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在三角形外． 辨析10 弧长与扇形面积的联系 扇形面积S＝1/2·lR，其中l是扇形的弧长、R是半径．由弧长公式l＝nπR/180可推出S＝nπR²/360，二者由圆心角n°紧密联系，求扇形面积时既可直接用公式也可用弧长． 【题型一】圆的基本概念辨析 【例1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【变式1-1】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）在半径为6的中有一条弦，则的长度不可能是（） A．3 B．6 C．12 D．14 【变式1-2】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，已知四条弧线，点在其中一条弧线所在的圆上，则点在（   ）    A．所在的圆上 B．所在的圆上 C．所在的圆上 D．所在的圆上 【题型二】判断确定圆的条件 【例2】（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【变式2-1】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点______确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 【变式2-2】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． (1)弧所在圆的圆心的坐标为________________； (2)求弧所在圆的半径； 【题型三】求能确定的圆的个数 【例3】（23-24九年级上·河北张家口·期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【变式3-2】（25-26九年级上·江西新余·阶段检测）如图，已知线段，，经过点A，B，以的长为半径能画出圆的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【题型四】确定圆心(尺规作图) 【例4】（23-24九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 【变式4-2】如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 【题型五】求三角形外心的坐标 【例5】（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知△ABC在网格中的位置如图，那么△ABC对应的外接圆的圆心坐标是（   ）． A．(2,0) B．(2,1) C．(3,0) D．(3,1) 【变式5-2】（2022·河北邯郸·一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（　　） A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4） 【题型六】与圆心角有关的计算 【例6】在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【变式6-1】如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型七】与圆周角有关的计算 【例7】（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，为的外接圆，，点D 在优弧上，连接． 若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·河北邯郸·三模）一张直径为10的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个三角形，以下四种裁剪图中，所标数据长度合理的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，为的直径，为上的点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点A、B、C、D、E在上，且的度数为；则（    ） A． B． C． D． 【题型八】利用垂径定理求线段长 【例8】（26-27九年级上·黑龙江·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 【变式8-1】（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，是劣弧上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式8-2】（2026·河北沧州·三模）如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（     ） A． B． C． D． 【题型九】 垂径定理的实际应用 【例9】（24-25九年级上·河北保定·期末）某小区一处圆柱形输水管道的圆形截面如图所示．若这个输水管道有水部分的水面宽，水面离最深处的距离，则这个圆形截面的半径是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24九年级上·河北唐山·期末）小明在做一个实验，把一个球放在透明的长方体盒子内，球的一部分露出盒外，过球心的截面示意图如图所示，经测量知，盒子的高，则球的半径长是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2026·河北石家庄·一模）如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【变式9-3】（25-26九年级上·河北张家口·期末）在数学活动课上，老师将一个圆均匀地分成了九部分，并在分割处标记了9个点，如图①所示，要求同学们用一笔画出一个图案．图②展示了琪琪的成果，并标明了所画的顺序，她将其形象地命名为“九角星”．已知圆的半径为2，那么该“九角星”的周长为______．（结果取整数，参考数据：，，） 【题型十】与弧长有关的计算 【例10】（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 【变式10-2】（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，正六边形内接于，的半径为1，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2025·河北石家庄·二模）一无盖纸杯如图1所示，经测量：杯口直径，杯底直径，杯壁．纸杯的侧面展开示意图为环形的一部分（如图2所示，忽略拼接部分），则它所对的圆心角的度数__________． 【题型十一】与扇形面积有关的计算 【例11】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，是边长为2的等边三角形（面积记为），将边不改变长度，变为，得到以为圆心，为半径的扇形（面积记为），则与的关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式11-1】（2025·贵州贵阳·一模）中华美食讲究色香味美，优雅的摆盘能让美食锦上添花．图①外围的每一个拼盘的形状都是扇形的一部分，图②是其中一个的示意图（阴影部分为拼盘）．测量得到，，，则图②所示的拼盘面积为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，花园边墙上有一宽为的矩形门，量得门框对角线的长为，现准备打掉部分墙体，使其变成以为直径的圆弧形拱门，那么需要打掉墙体的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，是的直径，点D、E是半圆的三等分点，的延长线交于点C．若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【题型一】垂径定理运用时漏掉条件 【例1】如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 易错警示 垂径定理是“垂直于弦的直径平分弦及其所对的两条弧”；用推论“平分弦的直径垂直于弦”时，必须确认该弦不是直径，否则结论不成立，解题时要先说明条件． 【变式1-1】在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两位同学分别整理了一个命题: 甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦. 下面对这两个命题的判断,正确的是 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 【变式1-2】（25-26九年级上·广东潮州·期中）下列说法正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线必过圆心 C．垂直于弦的直径平分弦 D．平分弦的直径平分弦所对的弧 【题型二】圆周角与圆心角关系误用 【例2】如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF． 其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 易错警示 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，前提是圆周角与圆心角对着“同一条弧”．不要混淆同弧与等弧，也不要误以为任意圆周角都等于圆心角的一半． 【变式2-1】如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（    ） A．56 B．58 C．60 D．62 【变式2-2】如图，在中，为的直径，已知，，，，则 ．    【题型三】弧长与扇形面积公式混淆 【例3】（25-26九年级上·福建宁德·期末）如图，是某款发动机的内部结构图，中间“转子”的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长（单位：）是（   ） A． B． C． D． 易错警示 弧长l＝ ，扇形面积S＝ ＝·lR．注意分母不同（180与360），且S还可由弧长乘半径的一半得到，做题时选对公式并注意单位与角度制． 【变式3-1】【例22】如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】 如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（　　） A．2πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．15πcm2 【题型一】圆中的分类讨论问题 【例1】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-1】已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】在中，弦等于圆半径的倍，即，则该弦所对的弧的度数为__________． 【题型二】与圆有关的多结论问题 【例2】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 【变式2-1】如图，是直径所在的直线，且平分，垂直，垂直，则：①；②弧等于弧；③；④弧等于弧；⑤；其中结论正确的是_____（填序号） 【题型三】与圆有关的最值问题 【例3】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到，动点在边上，连接，则最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知，线段，点为平面上一点，若，则线段的最大值是（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式3-2】如图，平面直角坐标系中有一个圆，圆心为，半径为3，其中点A坐标为，点M是上的一个动点，连接，取中点N，连接，则的最大值（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【变式3-3】如图，在中，，，D是以点A为圆心，5为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为_______． 【题型四】圆与三角形综合 【例4】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，内接于圆，，点，分别在和上，若，求和的度数． 【变式4-1】（2026·安徽安庆·二模）如图，是的外接圆，为直径，点D在上，且，延长交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式4-2】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，中弦、相交于点P，连接，，，若添加一个条件使得，甲添加的条件是：；乙添加的条件是：． (1)甲、乙添加的条件中，能使的是______（选填“甲”“乙”“都对”或“都不对”）； (2)选择一个正确的条件加以证明；若都不对，则添加一个正确的条件并加以证明． 【变式4-3】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，圆O为的外接圆， ，，点D是圆O上的动点，且点C、D分别位于的两侧． (1)求圆O的半径； (2)当时，求的度数； (3)设的中点为M，在点D的运动过程中，线段的最大值为 ． 【题型五】 圆与四边形综合 【例5】（2026·安徽安庆·三模）如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式5-1】（25-26九年级下·河北衡水·开学考试）已知点A、B、C、D在上，是直径，，，的半径为2． (1)求证：是的平分线； (2)求圆内接四边形的周长． 【变式5-2】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在的内接四边形中，，为上一点． (1)若，求的度数． (2)若，求证：为等边三角形． 【题型六】与圆有关的实际应用 【例6】（2026·河北石家庄·模拟预测）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉淇周末到赵州桥游览，如图11，她想估算圆弧形主桥拱（即）的高度（即的中点到弦的距离），在，两处观察桥洞的同一点的仰角分别为和（即，），已知主桥拱的跨度（即弦的长）为． (1)尺规作图：在图中，作出弦的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的垂直平分线分别与，弦交于，两点，求的度数及点到的距离．（参考数据：取0.38） 【变式6-1】（24-25九年级下·河北廊坊·期中）我省有很多著名的桥梁，淇淇对此很感兴趣．某天淇淇查阅资料发现家乡的一座拱桥为圆弧的一部分（图1），其示意图可用图2中的来表示． (1)若所在圆的圆心为点，EF是弦的垂直平分线，尺规作图：找出圆心（保留作图痕迹，不写作图过程） (2)若所在圆的半径为米，拱桥的跨度（弦的长）为米，求桥拱拱高（的中点到弦的距离）． 【变式6-2】（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）如图，将一张矩形纸条拉直并紧贴一次性纸杯的杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，用刻度尺测量，当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐． (1)___________ ，___________ ； (2)设一次性纸杯杯底所在圆的圆心为点，过点作于点，延长与弦交于点，连接，已知矩形纸条的宽为． ①___________ ，___________ ； ②求的半径． 【变式6-3】（2025·河北秦皇岛·一模）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏，现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取，结果保留整数） 【变式6-4】（24-25九年级上·河北保定·期中）图1是水帘洞的截面示意图（截面为圆的一部分）．科考队测量出水帘洞的洞宽约是，洞高约是，，，三点共线． (1)__________； (2)求半径的长； (3)若，点在上． 求的度数．如图2，若生存在山洞的某生物的视角是一定的，此生物（点）在处时恰好能看到和，用数学知识解释为什么此生物（点）在洞顶活动时总能看清洞口的情况． 【题型一】垂径定理模型（构造直角三角形） 模型特征：在圆中，直径弦于点． 核心结论：，（即）． 适用场景：已知半径、弦长、圆心到弦距离三个量中的任意两个，求第三个． 【例1】[2026河北石家庄·期末]如图，的直径垂直于弦，垂足为的长为（   ） A． B．4 C． D．8 【变式1-1】[2026河北承德兴隆·期末]如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 【变式1-2】[2026河北邯郸·二模]如图，一种装饰盘由圆盘和支架组成，已知支架高，且、，垂足分别为点C、D．已知圆盘的半径为10，要使圆盘离桌面（所在直线）的最近距离为1，则支架和的距离为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式1-3】[2025河北石家庄裕华·月考]如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热，如图2，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为25，，则该平底烧瓶的高度为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【题型二】圆周角与圆心角转换模型 模型特征：在圆中，为圆心角，为同弧上的圆周角． 核心结论：．特别地，当为直径时，． 适用场景：已知圆心角求圆周角，或已知圆周角求圆心角；证明角为直角． 【例2】[2026河北唐山丰南·月考]如图，是的直径，点，都是上的点，若，则的度数是（        ）． A． B． C． D． 【变式2-1】[2025河北石家庄裕华·月考]如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】[2026河北沧州·期末]如图，为圆的直径，点C，D在圆上且在的两侧．若，（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】[2026河北石家庄·月考]如图，是的外接圆，为直径，点D在上，且，延长交于点E，连接，． （1） 求证：．（2）若，，求的长． 【题型三】圆内接四边形模型（对角互补+外角等于内对角） 模型特征：四边形内接于圆． 核心结论：①，（对角互补）；②外角等于内对角，如． 适用场景：在圆内接四边形中求角度、证明角相等或互补． 【例3】[2026河北石家庄·月考]如图，四边形内接于，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】[2025河北石家庄·月考]如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】[2025河北石家庄·一模]如图，四边形内接于，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】[2026河北保定安新·期末]如图，四边形内接于圆，为延长线上一点，图中与一定相等的角是 ． 技巧 一句话要点 求弦长、弦心距——“垂径定理＋勾股定理” 过圆心作弦的垂线，用垂径定理平分弦，再用勾股定理求弦长或半径。 识别直径——“过圆心的弦” 经过圆心的弦是直径，它是圆中最长的弦。 等弧等弦转化——“圆心角—弧—弦互化” 同圆或等圆中，等圆心角、等弧、等弦可互相转化。 求圆周角——“同弧所对圆周角等于圆心角一半” 先找同一条弧所对的圆心角，再求圆周角。 构造直角——“直径所对圆周角是直角” 见直径，找其所对圆周角，构造直角三角形解题。 判断点与圆的位置——“比较d与r” d＜r在圆内，d＝r在圆上，d＞r在圆外。 确定一个圆——“三点定圆” 不在同一直线上的三个点确定一个圆，外心是三边垂直平分线交点。 求扇形圆心角——“由弧长反推” 由弧长公式l＝nπR/180解出圆心角n＝180l/(πR)。 求弧长——“套公式l＝nπR/180” 先确认圆心角度数n与半径R，再代入公式。 求扇形面积——“二选一公式” S＝nπR²/360 或 S＝1/2·lR，据已知条件选用。 圆锥侧面积——“S＝πrl” 圆锥侧面积＝π×底面半径×母线长，展开后是扇形。 圆中辅助线——“半径与弦心距” 常连接半径、作弦心距，把圆的问题转化为直角三角形问题。 5 / 5 zxxk.com zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(11类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(6类) 答题类 解题模型清单(3类) 答题技巧清单 知识点01 圆的概念与基本元素 1.圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 2.圆的表示：以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”． 3.圆的有关概念：连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径（直径是圆中最长的弦）；圆上任意两点间的部分叫做弧． 4.圆既是轴对称图形（对称轴是任意一条过圆心的直线），又是中心对称图形（对称中心是圆心）． 知识点02 垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 2.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 3.常见辅助线：过圆心作弦的垂线（或连接半径），利用勾股定理求弦长、半径或弦心距． 知识点03 弧、弦、圆心角之间的关系 1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角、弧也都相等． 知识点04 圆周角定理及其推论 1.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 3.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等． 4.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 知识点05 点和圆的位置关系 1.设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：点P在圆内⟺ d＜r；点P在圆上⟺ d＝r；点P在圆外⟺ d＞r． 2.不在同一直线上的三个点确定一个圆． 3.三角形的外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 知识点06 弧长与扇形面积 1.弧长公式：半径为R、圆心角为n°的弧长l＝ ． 2.扇形面积公式：圆心角为n°的扇形面积S＝ ＝·lR． 3.圆锥的侧面积：S侧＝π r l（r为底面半径，l为母线长）． 考点01 圆的基本概念与对称性 考点内容：圆、圆心、半径、直径、弦、弧等概念；圆的轴对称性与中心对称性． ①判断圆中的线段、弧等概念，理解直径是最长的弦； ②利用圆的对称性找相等的线段、弧； ③识别优弧、劣弧、等弧． 考点02 垂径定理及其应用 考点内容：垂径定理及其推论；垂径定理结合勾股定理求弦长、半径、弦心距． ①利用垂径定理求弦长、半径、弦心距； ②作辅助线（过圆心作弦的垂线）构造直角三角形； ③利用垂径定理证明或求弧、弦相等． 考点03 弧、弦、圆心角之间的关系 考点内容：同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系． ①利用等圆心角证明弧或弦相等； ②利用等弧、等弦求角度或线段； ③“圆心角—弧—弦”三者互化． 考点04 圆周角定理及其推论 考点内容：圆周角定理；推论（同弧所对圆周角相等、直径所对圆周角为直角）． ①求圆周角或圆心角的度数； ②利用直径所对圆周角是直角解题； ③利用圆周角相等找角或证线段关系． 考点05 点和圆的位置关系 考点内容：点和圆的三种位置关系（d与r）；不在同一直线上的三点确定一个圆． ①由d与r判断点与圆的位置关系； ②由位置关系确定参数范围； ③三角形外接圆、外心的概念与作图． 考点06 弧长与扇形面积的计算 考点内容：考查弧长公式：已知半径和圆心角，求弧长． 考查扇形面积：已知半径和圆心角，求扇形面积． 考查弓形面积：扇形面积减去对应三角形面积． 常见考法： ①已知圆心角和半径求弧长； ②已知圆心角和半径求扇形面积； ③求弓形面积（扇形面积减去三角形面积） 1 圆的性质与位置关系 序号 名称 结论（几何语言） 说明 1 圆的相关概念 圆心、半径、直径、弦、弧 直径是圆中最长的弦 2 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦及其所对的两条弧 作弦心距构造直角三角形 3 弧弦圆心角 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦相等 三者可互相转化 4 圆周角定理 同弧所对圆周角等于圆心角的一半 同弧所对圆周角相等 5 圆周角推论 直径所对圆周角是直角； 90°的圆周角所对弦是直径 构造直角三角形 6 点与圆位置关系 d＜r在圆内，d＝r在圆上， d＞r在圆外 d为点到圆心的距离 2 弧长与面积 序号 名称 结论（几何语言） 说明 7 弧长公式 l＝ n为圆心角度数，R为半径 8 扇形面积 S＝ ＝·l R 与弧长公式相互联系 辨析01 弦与直径的区别 弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦．直径是最长的弦，但弦不一定是直径．只有经过圆心的弦才是直径． 辨析02 圆心角与圆周角的关系 圆周角定理中必须强调"同弧"这一条件．同弧上的圆周角才等于圆心角的一半．不同弧上的圆周角与圆心角之间没有这种关系． 辨析03 等弧必须在同圆或等圆中 能够重合的两条弧叫做等弧．只有在同圆或等圆中，相等的弧才是等弧；不在同圆或等圆中的两条弧，即使长度相等也不能说相等． 辨析04 垂径定理及其推论的条件 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及其所对的弧．推论“平分弦的直径垂直于弦”中，弦必须不是直径，否则结论不一定成立． 辨析05 圆心角、弧、弦的关系限于同圆或等圆 在同圆或等圆中，圆心角、所对弧、所对弦三者之间可互相转化；不在同圆或等圆中不能直接套用． 辨析06 圆周角的两边必须与圆相交 圆周角是顶点在圆上、两边都与圆相交的角．顶点在圆上但有一边不与圆相交，或顶点不在圆上，都不是圆周角． 辨析07 直径所对圆周角是直角 直径所对的圆周角是90°，反过来，90°的圆周角所对的弦是直径．这条推论常用于在圆中构造直角三角形解题． 辨析08 点和圆的位置关系由d与r决定 点到圆心的距离d与半径r比较：d＜r在圆内、d＝r在圆上、d＞r在圆外．确定圆需不在同一直线上的三个点，只有一个点不能确定圆． 辨析09 外心是垂直平分线的交点 三角形的外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做外心，它到三角形三个顶点的距离相等．锐角三角形外心在三角形内，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在三角形外． 辨析10 弧长与扇形面积的联系 扇形面积S＝1/2·lR，其中l是扇形的弧长、R是半径．由弧长公式l＝nπR/180可推出S＝nπR²/360，二者由圆心角n°紧密联系，求扇形面积时既可直接用公式也可用弧长． 【题型一】圆的基本概念辨析 【例1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是熟练应用定义判断；根据弦、弧、弓形及扇形的定义判断即可． 【详解】解：A：弦是连接圆上两点的线段，是弦； B：弧是圆上两点及其之间的部分，是弧； C：弓形是由弦和弧围成的图形，与其所对的弧围成的图形即是弓形； D：扇形是由两条半径和一段弧围成的图形，图中没有半径，也没有扇形； 故选：D ． 【变式1-1】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）在半径为6的中有一条弦，则的长度不可能是（） A．3 B．6 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小． 根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：∵圆的半径， ∴直径 ， ∵弦长满足， ∴， 选项D中，故不可能， 故选：D 【变式1-2】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，已知四条弧线，点在其中一条弧线所在的圆上，则点在（   ）    A．所在的圆上 B．所在的圆上 C．所在的圆上 D．所在的圆上 【答案】A 【分析】本题考查了圆的特征，把各弧延长即可判断． 【详解】解：如图，    故选A． 【题型二】判断确定圆的条件 【例2】（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 【变式2-1】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点______确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 【答案】可以 【分析】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．用待定系数法求一次函数解析式．先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征判断点C是否在直线上，然后根据确定圆的条件进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得，， 所以直线的解析式为， 当时，， 所以点不在直线上， 即点A、B、C不在同一条直线上， 所以过A、B、C这三个点能确定一个圆． 故答案为：可以 【变式2-2】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． (1)弧所在圆的圆心的坐标为________________； (2)求弧所在圆的半径； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆的确定方法，勾股定理，熟练掌握圆的确定方法是解题的关键： （1）根据圆的确定方法，得到线段的中垂线的交点即为圆心，画图即可得出结果； （2）利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，点即为圆心，由图可知：； （2）由勾股定理，得； 故半径为． 【题型三】求能确定的圆的个数 【例3】（23-24九年级上·河北张家口·期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可． 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接，作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可． 【详解】解：如图，满足题意． 这样的圆可以作2个． 故选：B． 【变式3-2】（25-26九年级上·江西新余·阶段检测）如图，已知线段，，经过点A，B，以的长为半径能画出圆的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握确定圆的条件是解题关键．先画出的垂直平分线为直线，再以点为圆心、的长为半径画弧交直线于两点，则这两个点即为所求圆的圆心，据此解答即可得． 【详解】解：如图，直线是的垂直平分线，以点为圆心、的长为半径画弧交直线于两点，则这两个点即为所求圆的圆心． 所以经过点，以的长为半径能画出2个圆， 故选：B． 【题型四】确定圆心(尺规作图) 【例4】（23-24九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：A． 【变式4-1】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题考查了尺规确定圆的圆心，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握尺规确定圆的圆心的方法． 首先利用尺规做出和所在圆的圆心，进而求解即可． 【详解】如图所示，点P为所在圆的圆心，点Q为所在圆的圆心， ∵点P到线段的距离小于点Q到线段的距离 ∴所在圆的圆心到线段的距离更小． 故选：B． 【变式4-2】如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断． 【详解】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心． 故选：B． 【题型五】求三角形外心的坐标 【例5】（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵三角形的外心是各边的垂直平分线的交点， 图中已明确出各边垂直平分线以及其交点， 观察图象，可直接得出外心坐标为， 故选A． 【变式5-1】已知△ABC在网格中的位置如图，那么△ABC对应的外接圆的圆心坐标是（   ）． A．(2,0) B．(2,1) C．(3,0) D．(3,1) 【答案】A 【详解】解：如图所示：△ABC对应的圆心坐标是（2，0）． 故选：A． 【变式5-2】（2022·河北邯郸·一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（　　） A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4） 【答案】B 【分析】根据M为直角三角形的外心．∠ABC＝90°，得出点M为AC中点，利用中点坐标公式求出点C（-5，-2），根据AB⊥x轴，得出点A，B的横坐标相同都是3，根据BC∥x轴，得出点B、C的纵坐标相同都是-2即可． 【详解】解：∵M为Rt△ABC的外心．∠ABC＝90°， ∴点M为AC中点， ∵点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1）， 设点C横坐标为（x,y）, ∴， 解得x=-5，y=-2， ∴点C（-5，-2）， ∵AB⊥x轴， ∴点A，B的横坐标相同都是3， ∵∠ABC＝90°， ∴BC∥x轴， ∴点B、C的纵坐标相同都是-2， ∴点B（3，-2）． 故选：B． 【题型六】与圆心角有关的计算 【例6】在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】作的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小． 【详解】解：如图，作的平分线，交于点，连接、、、， 则， ∵， ∴， ∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴， 在中，， ∴，即． 【变式6-1】如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 根据等腰三角形的性质求出，，再根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式6-2】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 【题型七】与圆周角有关的计算 【例7】（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，为的外接圆，，点D 在优弧上，连接． 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等．根据等腰三角形性质求出，根据即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式7-1】（2025·河北邯郸·三模）一张直径为10的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个三角形，以下四种裁剪图中，所标数据长度合理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，再利用勾股定理即可求解．本题考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】A．∵， ∴点A在半圆内，符合题意； B．∵， ∴点A在半圆上，不符合题意； C．∵， ∴点A在半圆外，不符合题意； D．∵， ∴点A在半圆外，不符合题意； 故选：A．． 【变式7-2】（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，为的直径，为上的点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，注意：同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两锐角互余．连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，根据直角三角形两锐角互余，得出，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点A、B、C、D、E在上，且的度数为；则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，先连接，根据的度数为，以及，得出，又因为点A、B、C、D、E在上，即四边形是圆内接四边形，故，即． 【详解】解：连接，如图所示： ∵的度数为，且， ∴， ∵点A、B、C、D、E在上， ∴四边形是圆内接四边形， 故， ∴， 故选：C 【题型八】利用垂径定理求线段长 【例8】（26-27九年级上·黑龙江·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据垂径定理及勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵为的直径，弦于点， ∴， ∵，， ∴ ∴的半径， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． 【变式8-1】（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，是劣弧上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先过点O作，运用垂径定理，勾股定理进行列式计算，得，再结合是上的一动点，与交于点，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，过点O作，交于一点，连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵是上的一个动点，与交于点． ∴当时，即点与点重合时，则有最小值，且为3， 故选：B 【变式8-2】（2026·河北沧州·三模）如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于，于，则，，，，由，得，进而得到，即可证，得到，即得到，再根据函数图象可知的直径为，即得，设，则，利用勾股定理求出的值即可求解． 【详解】解：作于，于，则，， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由函数图象可知，当时，，此时为直径， ∴的直径为， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理得，, ∴， ∴． 【题型九】 垂径定理的实际应用 【例9】（24-25九年级上·河北保定·期末）某小区一处圆柱形输水管道的圆形截面如图所示．若这个输水管道有水部分的水面宽，水面离最深处的距离，则这个圆形截面的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理的应用，关键是做出辅助线，构造直角三角形，用到的知识点是垂径定理、勾股定理，要能把实际问题转化成数学问题． 由，得出，再设半径为，则，根据，得出，再求出x的值即可． 【详解】解：∵，是半径， ∴， 由题意可知，， ∴设半径为，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：． ∴这个圆形截面的半径是． 故选：D． 【变式9-1】（23-24九年级上·河北唐山·期末）小明在做一个实验，把一个球放在透明的长方体盒子内，球的一部分露出盒外，过球心的截面示意图如图所示，经测量知，盒子的高，则球的半径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点O作交于点N，交于点M，连接，根据四边形是矩形得，可得四边形是矩形，则，设，则，，，在中，根据勾股定理得，进行计算即可得． 【详解】解：如图所示，过点O作交于点N，交于点M，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴，， 在中，根据勾股定理得， 即， ， 故选：B． 【变式9-2】（2026·河北石家庄·一模）如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 【变式9-3】（25-26九年级上·河北张家口·期末）在数学活动课上，老师将一个圆均匀地分成了九部分，并在分割处标记了9个点，如图①所示，要求同学们用一笔画出一个图案．图②展示了琪琪的成果，并标明了所画的顺序，她将其形象地命名为“九角星”．已知圆的半径为2，那么该“九角星”的周长为______．（结果取整数，参考数据：，，） 【答案】35 【分析】本题考查了垂径定理的推论，解直角三角形等；由已知条件得，由垂径定理的推论得，由三角函数即可求解． 【详解】解：如图，， ， ， ， ， 在中， ， ， 该“九角星”的周长：， 故答案为：． 【题型十】与弧长有关的计算 【例10】（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），即可得滑轮上某一点P旋转的度数． 【详解】解：∵半径为的定滑轮带动重物上升了， 根据，得： ， 解得． 所以，滑轮上某一点P旋转了． 故选：D． 【变式10-1】（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 【答案】C 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出的度数，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解；由题意得，， ∴劣弧的长为千米， 故选：C． 【变式10-2】（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，正六边形内接于，的半径为1，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接多边形以及弧长公式，连接，，求出圆心角的度数，再根据弧长公式，即可解题． 【详解】解：连接，，如图所示： 多边形为正六边形， , , 故答案为：A． 【变式10-3】（2025·河北石家庄·二模）一无盖纸杯如图1所示，经测量：杯口直径，杯底直径，杯壁．纸杯的侧面展开示意图为环形的一部分（如图2所示，忽略拼接部分），则它所对的圆心角的度数__________． 【答案】 【分析】本题考查了弧长计算公式，根据题意可得弧和弧的长分别是直径为的圆的周长，据此根据弧长公式可得的长，再根据即可建立方程求解． 【详解】解：由题意得：， 解得 故答案为： ． 【题型十一】与扇形面积有关的计算 【例11】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，是边长为2的等边三角形（面积记为），将边不改变长度，变为，得到以为圆心，为半径的扇形（面积记为），则与的关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．过点作于点，先根据等边三角形的性质和勾股定理可得，利用三角形的面积公式可得，再利用扇形的面积公式可得，然后比较大小即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∴， ∴的面积， 由题意可知，扇形的面积， ∵， ∴， 故选：A． 【变式11-1】（2025·贵州贵阳·一模）中华美食讲究色香味美，优雅的摆盘能让美食锦上添花．图①外围的每一个拼盘的形状都是扇形的一部分，图②是其中一个的示意图（阴影部分为拼盘）．测量得到，，，则图②所示的拼盘面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，根据，结合扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解： ， 故选：D． 【变式11-2】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，花园边墙上有一宽为的矩形门，量得门框对角线的长为，现准备打掉部分墙体，使其变成以为直径的圆弧形拱门，那么需要打掉墙体的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ，， 在中，由可知， 则勾股定理可得， ， 连接交于，如图所示： 由矩形性质可知，则是等边三角形， ， 要打掉墙体的面积是：， 故选：B． 【变式11-3】（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，是的直径，点D、E是半圆的三等分点，的延长线交于点C．若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积公式的运用、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，关键是将阴影部分面积转化为规则图形的面积的和或差，连接，可得都是等边三角形，根据图中阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：连接， 点D、E是半圆的三等分点， ， ， 都是等边三角形， ， ，则， ，， 是等边三角形， ， 的高为， 图中阴影部分的面积 ， 故选：A． 【题型一】垂径定理运用时漏掉条件 【例1】如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理判断即可； 【详解】∵直径垂直于弦于点，则由垂径定理可得，，，，故选项A，B，D正确；无法得出，故C错误． 故选C． 易错警示 垂径定理是“垂直于弦的直径平分弦及其所对的两条弧”；用推论“平分弦的直径垂直于弦”时，必须确认该弦不是直径，否则结论不成立，解题时要先说明条件． 【变式1-1】在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两位同学分别整理了一个命题: 甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦. 下面对这两个命题的判断,正确的是 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 【答案】D 【分析】根据在同圆或等圆中, 如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、 两条弦中有一组量相等, 则另外两组量也相等，可判断甲命题；由垂径定理可得判断乙命题. 【详解】(1)在同圆或等圆中, 相等的弦所对的弧对应相等,故甲命题错误; (2)平分弦的直径垂直于不是直径的弦; 故乙命题项错误; 故选D. 【点睛】本题主要考查同圆或等圆中，弧、弦、圆心角的关系及垂径定理. 【变式1-2】（25-26九年级上·广东潮州·期中）下列说法正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线必过圆心 C．垂直于弦的直径平分弦 D．平分弦的直径平分弦所对的弧 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可． 【详解】解：A、平分弦的直径不一定垂直于弦（当弦为直径时，平分弦的直径可能不垂直），故原说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直线不一定过圆心（只有平分弦的垂直直线才过圆心），故原说法错误，不符合题意； C、垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，故原说法正确，符合题意； D、平分弦的直径不一定平分弦所对的弧（当弦为直径时，弧平分不一定成立），故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【题型二】圆周角与圆心角关系误用 【例2】如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF． 其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：如图，根据垂径定理，由AB⊥MN可知AD=DB, ，故①③正确；根据直径所对的圆周角为直角，可由MN为直径，得到∠MAN=90°，故③正确； 连接OA，由，得到∠MOB=∠MOA=2∠ACM=∠ACM＋∠ANM，故④正确； 由，，可得，所以可得∠AME=∠MAE，根据等角对等边，得到AE=ME，然后根据∠EAF+∠MAE=90°，等量代换得∠EFA+∠AME=90°，然后根据等角的余角相等，得到∠EAF=∠EFA，即AE=EF，然后可根据AE=EF=EM得到AE=MF，故⑤正确. 故选D. 【点睛】此题主要考查了圆的相关性质，解题时利用垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质、互余两角的关系，逐步判断即可，解题中关键是要把弧、角、弦之间的等量关系的转换应用到位. 易错警示 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，前提是圆周角与圆心角对着“同一条弧”．不要混淆同弧与等弧，也不要误以为任意圆周角都等于圆心角的一半． 【变式2-1】如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（    ） A．56 B．58 C．60 D．62 【答案】A 【分析】以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，利用AD∥OC，证得∠1＝∠2，得到＝＝62°，根据弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°计算得出结果． 【详解】解：以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC， ∵AD∥OC， ∴∠1＝∠2， ∴＝＝62°， ∴的度数是180°﹣62°﹣62°＝56°， 故选：A． 【点睛】此题考查两直线平行内错角相等，圆周角定理，正确作出图形利用半圆的度数求解是解题的关键． 【变式2-2】如图，在中，为的直径，已知，，，，则 ．    【答案】 【分析】连接，先由三角形内角和定理求出的度数，再根据直径所对圆周角为直角，进而求出，即有，灵活运用勾股定理即可作答． 【详解】解：连接，如图，    ∵在中，，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，勾股定理，含角直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【题型三】弧长与扇形面积公式混淆 【例3】（25-26九年级上·福建宁德·期末）如图，是某款发动机的内部结构图，中间“转子”的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长（单位：）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，关键是掌握弧长的计算公式． 弧长的计算公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为），由此即可求解． 【详解】解：如图，是等边三角形， ，， 的长的长的长， 这个“莱洛三角形”的周长是． 故选：C． 易错警示 弧长l＝ ，扇形面积S＝ ＝·lR．注意分母不同（180与360），且S还可由弧长乘半径的一半得到，做题时选对公式并注意单位与角度制． 【变式3-1】【例22】如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长是：， 故选：D． 【变式3-2】 如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（　　） A．2πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．15πcm2 【答案】C． 【分析】根据直角三角形的性质求得到∠AEB＝30°，则∠CBE＝30°，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm， ∴BE＝BC＝12cm，∠A＝90°，AD∥BC， ∴∠AEB＝30°， ∴∠CBE＝∠AEB＝30°， ∴S扇形EBC12π（cm2）， 故选：C． 【题型一】圆中的分类讨论问题 【例1】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 【变式1-1】已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用三线合一求得圆心角的度数，再分点在优弧、劣弧两种情况，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质计算的度数. 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 当点在优弧上时，. 当点在劣弧上，如图点的位置时，. 【变式1-2】在中，弦等于圆半径的倍，即，则该弦所对的弧的度数为__________． 【答案】或 【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理逆定理求出圆心角的度数，再分劣弧和优弧两种情况计算弧的度数． 【详解】解：根据题意画出图形，如下图所示， ，， ， ， 由勾股定理逆定理，可得是直角三角形，． 一条弦对应两条弧，弧的度数等于它所对圆心角的度数， 当弦对劣弧时，劣弧的度数为；当弦对优弧时，优弧的度数为， 该弦所对的弧的度数为或． 【题型二】与圆有关的多结论问题 【例2】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】由垂径定理，圆周角定理得出，，进而根据等角的余角相等判断①；由点P为的中点，得出，进而证明，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②；连接，根据垂径定理得出，由得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出，继而判断③；由勾股定理得出，则有，由③可得为等边三角形，利用等边三角形的性质即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵点P为的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 则由③知为等边三角形，又， ∴平分， 即平分，故④正确，符合题意； 故正确的是①②③④． 【变式2-1】如图，是直径所在的直线，且平分，垂直，垂直，则：①；②弧等于弧；③；④弧等于弧；⑤；其中结论正确的是_____（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】利用“弧、弦、弦心距之间的关系”，可得①、②正确；证明，得到，可得④、⑤正确，即可找到全部正确答案． 【详解】解：平分，垂直，垂直，则， 即弦，的弦心距相等，因而，弧等于弧，故①、②正确； 在直角三角形中，，故③错误； 如图，连接， ， ， ， ，垂直，垂直， ， ，故⑤正确； ， ， ， ， 弧等于弧，故④正确； 其中结论正确的是①②④⑤． 【题型三】与圆有关的最值问题 【例3】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到，动点在边上，连接，则最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴点在以点为圆心、为半径的圆上， 如图，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即最小值是， 故选：． 【变式3-1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知，线段，点为平面上一点，若，则线段的最大值是（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【详解】解：以为边作等腰直角三角形，作的外接圆， 为等腰直角三角形，，， ， 点在优弧上， 当为外接圆的直径时，最大，且最大值为8， 故选：C． 【变式3-2】如图，平面直角坐标系中有一个圆，圆心为，半径为3，其中点A坐标为，点M是上的一个动点，连接，取中点N，连接，则的最大值（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【详解】解：取点，连接，，， ，， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ∵ ∴ 当点在的延长线上时，取得最大值， 在中，， ， 的半径为， 的最大值为， 的最大值为． 【变式3-3】如图，在中，，，D是以点A为圆心，5为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为_______． 【答案】4 【详解】解：取的中点E，连接，如图所示： 在直角中， ， ∵E是直角斜边上的中点， ∴， ∵M是的中点，E是的中点， ∴ ， M轨迹为以E为圆心，为半径的圆， ∴当点M在线段上时，最小，且线段长度的最小值为． 【题型四】圆与三角形综合 【例4】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，内接于圆，，点，分别在和上，若，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，熟练应用相关性质定理是解题的关键． 由等腰三角形的性质得，由三角形内角和为计算得到的度数，由圆周角定理得，，从而得解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 【变式4-1】（2026·安徽安庆·二模）如图，是的外接圆，为直径，点D在上，且，延长交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的直径，为上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴． (2) 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由（1）可知， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-2】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，中弦、相交于点P，连接，，，若添加一个条件使得，甲添加的条件是：；乙添加的条件是：． (1)甲、乙添加的条件中，能使的是______（选填“甲”“乙”“都对”或“都不对”）； (2)选择一个正确的条件加以证明；若都不对，则添加一个正确的条件并加以证明． 【答案】(1)都对 (2)解：选择甲： 当时，则， ， ， ； 选择乙： 当时， ， 又， ； 【详解】（1）解：当时，则， ， ， ； 当时， ， 又， ； 故答案为：都对； （2）略 【变式4-3】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，圆O为的外接圆， ，，点D是圆O上的动点，且点C、D分别位于的两侧． (1)求圆O的半径； (2)当时，求的度数； (3)设的中点为M，在点D的运动过程中，线段的最大值为 ． 【答案】(1)⊙O的半径为4 (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、最短路径问题等知识点，掌握相关几何结论是解答的关键. （1）由题意得，即可求解； （2）连接．可推出，，根据，推出是等边三角形，，即可求解； （3）连接．可推出点M的运动轨迹以为直径的圆，设圆心为J，连接推出，求得，根据即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴⊙O的半径为4 （2）解：如图1中，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． （3）解：如图2中，连接, ∵，， ∴， ∴点的运动轨迹以为直径的圆，设圆心为J， 连接 则 ， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，当C、J、M共线时取等号， ∴的最大值为， 故答案为：． 【题型五】 圆与四边形综合 【例5】（2026·安徽安庆·三模）如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)∵是的直径， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴． ∴． (2)10 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角与，得垂直于，根据垂径定理可得平分弧，进而可证对应圆心角． （2）设圆O半径为r，则长度可表示为；由垂径定理可知E为中点，得长度为的一半；在中，根据勾股定理列关于r的方程，求解即可得到半径． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， ∵， ∴． ∵， 由（1）知，， ∴． 在中，由勾股定理， 代入得 ， 解得． 因此，的半径为． 【变式5-1】（25-26九年级下·河北衡水·开学考试）已知点A、B、C、D在上，是直径，，，的半径为2． (1)求证：是的平分线； (2)求圆内接四边形的周长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线； (2)10 【分析】（1）由圆内接四边形性质求出，由直径得到，求出，然后得到，求出即可证明； （2）连接，如图，证明出为等边三角形，得到，，然后证明出四边形为菱形，得到，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴四边形的周长． 【变式5-2】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在的内接四边形中，，为上一点． (1)若，求的度数． (2)若，求证：为等边三角形． 【答案】(1)． (2)证明：∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ 为等边三角形． 【题型六】与圆有关的实际应用 【例6】（2026·河北石家庄·模拟预测）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉淇周末到赵州桥游览，如图11，她想估算圆弧形主桥拱（即）的高度（即的中点到弦的距离），在，两处观察桥洞的同一点的仰角分别为和（即，），已知主桥拱的跨度（即弦的长）为． (1)尺规作图：在图中，作出弦的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的垂直平分线分别与，弦交于，两点，求的度数及点到的距离．（参考数据：取0.38） 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)点D到的距离是 【详解】（1）略 （2）解：如图所示， ∵， ∴， ∴． ∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴． 在中，， 即， 解得， 所以点D到的距离是． 【变式6-1】（24-25九年级下·河北廊坊·期中）我省有很多著名的桥梁，淇淇对此很感兴趣．某天淇淇查阅资料发现家乡的一座拱桥为圆弧的一部分（图1），其示意图可用图2中的来表示． (1)若所在圆的圆心为点，EF是弦的垂直平分线，尺规作图：找出圆心（保留作图痕迹，不写作图过程） (2)若所在圆的半径为米，拱桥的跨度（弦的长）为米，求桥拱拱高（的中点到弦的距离）． 【答案】(1)如图，点为所求． (2)桥拱拱高为米 【分析】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，垂径定理，垂直平分线的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形． （1）作的垂直平分线，交于，点为所求； （2）连接，设的垂直平分线交于点，交于点，根据垂径定理得出，利用勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】（1）略 （2）如图，连接，设的垂直平分线交于点，交于点． 垂直平分，， （米），． 米， （米）． 米， （米）． 即桥拱拱高为4米． 【变式6-2】（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）如图，将一张矩形纸条拉直并紧贴一次性纸杯的杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，用刻度尺测量，当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐． (1)___________ ，___________ ； (2)设一次性纸杯杯底所在圆的圆心为点，过点作于点，延长与弦交于点，连接，已知矩形纸条的宽为． ①___________ ，___________ ； ②求的半径． 【答案】(1)3，4 (2)①，2；② 【分析】题目主要考查垂径定理、勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）①利用垂径定理求解即可；②设，得出，再利用勾股定理求解即可得出结果． 【详解】（1）解：∵当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐， ∴， 故答案为：3；4； （2）①∵，， ∴， 故答案为：，2； ②设， ， 在中，， ， 在Rt中，， ， ， 解得， ， 的半径为． 【变式6-3】（2025·河北秦皇岛·一模）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏，现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取，结果保留整数） 【答案】(1)5米 (2)25盏 【分析】本题考查垂径定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理，是解题的关键． （1）连接，设喷泉的半径为，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可； （2）根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：， ∴， ∵D是弦的中点， ∴平分弦，， ∴， ∴， ∴， 解得：米； 答：喷泉的半径为5米； （2）解：由题意，得：（米）， （盏）； 答：大约需要安装25盏景观灯． 【变式6-4】（24-25九年级上·河北保定·期中）图1是水帘洞的截面示意图（截面为圆的一部分）．科考队测量出水帘洞的洞宽约是，洞高约是，，，三点共线． (1)__________； (2)求半径的长； (3)若，点在上． 求的度数．如图2，若生存在山洞的某生物的视角是一定的，此生物（点）在处时恰好能看到和，用数学知识解释为什么此生物（点）在洞顶活动时总能看清洞口的情况． 【答案】(1)14 (2) (3)，理由： 不变，是定值， “某生物”（点）在洞顶上活动时总能看清洞口的情况． 【分析】本题考查垂径定理的应用，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）由垂径定理求解即可； （2）设，利用勾股定理求出即可； （3）补全，在的下方取一点，连接，利用圆周角定理，圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，为半圆的半径， ， 故答案为：14； （2）解：设． 在中，， ， ， ； （3）解：如图，补全，在的下方取一点，连接，，，． ，， ． 【题型一】垂径定理模型（构造直角三角形） 模型特征：在圆中，直径弦于点． 核心结论：，（即）． 适用场景：已知半径、弦长、圆心到弦距离三个量中的任意两个，求第三个． 【例1】[2026河北石家庄·期末]如图，的直径垂直于弦，垂足为的长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【详解】解： 的直径垂直于弦 又 ． 故选C． 【变式1-1】[2026河北承德兴隆·期末]如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故选A． 【变式1-2】[2026河北邯郸·二模]如图，一种装饰盘由圆盘和支架组成，已知支架高，且、，垂足分别为点C、D．已知圆盘的半径为10，要使圆盘离桌面（所在直线）的最近距离为1，则支架和的距离为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【详解】解：如图，连接，，作于点，交于点，交于点， ， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 由题意得，， ∴． ∵圆盘的半径为10， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-3】[2025河北石家庄裕华·月考]如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热，如图2，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为25，，则该平底烧瓶的高度为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】D 【详解】如图，连接，过点O作，交于点E，交于点F， ∵， ∴， 且易知平分， ∵， ∴， 在和中，， 由勾股定理得，， ∴该烧瓶的高度为． 故选D 【题型二】圆周角与圆心角转换模型 模型特征：在圆中，为圆心角，为同弧上的圆周角． 核心结论：．特别地，当为直径时，． 适用场景：已知圆心角求圆周角，或已知圆周角求圆心角；证明角为直角． 【例2】[2026河北唐山丰南·月考]如图，是的直径，点，都是上的点，若，则的度数是（        ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：为的直径， ， ， ， ． 故选C． 【变式2-1】[2025河北石家庄裕华·月考]如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴的度数可能是 故选D． 【变式2-2】[2026河北沧州·期末]如图，为圆的直径，点C，D在圆上且在的两侧．若，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴． 【变式2-3】[2026河北石家庄·月考]如图，是的外接圆，为直径，点D在上，且，延长交于点E，连接，． （1） 求证：．（2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵是的直径，为上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴． （2） 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由（1）可知， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型三】圆内接四边形模型（对角互补+外角等于内对角） 模型特征：四边形内接于圆． 核心结论：①，（对角互补）；②外角等于内对角，如． 适用场景：在圆内接四边形中求角度、证明角相等或互补． 【例3】[2026河北石家庄·月考]如图，四边形内接于，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形内接于，， ∴， 故选B． 【变式3-1】[2025河北石家庄·月考]如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵为的外接圆， ∴， ∴， 故选． 【变式3-2】[2025河北石家庄·一模]如图，四边形内接于，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形内接于， 则， ∴， 故选B． 【变式3-3】[2026河北保定安新·期末]如图，四边形内接于圆，为延长线上一点，图中与一定相等的角是 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， 则图中与一定相等的角是. 技巧 一句话要点 求弦长、弦心距——“垂径定理＋勾股定理” 过圆心作弦的垂线，用垂径定理平分弦，再用勾股定理求弦长或半径。 识别直径——“过圆心的弦” 经过圆心的弦是直径，它是圆中最长的弦。 等弧等弦转化——“圆心角—弧—弦互化” 同圆或等圆中，等圆心角、等弧、等弦可互相转化。 求圆周角——“同弧所对圆周角等于圆心角一半” 先找同一条弧所对的圆心角，再求圆周角。 构造直角——“直径所对圆周角是直角” 见直径，找其所对圆周角，构造直角三角形解题。 判断点与圆的位置——“比较d与r” d＜r在圆内，d＝r在圆上，d＞r在圆外。 确定一个圆——“三点定圆” 不在同一直线上的三个点确定一个圆，外心是三边垂直平分线交点。 求扇形圆心角——“由弧长反推” 由弧长公式l＝nπR/180解出圆心角n＝180l/(πR)。 求弧长——“套公式l＝nπR/180” 先确认圆心角度数n与半径R，再代入公式。 求扇形面积——“二选一公式” S＝nπR²/360 或 S＝1/2·lR，据已知条件选用。 圆锥侧面积——“S＝πrl” 圆锥侧面积＝π×底面半径×母线长，展开后是扇形。 圆中辅助线——“半径与弦心距” 常连接半径、作弦心距，把圆的问题转化为直角三角形问题。 5 / 5 zxxk.com zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $