专题04 解直角三角形（知识&考点&公式&9高频&3易错&4重难&4模型，期中知识清单）九年级数学上学期新教材冀教版

专题04 解直角三角形 目 录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(4类) 公式清单(8类) 辨析清单(3类) 题型类 高频题型清单(9类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01 锐角三角函数的概念 如图，在直角中，，设的对边为，邻边为，斜边为。 正弦：。 余弦：。 正切：。 、、统称为的三角函数。三角函数值是比值，没有单位。 知识点02 特殊角的三角函数值 锐角α 30° 45° 60° sinα cosα tanα 1 记忆规律：正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小，正切值随角度增大而增大。 知识点03 解直角三角形 1. 解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程。 2. 直角三角形中的三边关系（勾股定理）：。 3. 直角三角形中的边角关系：，，。 4. 直角三角形中的角角关系：（两锐角互余）。 5. 解直角三角形的条件：至少需要两个已知元素（其中至少有一个是边）。 知识点04 解直角三角形与实际问题 1. 仰角与俯角：视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角叫做仰角；视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角叫做俯角。 2. 方位角：从正北方向按顺时针方向转到目标方向线所成的角。如北偏东。 3. 坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平距离的比叫做坡度，记作。坡度与坡角的关系：。 4. 解题步骤：①审题，理解题意，画出示意图；②将实际问题转化为解直角三角形的问题；③选择合适的三角函数关系列方程；④解方程求解，检验结果的合理性。 考点01 锐角三角函数的概念与计算 考点内容：掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义及其在直角三角形中的边角比值关系，理解三角函数值随角度变化的增减性规律，并能运用同角三角函数的基本关系式进行简单的计算与转化。 常见考法： ①在直角三角形中，已知两边求三角函数值； ②已知三角函数值求角度或边长； ③在非直角三角形中，作高构造直角三角形求三角函数值； ④在坐标系中求某条线段与坐标轴夹角的三角函数值。 考点02 特殊角的三角函数值 考点内容：熟记  、 、 等特殊角的正弦、余弦、正切值，并能熟练进行含特殊角三角函数值的代数式化简与求值运算。 常见考法： ①直接求、、的三角函数值； ②含特殊角三角函数值的混合运算（化简求值）； ③利用特殊角的三角函数值判断角度大小。 考点03 解直角三角形 考点内容：综合运用勾股定理、直角三角形两锐角互余的性质以及锐角三角函数的定义，掌握在已知直角三角形中两个元素（至少包含一条边）的情况下，求解其余未知边长和角度的方法。 常见考法： ①已知两边求第三边及两个锐角； ②已知一边和一个锐角，求其他边和角； ③解直角三角形与勾股定理、全等三角形等知识综合。 考点04 解直角三角形的实际应用 考点内容：理解仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角及方位角等基本概念，能够将测量高度、航行距离、工程坡度等实际问题抽象为直角三角形模型，并通过作高构造直角三角形来解决相关的计算与设计问题。 常见考法： ①测量物体高度（仰角、俯角问题）； ②航行问题（方位角问题）； ③工程问题（坡度、坡比问题）； ④设计方案类问题（如设计楼梯、斜坡等）。 序号 名称 公式（几何语言） 1 正弦定义 2 余弦定义 3 正切定义 4 平方关系 5 角函数值 ，， 6 角函数值 ，， 7 角函数值 ，， 8 坡度公式 辨析01 三角函数值没有单位 三角函数值是两条线段的比值，是一个纯数，没有单位。不能写成""等形式。 辨析02 不是乘以 是一个完整的符号，表示角的正弦值，不能理解为""乘以""。去掉""后""没有意义。 辨析03 角度越大，正弦值/正切值越大，但余弦值越小 在范围内： 角度增大 增大，减小，增大。 【题型一】锐角三角函数的概念 【例1】（天津市红桥区2025年九年级结课考试（一模）数学试题 ）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 【变式1-1】（福建省泉州市泉港区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 【变式1-2】在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：在中，， 根据锐角三角函数的定义： 正切：； 正弦：； 余弦：， 对式子逐一分析： 因为可得，并非，所以①不成立； 因为，等式两边同乘，可得，所以②成立； 因为，等式两边同乘，得到，所以③成立； 因为，等式两边同乘，有，所以④成立； 因为可得，不是，所以⑤不成立． 综上，②③④成立，能成立的个数有3个． 故选：B． 【题型二】求角的三角函数值 【例2】（河北石家庄外国语教育集团2026-2027学年度第一学期九年级第一次阶段学情自测数学）如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，， ∴． 【变式2-1】（河北石家庄市桥西区2025~2026学年度第一学期期末适应性练习 九年级数学）如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设矩形的长为，宽为，则正方形的边长为， 由题意可知，,∴, ∴矩形的对角线长为，∴， 故选：A 【变式2-2】（山东省东营市河口区实验中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷）如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：根据网格可得：，，， ∴， ∴，∴是直角三角形，，∴， 故选：C． 【例3】（河北石家庄市第二十八中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题）在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 【变式3-1】（2016届北京市东城区九年级上学期期末考试数学试卷）在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：构造直角三角形如下：根据题意，得，设， 则，∴， 故选：A． 【变式3-2】（陕西省榆林市定边县定边县第七中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）已知是锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示： ∵，设，则，∴ 故选：B 【例4】（河北石家庄市第二十八中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题）如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点 作，交的延长线于点 ． ，，，，． 【变式4-1】（河北廊坊市广阳区2025-2026学年九年级下学期学情自测 数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知，，，， ∵， 而， ∴， ∴是直角三角形，且， 在中，， ∴． 【变式4-2】（河北省石家庄市第四十四中学2025-2026学年九年级上学期期末模拟考试数学试题）在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，， ， ∴， ∵， ∴， 则根据勾股定理，， ∴， 故选：A 【题型三】已知三角函数值求边长 【例5】（2025·陕西西安·一模）在中，，则的长为（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A 【变式5-1】（24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，在等腰中，，，则点B到直线的距离是（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点B作于点D， ∵，， ∴， ∴， 即点B到直线的距离是． 故答案为：B． 【变式5-2】（河北省廊坊市广阳区2026年初中毕业班（九年级）摸底监测二 数学）如图，是中边上的中线，且．已知，，的外角平分线交的延长线于点，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由已知条件可得，从而求出，的长，过点作的延长线于点，利用角平分线的性质得，再利用即可求出的长． 【详解】解：，是中边上的中线， ，， ， ， ， ，， ， ， 过点作于点， 的外角平分线交的延长线于点，， ， ， ． 【例6】（2022年广西南宁市第二中学九年级第三次学业水平测试数学试题）如图，在中，，则长为（    ） A．4 B．8 C． D．12 【答案】B 【分析】根据余弦的定义即可求解． 【详解】解： ， ， 故选B． 【变式6-1】（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在中，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C【答案】C 【分析】过点A作于点，由三线合一的性质得出，再根据余弦的定义求出，进而求出． 【详解】解：过点A作于点D， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． ．8 D． 【变式6-2】（2023年广西北海市九年级摸底考试数学试题）如图，在直角梯形中，，，，且，，则下底的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出，，然后可得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴； 故答案为． 【例7】（2023年陕西省西安市第二十六中学中考六模数学试题）如图，在中，，D是的中点，，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用正切的定义求得，再根据中点的意义即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， 故选：C． 【变式7-1】（吉林省长春市东北师大附中明珠学校2024-2025学年九年级上学期大练习（二）数学试题）如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 坐标与图形，过点A作轴于D，则，再解得到，即． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于D， ∵点在第一象限， ∴， ∵与x轴所夹锐角为，， ∴， ∴，即， 故选：C． 【变式7-2】（吉林省长春市第一〇八学校2024-2025学年九年级 上学期第三次月考数学试卷）如图，把一个长方形卡片放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，若，则边的长为（   ） A． B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形对边相等的性质、锐角三角函数值的计算等知识点．通过作辅助线构造直角三角形、构造直角三角形成为解题的关键． 如图：分别过作垂线垂直于l，通过构造直角三角形，根据和的四个顶点恰好在横格线且每个横格宽1等条件求出的长，再根据矩形的性质即可解答． 【详解】解：如图：分别过作，垂足为 ∵长方形卡片， ∴， ∴，， ∴． 根据题意，得， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：B． 【题型四】特殊角三角函数值的混合运算 【例8】（2024年天津市中考 数学试题）的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 故选：A. 【变式8-1】（2024·天津南开·三模）的值等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， 故选：C． 【变式8-2】（河北省唐山市遵化市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【详解】解： ， 故选：B． 【题型五】由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【例9】（2025年湖南省长沙市华益中学中考二模数学试卷）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【详解】解： ，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式9-1】（湖南省衡阳市成章实验中学2022-2023学年九年级上学期第三次月考数学试题）在中，都是锐角，且，则的形状是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】B 【详解】解：由题意得，，， 则，， 则， 故为钝角三角形． 故选：B． 【变式9-2】（2022-2023学年浙教版八年级上册数学期中复习试卷 ）若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【题型六】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【例10】（山东省济南市高新区2024--2025学年九年级下学期数学开学测）如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 【变式10-1】（山东省泰安市泰山区2025-2026学年九年级上学期数学期中试题 ）如图，在中，，，当时，求的长．（说明：解题中需要作辅助线，请用尺规作图法作出这条辅助线，保留作图痕迹，不用写作法） 【答案】，如图； 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴在中，， ∴． 【变式10-2】在数学活动课上，小敏、小颖分别画了和，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作，小颖画的三角形面积记作，比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】解：．理由如下：如解图，过点A作于点M，过点D作交的延长线于点N． 在中，， ， ， 在中，， ， ． ， ． 【题型七】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【例11】（上海市闵行区校联考2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷 ）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从层直达层，“飞梯”的截面如图，已知的长为米，点处的仰角为，那么高是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【详解】解：为仰角，米， 在中，， （米）． 故选：． 【变式11-1】（2026年内蒙古自治区通辽市第三中学中考模拟预测数学试题）一架无人机从起飞点处起飞，身高1.7米的小亮站在离起飞点水平距离8米的处．当无人机飞行到点时，小亮测得此时的仰角为，无人机此时的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】解：过点作，如图所示： 由题意可知：米，米，，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴， ∴米． 【变式11-2】（河北省廊坊市大城县2025-2026学年九年级下学期二模考试数学试题）【研学实践】某校课外活动小组对廊坊大剧院（如图1）的高度进行了实地测量． 【数据采集】如图2，测量小组操作无人机在点处竖直上升60米后飞行至点处，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得大剧院最高点和点的俯角分别为和，米． 【数据应用】点，，，，在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，解决下列问题．（参考数据：，，） (1)线段的长为________米； (2)计算大剧院的高度（）． 【答案】(1)60 (2)51.75米 【分析】（1）在中解直角三角形即可； （2）延长，交于点F，则，可得四边形为矩形，因此米，米，米，在中，解直角三角形求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得米，，， ∴（米）， 即线段的长为60米． （2）解：如图，延长，交于点F，则． 由题意得， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∴米． ∵在中，， ∴（米）， ∴（米）． 即大剧院的高度为米． 【变式11-3】（河北石家庄外国语教育集团2026-2027学年度第一学期九年级第一次阶段学情自测数学）1947年11月12日，解放军经六昼夜激战攻克石门（石家庄旧称），此役为首例大城市攻坚战．1987年为纪念石家庄解放40周年，石家庄市政府修建了解放纪念碑．石外某班社会实践小组在了解石家庄历史过程中，计划测量纪念碑的高度，绘制了如图所示的平面图，用来表示纪念碑，纪念碑东侧是老火车站的售票厅，其中售票厅高18米．从，之间的E点在同一水平线上）测得纪念碑顶部的点，售票厅顶部点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为 解决下列问题，计算结果是无理数的保留根号： (1)填空：___________°，___________； (2)求，两点之间的距离； (3)求纪念碑的高度． 【答案】(1)，36米 (2)米 (3)米 【分析】（1）如图：过点作交于点F，交于点G，则四边形是矩形，由平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质即可求得；直接利用含30度直角三角形的性质求的长即可； （2）解：如图：过点E作于点H，易得，利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得米、米；再说明，即米；然后利用线段的和差即可解答． （3）由矩形的性质可得米，利用含30度直角三角形的性质求的长，再利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图：过点作交于点F，交于点G，则四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴； 在中，，米， ∴米． （2）解：如图：过点E作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴米， 米， ∵，， ∴， ∴米， ∴米． （3）解：∵四边形是矩形，米， ∴米， 在中，，米， ∴米． ∴米． 【题型八】方位角问题(解直角三角形的应用) 【例12】如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，利用垂直的定义可证得，利用已知条件可知，，可得到，的长，然后根据，代入计算求出的长，即可求出这列动车的平均车速． 【详解】解：过点作于点， ∴， 当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上， ，， ，， ， 这列动车的平均车速为． 【变式12-1】（2025年河北省中考预测模拟考试数学试卷 ）近年来，正定县在古城保护方面取得了显著成效，对城内古寺古木都采取了专业性的保护措施．如图，某工作人员在A处看到B，C处各有一棵被古塔隔开的古树，他在A处测得古树B在北偏西方向，古树C在北偏东方向．该工作人员从A处走了到达古树B后，又在B处测得古树C在北偏东方向上． (1)求及的度数； (2)求两棵古树B，C之间的距离（结果保留根号）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，外角的性质，能根据题意理清图形中各角的关系是解题的关键． （1）过点A作，根据平行线的性质可得，根据三角形外角的性质可求出，进而根据平行线的性质求得，即可求解． （2）过点A作于点G，则，在中，根据等角对等边和正弦的定义可求出，在中，根据正切的定义可求出，再根据可得结果． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作， 且， ， 且， ， ， ， ，， ； （2）解：过点A作于点G，则， 在中，， ， 又， ， ，， ， 在中，， ， 即两棵古树B，C之间的距离为． 【变式12-2】（2025年陕西省西安市铁一中学中考六模数学试卷）在综合实践课上，兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表： 实践报告 活动课题 测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在湖岸上的凉亭处测得湖心岛上的迎宾槐处位于北偏东方向； 【步骤二】从凉亭处沿湖岸向东方向走了100米到处，测得湖心岛上的迎宾槐处位于北偏东方向（点A、B、C在同一平面上）； 解决问题 根据以上数据计算湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离（结果精确到1米）． 请你帮助兴趣小组解决以上问题．（参考数据： ，） 【答案】湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作于点，根据锐角三角函数，得到，，再根据列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，， 在中，， ，， 在中，， ， ， 米， ， 米， 答：湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离约为米． 【题型九】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【例13】（河北省石家庄市第五十三中学2022年 九年级数学中考复习考前适应性综合练习题）如图，一人乘雪橇沿坡度为的斜坡笔直滑下，滑下的距离)与时间)之间的关系为，若滑到坡底的时间为，则此人下降的高度为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵滑下的距离)与时间)之间的关系为，滑到坡底的时间为， ∴， 设坡角为， ∵斜坡的坡比为， ∴ ， ∴， ∴此人下降的高度， 故选：C． 【变式13-1】（2025年河北省唐山市第三十九中学中考三模数学试卷 ）如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 【答案】(1)山顶点C到水平面的距离为 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把数值代入，进行计算得山顶点C到水平面的距离； （2）先证明四边形是矩形．得，结合，得，运用勾股定理得，同理得，即可作答． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为F． 在中， ∵，，， ∴． 答：山顶点C到水平面的距离为． （2）解：过点B作，，垂足分别为H、E． ∴ ∴四边形是矩形． ∴，， 在中， ∵的坡度为， ∴． ∴． 在中， ∵山坡的坡度为， ∴． ∴． ∴山坡的长为：． 答：山坡的长为． 【变式13-2】（河北石家庄市东南实验中学2026-2027学年第一学期九年级数学10月阶段学情自测）如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． (1)求坝高； (2)求水库坝底宽的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）在中，根据含30度角的直角三角形的性质得到，即可求解； （2）过点作于点，则四边形是矩形，进而得米，米，再根据斜坡的坡度求出，在中，解直角三角形求出，最后根据线段的和差求解． 【详解】（1）解：∵斜坡米，坡角，， ∴（米）， 即坝高为米； （2）解：如图，过点作于点， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵斜坡的坡度， ∴（米）， ∵坡角，，米， ∴（米）， ∴米， 答：坝底宽的长为米． 【题型一】三角函数的概念辨析 【例1】如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵中，，∴，，故A选项正确，符合题意． 易错警示：在确定某个角的三角函数时，将对边和邻边搞混，尤其是非直角顶点处的角。 【变式1-1】如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，A、 ，∴，故A错误；B、 ，∴，故B错误；C、，∴，故C正确；D、，∴，故D错误．故选：C． 【变式1-2】如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据，得到，A. ，正确，不符合题意； B. ，本选项错误，符合题意；C. ，正确，不符合题意； D. ，正确，不符合题意；故选：B． 【变式1-3】在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在中，，∴，，，，故A、B、C错误，，故D正确，故选：D． 【题型二】特殊角三角函数值记错 【例1】当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 【答案】B 【详解】解：∵，∴锐角时，的值大于．故选：B． 易错警示：混淆、、的三角函数值，如将误记为。 【变式1-1】求下列等式中锐角的度数． (1)；(2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：移项，得， 化简，得， ∵是锐角，∴． （2）解：， 化简，得， ∵是锐角，∴． 【变式1-2】求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】在锐角中，，求的度数． 【答案】 【详解】解：， ，，即， ，， ． 【题型三】实际问题中角度与边长的对应关系搞错 【例1】如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知，水平线与地面平行，等于俯角，即， 在中，，，，，． 易错警示：在仰角、俯角、方位角问题中，没有正确标注角度，导致三角函数关系列错。 【变式1-1】如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m． 【答案】 【详解】解：根据题意可知，，， 在中，，，，，即坡面的长度是． 【变式1-2】如图，人字梯、的长都为2米．当时，人字梯顶端离地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：由题意可知，则为直角三角形，在中，，，，，． 【变式1-3】一天正午，太阳光与水平地面的夹角为．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为________．（参考数据，，） 【答案】 【详解】解：设此时小明的影长为， 由题意可得，小明身高垂直于水平地面，身高、影长与太阳光构成直角三角形，其中太阳光与水平地面的夹角为，该角的对边为小明身高，邻边为影长， 根据正切的定义得，将代入得，解得． 【题型一】折叠背景下的锐角三角函数应用 【例1】（2025·河北保定·二模）如图，在中，，为边上的高，，将沿直线折叠得到，则（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，折叠的性质，三角形内角和定理，求出，解得到，再解得到，由折叠的性质可得，，则可证明三点共线，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的高， ∴， 在中，， 在中，， 由折叠的性质可得，， ∴三点共线， ∴， 故选：C． 【变式1-1】（2025·河北石家庄·三模）如图，四边形是平行四边形，连接对角线，将沿所在直线折叠得到，交于点，若，，，则的长度是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，勾股定理的应用，关键是熟练掌握折叠的性质．首先根据平行四边形的性质得，，，，可证出，根据翻折可得，，，进而可得，从而可得，解直角三角形求出，再根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理即可得的长． 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ，，，， ， 将沿翻折至， ，，， ， ， 在中，， ， ，， ， ，， ， 故选：． 【变式1-2】（2025·河北邢台·三模）如图，在矩形纸片中，为边上一点，将沿折叠，得到．点E，F关于对称，若，则（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先利用矩形纸片的性质得出，再轴对称的性质得出垂直平分，接着根据垂直平分线性质得出，结合，可证明是等这三角形，进而求得，再分“点在上方”、“点在下方”两种情况分别求得． 【详解】解：∵矩形纸片中， ∴ ，， ． 连接， 点E，F关于对称， 垂直平分， ， ∵， ∴是等边三角形， ． ， 当点在上方时，如图1， ， ， 当点在下方时，如图2， ， ． 故选：B． 【变式1-3】（2026·河北邯郸·三模）综合与探究 问题情境：在数学活动课上，老师和同学们一起探究矩形折叠中的奥秘．如图1，在矩形中，，，点是上的一点，连接．嘉嘉按照以下步骤进行：①将沿着折叠，得到，折痕为，且点的对应点恰好落在边上；②点是边上的一个动点，连接，作关于直线的对称线段，射线交射线于点，连接． 独立思考： (1)如图1，当点恰好落在边上时，过点作于点．试判断的形状，并说明理由． (2)深入探究：如图2，当点在矩形的外部时，过点作于点． ①当时，求的长； ②当时，请直接写出的面积． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由： ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得，，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴． 由对称可得，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形． (2)①；②或 【分析】（1）容易证明四边形是正方形，则，，结合轴对称的性质可得，．利用三角函数可计算出，则，结合等腰三角形的性质可得．由折叠的性质可得，，从而得到，因此是等腰直角三角形； （2）①由正方形的性质可得，，，．设，由可得，，从而得到．由折叠的性质可得，进而得到，由三角函数容易得到，因此，计算得，结合等腰三角形的性质可得； ②分两类讨论，当点在矩形的外部时，容易得到，利用三角函数计算出和，由①可得是等腰直角三角形，进而计算出，然后计算的面积即可；当点在矩形的内部时，则，同样的方法计算出与，然后计算的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：①设， 由折叠的性质，可得，， ∴， ∴． ∵， ∴，， 由（1）可得，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由（1）可得，四边形是正方形． ∴，． 由①可得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， （Ⅰ）当点在矩形的外部时，如图， ∵， ∴， 由①可得，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴； （Ⅱ）当点在矩形的内部时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 【题型二】旋转背景下的锐角三角形应用 【例2】（25-26九年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，，将绕点旋转，的对应点为点，连接交边于点．如果，那么的长为_______． 【答案】或 【分析】分类讨论，构造，进而根据勾股定理得到的长度，即可求出结果． 本题考查了三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】解：由题可得： 过点作,过点作, ∵， ∴， ， , , , ∵， , , ,, , 由题可得： 过点作,过点作, ∵， ∴， ， , , , ∵， , , ,, , ． 故答案为：或． 【变式2-1】如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示．其主体部分为矩形，由支撑杆垂直固定于底座上，且可以绕点旋转．压杆与伸缩片连接，点在上，可绕点旋转，，，，不使用时，，是中点，且点在的延长线上，则_____cm，使用时如图3，按压使得，此时点落在上，若，则压杆到底座的距离为 ____________________cm． 【答案】 4 【分析】如图2，延长，则过点，由三角形中位线定理可得的长度，如图3，过点作于，可得，在中，，知，故，可得，，由，得，即可得压杆到底座的距离为． 【详解】解：如图2，延长，则过点， 四边形是矩形， ，即， 是中点， 是的中位线， ， 如图3，过点作于， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ，即， ， 解得， ， ，， ， ，即， 解得， 压杆到底座的距离为， 故答案为：4，． 【变式2-2】（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，已知在中，，，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)直接写出的值． 【答案】(1) 证明：∵将绕点C旋转得到，点A的对应点D落在上， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)． 【分析】本题主要考查旋转的性质、相似三角形的性质、求角的正弦值以及勾股定理，利用旋转得到对应边、对应角相等是解题的关键． （1）首先根据旋转的性质得到对应边成比例，再证明两个边的夹角相等，即可证明； （2）由得到，据此求得； （2）利用勾股定理求得，由旋转的性质知，，作于点，利用等积法求得，利用勾股定理求得，，根据正弦函数的定义即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在中，，，， ∴， 由旋转的性质知，， 作于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2-3】（25-26九年级上·河北唐山·期中）在中，，，，在、上取两点，连接，且 ，．把绕点逆时针旋转，旋转角为，连接、． (1)在图1中， ； (2)在图2中，求证：； (3)继续旋转． ①如图3，当点D落在上时，恰有，求k的值； ②当点B、D、E在同一条直线上时恰好，直接写出的长． 【答案】(1)6 (2) 证明：图1中，∵， ∴， ∴图1、图2中，， ∵绕点旋转， ∴， 在和中， ∵，， ∴； (3)①；②或 【分析】（1）先由三角函数定义求出，再用勾股定理求； （2）先由，得相似，再结合旋转角相等，证两边成比例且夹角相等，从而得相似； （3）①先利用三角形面积或三角函数求出，再结合求k；②先求的长，利用相似得与的关系，结合勾股定理分情况求． 【详解】（1）解：在中， ∵，， ∴， 由勾股定理：， 故答案为：； （2）略 （3）解：∵，， ∴ ∴， ∵， ∴； ②当时， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， 设，则， ∵， ∴ ∴， ∴， 情况1：点在延长线上， ， 在中， ∵， ∴， 化简得：， 解得：（舍去负根）； 情况2：点在上， ， 在中， ∵， ∴， 化简得：， 解得：（舍去负根）， 综上，或． 【题型三】线段最值结合三角函数问题 【例3】（2023·陕西西安·三模）如图，已知在平面直角坐标系中，点B的坐标是，，点A在x 轴正半轴上．将中沿着直线平移得到，当最小时，和的重叠部分面积是___________． 【答案】 【分析】过点O作的平行线l，分别作B，关于l的对称点C，，由轴对称的性质得当点，O，共线时， 的值最下，即最小．连接，作于H，则，求出点C的坐标．设，由平移的性质得，然后利用求出a的值即可求解． 【详解】∵点B的坐标是，， ∴，，． 过点O作的平行线l，分别作B，关于l的对称点C，， ∴，， ∴， ∵， ∴当点，O，共线时， 的值最下，即最小． 连接，作于H，则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 作于点E，作于点F， 设，则， ∴可看作由先向左移动了a个单位，再向上移动了个单位得到的， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， 即当最小时，和的重叠部分面积是， 故答案为：． 【变式3-1】（2026·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，．点E在线段上由D向A方向匀速运动，点F在线段上由B向C方向匀速运动．点E与点F同时开始运动，点F的运动速度为点E运动速度的3倍．当点F到达C点时，点E也停止运动．将矩形沿翻折，点C、点D的对应点分别为点P、点Q，连接．在运动过程中，当最小时，的值为__________．    【答案】 【分析】本题考查矩形翻折问题中的动点轨迹与最值问题．解题的关键在于利用相似三角形发现折痕与对角线的交点为定点，进而利用翻折的对称性得出点在以为圆心的定圆上运动，最后利用圆外一点到圆上点的距离最值求解． 【详解】解：设， ∵ 点的运动速度为点运动速度的倍， ∴ ， ∵ 四边形为矩形， ∴ ， 设 直线与交于点，连接， ∴ ， ∴ ， ∴ 点为上的定点，且， ∵ 矩形沿翻折，点的对应点为点， ∴垂直平分， ∵ 点在上， ∴ ， ∴ 点在以为圆心、为半径的定圆上运动， ∵为定点到定点的距离， ∴ 当点落在线段上时，最小，此时、、三点共线， ∴ ， 过点作于点，于点， ∵ 在上，， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， 在中，， ∴ ， ∴ ．    【变式3-2】（2026·贵州·中考真题）小红学习了最短路径的知识后，对图形的变化探究如下： 【动手操作】如图①，在直线的两侧有两点，，小红要在直线上确定一点，使最短． (1)请帮小红确定点的位置，并画出图形； (2)解决该问题的依据是________； 【问题探究】 (3)如图②，在四边形中，点是边的中点，点是对角线上一个动点，连接，，，，当的值最小时，求线段的长； 【拓展延伸】 (4)如图③，在四边形中，，，，垂足为，，，，若点是线段垂直平分线上的一个动点，连接，．确定点的位置使周长最小，并求出该周长的最小值． 【答案】(1)如图①，点即为所求； (2)两点之间线段最短 (3)1 (4) 【分析】（1）连接与直线的交点即为点； （2）依据为两点之间线段最短； （3）过点作的对称点，交于点，连接，交于点，则，故当点与点重合时，取得最小值，如图，连接，然后证明，再解即可； （4）过点作于点，过点作交的延长线于点，先判断点在直线上，连接，确定周长的最小值为，先证明，再利用求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作的对称点，交于点，连接，交于点， ∴，， ∴， ∴当点与点重合时，取得最小值，如图，连接， ∵，点为中点，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴点在直线上， 连接， ∴， ∴， ∴当点在上时，取得最小值即为， ∵，不变， ∴周长的最小值为， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得（舍负）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值． 【题型四】利用三角函数测高的实际应用问题 【例4】（25-26九年级上·河北石家庄·期末） “这么近，那么美，周末到河北！”嘉嘉与琪琪相约到天桂山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处，已知点在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底处到达山顶处大约需要多少分钟（结果保留整数）．（参考数据：； 【答案】(1)登山缆车上升的高度为 (2)从山底A处到达山顶D处大约需要40分钟 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、解直角三角形、矩形的判定与性质等知识点，掌握直角三角形的边角关系是解题关键． （1）如图：过点B作于点M，则四边形是矩形，即；在中，解直角三角形可得，再根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）在中，解直角三角形可得，然后根据需要的时间=步行时间＋缆车时间求解即可． 【详解】（1）解：如图：过点B作于点M，则四边形是矩形， ∴， ∵在中，，， ∴，     ∴．    答：登山缆车上升的高度为． （2）解：∵在中，，， ∴， ∵需要的时间=步行时间＋缆车时间 ∴分钟． 答：从山底A处到达山顶D处大约需要40分钟． 【变式4-1】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）正定开元寺的须弥塔，始建于唐，历史悠久．在一次综合实践活动中，某中学数学小组用无人机测量须弥塔的高度． 活动主题 测量须弥塔的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 测量过程与数据信息 ①如图，塔高垂直于地面．将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得须弥塔顶端A的俯角为； ②在C处测出须弥塔底端B的俯角为（参考数据：，，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)________，________； (2)求测得须弥塔的高度是多少米？（结果保留整数） 【答案】(1)18,135 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用等知识． （1）延长，交于点D，根据角的计算即可求解； （2）由题意得四边形为矩形，得到．在中，根据得到．证明，得到，即可求出． 【详解】（1）解：如图，延长，交于点D． 由题意得， ∵， ∴，． 故答案为：18，135； （2）解：由题意得：， 则四边形为矩形， ∴． 在中，， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-2】（2026·河北邯郸·模拟预测）图1是一座钢结构的多功能综合电视塔，某校数学兴趣小组计划在综合实践活动课中测量此电视塔的高度，测量方案如下： 课题 测量电视塔的高度 测量工具 卷尺、自制测角仪、计算器等 自制测角仪的使用方法 小组成员利用量角器和铅锤自制简易测角仪，如图2，在P点观察所测物体最高点Q，使视线沿着量角器的直径MN刚好到达点Q，测得视线与铅垂线所夹的锐角为．    模型抽象与测量过程 如图3，电视塔坐落于矩形高台上，小组成员在水平地面上的点D处，用自制测角仪测得的度数，再继续向前走到点G处，沿台阶GC上到平台上，在点C处测得的度数，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，点E，F，G，D在同一条水平直线上．（测角仪离地面的高度忽略不计） 测量数据 的度数 的度数 的度数 的长度 的长度 参考数据 ，，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求台阶的水平宽度； (2)求该电视塔的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，由的余弦值即可求解； （2）设，根据的正切值可表示的长度，由此可得的长度，再根据的长度与的长度可知的长度，再结合的正切值求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， 可得， 答：台阶的水平宽度的长度为； （2）解：设， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， 即， 则有，解得， 即， 答：电视塔的高度为． 【模型一】单直角三角形模型（直接解直角三角形） 【模型解读】在直角中，，已知两个元素（至少一个边），直接利用三角函数或勾股定理求解. 【结论】根据已知条件选择合适的三角函数关系式，一步到位求出未知元素。 适用场景：基础的测量问题、简单的实际应用场景。 【例1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在中，，，，求的长和的度数． 【答案】， 【详解】解：在中，，，， ， ， ． 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）在中，，a，b，c分别为，，的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】，，． 【详解】解：在中，，，， 由得， 由得； 由得， 综上，，，． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，点是边上一点，过点作，垂足为，，，，求的长． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 【模型二】双直角三角形叠加模型（两个直角三角形共用一条边） 【模型解读】两个直角三角形共用一条公共边（通常是高或底边），需要分别在两个三角形中建立关系。 【结论】设公共边为，分别在两个直角三角形中用三角函数表示其他边，再利用总长度列方程。 适用场景：测量物体高度时观测点在两个不同位置，或两个角度观测问题。 【例2】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：． （1）如图1，若，求b的值； （2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池中建一座小型景观桥（如图2所示），若米，米，，求景观桥的长度． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）如图，过C作于点D , 即 （2），，, 在中，设，则 在中， 即: 解得：（不符题意，舍） 【变式2-1】【2018】【初三上】【开学考】【学校未知】【数学】【胡宇茜图片收集】【WXX024录入】【xx审核】）如图是某工厂货物传送带的平面示意图．为提高传送过程的安全性，工厂计划改造传送带与地面的夹角，使其由原来的43°减小为30°．已知原传送带AB长为5米． （1）求新传送带AC的长度（结果保留小数点后一位）； （2）新旧货物传送带着地点B、C之间相距多远（结果保留小数点后一位）？ （参考数据：cos30°≈0.866，tan30°≈0.577，sin43°≈0.682，cos43°≈0.731，tan43°≈0.933．） 【答案】（1）新传送带AC的长约为6.8米；（2）新旧货物传送带着地点B、C之间相距2.3米 【分析】（1）过A作BC的垂线AD．在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在Rt△ACD中，求出AC的长． （2）通过解直角三角形，可求出BD、CD的长，进而可求出BC的长． 【详解】（1）过点A作AD垂直于CB的延长线于点D． 在Rt△ADB中，AB=5，∠ABD=43°， ∵，， ∴AD=AB•sin∠ABD=5×sin43°≈3.41， BD=AB•cos∠ABD=5×cos43°≈3.66． 在Rt△ADC中， ∵， ∴， 答：新传送带AC的长约为6.8米； （2）在Rt△ACD中，AC≈6.82，∠ACD=30°， ∵， ∴CD=AC•cos∠ACD≈6.82×cos30°≈5.91． ∴BC=CD-BD=5.91-3.66≈2.3． 答：新旧货物传送带着地点B、C之间相距2.3米． 【变式2-2】（2021·新疆乌鲁木齐·一模）某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得魁星阁顶端的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达处，在处测得魁星阁顶端的仰角是45°．若测角仪和的高度均为米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中的值）．（参考数据：，，，，结果精确到米） 【答案】魁星阁顶端距离地面的高度约为米 【详解】解：由题意知，米，米，设米，在中， 米，， 米， 米， 在中， ， ， 即， 解得米， 米， 故魁星阁顶端距离地面的高度约为米． 【模型三】仰角俯角模型 【模型解读】从高处或低处观测目标，视线与水平线形成仰角或俯角，构造直角三角形求解。 【结论】仰角/俯角始终是视线与水平线的夹角。利用建立高度与水平距离的关系。 适用场景：测量建筑物高度、旗杆高度、山谷深度等。 仰角、俯角：如图，图中仰角是∠1，俯角是∠2 【例3】（2026·河北邯郸·三模）如图1是一个湖畔景观道路灯，如图2，嘉嘉想测量路灯的高度，于是他在地面的C点用测角仪从点M测得路灯顶端A的仰角为，然后他在地面的D点用同一台测角仪从点测得路灯顶端A的仰角为．已知，测角仪的高度是（B，C，D在同一直线上）． (1)求点C到路灯底部B的距离（结果保留一位小数）； (2)求路灯的高度（结果保留一位小数）． （参考数据：） 【答案】(1)点C到路灯底部B的距离约为 (2)路灯的高度约为 【分析】（1）的延长线交于点P，设，解，由得，解，由得，即可得关于x的方程，解方程即可； （2）由（1）可知，即可求出路灯的高度． 【详解】（1）解∶的延长线交于点P， 设， 由题意，得，， 由第一次观测可得， 在中，，即， ．① 由第二次观测可得，， 在中，， ∴，② ①②联立，解得． 答：点C到路灯底部B的距离约为； （2）解∶由（1）可知， ， 答∶路灯的高度约为． 【变式3-1】（2026·河北保定·模拟预测）如图1所示的开元寺塔位于河北省定州市，是现存最高的砖木结构古塔．某综合实践小组尝试利用无人机（无人机限高50米）测算开元寺塔的高度．如图2和图3，当无人机位于高度为28米的处（即米）时，测得塔顶处的仰角为． (1)若米，则开元寺塔的高度为_____米（用含的式子表示）； (2)嘉嘉发现．用现有数据．测量不出塔的高度．于是组内的淇淇又测量了下列两组数据：数据①：如图2，当无人机在处时，测得塔底处的俯角为；数据②：如图3，当无人机从处水平后退56米到达时，测得塔顶处的仰角为．请你任意选择一组数据．计算出开元寺塔的高度．（参考数据：，tan） 【答案】(1) (2)开元寺塔的高度为米 【分析】（1）解求出，再由求解即可； （2）选用数据①，解求出即可；选用数据②，解求出即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 在中， ∴， ∴（米）； （2）解：选用数据①： 如图2，由题意得，， ∴在中，， ∴， ∴（米）； 选用数据②： 如图3，由题意得，，， 在中， 解得 ∴（米）， 答：开元寺塔的高度为米． 【变式3-2】（2025·河北唐山·三模）如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2． (1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，） (2)求两架无人机距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式； (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查解直角三角形及一次函数的应用，掌握求一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据在中，，，求出结论即可； （2）用待定系数法分别求出表达式即可； （3）首先得出当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好，即，解出t的值，求出范围即可． 【详解】（1）解：由题意得：在中，， 由图（2）知：无人机乙刚起飞时离地面的高度， ， ， ∴起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为； （2）解：由图（2），设无人机甲距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为， 把代入，则， 解得：， ； 设无人机乙距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为， 把代入，则， 解得：， ； （3）解：∵起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为， ∴当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好， 即， ， 解得：或， ， ∴一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长为． 【模型四】方位角模型 【模型解读】在航行或行走问题中，利用方位角（如北偏东）确定方向，构造直角三角形。 【结论】方位角从正北方向顺时针度量。将方位角转化为直角三角形中的内角，利用三角函数求解距离。 适用场景：航行问题、行走路线问题、两个运动物体的距离计算。 方向角：如图，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°(或西北)方向 【例4】（2025·重庆永川·模拟预测）为方便市民休闲散步，计划在人工水渠两侧新建 两条步道．经测量，点B 在点A南偏东 方向，点C在点A的正南方且在点 B的正西方，点D在点A南偏东 方向且在点B的正北方， 米． (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)请计算说明哪条步道较短？（参考数据： ） 【答案】(1)米 (2)更短 【分析】该题考查了解直角三角形和矩形的性质与判定，解题的关键是正确做出辅助线． （1）延长，过点作交的延长线于点，根据题意可得，则四边形是矩形，即可得出，，米，求出米． （2）结合（1）求出，，比较即可求解． 【详解】（1）解：延长，过点作交的延长线于点， 根据题意可得， 则四边形是矩形， ∴，， ∴米， ∴米． （2）解：结合（1）可得米，米，米， 米，米， 则米， 米， ， 故更短． 【变式4-1】（26-27八年级上·重庆·阶段检测）如图是某景区的平面示意图，景点位于景点的正南方向处，景点位于景点的南偏西方向，且与景点的距离． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是．智能巡检机器人从景点出发，沿道路的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点B作构造直角三角形，由南偏西得到，利用含直角三角形的性质求出，再用勾股定理算出垂线段，接着算出，最后在中再次使用勾股定理求出； （2）以基站B为圆心、为通信半径，分别在行进路线上找出和这个圆相交的有效路段：全程在范围内，上截取，在上利用勾股算出交点E到A的距离，把三段有效路程相加，再根据“速度总路程时间”计算速度． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ， ， ，， ； （2）解：如图，设， ， ， 该智能巡检机器人的行驶速度为． 【变式4-2】（26-27九年级上·重庆涪陵·阶段检测）重庆涪陵美心红酒小镇景区（大家常称蔺市洋人街），属于国家级旅游景区．景区内有、、、，个景点，如图，景点位于景点的正东方向千米处，是一条横向公路，景点位于景点的正北方向，景点位于景点的北偏东方向千米处，景点又位于景点的西北方向（北偏西）．（参考数据：，，） (1)请求出之间的距离；（结果保留根号） (2)小王，小李在游景区时，小王从景点沿着正东方向匀速直线运动，小李从景点沿着某条直线匀速运动．已知小李的速度与小王的速度之比为，两人同时出发，在公路上某处会合．请问：小李和小王会合时，小王一共走路多少千米？（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)千米． (2)会合时小王一共走了千米． 【分析】（1）作于，由方向角得，在Rt中利用特殊角三角函数值求出、；作交的延长线于，由得为等腰直角三角形，，由求出的长； （2）设两人会合于公路上的点、，由两人同时出发、同时会合，把速度比转化为路程比；在Rt中用勾股定理建立关于的一元二次方程，解方程并根据实际意义检验根． 【详解】（1）解：过点作于，作交的延长线于． ∵景点位于景点的北偏东方向，为正东方向， ∴． 在Rt中，，千米， ∴（千米）， （千米）． ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴（千米），（千米）． ∵景点位于景点的西北方向，且射线指向正北， ∴． 在Rt中，， ∴， ∴（千米）． ∴（千米）． 答：、之间的距离为千米． （2）解：设两人会合于公路上的点，小王一共走了千米，则，小李走的路程为． ∵两人同时出发、同时会合，小李的速度与小王的速度之比为， ∴，即． 由（1）知千米，千米，则． ∵、都在线段上，，， ∴． 在Rt中，， ∴． ∴，即， 整理，得， 解得，． ∵， ∴． ∵， ∴，且，会合点在线段上，符合题意． 答：小李和小王会合时，小王一共走了约千米． 【模型五】坡度坡比模型 【模型解读】在斜坡、堤坝、楼梯等问题中，坡度是核心关系。 【结论】坡面、铅直高度、水平距离构成直角三角形，坡角是坡面与水平面的夹角。 适用场景：修路、建坝、设计楼梯等工程问题。 坡度(坡比)、坡角：如图，坡角为α，坡度(坡比)i＝tan α＝ 13．（2025·河北唐山·三模）如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 【答案】(1)山顶点C到水平面的距离为 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把数值代入，进行计算得山顶点C到水平面的距离； （2）先证明四边形是矩形．得，结合，得，运用勾股定理得，同理得，即可作答． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为F． 在中， ∵，，， ∴． 答：山顶点C到水平面的距离为． （2）解：过点B作，，垂足分别为H、E． ∴ ∴四边形是矩形． ∴，， 在中， ∵的坡度为， ∴． ∴． 在中， ∵山坡的坡度为， ∴． ∴． ∴山坡的长为：． 答：山坡的长为． 14．（2025·陕西西安·模拟预测）夜晚，小华在操场打羽毛球，抬头看见路灯，于是想利用所学的数学知识测量路灯的高．已知羽毛球场位于路灯东侧，从路灯底部点出发，需走上一段斜坡才能到达羽毛球场所在地面．由于小华没有带任何测量工具，于是，他借助步测测得离灯较近的网杆在路灯下的影长为2步，离路灯较远的网杆在路灯下的影长为4步，斜坡为1.5步．回家后小华查资料得到羽毛球网杆高米，网长米，测得1步米，同时了解到斜坡的坡度为，请你利用以上数据帮小华求出路灯的高．（路灯杆，斜坡，地面，羽毛球网杆均在同一平面内，结果保留一位小数．） 【答案】约7.2米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质及解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立相似三角形模型，根据相似三角形的性质求解． 延长，交于，根据，，，得，可证明，，从而可得，，设米，米，列出方程求解．根据斜坡的坡度为，由勾股定理求得米，即可求得． 【详解】解：延长，交于， 设米，米， 由题意得，米，米，米， ，，， ， ，， ，， ，， ，， ， ， 作于， 斜坡的坡度为， ， ， ，即， 米， ，， ， 米， 米． 答：路灯的高约7.2米． 15．（2025·山东德州·一模）某电力部门在某地安装了一批风力发电机，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，形成了如下实践报告： 【测量对象】风力发电机的塔杆高度． 【测量工具】测角仪、激光测距仪等． 【测量活动】利用激光测距仪测得斜坡长为20米，坡底与塔杆底的距离米；利用测角仪测得斜坡的坡角为，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为．（图中各点均在同一竖直平面内，） 【问题解决】请根据以上测量数据，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位：参考数据：，，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度为 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点作于点，作于点，先求解，，再证明，再利用锐角的正切可得，从而可得答案． 【详解】解：过点D作于点F，作于点H 由题意得：， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴ 在中， ∵， ∴ ∴ 答：该风力发电机塔杆的高度为． 技巧 一句话要点 确定对边、邻边、斜边 先找直角顶点和目标角，目标角对面是对边，含直角顶点的是邻边 特殊角函数值速记 正弦：、、（递增）；余弦反过来（递减） 解直角三角形的选法 已知两边用勾股定理；已知一边一角用三角函数；优先用原始数据 仰角俯角画图法 先画水平线，再画铅直线，视线与水平线的夹角就是仰角/俯角 坡度问题的转化 坡比，直接对应，转化为解直角三角形 实际问题检验 求出的边长应为正值，角度在到之间，注意是否符合实际 混合运算化简 先代入特殊角函数值，再按先乘除后加减的顺序化简，注意的有理化 试卷第76页（共77页） 股份有限公6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 解直角三角形 目 录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(4类) 公式清单(8类) 辨析清单(3类) 题型类 高频题型清单(9类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01 锐角三角函数的概念 如图，在直角中，，设的对边为，邻边为，斜边为。 正弦：。 余弦：。 正切：。 、、统称为的三角函数。三角函数值是______，没有单位。 知识点02 特殊角的三角函数值 锐角α 30° 45° 60° sinα cosα tanα 1 记忆规律：正弦值随角度增大而______，余弦值随角度增大而______，正切值随角度增大而______。 知识点03 解直角三角形 1. 解直角三角形：在直角三角形中，由______求出______的过程。 2. 直角三角形中的三边关系（勾股定理）：。 3. 直角三角形中的边角关系：，，。 4. 直角三角形中的角角关系：（两锐角互余）。 5. 解直角三角形的条件：至少需要______（其中至少有一个是边）。 知识点04 解直角三角形与实际问题 1. 仰角与俯角：视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角叫做______；视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角叫做______。 2. 方位角：从正北方向按______方向转到目标方向线所成的角。如北偏东。 3. 坡度（坡比）：坡面的______与______的比叫做坡度，记作。坡度与坡角的关系：。 4. 解题步骤：①审题，理解题意，画出示意图；②将实际问题转化为解直角三角形的问题；③选择合适的三角函数关系列方程；④解方程求解，检验结果的合理性。 考点01 锐角三角函数的概念与计算 考点内容：掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义及其在直角三角形中的边角比值关系，理解三角函数值随角度变化的增减性规律，并能运用同角三角函数的基本关系式进行简单的计算与转化。 常见考法： ①在直角三角形中，已知两边求三角函数值； ②已知三角函数值求角度或边长； ③在非直角三角形中，作高构造直角三角形求三角函数值； ④在坐标系中求某条线段与坐标轴夹角的三角函数值。 考点02 特殊角的三角函数值 考点内容：熟记  、 、 等特殊角的正弦、余弦、正切值，并能熟练进行含特殊角三角函数值的代数式化简与求值运算。 常见考法： ①直接求、、的三角函数值； ②含特殊角三角函数值的混合运算（化简求值）； ③利用特殊角的三角函数值判断角度大小。 考点03 解直角三角形 考点内容：综合运用勾股定理、直角三角形两锐角互余的性质以及锐角三角函数的定义，掌握在已知直角三角形中两个元素（至少包含一条边）的情况下，求解其余未知边长和角度的方法。 常见考法： ①已知两边求第三边及两个锐角； ②已知一边和一个锐角，求其他边和角； ③解直角三角形与勾股定理、全等三角形等知识综合。 考点04 解直角三角形的实际应用 考点内容：理解仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角及方位角等基本概念，能够将测量高度、航行距离、工程坡度等实际问题抽象为直角三角形模型，并通过作高构造直角三角形来解决相关的计算与设计问题。 常见考法： ①测量物体高度（仰角、俯角问题）； ②航行问题（方位角问题）； ③工程问题（坡度、坡比问题）； ④设计方案类问题（如设计楼梯、斜坡等）。 序号 名称 公式（几何语言） 1 正弦定义 2 余弦定义 3 正切定义 4 平方关系 5 角函数值 ，， 6 角函数值 ，， 7 角函数值 ，， 8 坡度公式 辨析01 三角函数值没有单位 三角函数值是两条线段的比值，是一个纯数，没有单位。不能写成""等形式。 辨析02 不是乘以 是一个完整的符号，表示角的正弦值，不能理解为""乘以""。去掉""后""没有意义。 辨析03 角度越大，正弦值/正切值越大，但余弦值越小 在范围内： 角度增大 增大，减小，增大。 【题型一】锐角三角函数的概念 【例1】（天津市红桥区2025年九年级结课考试（一模）数学试题 ）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（福建省泉州市泉港区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型二】求角的三角函数值 【例2】（河北石家庄外国语教育集团2026-2027学年度第一学期九年级第一次阶段学情自测数学）如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（河北石家庄市桥西区2025~2026学年度第一学期期末适应性练习 九年级数学）如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（山东省东营市河口区实验中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷）如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【例3】（河北石家庄市第二十八中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题）在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2016届北京市东城区九年级上学期期末考试数学试卷）在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式3-2】（陕西省榆林市定边县定边县第七中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）已知是锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例4】（河北石家庄市第二十八中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题）如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（河北廊坊市广阳区2025-2026学年九年级下学期学情自测 数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式4-2】（河北省石家庄市第四十四中学2025-2026学年九年级上学期期末模拟考试数学试题）在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【题型三】已知三角函数值求边长 【例5】（2025·陕西西安·一模）在中，，则的长为（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 【变式5-1】（24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，在等腰中，，，则点B到直线的距离是（   ） A．5 B． C．3 D． 【变式5-2】（河北省廊坊市广阳区2026年初中毕业班（九年级）摸底监测二 数学）如图，是中边上的中线，且．已知，，的外角平分线交的延长线于点，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例6】（2022年广西南宁市第二中学九年级第三次学业水平测试数学试题）如图，在中，，则长为（    ） A．4 B．8 C． D．12 【变式6-1】（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在中，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D． 【变式6-2】（2023年广西北海市九年级摸底考试数学试题）如图，在直角梯形中，，，，且，，则下底的长是（    ）    A． B． C． D． 【例7】（2023年陕西省西安市第二十六中学中考六模数学试题）如图，在中，，D是的中点，，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【变式7-1】（吉林省长春市东北师大附中明珠学校2024-2025学年九年级上学期大练习（二）数学试题）如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【变式7-2】（吉林省长春市第一〇八学校2024-2025学年九年级 上学期第三次月考数学试卷）如图，把一个长方形卡片放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，若，则边的长为（   ） A． B．5 C．4 D． 【题型四】特殊角三角函数值的混合运算 【例8】（2024年天津市中考 数学试题）的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024·天津南开·三模）的值等于（    ）． A． B． C． D． 【变式8-2】（河北省唐山市遵化市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【题型五】由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【例9】（2025年湖南省长沙市华益中学中考二模数学试卷）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【变式9-1】（湖南省衡阳市成章实验中学2022-2023学年九年级上学期第三次月考数学试题）在中，都是锐角，且，则的形状是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【变式9-2】（2022-2023学年浙教版八年级上册数学期中复习试卷 ）若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【题型六】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【例10】（山东省济南市高新区2024--2025学年九年级下学期数学开学测）如图，在中，已知，，，求的面积． 【变式10-1】（山东省泰安市泰山区2025-2026学年九年级上学期数学期中试题 ）如图，在中，，，当时，求的长．（说明：解题中需要作辅助线，请用尺规作图法作出这条辅助线，保留作图痕迹，不用写作法） 【变式10-2】在数学活动课上，小敏、小颖分别画了和，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作，小颖画的三角形面积记作，比较和的大小关系，并说明理由． 【题型七】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【例11】（上海市闵行区校联考2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷 ）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从层直达层，“飞梯”的截面如图，已知的长为米，点处的仰角为，那么高是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式11-1】（2026年内蒙古自治区通辽市第三中学中考模拟预测数学试题）一架无人机从起飞点处起飞，身高1.7米的小亮站在离起飞点水平距离8米的处．当无人机飞行到点时，小亮测得此时的仰角为，无人机此时的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式11-2】（河北省廊坊市大城县2025-2026学年九年级下学期二模考试数学试题）【研学实践】某校课外活动小组对廊坊大剧院（如图1）的高度进行了实地测量． 【数据采集】如图2，测量小组操作无人机在点处竖直上升60米后飞行至点处，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得大剧院最高点和点的俯角分别为和，米． 【数据应用】点，，，，在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，解决下列问题．（参考数据：，，） (1)线段的长为________米； (2)计算大剧院的高度（）． 【变式11-3】（河北石家庄外国语教育集团2026-2027学年度第一学期九年级第一次阶段学情自测数学）1947年11月12日，解放军经六昼夜激战攻克石门（石家庄旧称），此役为首例大城市攻坚战．1987年为纪念石家庄解放40周年，石家庄市政府修建了解放纪念碑．石外某班社会实践小组在了解石家庄历史过程中，计划测量纪念碑的高度，绘制了如图所示的平面图，用来表示纪念碑，纪念碑东侧是老火车站的售票厅，其中售票厅高18米．从，之间的E点在同一水平线上）测得纪念碑顶部的点，售票厅顶部点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为 解决下列问题，计算结果是无理数的保留根号： (1)填空：___________°，___________； (2)求，两点之间的距离； (3)求纪念碑的高度． 【题型八】方位角问题(解直角三角形的应用) 【例12】如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 【变式12-1】（2025年河北省中考预测模拟考试数学试卷 ）近年来，正定县在古城保护方面取得了显著成效，对城内古寺古木都采取了专业性的保护措施．如图，某工作人员在A处看到B，C处各有一棵被古塔隔开的古树，他在A处测得古树B在北偏西方向，古树C在北偏东方向．该工作人员从A处走了到达古树B后，又在B处测得古树C在北偏东方向上． (1)求及的度数； (2)求两棵古树B，C之间的距离（结果保留根号）． 【变式12-2】（2025年陕西省西安市铁一中学中考六模数学试卷）在综合实践课上，兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表： 实践报告 活动课题 测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在湖岸上的凉亭处测得湖心岛上的迎宾槐处位于北偏东方向； 【步骤二】从凉亭处沿湖岸向东方向走了100米到处，测得湖心岛上的迎宾槐处位于北偏东方向（点A、B、C在同一平面上）； 解决问题 根据以上数据计算湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离（结果精确到1米）． 请你帮助兴趣小组解决以上问题．（参考数据： ，） 【题型九】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【例13】（河北省石家庄市第五十三中学2022年 九年级数学中考复习考前适应性综合练习题）如图，一人乘雪橇沿坡度为的斜坡笔直滑下，滑下的距离)与时间)之间的关系为，若滑到坡底的时间为，则此人下降的高度为(     ) A． B． C． D． 【变式13-1】（2025年河北省唐山市第三十九中学中考三模数学试卷 ）如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 【变式13-2】（河北石家庄市东南实验中学2026-2027学年第一学期九年级数学10月阶段学情自测）如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． (1)求坝高； (2)求水库坝底宽的长． 【题型一】三角函数的概念辨析 【例1】如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 易错警示：在确定某个角的三角函数时，将对边和邻边搞混，尤其是非直角顶点处的角。 【变式1-1】如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【题型二】特殊角三角函数值记错 【例1】当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 易错警示：混淆、、的三角函数值，如将误记为。 【变式1-1】求下列等式中锐角的度数． (1)；(2)． 【变式1-2】求下列各式的值： (1)；(2)． 【变式1-3】在锐角中，，求的度数． 【题型三】实际问题中角度与边长的对应关系搞错 【例1】如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 易错警示：在仰角、俯角、方位角问题中，没有正确标注角度，导致三角函数关系列错。 【变式1-1】如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m． 【变式1-2】如图，人字梯、的长都为2米．当时，人字梯顶端离地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1-3】一天正午，太阳光与水平地面的夹角为．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为________．（参考数据，，） 【题型一】折叠背景下的锐角三角函数应用 【例1】（2025·河北保定·二模）如图，在中，，为边上的高，，将沿直线折叠得到，则（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式1-1】（2025·河北石家庄·三模）如图，四边形是平行四边形，连接对角线，将沿所在直线折叠得到，交于点，若，，，则的长度是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·河北邢台·三模）如图，在矩形纸片中，为边上一点，将沿折叠，得到．点E，F关于对称，若，则（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式1-3】（2026·河北邯郸·三模）综合与探究 问题情境：在数学活动课上，老师和同学们一起探究矩形折叠中的奥秘．如图1，在矩形中，，，点是上的一点，连接．嘉嘉按照以下步骤进行：①将沿着折叠，得到，折痕为，且点的对应点恰好落在边上；②点是边上的一个动点，连接，作关于直线的对称线段，射线交射线于点，连接． 独立思考： (1)如图1，当点恰好落在边上时，过点作于点．试判断的形状，并说明理由． (2)深入探究：如图2，当点在矩形的外部时，过点作于点． ①当时，求的长； ②当时，请直接写出的面积． 【题型二】旋转背景下的锐角三角形应用 【例2】（25-26九年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，，将绕点旋转，的对应点为点，连接交边于点．如果，那么的长为_______． 【变式2-1】如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示．其主体部分为矩形，由支撑杆垂直固定于底座上，且可以绕点旋转．压杆与伸缩片连接，点在上，可绕点旋转，，，，不使用时，，是中点，且点在的延长线上，则_____cm，使用时如图3，按压使得，此时点落在上，若，则压杆到底座的距离为 ____________________cm． 【变式2-2】（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，已知在中，，，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)直接写出的值． 【变式2-3】（25-26九年级上·河北唐山·期中）在中，，，，在、上取两点，连接，且 ，．把绕点逆时针旋转，旋转角为，连接、． (1)在图1中， ； (2)在图2中，求证：； (3)继续旋转． ①如图3，当点D落在上时，恰有，求k的值； ②当点B、D、E在同一条直线上时恰好，直接写出的长． 【题型三】线段最值结合三角函数问题 【例3】（2023·陕西西安·三模）如图，已知在平面直角坐标系中，点B的坐标是，，点A在x 轴正半轴上．将中沿着直线平移得到，当最小时，和的重叠部分面积是___________． 【变式3-1】（2026·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，．点E在线段上由D向A方向匀速运动，点F在线段上由B向C方向匀速运动．点E与点F同时开始运动，点F的运动速度为点E运动速度的3倍．当点F到达C点时，点E也停止运动．将矩形沿翻折，点C、点D的对应点分别为点P、点Q，连接．在运动过程中，当最小时，的值为__________．    【变式3-2】（2026·贵州·中考真题）小红学习了最短路径的知识后，对图形的变化探究如下： 【动手操作】如图①，在直线的两侧有两点，，小红要在直线上确定一点，使最短． (1)请帮小红确定点的位置，并画出图形； (2)解决该问题的依据是________； 【问题探究】 (3)如图②，在四边形中，点是边的中点，点是对角线上一个动点，连接，，，，当的值最小时，求线段的长； 【拓展延伸】 (4)如图③，在四边形中，，，，垂足为，，，，若点是线段垂直平分线上的一个动点，连接，．确定点的位置使周长最小，并求出该周长的最小值． 【题型四】利用三角函数测高的实际应用问题 【例4】（25-26九年级上·河北石家庄·期末） “这么近，那么美，周末到河北！”嘉嘉与琪琪相约到天桂山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处，已知点在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底处到达山顶处大约需要多少分钟（结果保留整数）．（参考数据：； 【变式4-1】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）正定开元寺的须弥塔，始建于唐，历史悠久．在一次综合实践活动中，某中学数学小组用无人机测量须弥塔的高度． 活动主题 测量须弥塔的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 测量过程与数据信息 ①如图，塔高垂直于地面．将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得须弥塔顶端A的俯角为； ②在C处测出须弥塔底端B的俯角为（参考数据：，，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)________，________； (2)求测得须弥塔的高度是多少米？（结果保留整数） 【变式4-2】（2026·河北邯郸·模拟预测）图1是一座钢结构的多功能综合电视塔，某校数学兴趣小组计划在综合实践活动课中测量此电视塔的高度，测量方案如下： 课题 测量电视塔的高度 测量工具 卷尺、自制测角仪、计算器等 自制测角仪的使用方法 小组成员利用量角器和铅锤自制简易测角仪，如图2，在P点观察所测物体最高点Q，使视线沿着量角器的直径MN刚好到达点Q，测得视线与铅垂线所夹的锐角为．    模型抽象与测量过程 如图3，电视塔坐落于矩形高台上，小组成员在水平地面上的点D处，用自制测角仪测得的度数，再继续向前走到点G处，沿台阶GC上到平台上，在点C处测得的度数，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，点E，F，G，D在同一条水平直线上．（测角仪离地面的高度忽略不计） 测量数据 的度数 的度数 的度数 的长度 的长度 参考数据 ，，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求台阶的水平宽度； (2)求该电视塔的高度． 【模型一】单直角三角形模型（直接解直角三角形） 【模型解读】在直角中，，已知两个元素（至少一个边），直接利用三角函数或勾股定理求解. 【结论】根据已知条件选择合适的三角函数关系式，一步到位求出未知元素。 适用场景：基础的测量问题、简单的实际应用场景。 【例1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在中，，，，求的长和的度数． 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）在中，，a，b，c分别为，，的对边，，，解这个直角三角形． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，点是边上一点，过点作，垂足为，，，，求的长． 【模型二】双直角三角形叠加模型（两个直角三角形共用一条边） 【模型解读】两个直角三角形共用一条公共边（通常是高或底边），需要分别在两个三角形中建立关系。 【结论】设公共边为，分别在两个直角三角形中用三角函数表示其他边，再利用总长度列方程。 适用场景：测量物体高度时观测点在两个不同位置，或两个角度观测问题。 【例2】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：． （1）如图1，若，求b的值； （2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池中建一座小型景观桥（如图2所示），若米，米，，求景观桥的长度． 【变式2-1】【2018】【初三上】【开学考】【学校未知】【数学】【胡宇茜图片收集】【WXX024录入】【xx审核】）如图是某工厂货物传送带的平面示意图．为提高传送过程的安全性，工厂计划改造传送带与地面的夹角，使其由原来的43°减小为30°．已知原传送带AB长为5米． （1）求新传送带AC的长度（结果保留小数点后一位）； （2）新旧货物传送带着地点B、C之间相距多远（结果保留小数点后一位）？ （参考数据：cos30°≈0.866，tan30°≈0.577，sin43°≈0.682，cos43°≈0.731，tan43°≈0.933．） 【变式2-2】（2021·新疆乌鲁木齐·一模）某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得魁星阁顶端的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达处，在处测得魁星阁顶端的仰角是45°．若测角仪和的高度均为米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中的值）．（参考数据：，，，，结果精确到米） 【模型三】仰角俯角模型 【模型解读】从高处或低处观测目标，视线与水平线形成仰角或俯角，构造直角三角形求解。 【结论】仰角/俯角始终是视线与水平线的夹角。利用建立高度与水平距离的关系。 适用场景：测量建筑物高度、旗杆高度、山谷深度等。 仰角、俯角：如图，图中仰角是∠1，俯角是∠2 【例3】（2026·河北邯郸·三模）如图1是一个湖畔景观道路灯，如图2，嘉嘉想测量路灯的高度，于是他在地面的C点用测角仪从点M测得路灯顶端A的仰角为，然后他在地面的D点用同一台测角仪从点测得路灯顶端A的仰角为．已知，测角仪的高度是（B，C，D在同一直线上）． (1)求点C到路灯底部B的距离（结果保留一位小数）； (2)求路灯的高度（结果保留一位小数）． （参考数据：） 【变式3-1】（2026·河北保定·模拟预测）如图1所示的开元寺塔位于河北省定州市，是现存最高的砖木结构古塔．某综合实践小组尝试利用无人机（无人机限高50米）测算开元寺塔的高度．如图2和图3，当无人机位于高度为28米的处（即米）时，测得塔顶处的仰角为． (1)若米，则开元寺塔的高度为_____米（用含的式子表示）； (2)嘉嘉发现．用现有数据．测量不出塔的高度．于是组内的淇淇又测量了下列两组数据：数据①：如图2，当无人机在处时，测得塔底处的俯角为；数据②：如图3，当无人机从处水平后退56米到达时，测得塔顶处的仰角为．请你任意选择一组数据．计算出开元寺塔的高度．（参考数据：，tan） 【变式3-2】（2025·河北唐山·三模）如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2． (1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，） (2)求两架无人机距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式； (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 【模型四】方位角模型 【模型解读】在航行或行走问题中，利用方位角（如北偏东）确定方向，构造直角三角形。 【结论】方位角从正北方向顺时针度量。将方位角转化为直角三角形中的内角，利用三角函数求解距离。 适用场景：航行问题、行走路线问题、两个运动物体的距离计算。 方向角：如图，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°(或西北)方向 【例4】（2025·重庆永川·模拟预测）为方便市民休闲散步，计划在人工水渠两侧新建 两条步道．经测量，点B 在点A南偏东 方向，点C在点A的正南方且在点 B的正西方，点D在点A南偏东 方向且在点B的正北方， 米． (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)请计算说明哪条步道较短？（参考数据： ） 【变式4-1】（26-27八年级上·重庆·阶段检测）如图是某景区的平面示意图，景点位于景点的正南方向处，景点位于景点的南偏西方向，且与景点的距离． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是．智能巡检机器人从景点出发，沿道路的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 【变式4-2】（26-27九年级上·重庆涪陵·阶段检测）重庆涪陵美心红酒小镇景区（大家常称蔺市洋人街），属于国家级旅游景区．景区内有、、、，个景点，如图，景点位于景点的正东方向千米处，是一条横向公路，景点位于景点的正北方向，景点位于景点的北偏东方向千米处，景点又位于景点的西北方向（北偏西）．（参考数据：，，） (1)请求出之间的距离；（结果保留根号） (2)小王，小李在游景区时，小王从景点沿着正东方向匀速直线运动，小李从景点沿着某条直线匀速运动．已知小李的速度与小王的速度之比为，两人同时出发，在公路上某处会合．请问：小李和小王会合时，小王一共走路多少千米？（结果保留小数点后一位） 【模型五】坡度坡比模型 【模型解读】在斜坡、堤坝、楼梯等问题中，坡度是核心关系。 【结论】坡面、铅直高度、水平距离构成直角三角形，坡角是坡面与水平面的夹角。 适用场景：修路、建坝、设计楼梯等工程问题。 坡度(坡比)、坡角：如图，坡角为α，坡度(坡比)i＝tan α＝ 13．（2025·河北唐山·三模）如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 14．（2025·陕西西安·模拟预测）夜晚，小华在操场打羽毛球，抬头看见路灯，于是想利用所学的数学知识测量路灯的高．已知羽毛球场位于路灯东侧，从路灯底部点出发，需走上一段斜坡才能到达羽毛球场所在地面．由于小华没有带任何测量工具，于是，他借助步测测得离灯较近的网杆在路灯下的影长为2步，离路灯较远的网杆在路灯下的影长为4步，斜坡为1.5步．回家后小华查资料得到羽毛球网杆高米，网长米，测得1步米，同时了解到斜坡的坡度为，请你利用以上数据帮小华求出路灯的高．（路灯杆，斜坡，地面，羽毛球网杆均在同一平面内，结果保留一位小数．） 15．（2025·山东德州·一模）某电力部门在某地安装了一批风力发电机，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，形成了如下实践报告： 【测量对象】风力发电机的塔杆高度． 【测量工具】测角仪、激光测距仪等． 【测量活动】利用激光测距仪测得斜坡长为20米，坡底与塔杆底的距离米；利用测角仪测得斜坡的坡角为，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为．（图中各点均在同一竖直平面内，） 【问题解决】请根据以上测量数据，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位：参考数据：，，，） 技巧 一句话要点 确定对边、邻边、斜边 先找直角顶点和目标角，目标角对面是对边，含直角顶点的是邻边 特殊角函数值速记 正弦：、、（递增）；余弦反过来（递减） 解直角三角形的选法 已知两边用勾股定理；已知一边一角用三角函数；优先用原始数据 仰角俯角画图法 先画水平线，再画铅直线，视线与水平线的夹角就是仰角/俯角 坡度问题的转化 坡比，直接对应，转化为解直角三角形 实际问题检验 求出的边长应为正值，角度在到之间，注意是否符合实际 混合运算化简 先代入特殊角函数值，再按先乘除后加减的顺序化简，注意的有理化 试卷第76页（共77页） 股份有限公6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $